高中数学二轮复习第2讲三角恒等变换与解三角形教案含答案(全国通用)

合集下载

(新课标)高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理新人

第2讲三角恒等变换与解三角形[做真题]题型一三角恒等变换1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B ．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2 sin 2α＋1，即2sin αcosα＝1－sin 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－sin 2α，所以2sin α1－sin 2α＝1－sin 2α，解得sin α＝55，故选B ． 2．(2018·高考全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A ．89 B ．79 C ．－79D ．－89解析：选B ．cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.3．(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A ．725 B ．15 C ．－15D ．－725解析：选D ．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725，故选D ．题型二三角形中的边角计算问题1．(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．4 2B ．30C ．29D ．2 5解析：选A ．因为cos C2＝55，所以cos C ＝2cos 2C 2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35.于是，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，所以AB ＝4 2.故选A ．2．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．解析：因为cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21133．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B －sinC )2＝sin 2A －sin B sin C ．(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C ．解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin (120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 由于0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60° ＝6＋24. 题型三与三角形面积有关的问题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选C ．根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab ＝cos C ，所以在△ABC 中，C ＝π4.2．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________．解析：法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.答案：6 33．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得 sin A sinA ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B ．由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2. 因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin(120°－C )sin C ＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°，故12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫38，32. [明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9题或第13～15题位置上．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等．三角恒等变换与求值[考法全练]1．(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝( ) A ．－2－ 3 B ．－2＋ 3 C ．2－ 3D ．2＋ 3解析：选D ．由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan (180°＋75°)＝tan 75°＝tan (30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D ．2．(一题多解)(2019·福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15 B ．－15C ．725D ．－725解析：选C ．法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．法三：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cosα＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，得sin 2α＝725.故选C ．3．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________．解析：因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，所以sin α＝255，cos α＝55，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋55＝31010. 答案：310104．(2019·江西七校第一次联考)若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，则cos(2α＋β)＝________．解析：因为0<α<π2，所以π4<α＋π4<3π4，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223， sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝429， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－79. 因为－π2<β<0，所以0<β2＋π4<π4，又sin ⎝⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝63，sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝223， cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝13. 所以cos(2α＋β)＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β2＋π4＝2327.答案：2327三角恒等变换要遵循的“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向．三角形的基本量的计算[典型例题]命题角度一求解三角形中的角(1)(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a (cos C ＋33sin C )，a ＝2，c ＝263，则角C ＝( ) A ．3π4B ．π3C ．π6D ．π4(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＋b sin C ＝a . ①求角B 的大小；②若BC 边上的高等于14a ，求cos A 的值．【解】 (1)选D ．由b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C . 因为sin B ＝sin []π－(A ＋C )＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，即cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0<A <π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝22.因为0<C <2π3，所以C ＝π4.故选D ．(2)①由b cos C ＋b sin C ＝a ，得sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin A . 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin(B ＋C )，即sin B cos C ＋sin B sin C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，因为sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．因为B ∈(0，π)，所以B ＝π4. ②设BC 边上的高为AD ，则AD ＝14a .因为B ＝π4，所以BD ＝AD ＝14a ，所以CD ＝34a ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝104a ，AB ＝24a . 由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－55.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角． (2)已知三边，直接由余弦定理求角．(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角．[技能] 利用正、余弦定理求角时的两个失分点：(1)已知两边及其中一边的对角求其他角时，有一解、两解的情况，容易把握不准而出错；(2)在变形时，直接两边约去公因式，没有移项后提公因式，产生漏解．命题角度二求解三角形中的边与面积如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD ＝1，E 为AC 的中点，AE ＝32，cos B ＝277，∠ADB ＝2π3.(1)求AD 的长； (2)求△ADE 的面积．【解】 (1)在△ABD 中，因为cos B ＝277，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2772＝217，所以sin ∠BAD ＝sin(B ＋∠ADB )＝217×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋277×32＝2114. 由正弦定理知AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，得AD ＝BD ·sin Bsin ∠BAD＝1×2172114＝2.(2)由(1)知AD ＝2，依题意得AC ＝2AE ＝3，在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC ，即9＝4＋DC 2－2×2×DC cos π3，所以DC 2－2DC －5＝0，解得DC ＝1＋6(负值舍去)，所以S △ACD ＝12AD ·DC sin ∠ADC ＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322，从而S △ADE ＝12S △ACD ＝3＋324.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角．利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性．而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解．[技能] 三角形的面积主要是利用S ＝12ab sin C 求解，有时可以直接利用余弦定理求出ab 的整体值再求面积，而不必分别求出a ，b 的值．[对点训练]1．(一题多解)(2019·广州市综合检测一)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知c cos B ＝(3a －b )cos C ．(1)求sin C 的值；(2)若c ＝26，b －a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)法一：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由正弦定理得sin C cos B ＝(3sin A －sin B )cos C ，即sin C cos B ＋sin B cos C ＝3sin A cos C ，所以sin(B ＋C )＝3sin A cos C ，由于A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin (π－A )＝sin A ，则sin A ＝3sin A cos C ．因为0<A <π，所以sin A ≠0，cos C ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.法二：因为c cos B ＝(3a －b )cos C ，所以由余弦定理得c ×a 2＋c 2－b 22ac ＝(3a －b )×a 2＋b 2－c 22ab，化简得a 2＋b 2－c 2＝23ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23ab2ab ＝13.因为0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝223.(2)法一：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24，即(a －b )2＋43ab ＝24.因为b －a ＝2，所以ab ＝15.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.法二：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，及c ＝26，cos C ＝13，得a 2＋b 2－23ab ＝24.又b －a ＝2，所以a ＝3，b ＝5.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×15×223＝5 2.2．(2019·郑州市第一次质量预测)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为S ，且满足sin B ＝b 24S.(1)求sin A sin C ；(2)若4cos A cos C ＝3，b ＝15，求△ABC 的周长．解：(1)由三角形的面积公式可得S ＝12bc sin A ，又sin B ＝b 24S，所以2bc sin A sin B ＝b 2，即2c sin A sin B ＝b ，由正弦定理可得2sin C sin A sin B ＝sin B ，因为sin B ≠0，所以sin A sin C ＝12.(2)因为4cos A cos C ＝3，所以cos A cos C ＝34，所以cos A cos C －sin A sin C ＝34－12＝14，即cos(A ＋C )＝14，所以cos B ＝－14，因为0<B <π，所以sin B ＝154，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝15154＝4，所以sin A sin C ＝ac 16＝12，所以ac ＝8，因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，所以(a ＋c )2＝15＋12＝27，所以a ＋c ＝3 3. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝33＋15.解三角形的综合问题[典型例题]命题角度一以平面几何为载体的解三角形问题(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2.(1)求CD ； (2)求∠ABC .【解】 (1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3(2＋3)2，因为BC ＝23，BD ＝3＋6，所以sin ∠CBD ＝12.因为∠ABC 为锐角，所以∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9，所以CD ＝3. (2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33.因为BC <BD ，所以∠BDC 为锐角，所以cos ∠BDC ＝63. 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD.①在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即ACsin ∠ABC ＝23sin ∠BAC.②因为AC 平分∠BAD ，所以∠CAD ＝∠BAC . 由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝22.因为∠ABC 为锐角，所以∠ABC ＝45°.解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于π3)确定角或边的范围．命题角度二三角形中的最值或范围问题(1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆的半径为1，且tan Atan B＝2c －bb，则△ABC 面积的最大值为________．(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________．【解析】 (1)因为tan A tan B ＝2c －b b ，所以b sin A cos A ＝(2c －b )sin Bcos B，由正弦定理得sin B sinA cosB ＝(2sinC －sin B )sin B cos A ，又sin B ≠0，所以sin A cos B ＝(2sin C －sin B )cos A ，所以sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos A ，即sin(A ＋B )＝2sin C cos A ，即sin C ＝2sin C cos A ，又sin C ≠0，所以cos A ＝12，sin A ＝32.设外接圆的半径为r ，则r ＝1，由余弦定理得bc ＝b 2＋c 2－a 22cos A＝b 2＋c 2－a 2＝b 2＋c 2－(2r sin A )2＝b 2＋c 2－3≥2bc －3(当且仅当b＝c 时，等号成立)，所以bc ≤3，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤334.所以△ABC 面积的最大值为334.(2)由sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C 及正弦定理，可知a cos B ＋b cos A ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)(a cos B ＋b cos A )＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cos C ＝12，则C ＝π3，B ＝2π3－A ，由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得asin A＝bsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝csinπ3，又a ＋b ＝2，所以c sin A32＋c sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－A 32＝2，即c ＝3sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，则c ∈[1，2)．【答案】 (1)334(2)[1，2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围．[对点训练]1．(2019·重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD 中，E 为AB 边上一点，连接CE ，DE .CB ＝2，BE ＝1，∠B ＝∠CED ＝2π3.(1)求sin ∠AED 的值； (2)若AB ∥CD ，求CD 的长．解：(1)在△BEC 中，由余弦定理得，CE ＝CB 2＋BE 2－2CB ·BE cos ∠B ＝7，又BEsin ∠BCE ＝CE sin ∠B ，所以sin ∠BCE ＝2114，因为∠B ＝∠CED ，所以sin ∠AED ＝sin ∠BCE ＝2114. (2)因为AB ∥CD ，所以∠CDE ＝∠AED ，所以sin ∠CDE ＝sin ∠AED ＝2114，在△CDE 中，CD sin ∠CED ＝CE sin ∠CDE ，所以CD ＝CE sin ∠CEDsin ∠CDE＝7×322114＝7.2．(2019·福建五校第二次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且3a cosC ＝(2b －3c )cos A .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由正弦定理可得，3sin A cos C ＝2sin B cos A －3sin C cos A ，从而3sin(A ＋C )＝2sin B cos A ，即3sin B ＝2sin B cos A . 又B 为三角形的内角，所以sin B ≠0，于是cos A ＝32，又A 为三角形的内角，所以A ＝π6.(2)由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ×32≥2bc －3bc ，所以bc ≤4(2＋3)，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋3，故△ABC 面积的最大值为2＋ 3.[A 组夯基保分专练]一、选择题1．(2019·湖南省五市十校联考)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B ．f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin(2x ＋π6)＋2，则f (x )的最小正周期为2π2＝π，最大值为2＋2＝4.故选B ．2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ．由题意及正弦定理得，b 2－a 2＝－4c 2，所以由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－3c 22bc ＝－14，得b c＝6.故选A ． 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a ，b sin B －a sin A ＝12a sinC ，则sin B 为( )A ．74 B ．34 C ．73D ．13解析：选A ．由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，且c ＝2a ，得b ＝2a ，因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a 2＝34，所以sin B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝74.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且a 2＝c 2＋ac －bc ，则cb sin B＝( )A ．32 B ．233C ．33D ． 3解析：选B ．由a ，b ，c 成等比数列得b 2＝ac ，则有a 2＝c 2＋b 2－bc ，由余弦定理得cos A＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，故A ＝π3，对于b 2＝ac ，由正弦定理得，sin 2B ＝sin A sinC ＝32·sinC ，由正弦定理得，c b sin B ＝sin C sin 2B ＝sin C 32sin C＝233.故选B ． 5．(一题多解)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝5，tan ∠BAC ＝－3，则BC 边上的高等于( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选A ．法一：因为tan ∠BAC ＝－3，所以sin ∠BAC ＝310，cos ∠BAC ＝－110.由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝5＋2－2×5×2×⎝⎛⎭⎪⎫－110＝9，所以BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin ∠BAC ＝12×2×5×310＝32，所以BC 边上的高h ＝2S △ABCBC ＝2×323＝1，故选A ．法二：因为tan ∠BAC ＝－3，所以cos ∠BAC ＝－110<0，则∠BAC 为钝角，因此BC 边上的高小于2，故选A ．6.如图，在△ABC 中，∠C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A ．223B ．24 C ．64D ．63解析：选C ．依题意得，BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中，BCsin ∠BDC＝BDsin C ，4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64. 二、填空题7．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________．解析：依题意得cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.答案：－788．已知a ，b ，c 是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，a ＝4，b ∈(4，6)，sin 2A ＝sin C ，则c 的取值范围为________．解析：由4sin A ＝c sin C ，得4sin A ＝csin 2A ，所以c ＝8cos A ，因为16＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以16－b 2＝64cos 2A －16b cos 2A ，又b ≠4，所以cos 2A ＝16－b 264－16b ＝(4－b )(4＋b )16(4－b )＝4＋b16，所以c 2＝64cos 2A ＝64×4＋b 16＝16＋4b .因为b ∈(4，6)，所以32<c 2<40，所以42<c <210.答案：(42，210)9．(一题多解)(2019·合肥市第一次质检测)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等比数列，cos(A －C )－cos B ＝12，延长BC 至点D ，若BD ＝2，则△ACD 面积的最大值为________．解析：法一：由题意知b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ①，又由已知，得cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，可得cos A cos C ＝14 ②，②－①，得14－sin 2B ＝－cos B ，所以cos 2B＋cos B －34＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝－32(舍去)，所以B ＝60°，再由题得cos(A －C )＝1，则A －C ＝0，即A ＝C ，则a ＝c ，所以△ABC 为正三角形，则∠ACD ＝120°，AC ＝b ，CD ＝2－b ，故S △ACD ＝12×b ×(2－b )×32≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋2－b 22＝34，当且仅当b ＝2－b ，即b ＝1时取等号．故填34. 法二：由题意知b 2＝ac ，且cos(A －C )＋cos(A ＋C )＝12，即cos A cos C ＋sin A sin C ＋cos A cos C －sin A sin C ＝12，即cos A cos C ＝14，由余弦定理得b 2＋c 2－a 22bc ·b 2＋a 2－c 22ab ＝14，整理得b 4－(a 2－c 2)2＝b 4，所以a 2－c 2＝0，即a ＝c ，又b 2＝ac ，所以a ＝b ＝c ，即△ABC 为正三角形，所以S △ACD ＝S △ABD －S △ABC ＝12×2×c ×32－34c 2＝－34(c －1)2＋34≤34，当c ＝1时取等号，故填34. 答案：34三、解答题10．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ．(1)求角B ；(2)若b ＝27，tan C ＝32，求△ABC 的面积．解：(1)因为a 2＋c 2－b 2＝ab cos A ＋a 2cos B ，所以由余弦定理，得2ac cos B ＝ab cos A ＋a 2cos B ，又a ≠0，所以2c cos B ＝b cos A ＋a cos B ，由正弦定理，得 2sin C cos B ＝sin B cos A ＋sin A cos B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，又C ∈(0，π)，sin C >0，所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. (2)由tan C ＝32，C ∈(0，π)，得sin C ＝217，cos C ＝277，所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝32×277＋12×217＝32114. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a ＝b sin Asin B ＝27×3211432＝6，所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝12×6×27×217＝6 3.11．(2019·武汉模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝2B ，cos B ＝255. (1)求sin C 的值；(2)若角A 的平分线AD 的长为5，求b 的值．解：(1)由cos B ＝255及0<B <π，得sin B ＝55，又A ＝2B ，所以sin A ＝sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×55×255＝45， cos A ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝35.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45×255＋35×55＝11525.(2)由题意得，∠ADC ＝B ＋12∠BAC ＝∠BAC (如图)，所以sin ∠ADC ＝45.在△ADC 中，AD sin C ＝ACsin ∠ADC ，即511525＝AC 45，AC ＝2011，故b ＝2011.12．(2019·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a ，3c sin B ＝4a sin C ．(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sinC ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.[B 组大题增分专练]1．(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sinA －sinB )＝(c －b )(sinC ＋sin B )．(1)求角C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7. 2．(一题多解)(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC ＝－277.(1)求∠B 的大小；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．解：(1)由cos ∠BAM ＝5714，得sin ∠BAM ＝2114，由cos ∠AMC ＝－277，得sin ∠AMC ＝217. 又∠AMC ＝∠BAM ＋∠B ，所以cos ∠B ＝cos (∠AMC －∠BAM )＝cos∠AMC cos ∠BAM ＋sin ∠AMC sin ∠BAM＝－277×5714＋217×2114＝－12，又∠B ∈(0，π)，所以∠B ＝2π3. (2)法一：由(1)知∠B ＝2π3，在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM，得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以MC ＝ 3.故S △AMC ＝12AM ·MC ·sin ∠AMC ＝12×21×3×217＝332. 法二：由(1)知∠B ＝2π3，在△ABM 中，由正弦定理AM sin ∠B ＝BM sin ∠BAM，得BM ＝AM sin ∠BAM sin ∠B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，所以S △AMC ＝S △ABM ＝12AM ·BM ·sin ∠BMA ＝12×21×3×217＝332. 3．(2019·昆明市质量检测)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2(c －a cos B )＝3b .(1)求角A ；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的取值范围．解：(1)由2(c －a cos B )＝3b 及正弦定理得2(sin C －sin A cos B )＝3sin B ，所以2sin(A ＋B )－2sin A cos B ＝3sin B ，即2cos A sin B ＝3sin B ，因为sin B ≠0，所以cos A ＝32，又0<A <π，所以A ＝π6. (2)因为a ＝2，由正弦定理得b ＝4sin B ，c ＝4sin C ，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝14bc ，所以S △ABC ＝4sin B sin C ，因为C ＝π－(A ＋B )＝5π6－B ，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ，所以S △ABC ＝4sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝4sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos B ＋32sin B ，即S △ABC ＝2sin B cos B ＋23sin 2B＝sin 2B －3cos 2B ＋ 3 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＋ 3. 因为0<B <5π6，所以－π3<2B －π3<4π3，所以－32<sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π3≤1，所以0<S △ABC ≤2＋ 3.即△ABC 面积的取值范围为(0，2＋3]．4．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，AB 边上的高h ＝23c . (1)若△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，求角C 的正弦值； (2)若C ＝π4，M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ，求M 的值．解：(1)作CD ⊥AB ，垂足为D ，因为△ABC 为锐角三角形，且cos A ＝35，所以sin A ＝45，tan A ＝43，所以AD ＝c 2，BD ＝AB －AD ＝c 2，所以BC ＝CD 2＋BD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝5c 6，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin A BC ＝c ×455c 6＝2425. (2)因为S △ABC ＝12c ×23c ＝12ab sin ∠ACB ＝24ab ，所以c 2＝324ab ，又a 2＋b 2－c 2＝2ab cos ∠ACB ＝2ab ，所以a 2＋b 2＝2ab ＋c 2，所以a 2＋b 2＋13c 2＝2ab ＋43c 2＝2ab ＋43×324ab ＝22ab ，所以M ＝a 2＋b 2＋13c 2ab ＝22ab ab ＝2 2.。

高考数学二轮复习专题二第2讲三角变换与解三角形(含解析)-人教版高三全册数学试题

第2讲三角变换与解三角形【高考考情解读】 1.从近几年的考情来看，对于三角恒等变换，高考命题以公式的基本运用、计算为主，其中与角所在X 围、三角函数的性质、三角形等知识结合为命题的热点；解三角形与其他知识以及生活中的实际问题联系紧密，有利于考查考生的各种能力，因而成了高考命题的一大热点.2.分析近年考情可知，命题模式一般为1～2题，其中，选择(填空)题多为低档题，解答题则一般为与其他知识(尤其是三角函数、向量)交汇的综合题或实际应用题，难度中等．1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．三角恒等式的证明方法(1)从等式的一边推导变形到另一边，一般是化繁为简． (2)等式的两边同时变形为同一个式子． (3)将式子变形后再证明． 4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R.a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C .6．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .7．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解.考点一三角变换例1 (2013·某某)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6的值； (2)若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 解 (1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2cos π4＝1.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ，又cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－725，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725＋2425＝1725.当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”、“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果．化简常用技巧：①常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；②项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； ④弦、切互化：一般是切化弦．(1)(2013·某某)设sin 2α＝－si n α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________．(2)(2012·某某)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．答案 (1) 3 (2)17250解析 (1)∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0 即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.(2)∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 考点二正、余弦定理例2 (2013·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．解 (1)由已知及正弦定理得 sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ．② 由①②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B . 又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.三角形问题的求解一般是从两个角度，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．几种常见变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，其中R 为△ABC 外接圆的半径；(3)sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C .设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且(2b －3c )cos A＝3a cos C . (1)求角A 的大小；(2)若角B ＝π6，BC 边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．解 (1)∵(2b －3c )cos A ＝3a cos C ， ∴(2sin B －3sin C )cos A ＝3sin A cos C . 即2sin B cos A ＝3sin A cos C ＋3sin C cos A . ∴2sin B cos A ＝3sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝32， ∵0<A <π，∴A ＝π6.(2)由(1)知A ＝B ＝π6，所以AC ＝BC ，C ＝2π3，设AC ＝x ，则MC ＝12x .又AM ＝7，在△AMC 中，由余弦定理得AC 2＋MC 2－2AC ·MC cos C ＝AM 2，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－2x ·x2·cos 120°＝(7)2，解得x ＝2，故S △ABC ＝12x 2sin 2π3＝ 3.考点三正、余弦定理的实际应用例3 (2013·某某)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么X 围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝si n[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝ACsin B，得AB ＝ACsin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m)．所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537 min 时，甲、乙两游客距离最短．(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m)．乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 25043，62514(单位：m/min)X 围内．应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．在南沙某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？解由题意，得轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟．又船始终匀速前进，所以BC ＝4EB . 设EB ＝x ，则BC ＝4x .由已知，得∠BAE ＝30°，∠EAC ＝150°. 在△AEC 中，由正弦定理，得EC sin∠EAC ＝AEsin C，所以sin C ＝AE ·sin∠EAC EC ＝5sin 150°5x ＝12x.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin 120°＝ABsin C，∴AB ＝BC ·sin Csin 120°＝4x ·12x 32＝433.在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos 30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. 所以船速v ＝BE t＝31313＝93(km/h)．所以该船的速度为93 km/h.1．求解恒等变换的基本思路一角二名三结构，即用化归转化思想“去异求同”的过程，具体分析如下：(1)首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变换形式，角的变换是三角函数变换的核心．(2)其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”． (3)再次观察代数式的结构特点． 2．解三角形的两个关键点(1)正、余弦定理是实现三角形中边角互化的依据，注意定理的灵活变形，如a ＝2R sinA ，sin A ＝a2R(其中2R 为三角形外接圆的直径)，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等，灵活根据条件求解三角形中的边与角．(2)三角形的有关性质在解三角形问题中起着重要的作用，如利用“三角形的内角和等于π”和诱导公式可得到sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B2＝cos C2等，利用“大边对大角”可以解决解三角形中的增解问题等．1．在△ABC 中，已知tanA ＋B2＝sin C ，给出以下四个结论：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C .其中一定正确的是( )A ．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 答案 D解析依题意，tan A ＋B2＝sinA ＋B 2cosA ＋B2＝2sin A ＋B2cos A ＋B22cos2A ＋B2＝sin A ＋B 1＋cos A ＋B＝sin C1＋cos A ＋B＝sin C .∵sin C ≠0，∴1＋cos(A ＋B )＝1，cos(A ＋B )＝0. ∵0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝π2，即△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．对于①，由tan Atan B ＝1，得tan A ＝tan B ，即A ＝B ，不一定成立，故①不正确；对于②，∵A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π4)，∴1<sin A ＋sin B ≤2，故②正确；对于③，∵A ＋B ＝π2，∴sin 2A ＋cos 2B ＝sin 2A ＋sin 2A ＝2sin 2A ，其值不确定，故③不正确；对于④，∵A ＋B ＝π2，∴cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故④正确． 2．已知函数f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4.(1)若f (x )＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足a cos C ＋12c ＝b ，求f (B )的取值X 围．解 (1)f (x )＝3sin x 4cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12. 由f (x )＝1，可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝cos[π－(π3＋x )]＝－cos(π3＋x )＝2sin 2(x 2＋π6)－1＝－12. (2)由a cos C ＋12c ＝b ，得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋12c ＝b ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，B ＋C ＝2π3，所以0<B <2π3，所以π6<B 2＋π6<π2，所以f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B 2＋π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255 D.55或525答案 A解析根据α、β都是锐角，且cos α＝55，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝255⇒π4<α<π2，又∵sin(α＋β)＝35，∴cos(α＋β)＝－45.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝2525，故选A. 2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235C ．－45D.45答案 C解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α＋32sin α＝453，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝453，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝45，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝－45.3．(2013·某某)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cosA ＝12b ，且a ＞b ，则∠B 等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 A解析由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，依正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a ＞b ，且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.4．锐角三角形ABC 中，若C ＝2B ，则AB AC的X 围是( )A ．(0,2)B ．(2，2)C ．(2，3)D ．(3，2) 答案 C解析设△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，则有AB AC ＝c b ＝sin C sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B .又∵C ＝2B <π2，∴B <π4.又A ＝π－(B ＋C )＝π－3B <π2，∴B >π6，即π6<B <π4，∴22<cos B <32，2<2cos B < 3. 5．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2，BC →·BA →＝12，则tan B 等于( ) A.32B.3－1 C ．2 D ．2－ 3 答案 D解析由题意得，BC →·BA →＝|BC →|·|BA →|cos B ＝ac cos B ＝12，即cos B ＝12ac，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12ac⇒a 2＋c 2－b 2＝1，所以tan B ＝2－3a 2－b 2＋c 2＝2－3，故选D.6．(2013·某某)4cos 50°－tan 40°等于( )A.2B.2＋32C.3D ．22－1 答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin 50°＋30°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.二、填空题7．(2013·某某)如图，在△ABC 中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC ，sin∠BAC ＝223，AB ＝32，AD ＝3，则BD 的长为______．答案3解析 sin∠BAC ＝sin(π2＋∠BAD )＝cos∠BAD ，∴cos∠BAD ＝223.BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos∠BAD＝(32)2＋32－2×32×3×223，即BD 2＝3，BD ＝ 3.8．(2013·某某)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A＝5sin B ，则角C ＝________. 答案2π3解析由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ，则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.答案－255解析由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，可得sin α＝－1010.故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α＝－255.10．在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.答案11解析依题意，利用三角形面积相等有： 12×AB ×h ＝12×AC ×BC ·sin 60°， ∴12×3×43＝12×AC ×BC ·sin 60°， ∴AC ×BC ＝83.利用余弦定理可知cos 60°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC，∴cos 60°＝AC 2＋BC 2－32×83，解得：AC 2＋BC 2＝173.又因(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ×BC ＝173＋163＝11， ∴AC ＋BC ＝11. 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝12，2a ＝b ＋c ，bc＝18，求a 的值．解 (1)f (x )＝sin(2x －π6)＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，即f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)由f (A )＝12，得sin(2A ＋π6)＝12.∵π6<2A ＋π6<2π＋π6，∴2A ＋π6＝5π6. ∴A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc . 又2a ＝b ＋c ，bc ＝18，∴a 2＝4a 2－3×18，即a 2＝18，a ＝3 2.12．(2013·某某)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos2A －B2cos B －sin(A－B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35.(1)求cos A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由2cos2A －B2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－35，得 [cos(A －B )＋1]cos B －sin(A －B )sin B －cos B ＝－35，即cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35.则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.(2)由cos A ＝－35，0<A <π，得sin A ＝45，由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以，sin B ＝b sin A a ＝22. 由题意知a >b ，则A >B ，故B ＝π4，根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(舍去)．故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.13．(2013·某某)如图，在等腰直角△OPQ 中，∠POQ ＝90°，OP ＝22，点M 在线段PQ 上，(1)若OM ＝5，求PM 的长；(2)若点N 在线段MQ 上，且∠MON ＝30°，问：当∠POM 取何值时， △OMN 的面积最小？并求出面积的最小值．解 (1)在△OMP 中，∠OPM ＝45°，OM ＝5，OP ＝22，由余弦定理得，OM 2＝OP 2＋MP 2－2×OP ×MP ×cos 45°，得MP 2－4MP ＋3＝0，解得MP ＝1或MP ＝3.(2)设∠POM ＝α，0°≤α≤60°，在△OMP 中，由正弦定理，得OM sin∠OPM ＝OPsin∠OMP，所以OM ＝OP sin 45°sin 45°＋α，同理ON ＝OP sin 45°sin 75°＋α.故S △OMN ＝12×OM ×ON ×sin∠MON＝14×OP 2sin 245°sin45°＋αsin 75°＋α＝1sin45°＋αsin 45°＋α＋30°＝1sin45°＋α[32sin45°＋α＋12cos45°＋α]＝132sin 245°＋α＋12sin 45°＋αcos 45°＋α＝134[1－cos 90°＋2α]＋14sin 90°＋2α＝134＋34sin 2α＋14cos 2α ＝134＋12sin 2α＋30°.因为0°≤α≤60°，30°≤2α＋30°≤150°，所以当α＝30°时，sin(2α＋30°)取最大值1，此时△OMN 的面积取到最小值，即∠POM ＝30°时，△OMN 的面积的最小值为8－4 3.。

高三数学二轮复习专题三第二讲三角变换与解三角形教案理

第二讲三角变换与解三角形研热点（聚焦突破）类型一三角变换及求值1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．2．项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α；α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2；α可视为α2的倍角；π4±α可视为(π2±2α)的半角等．3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．4．弦、切互化：一般是切化弦．5．公式的变形应用：如sin α＝cos αtan α，sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2，tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)，1±sin α＝(sin α2±cos α2)2等． 6．角的合成及三角函数名的统一a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)，(tan φ＝ba)．[例1] (2012年高考广东卷)已知函数f (x )＝2cos (ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R)的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos (α＋β)的值．[解析] (1)由T ＝2πω＝10π得ω＝15.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f （5α＋53π）＝－65，f （5β－56π）＝1617，得⎩⎪⎨⎪⎧2cos [15（5α＋53π）＋π6]＝－65，2cos [15（5β－56π）＋π6]＝1617，整理得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35，cos β＝817.∵α，β∈[0，π2]，∴cos α＝ 1－sin 2α＝45，sin β＝ 1－cos 2β＝1517.∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.跟踪训练(2012年高考江苏卷)设α为锐角，若cos (α＋π6)＝45，则sin (2α＋π12)的值为________．解析：化2α＋π12为2(α＋π6)－π4是关键．∵α为锐角且cos (α＋π6)＝45，∴sin (α＋π6)＝35.∴sin (2α＋π12)＝sin [2(α＋π6)－π4]＝sin 2(α＋π6)cos π4－cos 2(α＋π6)sin π4＝2sin (α＋π6)cos (α＋π6)－22[2cos 2(α＋π6)－1]＝2×35×45－22[2×(45)2－1]＝12225－7250＝17250. 答案：17250类型二正、余弦定理的应用 1．正弦定理的变式(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 2．余弦定理的变式a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B (注意整体变形)．3．面积公式S Δ＝12ab sin C ，S Δ＝abc4R(R 为外接圆半径)；S Δ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)．[例2] (2012年高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．[解析] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝3cos B .所以tan B ＝3，得B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得 9＝a 2＋c 2－ac ，所以a ＝3，c ＝2 3.跟踪训练1．(2012年西安模拟)已知△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 的大小为( ) A ．150° B ．90° C ．60° D ．30°解析：根据正弦定理得1sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝12.∵a <b ，∴A <B ，∴A ＝30°，故选D. 答案：D2．(2012年济南模拟)在△ABC 中，AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，则△ABC 面积的最大值为( )A.21B.3214C.212D ．321解析：设角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，∵AC u u u r ·AB u u u r ＝|AC u u u r －AB u u u r|＝3，∴b cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A2，∴cos A ≥25，∴0<sin A ≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B类型三解三角形的实际应用1．注意理解有关术语：视角、仰角、俯角、方位角、坡度等． 2．常见的类型：距离、高度、航海问题．[例3] (2012年石家庄模拟)已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？(参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314.)[解析] 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．跟踪训练如图，在某平原地区一条河的彼岸有一建筑物，现在需要测量其高度AB .由于雨季河宽水急不能涉水，只能在此岸测量．现有的测量器材只有测角仪和皮尺．现在选定了一条水平基线HG ，使得H 、G 、B 三点在同一条直线上．请你设计一种测量方法测出建筑物的高度，并说明理由．(测角仪的高为h )解析：如图，测出∠ACE 的度数，测出∠ADE 的度数，测量出HG 的长度，即可计算出建筑物的高度AB .理由如下：设∠ACE ＝α，∠ADE ＝β，HG ＝s .在△ADC 中，由正弦定理得 AC sin β＝DCsin （α－β），所以AC ＝DC sin βsin （α－β）.在直角三角形AEC 中，AE ＝AC sin α＝DC sin β sin αsin （α－β）.所以，建筑物的高AB ＝EB ＋AE ＝h ＋s ·sin β sin αsin （α－β）.析典题（预测高考）高考真题【真题】 (2012年高考江苏卷)在△ABC 中，已知AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur .(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值．【解析】 (1)证明：因为AB u u u r ·AC u u u r ＝3BA u u u r ·BC uuur ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ．由正弦定理知 AC sin B ＝BCsin A，从而sin B cos A ＝3sin A cos B .又因为0<A ＋B <π，所以cos A >0，cos B >0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0<C <π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A ＝－2，解得tan A ＝1或tan A ＝－13.因为cos A >0，所以tan A ＝1，A ＝π4.【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形等知识，本题(1)解决的关键是利用正弦定理，化AC cos A ＝3BC cos B 为角的关系．(2)中注意判断A 为锐角，否则会增解．考情展望高考对三角交换与解三角形的考查，各种题型都有，难度中档偏下，主要考查一是将三角函数图象性质与三角变换相结合．二是将三角变换与解三角形相结合，三是解三角形的实际应用问题，有时涉及平面向量．名师押题【押题】已知向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B2)共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围．【解析】 (1)因为向量m ＝(cos B 2，12)与向量n ＝(12，cos B 2)共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B2＝±12，又0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3.(2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ，所以2sin 2A ＋cos (C －A ) ＝2sin 2A ＋cos (π3－2A )＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A＝1＋sin (2A －π6)，因为0<A <π3，所以－π6<2A －π6<π2，所以sin (2A －π6)∈(－12，1)，所以1＋sin (2A －π6)∈(12，2)，故2sin 2A ＋cos (C －A )的取值范围是(12，2)．。

2020届高三数学二轮复习专题二第2讲三角恒等变换与解三角形教案

第2讲三角恒等变换与解三角形自主学习导引真题感悟1．(2020·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝ A ．－53B ．－59C.59D.53 解析利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解． ∵sin α＋cos α＝33， ∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋34π(k ∈Z )，∴4k π＋π＜2α＜4k π＋32π(k ∈Z )，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 答案 A2．(2020·浙江)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A ＝23，sin B＝5cos C .(1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解析 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C ，所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56，由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.考题分析新课标高考对本部分的考查，一般多以小题考查三角变换在求值、化简等方面的应用，而解答题常常有以下三种：三角变换与内部相关知识的综合性问题、三角变换与向量的交汇性问题、三角变换在实际问题中的应用问题．网络构建高频考点突破考点一：三角变换及求值【例1】设π3＜α＜3π4，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，求sin α－cos 2α＋1tan α的值． [审题导引] 解答本题的关键是求出sin α与cos α，观察所给的条件式会发现求sin α与cos α的方法有两个，一是利用角的变换，二是解关于sin α与cos α的方程组．[规范解答] 解法一由π3＜α＜3π4，得π12＜α－π4＜π2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝45. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4sin π4＝210.∴sin α＝7210.故原式＝sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α()1＋2sin α＝14＋5250.解法二由sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝35，得sin α－cos α＝325，①平方得1－2sin αcos α＝1825，即2sin αcos α＝725＞0.由于π3＜α＜3π4，故π3＜α＜π2.(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝3225，故sin α＋cos α＝425，②联立①②，解得sin α＝7210，cos α＝210.∴原式sin α＋2sin 2αsin αcos α＝cos α(1＋2sin α)＝210×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14210＝14＋5250. 【规律总结】sin α、cos α的求值技巧当已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有sin α＋cos α或sin α－cos α，这两个公式中的其中一个平方后即可求出2sin αcos α，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出sin α，cos α的值．或者把sin α＋cos α、sin α－cos α与sin 2α＋cos 2α＝1联立，通过解方程组的方法也可以求出sin α、cos α的值．[易错提示] 三角函数求值中要特别注意角的范围，如根据sin 2α＝1－cos 2α2求sin α的值时，sin α＝±1－cos 2α2中的符号是根据角的范围确定的，即当α的范围使得sin α≥0时，取正号，反之取负号．注意在运用同角三角函数关系时也有类似问题．【变式训练】1．(2020·烟台一模)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝12，则tan α＝A ．1 B.33 C.36 D. 3 解析 cos 2α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2α＋cos 2α＝2cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2－tan 2α1＋tan 2α＝12，即tan 2α＝1. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＞0，∴tan α＝1.2．(2020·南京模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2＜α＜0，则cos α＝________.解析 sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝12sin α＋32cos α＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－435， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 又∵－π2＜α＜0，∴－π3＜α＋π6＜π6，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35， ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6 ＝33－410. 答案33－410考点二：正、余弦定理的应用【例2】 (2020·湖南师大附中模拟)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若cos A ＝22，a ＝2，求△ABC 的面积． [审题导引] (1)把条件式中的边利用正弦定理转化为角后进行三角恒等变换可求B ； (2)利用(1)的结果求b 及c ，利用公式求面积．[规范解答] (1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .∴2sin A cos B ＝sin C cos B ＋sin B cos C ＝sin(B ＋C )＝sin A .∵0＜A ＜π，∴sin A ≠0，∴cos B ＝12.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(2)由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，由cos A ＝22可得A ＝π4，由B ＝π3，可得sin C ＝6＋24，∴S ＝12ab sin C ＝12×2×6×6＋24＝3＋32【规律总结】解三角形的一般方法是(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解题时可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C . 【变式训练】3．(2020·北京东城11校联考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若sinA ＝3sin C ，B ＝30°，b ＝2，则边c ＝________.解析由正弦定理得a ＝3c ，由余弦定理可知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即4＝3c 2＋c 2－23c 2×32，解得c ＝2. 答案 2考点三：解三角形与实际应用问题【例3】(2020·宿州模拟)已知甲船正在大海上航行．当它位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，乙船当即也决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．(供参考使用：取tan 41°＝32) (1)试问乙船航行速度的大小；(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示，譬如北偏东……度)．[审题导引] 据题意作出示意图，把实际问题转化为解三角形，利用正、余弦定理求解． [规范解答] 设乙船运动到B 处的距离为t 海里．则t 2＝AC 2＋AB 2－2AB ·AC cos 120° ＝102＋202＋2×10×20×12＝700，∴t ＝107，又设∠ACB ＝θ，则tsin 120°＝20sin θ，10732＝20sin θ，则sin θ＝217＝0.65，∴θ＝41°， ∴乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B 处求援．速度为57海里/小时．【规律总结】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案【变式训练】4．如图所示，小丽家住在成都市锦江河畔的电梯公寓AD 内，她家河对岸新建了一座大厦BC ，为了测得大厦的高度，小丽在她家的楼底A 处测得大厦顶部B 的仰角为60°，爬到楼顶D 处测得大厦顶部B 的仰角为30°，已知小丽所住的电梯公寓高82米，请你帮助小丽算出大厦高度BC 及大厦与小丽所住电梯公寓间的距离AC .解析设AC ＝x 米，则BC ＝3x 米，过点D 作DE ⊥BC ，易得BE ＝33x ，∴3x －33x ＝82. ∴x ＝413米．∴BC ＝3×413＝123米．名师押题高考【押题1】已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4cos ()π＋2α＝2，则sin α＋cos α＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos π＋2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4－cos 2α＝22sin α－cos αsin 2α－cos 2α ＝22·1sin α＋cos α＝2，则sin α＋cos α＝12.答案 12[押题依据] 诱导公式、倍角公式等都是高考的热点，应用这些公式进行三角恒等变换是高考的必考内容．本题考点设置恰当、难度适中，体现了对基础知识和基础能力的双重考查，故押此题．【押题2】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列．(1)若b ＝13，a ＝3，求c 的值； (2)设t ＝sin A sin C ，求t 的最大值．解析 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3. 因为b ＝13，a ＝3，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以c 2－3c －4＝0.所以c ＝4或c ＝－1(舍去)．(2)因为A ＋C ＝23π，所以t ＝sin A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝sin A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos A ＋12sin A＝34sin 2A ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2a 2＝14＋12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6. 因为0＜A ＜2π3，所以－π6＜2A －π6＜7π6.所以当2A －π6＝π2，即A ＝π3时，t 有最大值34.[押题依据] 本题将三角函数、余弦定理、数列巧妙地结合在一起，综合考查了三角恒等变换及余弦定理的应用，体现了高考在知识的交汇处命题的理念，故押此题．。

高三二轮复习(理数) 第二讲三角恒等变换与解三角形(教案)(Word版,含答案)

第二讲三角恒等变换与解三角形[考情分析]三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.1．(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2 α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：利用同角三角函数的基本关系式求解．因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2 α＋4sin αcos αsin 2 α＋cos 2 α＝1＋4tan αtan 2 α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425.故选A.答案：A2．(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝________. 解析：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2. 由题意知sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝45. tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－433．(2016·高考全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析：先求出sin A ，sin C 的值，进而求出sin B 的值，再利用正弦定理求b 的值．因为A ，C 为△ABC 的内角，且cos A ＝45，cos C ＝513，所以sin A ＝35，sin C ＝1213，所以sin B ＝sin(π－A －C )＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝35×513＋45×1213＝6365.又a ＝1，所以由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝sin B sin A ＝6365×53＝2113.答案：21134．(2015·高考全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．解析：如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF ＜AB ＜BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2， ∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，BE sin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2＜AB ＜6＋ 2. 答案：(6－2，6＋2)5．(2017·高考全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A .(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．解析：(1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B＝sin A 3sin A.故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a 23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33.三角恒等变换[方法结论]三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45° 等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等； (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； (4)弦、切互化：一般是切化弦．[题组突破]1．若tan α＝－22，且α是第四象限角，则cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝( ) A ．－23B.23C ．－13D.13通解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故sin αcos α＝－22，由sin 2 α＋cos 2 α＝1可得cos 2 α＝23，cos α＝63，sin α＝－33.cos 2⎝⎛⎫α－π2＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2 α＋sin αcos α＋22cos 2 α＝13＋⎝⎛⎭⎫－33×63＋23＝13，故选D. 优解：因为α是第四象限角，tan α＝－22，故cos 2(α－π2)＋sin(3π－α)cos(2π＋α)＋22cos 2(α＋π)＝sin 2 α＋sin αcos α＋22cos 2 α＝sin 2 α＋sin αcos α＋22cos 2 αsin 2 α＋cos 2 α＝tan 2 α＋tan α＋22tan 2 α＋1＝1232＝13，故选D.答案：D2．(2017·蚌埠模拟)已知sin 2α－2＝2cos 2α，则sin 2α＋sin 2α＝________.解析：由sin 2α－2＝2cos 2α得sin 2α＝2＋2cos 2α，即2sin αcos α＝4 cos 2α，即cos α＝0或tan α＝2.当cos α＝0时，sin 2α＋sin 2α＝1；当tan α＝2时，sin 2α＋sin 2α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝85.综上，sin 2α＋sin 2α＝1或85.答案：1或853．(2017·合肥检测)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解析：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝ 12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32. 所以sin 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2 α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×⎝⎛⎭⎫－3212＝2 3.[误区警示]三角函数求值问题易出错的是忽视角的范围，导致结果增解．解三角形[方法结论]正、余弦定理、三角形面积公式(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .[典例](1)(2017·广州模拟)如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD ⊥BC ，AC ＝53，CD ＝5，BD ＝2AD . ①求AD 的长；②求△ABC 的面积．解析：①在△ABC 中，因为BD ＝2AD ，设AD ＝x (x ＞0)，则BD ＝2x .在△BCD 中，因为CD ⊥BC ，CD ＝5，BD ＝2x ，所以cos ∠CDB ＝CD BD ＝52x.在△ACD 中，因为AD ＝x ，CD ＝5，AC ＝53，则cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22×AD ×CD＝x 2＋52－(53)22×x ×5.因为∠CDB ＋∠ADC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠CDB ，即x 2＋52－(53)22×x ×5＝－52x .解得x ＝5. 所以AD 的长为5.②由①求得AB ＝3x ＝15，BC ＝4x 2－25＝5 3. 所以cos ∠CBD ＝BC BD ＝32，从而sin ∠CBD ＝12.所以S △ABC ＝12×AB ×BC ×sin ∠CBA ＝12×15×53×12＝7534.(2)某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下方法：在岸边设置两个观察点A ，B ，且AB 长为80米，当航模在C 处时，测得∠ABC ＝105°和∠BAC ＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D 处，测得∠BAD ＝90°和∠ABD ＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案保留根号)解析：在△ABD 中，∵∠BAD ＝90°，∠ABD ＝45°，∴∠ADB ＝45°，∴AD ＝AB ＝80，∴BD ＝80 2. 在△ABC 中，BC sin 30°＝AB sin 45°，∴BC ＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.在△DBC 中，DC 2＝DB 2＋BC 2－2DB ·BC cos 60° ＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴DC ＝406，航模的速度v ＝40620＝26米/秒． [类题通法]等价转化思想在解三角形中的应用利用正、余弦定理解三角形关键利用定理进行边角互化．即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化，还是“角”往“边”化．若想“边”往“角”化，常利用“a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ”；若想“角”往“边”化，常利用sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab等．[演练冲关]1．(2017·合肥模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B＝2，则△ABC 的外接圆面积为( ) A ．4π B ．8π C ．9πD ．36π解析：c ＝b cos A ＋a cos B ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR 2＝9π，故选C. 答案：C2．(2017·武汉调研)如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600 km 处的热带风暴中心正以20 km/h 的速度向正北方向移动，距风暴中心450 km 以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为( )A ．14 hB ．15 hC ．16 hD ．17 h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A ，t 小时后热带风暴中心到达B 点位置，在△OAB 中，OA ＝600，AB ＝20t ，∠OAB ＝45°，根据余弦定理得6002＋400t 2－2×20t ×600×22≤4502，即4t 2－1202t ＋1 575≤0，解得302－152≤t ≤302＋152，所以Δt ＝302＋152－302－152＝15(h)，故选B.答案：B3．(2017·海口模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )． (1)求sin Bsin A的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．解析：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )·cos C ＝sin C ·(3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ，即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ， ∴sin Bsin A＝3. (2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.解三角形与其他知识的交汇问题解三角形问题一直是近几年高考的重点，主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状，解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点． [典例](1)在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最大值为( ) A.21 B.3214C.212D ．321解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， ∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3， ∴bc cos A ＝a ＝3.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥1－92bc ＝1－3cos A 2，∴cos A ≥25，∴0＜sin A ≤215， ∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝32tan A ≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最大值为3214.答案：B(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －C 2－sin B ·sin C ＝2－24.①求角A ；②若a ＝4，求△ABC 面积的最大值．解析：①由cos 2B －C 2－sin B ·sin C ＝2－24，得cos (B －C )2－sin B ·sin C ＝－24， ∴cos(B ＋C )＝－22， ∴cos A ＝22(0＜A ＜π)，∴A ＝π4. ②由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得16＝b 2＋c 2－2bc ≥(2－2)bc ，当且仅当b ＝c 时取等号，即bc ≤8(2＋2)．∴S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤4(2＋1)，即△ABC 面积的最大值为4(2＋1)． [类题通法]化归与转化能力思想是求解三角与其他知识交汇问题的核心，分析交汇知识点，利用其间的联系可找出突破口，从而解决问题．[演练冲关]1．(2017·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点． (1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A ，试判断△ABC的形状，并说明理由．答案：(1)ω＝1 (2)等边三角形2．(2017·沈阳模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足4S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，求S 的最大值．解析：由题意得：4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入上式得：2bc sin A ＝－2bc cos A ＋2bc ，即sin A ＋cos A ＝1，2sin(A ＋π4)＝1，又0＜A ＜π，∴π4＜A ＋π4＜5π4，∴A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2，S ＝12bc sin A ＝12bc ，又b ＋c ＝8≥2bc ，当且仅当b＝c 时取“＝”，∴bc ≤16，∴S 的最大值为8.3．(2017·贵阳模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求BC 边上的中线AM 的最大值．解析：(1)由b 2＋c 2－a 2＝bc ，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵AM 是BC 边上的中线，∴在△ABM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMB ＝c 2，①在△ACM 中，AM 2＋34－2AM ·32·cos ∠AMC ＝b 2，②又∠AMB ＝π－∠AMC ，∴cos ∠AMB ＝－cos ∠AMC ，即cos ∠AMB ＋cos ∠AMC ＝0， ①＋②得AM 2＝b 2＋c 22－34.又a ＝3，∴b 2＋c 2－3＝bc ≤b 2＋c 22，∴b 2＋c 2≤6，∴AM 2＝b 2＋c 22－34≤94，即AM ≤32，∴BC 边上的中线AM 的最大值为32.。

三角恒等变换与解三角形(教学案)-2019年高考理数二轮复习精品资料+Word版含解析+

和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．1．和差角公式(1)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (2)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．倍角公式 (1)sin2α＝2sin αcos α；(2)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan2α＝2tan α1－tan 2α.3．半角公式 (1)sin α2＝±1－cos α2； (2)cos α2＝±1＋cos α2； (3)tan α2＝±1－cos α1＋cos α；(4)tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.4．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 5．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 【2015高考四川，理12】 .【答案】2【解析】法一、.法二、.法三、.【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是，单调递减区间是．【答案】π，，Z k ∈.【解析】，故最小正周期为π，单调递减区间为，Z k ∈.【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II),.(II)因为()f x 在区间[,]36p p --上是减函数，在区间[,]64p p-上是增函数，，所以()f x 在区间[,]34p p-12-. 【2015高考重庆，理18】已知函数（1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）讨论()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性.【答案】（1）最小正周期为p ，最大值为22-；（2）()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【解析】（1）,因此()f x 的最小正周期为p （2）当2[,]63x ππ∈时，有，从而当时,即5612x ππ≤≤时，()f x 单调递增，当时,即时，()f x 单调递减，综上可知，()f x 在5[,]612ππ上单调递增；()f x 在52[,]123ππ上单调递减.【2015高考上海，理14】在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DF C ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ．【答案】1615-【解析】由题意得：，又,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若，，则 .【答案】．【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为．【答案】2【解析】因为所以函数)(x f 的零点个数为函数x y 2sin =与图象的交点的个数，函数x y 2sin =与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数)(x f 有2个零点.1b =6C =π1sin 2B =a =cb a C B A ABC ∆【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m.【答案】6100 【解析】依题意，，，在ABC ∆中，由，所以，因为600=AB ，由正弦定理可得，即m ，在BCD Rt ∆中，因为，，所以，所以m ．【2015高考重庆，理13】在ABC 中，B =120o，AB ，A 的角平分线AD ,则AC =_______.【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.【2015高考福建，理12】若锐角ABC ∆的面积为，且，则BC 等于________．【答案】7【解析】由已知得ABC ∆的面积为=所以sin 2A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得49，7BC =．【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(Ⅰ) 求sin sin BC∠∠；(Ⅱ)若1AD =，2DC =，求BD 和AC 的长．【答案】(Ⅰ)12；(Ⅱ)1．【解析】(Ⅰ)，，因为，，所以2AB AC =．由正弦定理可得．(Ⅱ)因为，所以BD =ABD ∆和ADC ∆中，由余弦定理得，．．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．【2015高考浙江，理16】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4A π=，22b a -=122c . （1）求tan C 的值；（2）若ABC ∆的面积为7，求b 的值. 【答案】（1）2；（2）3b =. 【解析】（1）由及正弦定理得，∴，又由4A π=，即34B C π+=，得，解得tan 2C =；（2）由tan 2C =，(0,)C π∈得，cos C =又∵，∴，由正弦定理得3c =，又∵4A π=，，∴bc =，故3b =.【2015高考安徽，理16】在ABC ∆中，,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.【解析】如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得，所以a = 又由正弦定理得.由题设知04B π<<，所以.在ABD ∆中，由正弦定理得.【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）C ∆AB 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．向量与平行．（I ）求A ；（II ）若a =2b =求C ∆AB 的面积．【答案】（I ）3π；（II（Ⅱ）解法一：由余弦定理，得而3πA =得，即因为0c >，所以3c =．故C ∆AB 的面积为．解法二：由正弦定理，得，从而，又由a b >，知A B >，所以.故所以C ∆AB 的面积为.1. 【2014高考江苏卷第14题】若ABC ∆的内角满足，则cos C 的最小值是 .【考点定位】解三角形,求最值.11．【2014重庆高考理第10题】已知ABC ∆的内角，面积S 满足所对的边，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】由题设得：⇒⇒（1）由三角形面积公式及正弦定理得：所以24s R =又因为12s ≤≤，所以248R ≤≤所以恒成立，所以故选A.【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.12. 【2014天津高考理第12题】在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知14b c a -=，，则cos A 的值为_______．【答案】14-．【解析】∵代入14b c a -=得2a c =，由余弦定理得．【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论． 13. 【2014大纲高考理第3题】设则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】C ．【解析】故选C ．【考点定位】三角函数基本关系式14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且（1）求a 的值；（2）求sin()4A π+的值.【答案】（1）a =（2）46-. 【解析】（1）因为2A B =，所以，由正、余弦定理得.因为3,1b c ==，所以.由余弦定理得.由于0A π<<，所以.故.【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形.15. 【2014高考北京理第15题】如图，在ABC ∆中，，点D 在BC 边上，且2CD =，.（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长.【答案】（1）1433；（2）7. 【解析】（1）在ADC ∆中，因为，所以，所以.（2）在ABD ∆中，由正弦定理得，在ABC ∆中由余弦定理得，所以7=AC .【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.16. 【2014高考福建理第16题】已知函数.（1）若02πα<<，且，求()f α的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.【答案】(1) 12;(2) π,【解析】 (1)因为0,2πα<<所以cos 2α=.所以(2)因为,所以22T ππ==.由得.所以()f x 的单调递增区间为.【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.17. 【2014高考广东理第16题】已知函数，x R ∈，且.（1）求A 的值；（2）若，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【答案】（1）A =（2）4. 【解析】（1），所以A =；（2），，，sin 0θ>，则，.【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系；.（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11C ，则在哪段时间实验室需要降温？【答案】（1）4C ；（2）在10时至18时实验室需要降温.（2）依题意，当11)(>t f 时实验室需要降温.由（1）得，所以，即，又240<≤t ，因此，即1810<<t ，故在10时至18时实验室需要降温.【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法. 19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形ABCD 中,.(1)求cos CAD ∠的值;(2)若,,求BC 的长.【答案】(1) (2)3【解析】(1)由DAC ∆关于CAD ∠的余弦定理可得=7=,所以.(2)因为BAD ∠为四边形内角,所以且,则由正余弦的关系可得且,再由正弦的和差角公式可得==再由ABC ∆的正弦定理可得.【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式20. 【2014高考江苏第15题】已知.（1）求sin()4πα+的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由题意，所以．（2）由（1）得，，所以．【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式．21. 【2014高考辽宁理第17题】在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）2327. 【解析】（1）由得，，又1cos 3B=，所以ac=6. 由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在ABC ∆中，由正弦定理，得，又因为a b c =>，所以C 为锐角，因此.于是=.【考点定位】解三角形、三角恒等变换. 22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图象过点(12π和点2(,2)3π-.（Ⅰ）求,m n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图象.若()y g x =的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调增区间.【答案】（I ）.（II ）函数()y g x =的单调递增区间为.【解析】（1）由题意知：.因为()y f x =的图象过点(12π和2(,2)3π-，所以，即，解得.（2）由（1）知：.由题意知：，设()y g x =的图象上符合题意的最高点为0(,2)x ，由题意知：2011x +=，所以00x =，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）. 将其代入()y g x =得，因为0ϕπ<<，所以6πϕ=，因此，由，得，所以，函数()y g x =的单调递增区间为.学+科网【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.23. 【2014高考四川第16题】已知函数.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，，求的值.【答案】（1）；（2）,【解析】（1）；（2）由题设得：，即，.若，则，若，则.【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.24.【2014高考浙江理第18题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知，（I ）求角C 的大小；（II ）若4sin 5A =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3C π=；（2）．【解析】（1）由题意得，，即，，由a b ≠得，A B ≠，又，得，即23A B π+=，所以3C π=；（2）由c =4sin 5A =，得85a =，由a c <，得A C <，从而3cos 5A =，故，所以ABC ∆的面积为．【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若，求的值.【答案】（1）；（2 【解析】（1）因()f x 的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以()f x 的最小正周期T π=，从而22Tπω==. 又因()f x 的图象关于直线3π=x 对称，所以因得0k =所以.（2）由（1）得所以.由得所以因此=【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( ) A ．－43 B.43C ．－43或0 D.43或02．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：基本法：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5， ∵tan α＝2tan π5，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝3tan π5tan π5＝3.故选C. 答案：C3．已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为( )(导学号 55460112) A.6365 B.3365 C.1365 D.6365或3365解析：依题意得sin β＝45，cos β＝35.注意到sin(α＋β)＝513<sin β，因此有α＋β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365. 答案：A4．函数f (x )＝12sin 2x ＋12tan π3cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π 解析：∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案：B5．已知tan(3π－α)＝－12，tan(β－α)＝－13，则tan β＝________. 解析：基本法：依题意得tan α＝12，又tan(β－α)＝－13， ∴tan β＝tan[(β－α)＋α]＝β－a ＋tan α1－β－αα＝17.答案：176．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.∴2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝－－1－2＋1＝－55＝－1. 答案：－17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2sin B ＋sin C )b ＋(2c ＋b )·sin C ，则A ＝________．解析：根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故cos A ＝－12，又A 为三角形的内角，故A ＝120°. 答案：120°8.如图，山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°；从B 处攀登400米到达D 处，回头看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°；从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为________米．解析：如题图，在△ABD 中，BD ＝400米，∠ABD ＝120°.∵∠ADC ＝150°，∴∠ADB ＝30°.∴∠DAB ＝180°－120°－30°＝30°.由正弦定理，可得BD sin ∠DAB ＝AD sin ∠ABD. ∴400sin 30°＝AD sin 120°，得AD ＝4003(米)．在△ADC 中，DC ＝800米，∠ADC ＝150°，由余弦定理可得AC 2＝AD 2＋CD 2－2·AD ·CD ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，解得AC ＝40013(米)．故索道AC 的长为40013米．答案：400139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2(tan A ＋tan B )＝tan A cos B ＋tan B cos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ；(2)求cos C 的最小值．(2)解：由(1)知c ＝a ＋b 2，[ ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab ＝ 38⎝⎛⎭⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.。

高三二轮复习(理数) 考点二三角恒等变换与解三角形(教案)Word版含答案

考点二三角恒等变换与解三角形1．诱导公式都可写为sin ⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋α或cos ⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋α的形式．根据k 的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”． 2．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2； (3)降幂公式sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2； (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α；1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.3．三角形面积S ＝abc4R (R 为外接圆半径)． S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为内切圆半径)． S ＝12P (P －a )(P －b )(P －c )⎝⎛⎭⎪⎫P ＝12(a ＋b ＋c ).4．在△ABC 中，a ＞b ⇔A ＞B ⇔sin A ＞sin B .5．(1)若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B ＞π2，sin A ＞cos B ，cos A ＜sin B ，a 2＋b 2＞c 2；(2)若△ABC 为钝角三角形(假如C 为钝角)，则A ＋B ＜π2，sin A ＜cos B ，cos A ＞sin B .6．在△ABC 中，c cos B ＋b cos C ＝a . 7．sin A ＝sin(B ＋C )，sin A2＝cos B ＋C 2. 8.a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C.小题速解——不拘一格优化方法类型一三角恒等变换及求值[典例1] (1)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________. 解析：通解：将θ－π4转化为⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2. 由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以 cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43. 优解：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α， ∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.如图，在Rt △ACB 中，不妨设∠A ＝α，由sin α＝35可得， BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4， ∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－tan B ＝－43. 答案：－43(2)(2016·高考全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825 C ．1D.1625解析：通解：弦化切tan α＝34 ，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 优解：猜想sin α及cos α的值．根据勾股数3,4,5及tan α＝sin αcos α＝34 可猜得sin α＝35，cos α＝45∴cos 2α＋4sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋4×35×45＝6425，故选A. 答案：A(3)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2 C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：通解：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcosα，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，因为α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C. 优解一：∵tan α2＝1－cos αsin α，由tan α＝1＋sin βcos β知，α、β应为2倍角关系，A 、B 项中有3α，不合题意，C 项中有2α－β＝π2. 把β＝2α－π2代入1＋sin βcos β＝1＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2＝1－cos 2αsin 2α＝tan α，题设成立．故选C.优解二：1＋sin βcos β＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2∴tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴π4＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴α＝π4＋β2， ∴2α＝π2＋β，∴2α－β＝π2.故选C. 答案：C [母题变式]在本例(2)中，求sin 2α＋2cos 2α的值．解：sin 2α＋2cos 2α＝sin 2α＋2(cos 2α－sin 2α)sin 2α＋cos 2α＝2－tan 2αtan α＋1＝2－9161＋916＝2325.1．三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等；(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍公式降幂； (4)弦、切互化：切化弦，弦化切，减少函数种类． 2．解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角； (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示；(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小． [自我挑战]1．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2. ∴2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－55＝－1. 答案：－12．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α等于( ) A.45 B ．－45 C ．－35D.35解析：选D.(1)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7210，得sin αcos π4－cos αsin π4＝7210，即sin α－cos α＝75，①又cos 2α＝725，所以cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α＋sin α)·(cos α－sin α)＝725，因此cos α＋sin α＝－15.② 由①②得sin α＝35，故选D.。

高中数学二轮复习三角函数与解三角形教案含答案(全国通用)

专题三三角函数与解三角形必考点一三角恒等变换与求值[高考预测]——运筹帷幄1．三角函数定义、诱导公式与和差倍半角公式结合进行三角恒等变换、求三角函数值．2．结合简单的三角函数图象，求三角函数值或角度．[速解必备]——决胜千里1．诱导公式都可写为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋α的形式．根据k 的奇偶性：“奇变偶不变(函数名)，符号看象限”．2．公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.(3)降幂公式sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α； 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 3．角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3.(2)互余与互补关系例如，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2.(3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.[速解方略]——不拘一格类型一三角函数概念，同角关系及诱导公式[例1] (1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析：基本法：将θ－π4转化为⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2.由题意知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，θ是第四象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4>0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45.tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4535＝－43.答案：－43速解法：由题意知θ＋π4为第一象限角，设θ＋π4＝α，∴θ＝α－π4，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α.如图，不妨设在Rt △ACB 中，∠A ＝α，由sin α＝35可得，BC ＝3，AB ＝5，AC ＝4，∴∠B ＝π2－α，∴tan B ＝43，∴tan B ＝－43.答案：－43错误!(2)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0解析：基本法：由tan α＞0得α是第一或第三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 2α＝2sin αcos α知sin 2α＞0，C 正确；α取π3时，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1＝－12＜0，D 错．故选C. 速解法：∵tan α＝sin αcos α＞0，即sin αcos α＞0，∴sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C.答案：C方略点评：(1)基本法根据α的可能象限判断符号.,速解法是根据tan α及sin 2α的公式特征判断符号，更简单.(2)知弦求弦.利用诱导公式及平方关系sin 2α＋cos 2α＝1求解.(3)知弦求切.常通过平方关系、对称式sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α建立联系，注意tan α＝sin αcos α的灵活应用.(4)知切求弦.通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后利用平方关系求解.1．(2016·河北唐山模拟)已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝( )A ．－43 B.43C ．－43或0 D.43或0解析：基本法：∵⎩⎨⎧ 2sin 2α＝1＋cos 2αsin 22α＋cos 22α＝1， ∴⎩⎨⎧ sin 2α＝0cos 2α＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2α＝45，cos 2α＝35.∴tan 2α＝0或tan 2α＝43.答案：D2．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是________．解析：基本法：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.∴2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－55＝－1. 答案：－1类型二三角函数的求值与化简[例2] (1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：基本法：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式．又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin 30°＝12.答案：D方略点评：基本法是构造sin (α＋β)的形式，再逆用公式.速解法是根据三角函数的特征猜想，大胆猜想也是一种方法.(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2解析：基本法：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋sin βcosα，所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，所以sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，因为α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选C.速解法一：∵tan α2＝1－cos αsin α，由tan α＝1＋sin βcos β知，α、β应为2倍角关系，A 、B 项中有3α，不合题意，C 项中有2α－β＝π2.把β＝2α－π2代入1＋sin βcos β＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π2 ＝1－cos 2αsin 2α＝tan α，题设成立．故选C.速解法二：1＋sin βcos β＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2 ∴tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2 又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴π4＋β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴α＝π4＋β2，。

高中数学二轮复习教师用书：专题二+第2讲小题考法——三角恒等变换与解三角形+Word版含答案

第2讲小题考法——三角恒等变换与解三角形一、主干知识要记牢 1．两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β． ②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β． ③tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)． (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α．②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α．错误！未指定书签。

降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2．③tan 2α＝2tan α1－tan 2α．2．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ． 3．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．4．三角形面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ．二、二级结论要用好1．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C ． 2．△ABC 中，内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件是B ＝60°．3．△ABC 为正三角形的充要条件是A ，B ，C 成等差数列，且a ，b ，c 成等比数列． 4．S △ABC ＝abc4R(R 为△ABC 外接圆半径)．三、易错易混要明了1．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦较好． 2．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数，可能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B ．考点一三角恒等变换与求值1．三角恒等变换的策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦． 2．解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角． (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示． (3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．1．(2018·邵阳模拟)若角α的终边经过点(－1,2)，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4( C )A ．－31010B ．－1010C ．1010D ．31010解析由题得sin α＝2(－1)2＋22＝25＝255，cos α＝－1(－1)2＋22＝－15＝－155，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin α·22＋cos α·22＝255×22－155×22＝1010，故选C ． 2．(2018·延安一模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋3cos(π－θ)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos 2θ的值为( C )A ．15B ．25C ．35D ．55解析 ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋3cos(π－θ)＝cos θ－3cos θ＝－2cos θ＝ sin(－θ)，∴tan θ＝2，则sin θcos θ＋cos 2θ＝sin θcos θ＋cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋1tan 2θ＋1＝35，故选C ．3．(2018·湖北联考)已知3π≤θ≤4π，且 1＋cos θ2＋1－cos θ2＝62，则θ＝( D ) A ．10π3或11π3B ．37π12或47π12C ．13π4或15π4D ．19π6或23π6解析 ∵3π≤θ≤4π，∴3π2≤θ2≤2π，∴cos θ2＞0，sin θ2＜0，1＋cos θ2＋1－cos θ2＝cos 2θ2＋sin 2θ2＝cos θ2－sin θ2＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4＝62， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π4＝32， ∴θ2＋π4＝π6＋2k π或θ2＋π4＝－π6＋2k π.k ∈Z ，即θ＝－π6＋4k π或θ＝－5π6＋4k π，k ∈Z ，∵3π≤θ≤4π，∴θ＝19π6或23π6，故选D ．考点二利用正、余弦定理解三角形解三角形问题的求解策略1．(2018·潍坊二模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2sin C －sin Bsin B ＝a cos Bb cos A，则A ＝( C ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3解析 ∵2sin C －sin B sin B ＝a cos Bb cos A ，∴由正弦定理可得2c －b b ＝a cos Bb cos A，即ab cos B ＝(2c －b )b cos A ．∴由余弦定理可得 ab ·a 2＋c 2－b 22ac ＝(2c －b )·b ·b 2＋c 2－a 22bc，整理可得bc ＝b 2＋c 2－a 2.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.故选C ．2．(2018·武汉一模)在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，则角C 的取值范围是( A ) A ．⎝⎛⎦⎤0，π6 B ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 C ．⎣⎡⎭⎫π6，π2D ．⎝⎛⎭⎫π6，π2解析AB sin C ＝BC sin A ，所以sin C ＝12sin A ，所以0＜sin C ≤12，因AB ＜BC ，C 必定为锐角，故C ∈⎝⎛⎦⎤0，π6． 3．(2018·郴州二模)在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，则角C 的值 π6．解析在△ABC 中，由(a 2＋b 2－c 2)tan C ＝ab ，整理得a 2＋b 2－c 22ab ＝12tan C，即cos C ＝cos C 2sin C ，∵cos C ≠0，∴sin C ＝12，∵C 为△ABC 内角，∴C ＝π6或5π6，因为ΔABC 为锐角三角形，∴C ＝π6，故答案为π6．考点三正、余弦定理的实际应用解三角形实际问题的常见类型及解题思路(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解已知条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．1．如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为__22.6__m/s(精确到0.1，2≈1.414，5≈2.236)．解析因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°.设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v ．在Rt △ADB 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200．在Rt △ADC 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝1002．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，即(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s ．2．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为__2_650__m ．(取2＝1.4，3＝1.7)解析如图，作CD 垂直于AB 交AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°．又在△ABC 中，AB ＝50×420＝21 000，由正弦定理，得BC sin ∠A ＝ABsin ∠ACB ，∴BC ＝21 00012×sin 15°＝10 500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin ∠DBC ＝10 500(6－2)×22＝10 500(3－1)＝7 350．故山顶的海拔高度h ＝10 000－7 350＝2 650(m)．经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

高考数学二轮复习专题一三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理学案含解析

第2讲三角恒等变换与解三角形(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略·明方向⊙︱考情分析︱1．三角恒等变换是高考的热点内容,主要考查利用各种三角函数公式进行求值与化简,其中二倍角公式、辅助角公式是考查的重点,切化弦、角的变换是常考的内容．2．正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容,主要考查：(1)边、角、面积的计算；(2)有关边、角的范围问题；(3)实际应用问题．⊙︱真题分布︱(理科)年份卷别题号考查角度分值2020 Ⅰ卷9、16三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值；利用余弦定理解三角形10 Ⅱ卷17 解三角形求角和周长的最值12 Ⅲ卷7、9 余弦定理解三角形；三角恒等变换求值102019 Ⅰ卷17 正余弦定理12 Ⅱ卷15二倍角公式、基本关系式、余弦定理、三角形面积公式5 Ⅲ卷18 正余弦定理、三角形面积公式122018 Ⅰ卷17 正余弦定理、解三角形12 Ⅱ卷10、15二倍角、辅助角公式、基本关系式、和的正弦公式、余弦定理10 Ⅲ卷15 余弦定理、二倍角公式、函数零点 5年份卷别题号考查角度分值2020 Ⅰ卷18 余弦定理、三角恒等变换解三角形10 Ⅱ卷13、17余弦的二倍角公式的应用；诱导公式和平方关系的应用,利用勾股定理或正弦定理,余弦定理判断三角形的形状17Ⅲ卷 5、11 两角和与差的正余弦公式及其应用；余弦定理以及同角三角函数关系解三角形10 2019Ⅰ卷7、11 诱导公式及两角和的正切公式；正、余弦定理10 Ⅱ卷 11、15 二倍角公式的应用；正弦定理的应用10 Ⅲ卷 18 正余弦定理、三角形面积公式12 2018Ⅰ卷11、16 三角函数定义及三角恒等变换；正余弦定理、解三角形10 Ⅱ卷 7、15 二倍角及余弦定理；诱导公式及三角恒等变换10 Ⅲ卷7、11二倍角公式、正、余弦定理解三角形10KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类·析重点考点一三角恒等变换知识再现三角恒等变换与求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．辅助角公式asin x ＋bcos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中tan φ＝b a)典例悟通典例1 (1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos 240°＋2sin 35°sin 55°sin 10°＝( A )A ．34B ．14C ．12＋32 D ．334(2)(2020·宜宾模拟)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,且3sin 2α－5cos 2α＋sin 2α＝0,则sin 2α＋cos 2α＝( A )A ．1B ．－2317C ．－2317或1D ．－1(3)已知函数f(x)＝3cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－12.①求f(x)的单调递增区间；②若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,f(x)＝36,求cos 2x 的值．【解析】 (1)原式＝cos 240°＋2sin 35°cos 35°sin 10° ＝cos 240°＋sin 70°sin 10°＝12＋12cos 80°＋sin 70°sin 10°＝12＋12(cos 70°cos 10°－sin 70°sin 10°＋2sin 70°sin 10°) ＝12＋12(cos 70°cos 10°＋sin 70°sin 10°)＝12＋12cos 60°＝34.故选A ． (2)由3sin 2α－5cos 2α＋sin 2α＝0, 得3sin 2α－5cos 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝0 3tan 2α＋2tan α－5tan 2α＋1＝0, 即3tan 2α＋2tan α－5＝0, 解得tan α＝1或tan α＝－53.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,∴tan α＝1,即α＝π4.∴sin 2α＋cos 2α＝sinπ2＋cos π2＝1．故选A ． (3)f(x)＝3cos xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－12 ＝3sin xcos x ＋1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32－12＝32sin 2x －12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝32sin 2x －12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.①令2k π－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2,k ∈Z,得k π－π6≤x≤kπ＋π3,k ∈Z,所以f(x)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π6，kπ＋π3,k ∈Z.②由f(x)＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝36,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33,∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4,∴－π6≤2x－π6≤π3, ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63. ∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×12＝63×32－33×12＝22－36. 方法感悟三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin 2θ＋cos 2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑：如sin 2α＋2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)＋cos 2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．跟踪训练1．(1)(2019·江苏)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值是10(2)设α为锐角,若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为50【解析】 (1)方法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α()1－tan αtan α＋1＝－23.解得tan α＝2或－13.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22 ＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22, 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.方法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23,∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.① 又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22,②由①②,解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25,cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.(2)因为α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45>0,所以α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2,所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250. 考点二正弦定理与余弦定理知识再现1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)．变形：a ＝2Rsin A,b ＝2Rsin B,c ＝2Rsin C. sin A ＝a 2R ,sin B ＝b 2R ,sin C ＝c2R .a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C. 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccos A,b 2＝a 2＋c 2－2accos B, c 2＝a 2＋b 2－2abcos C.推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ,cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ,cos C ＝a 2＋b 2－c22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bccos A,a 2＋c 2－b 2＝2accos B,a 2＋b 2－c 2＝2abcos C. 3．面积公式S △ABC ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝12absin C.典例悟通典例2 (2020·百校联盟联考)已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 满足acos B＋bcos A ＝c2cos C,且BC 边上一点P 使得PA ＝PC.(1)求角C 的大小；(2)若PB ＝3,sin ∠BAP ＝35738,求△ABC 的面积．【解析】 (1)因为acos B ＋bcos A ＝c2cos C ,在△ABC,由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ,所以得2cos C(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝sin C. 所以2cos Csin(A ＋B)＝sin C. 即2cos C ＝1,所以cos C ＝12,因为C ∈(0,π),所以C ＝π3.(2)由(1)知C ＝π3,而PA ＝PC,△APC 为等边三角形．由于∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB ＝2π3.在△APB 中,由正弦定理得PBsin ∠BAP ＝ABsin2π3, 即335738＝AB sin2π3,所以AB ＝19.所以由余弦定理得,AB 2＝PA 2＋PB 2－2PA·PBcos 2π3,即PA 2＋3PA －10＝0, 解得：PA ＝2,故BC ＝2＋3＝5,AC ＝2,所以S △ABC ＝12CA·CB·sin C＝12×2×5×32＝532.方法感悟解三角形问题一般要利用正、余弦定理和三角形内角和定理．正弦定理可以将角转化成边,也可以将边转化成角,当涉及边的平方关系时,一般利用余弦定理,要根据题目特点和正、余弦定理的结构形式,灵活选用．跟踪训练2．(2020·江苏省扬州市调研)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若b ＝3,sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C,cos A ＝－13,则△ABC 的面积是__2__.【解析】由正弦定理可将sin 2A －sin 2B ＝3sin 2C 转化为a 2－b 2＝3c 2, 由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bccos A,将b ＝3,cos A ＝－13,代入上面两个式子,并化简可得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3c 2＋9a 2＝c 2＋2c ＋9,解得：c ＝1,∵cos A ＝－13,∴sin A ＝223,∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×3×1×223＝ 2.考点三正、余弦定理的实际应用知识再现1．实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解． 2．实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．典例悟通典例3 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD ＝__1006__m.【解析】由题意,在△ABC 中,∠BAC ＝30°, ∠ABC ＝180°－75°＝105°,故∠ACB ＝45°. 又AB ＝600 m,故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°,解得BC ＝300 2 m. 在Rt △BCD 中,CD ＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．方法感悟解三角形应用题的常考类型(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解．跟踪训练3．(2020·湖北省高三冲刺)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就．其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成的弓形)的面积所用的经验公式：弧田面积＝12(弦×矢＋矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差．现有圆心角为2π3,弦长为40 3 m 的弧田．其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为(其中π≈3,3≈1.73)( B )A ．15 m 2B ．16 m 2C ．17 m 2D ．18 m 2【解析】因为圆心角为2π3,弦长为40 3 m,所以圆心到弦的距离为20 m,半径为40 m, 因此根据经验公式计算出弧田的面积为 12(403×20＋20×20)＝(4003＋200) m 2, 实际面积等于扇形面积减去三角形面积为12×2π3×402－12×20×403＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 600π3－4003 m 2,因此两者之差为1 600π3－4003－(4003＋200)≈16 m 2．故选B ．考点四与解三角形有关的交汇创新知识再现1．以平面几何为载体的解三角形问题,这种题目主要是：一是考查多个三角形的问题；二是考查四边形问题；三是通过三角形中的不等关系确定角或边的范围问题．2．以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．典例悟通典例4 (2020·武侯区校级模拟)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c,已知c ＝3,且sin ⎝⎛⎭⎪⎫C －π6·cos C＝14.(1)求角C 的大小；(2)若向量m ＝(1,sin A)与n ＝(2,sin B)共线,求a 、b 的值．【解析】 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C －π6·cos C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin Ccos π6－cos Csin π6·cos C＝32sin Ccos C －12cos 2C ＝34sin 2C －1＋cos 2C 4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6－14＝14,∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1；又0＜C ＜π,∴－π6＜2C －π6＜11π6,∴2C －π6＝π2,解得C ＝π3.(2)向量m ＝(1,sin A)与n ＝(2,sin B)共线, ∴2sin A －sin B ＝0, ∴sin B ＝2sin A, 即b ＝2a ①；又c ＝3,C ＝π3,∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos C ＝a 2＋b 2－ab ＝9 ②；由①②联立解得a ＝3,b ＝2 3方法感悟以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及重要不等式．这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题,再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决．跟踪训练4．(2020·青岛模拟)如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥AD,AB ＝1,AD ＝3,BC ＝ 2.(1)若CD ＝1＋3,求四边形ABCD 的面积；(2)若sin ∠BCD ＝325,∠ADC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,求sin ∠ADC. 【解析】 (1)连接BD,在Rt △ABD 中,由勾股定理可得,BD 2＝AB 2＋AD 2＝4,故BD ＝2,在△BCD 中,由余弦定理可得,cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC·CD ＝2＋1＋32－42×2×1＋3＝22, 因为C 为三角形的内角,故C ＝π4, 所以S △ABD ＝12AB·AD＝12×1×3＝32,S △BCD ＝12BC·CDsin C＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32,故求四边形ABCD 的面积S ＝12＋ 3. (2)在△BCD 中,由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BD sin ∠BCD, 所以sin ∠BDC ＝BC·sin ∠BCD BD＝2×3252＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,所以∠BDC ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,cos ∠BDC ＝45,Rt △ABD 中,tan ∠ADB ＝AB AD ＝33,故∠ADB ＝π6, 所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋∠BDC ＝35×32＋45×12＝4＋3310.YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零·免失误1．处理三角恒等变换时角的变换方向不清典例1 (2020·湖南长郡中学10月模拟)已知sin(α＋2β)＝34,cos β＝13,α,β为锐角,则sin(α＋β)的值为( D )A ．37－2212B ．3－21412C ．37＋2212D ．3＋21412 【错解】因为cos β＝13,β为锐角, 所以sin β＝1－132＝223, cos 2β＝2cos 2 β－1＝－79<0．又α、β为锐角,∴0<α＋β<π,又sin(α＋2β)＝34, 所以cos(α＋2β)＝1－sin 2α＋2β＝74. 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β－β)]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β＝34×13－74×223＝3－21412,故选B ．【剖析】上述解法错误是利用同角三角函数关系时,求错α＋2β的范围,而导致求cos(α＋2β)时求错值,故导致后面计算sin(α＋β)时尽管利用对了公式,但是结果也错了．【正解】因为cos β＝13,β为锐角,所以sin β＝1－132＝223,cos 2β＝2cos 2 β－1＝－79<0, 又β为锐角,所以π2<2β<π, 因为α为锐角,所以α＋2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2, 又sin(α＋2β)＝34, 所以cos(α＋2β)＝1－sin 2α＋2β＝－74, 所以sin(α＋β)＝sin[(α＋2β)－β]＝sin(α＋2β)cos β－cos(α＋2β)sin β ＝34×13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－74×223＝3＋21412,故选D ． 2．解三角形时忽视对三角形的解的个数的讨论而出错典例2 (2020·天津摸底调研)在△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角A,B,C 的对边,若b ＝3,c ＝4,C ＝2B,且a≠b.(1)求cos B 及a 的值；(2)求cos(2B ＋π3)的值．【解析】 (1)在△ABC 中,由正弦定理b sin B ＝a sin A ＝c sin C ,得3sin B ＝4sin C. 因为C ＝2B,所以3sin B ＝4sin 2B ,即3sin B ＝42sin Bcos B, 又sin B≠0,所cos B ＝23. 在△ABC 中,由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2accos B,则a 2－163a ＋7＝0,解得a ＝3或a ＝73. 又a≠b ,所以a ＝73. (2)由(1)知,cos B ＝23,所以sin B ＝53,所以cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×49－1＝－19, 所以sin 2B ＝2sin BcosB ＝2×53×23＝459,所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝cos 2Bcos π3－sin 2Bsin π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×12－459×32 ＝－1＋41518. 【剖析】 (1)求解此类题时避免出错的关键：一是会选定理,即根据已知的边角关系,恰当地选用正弦定理或余弦定理解三角形,一般地,知两边和其中一边所对的角(既要注意角和边的对应,还要注意讨论钝角与锐角)或一边和两角,常利用正弦定理解三角形,知三边或两边与其夹角,常利用余弦定理解三角形；二是会用公式,即会利用二倍角公式、两角和与差的正弦和余弦公式求三角函数值．(2)在△ABC 中,已知a,b 和A,三角形的解的个数的情况如下,①A 为锐角时,当0<a<bsin A 时,无解：当a ＝bsin A 时,有一解；当bsin A<a<b 时,有两解；当a≥b 时,有一解．②A 为直角或钝角时,当a≤b 时,无解：当a>b 时,有一解．3．不能正确进行边角互化典例3 (2020·南宁10月模拟)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin Asin B＋bcos 2A ＝2a.(1)求b a； (2)若c 2＝b 2＋3a 2,求B.【解析】 (1)由正弦定理,得asin B ＝bsin A,因为asin AsinB ＋bcos 2A ＝2a,所以bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a,所以b a＝ 2. (2)由余弦定理得,b 2＝a 2＋c 2－2accos B,因为c 2＝b 2＋3a 2,所以cos B ＝1＋3a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2,故c 2＝(2＋3)a 2．所以cos 2B ＝12,易知cos B>0, 所以cos B ＝22,又0<B<π,所以B ＝π4. 【剖析】求解此类题时避开易错点的关键是会转化,即已知三角等式中既含有角又含有边的关系时,①若等式两边为关于边的齐次式,可以将边化为对应角的正弦值；②若具有余弦定理的形式,可以运用余弦定理将边化为角；③若等式两边均含有角的正弦值,常将角的正弦值化为边；④若含有角的余弦值,可以运用余弦定理将角化为边；⑤若一边与它的对角同时出现,经常用正弦定理,注意角和边要对应．。

高考数学二轮总复习层级二专题二三角函数与解三角形第二讲三角恒等变换与解三角形学案理含解

学习资料第二讲三角恒等变换与解三角形1．（2019·全国卷Ⅰ）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－错误!，则错误!＝（ )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2。

由余弦定理得cos A ＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!，∴错误!＝6.故选A ． 2．（2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝（） A ．－2－错误! B ．－2＋错误! C ．2－错误!D ．2＋错误!解析：选D tan 255°＝tan(180°＋75°）＝tan 75°＝tan(45°＋30°）＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝错误!＝2＋错误!。

故选D ．3．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos 错误!＝错误!，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( ） A ．4错误! B ．错误! C ．29D ．2错误!解析：选A ∵cos 错误!＝错误!，∴cos C ＝2cos 2错误!－1＝2×错误!2－1＝－错误!.在△ABC 中，由余弦定理,得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C ＝52＋12－2×5×1×错误!＝32,∴AB ＝32＝4错误!.故选A ．4．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 。

若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( ) A ．错误! B ．错误! C ．错误!D ．错误! 解析：选C ∵S ＝12ab sin C ＝错误!＝错误!＝错误!ab cos C ,∴sin C ＝cos C ，即tan C ＝1。

高考数学二轮复习第2部分专题1三角函数和解三角形第2讲恒等变换与解三角形教案(理科)

第2讲恒等变换与解三角形[做小题——激活思维]1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D ．1B [根据a sin A ＝bsin B，有313＝5sin B ，得sin B ＝59.故选B.] 2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3D.π3或2π3C [由a 2＝b 2＋bc ＋c 2，得b 2＋c 2－a 2＝－bc ，由余弦定理的推论得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝2π3.]3．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α为第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A ．7B ．17 C ．－7D ．－17B [sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝－[cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β]＝－cos(α－β＋β)＝－cos α＝45，即cos α＝－45.又α为第二象限角，∴tan α＝－34，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17.]4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，C ＝π3，△ABC 的面积为334，则c ＝( )A ．13B ．3 3C ．7D ．13C [∵△ABC 的面积为334，∴12ab sin C ＝12×3×b ×32＝334，∴b ＝1，∴由余弦定理得c ＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝32＋12－2×3×1×12＝7.故选C.]5．已知tan α＝－13，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝________.－56 [sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α1＋2cos 2α－1 ＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－56.] 6．函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． π [∵y ＝32sin 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∴函数的最小正周期T ＝2π2＝π.][扣要点——查缺补漏]1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，如T 1. 2．余弦定理及其变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，如T 2.3．如图所示，在△ABC 中，AD 平分角A ，则AB AC ＝BDDC.4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan α1∓tan αtan β，如T 3.5．面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )·r (其中r 为△ABC 内切圆的半径)，如T 4.6．二倍角公式及其变形 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.如T 5. 7．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2，如T 6.三角恒等变换(5年3考)[高考解读] 高考对该点的考查突出一个“变”字，即“变角、变名、变形”.从“角”入手，用活三角恒等变换公式是破解此类问题的关键.预测2020年高考还是以给值求值为主.1．[一题多解](2016·全国卷Ⅱ)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α ＝( )A.725 B.15 C ．－15 D ．－725D [法一：(公式法)cos π4－α＝35，sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－725，故选D.法二：(整体代入法)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝22(sin α＋cos α)＝35，得sin α＋cos α＝352，所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1825，即sin 2α＝2sin αcos α＝－725.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.－12 [∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.][教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]2．[一题多解](2014·全国卷Ⅰ)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2B [法一：由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α， ∴2α－β＝π2.法二：tan α＝1＋sin βcos β＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2， ∴α＝k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β2，k ∈Z ，∴2α－β＝2k π＋π2，k ∈Z . 当k ＝0时，满足2α－β＝π2，故选B.]三角函数式化简求值的“三看”原则(1)看“角”：分析未知角与已知角间的差别与联系，实现角的合理拆分； (2)看“名”：常采用切化弦或诱导公式实现函数名称的统一；(3)看“形”，常借助和、差、倍、半角公式实现三角函数式的形式统一．1．(给值求值)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525B.255 C.2525或255D.55或525A [因为α，β都是锐角，且cos α＝55＜12，所以π3＜α＜π2，又sin(α＋β)＝35＞12，所以π2＜α＋β＜5π6，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，cos β＝cos(α＋β－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝2525，故选A.]2．(给角求值)(2019·安阳模拟)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°等于( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1C [sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－cos 70°sin 20°＝－1.]3.(给值求角)如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255，则α＋2β的值为________． 3π4 [∵cos α＝210，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝7210，∴tan α＝7；cos β＝255，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin β＝55， ∴tan β＝12，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝43， ∴tan(α＋2β)＝7＋431－7×43＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋2β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2，∴α＋2β＝3π4.]利用正、余弦定理解三角形(5年11考)[高考解读] 高考对该点的考查常以平面几何图形为载体，借助三角恒等变换公式及正余弦定理实现边角的相互转化，从而达到求值的目的，预测2020年高考依旧这样考查. 1．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 24，则C ＝( )A.π2 B.π3 C.π4D.π6C [根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24，所以sin C ＝a 2＋b 2－c22ab＝cosC ，所以在△ABC 中，C ＝π4.]2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长．切入点：△ABC 面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .关键点：余弦定理公式的变形：a 2＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A. [解](1)由题设得12ac sin B ＝a 23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A .由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A3sin A .故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题意得12bc sin A ＝a23sin A，a ＝3，所以bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9.由bc ＝8，得b ＋c ＝33. 故△ABC 的周长为3＋33. [教师备选题]1．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为____________．63 [法一：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×43×23×sin π3＝6 3. 法二：因为a ＝2c ，b ＝6，B ＝π3，所以由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得62＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c cos π3，得c ＝23，所以a ＝43，所以a 2＝b 2＋c 2，所以A ＝π2，所以△ABC的面积S ＝12×23×6＝6 3.]2．(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5. (1)求cos∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .[解](1)在△ABD 中，由正弦定理得BD sin A ＝ABsin∠ADB .由题设知，5sin 45°＝2sin∠ADB ，所以sin∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB ＜90°，所以cos∠ADB ＝1－225＝235. (2)由题设及(1)知，cos∠BDC ＝sin∠ADB ＝25. 在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2·BD ·DC ·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25. 即BC ＝5.用正、余弦定理求解三角形注意2点,分析已知的边角关系，选择恰当的公式、定理.,结合三角形固有的性质三角形内角和，大边对大角等求解三角形.在三角形中，正、余弦定理可以实现边角互化，尤其在余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA 中，有b 2＋c 2和bc 两项，二者的关系b 2＋c 2＝b ＋c2－2bc 经常用到.提醒：解三角形时忽视对三角形解的个数讨论而出错.1．(以平面图形为载体)在平面四边形ABCD 中，∠D ＝90°，∠BAD ＝120°，AD ＝1，AC ＝2，AB ＝3，则BC ＝( )A. 5B. 6C.7D ．2 2C [如图，在△ACD 中，∠D ＝90°，AD ＝1，AC ＝2，所以∠CAD ＝60°.又∠BAD ＝120°，所以∠BAC ＝∠BAD －∠CAD ＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝7，所以BC ＝7.故选C.]2．(知识间的内在联系)已知△ABC 的面积为S ，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4S ＝a 2－(b －c )2，bc ＝4，则S ＝( )A ．2B ．4 C. 3D ．2 3A [由4S ＝a 2－(b －c )2可得4×12bc sin A ＝a 2－b 2－c 2＋2bc ，∴2bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，即sin A ＋cos A ＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝22，又0＜A ＜π，所以π4＜A ＋π4＜5π4，即A ＋π4＝3π4，∴A ＝π2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4＝2.故选A.]3．(以空间图形为载体)如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.1039 [设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h .在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，则由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m ．]4．(恒等变换与解三角形)(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.(1)求b ，c 的值； (2)求sin(B －C )的值．[解](1)∵a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12.∴由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝9＋(b －2)2－2×3×(b －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∴b ＝7，∴c ＝b －2＝5.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－12，∴sin B ＝32，由正弦定理：c sin C ＝bsin B ，∴sin C ＝c sin Bb ＝5×327＝5314，∵b ＞c ，∴B ＞C ，∴C 为锐角， ∴cos C ＝1114，∴sin(B －C )＝sin B cos C －cos B sin C ＝32×1114－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×5314＝437.与三角形有关的最值(范围)问题(5年1考)[高考解读] 与三角形有关的最值范围问题主要涉及三角形的内角、边长、周长、面积等的最大、最小值问题，借助三角函数的有界性及均值不等式建立不等关系是解答此类问题的关键所在.(2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A.(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．切入点：(1)借助正弦定理及三角形内角和定理求解；(2)由△ABC 为锐角三角形求得C 的范围，借助正弦定理及三角函数的有界性求面积的取值范围．[解](1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A.因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C 2＝cosB 2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由正弦定理得a ＝c sin Asin C＝－C sin C＝32tan C ＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°.由(1)知A ＋C ＝120°，所以30°＜C <90°，故12＜a ＜2，从而38＜S △ABC ＜32.因此，△ABC 面积的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫38，32. [教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．(6－2，6＋2) [如图所示，延长BA 与CD 相交于点E ，过点C 作CF ∥AD 交AB 于点F ，则BF <AB <BE .在等腰三角形CFB 中，∠FCB ＝30°，CF ＝BC ＝2，∴BF ＝22＋22－2×2×2cos 30°＝6－ 2.在等腰三角形ECB 中，∠CEB ＝30°，∠ECB ＝75°，BE ＝CE ，BC ＝2，B Esin 75°＝2sin 30°，∴BE ＝212×6＋24＝6＋ 2.∴6－2<AB <6＋ 2.]2．(2013·全国卷Ⅱ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B .(1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．[解](1)由题意及正弦定理得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ， ① 又A ＝π－(B ＋C )，故sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ②由①，②和C ∈(0，π)得sin B ＝cos B ，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4.(2)△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝24ac .由已知及余弦定理得4＝a 2＋c 2－2ac cos π4.又a 2＋c 2≥2ac ，故ac ≤42－2，当且仅当a ＝c 时，等号成立．因此△ABC 面积的最大值为2＋1.与三角形有关的最值(范围)问题的求解策略策略一：可选择适当的参数将问题转化为三角函数的问题处理，解题中要借助于正弦定理、余弦定理等工具将边角问题统一转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的函数的最值问题，然后根据参数的范围求解．策略二：借助正、余弦定理，化角为边，然后借助均值不等式对含有a 2＋b 2，a ＋b ，ab 的等式求最值．1．(角度的最值范围问题)(2019·武汉模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，则角B 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，πC [∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，又B ∈(0，π)，∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3，故选C.]2．(长度的最值范围问题)在△ABC 中，若C 是钝角，且B ＝π3，则ca 的取值范围是________．(2，＋∞) [∵C 为钝角，∴C ＝2π3－A ＞π2，∴0＜A ＜π6.由正弦定理，得c a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A sin A＝32cos A ＋12sin A sin A ＝12＋32·1tan A .∵0＜tan A ＜33，∴1tan A＞3， ∴c a ＞12＋32×3＝2，即ca＞2.] 3．(综合应用)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(sin C ，sin A )，且m ∥n .(1)若cos A ＝12，b ＋c ＝6，求△ABC 的面积；(2)求absin B 的取值范围．[解] 因为m ∥n ，所以sin 2A ＝sinB sinC ，结合正弦定理可得a 2＝bc . (1)因为cos A ＝12，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即b ＋c 2－3bc 2bc ＝12，解得bc ＝9.从而△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×9×32＝934，故△ABC 的面积为934.(2)因为a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时，取等号)．因为0<A <π，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.由正弦定理，知0<absin B ＝sin A ≤32，所以a b sin B 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，32.。

新高考数学二轮教师用书：专题二第2讲三角恒等变换与解三角形 Word版含解析

第2讲三角恒等变换与解三角形[考情考向·高考导航]1．三角恒等变换是高考必考内容，可以单独命题，也可以与三角函数图象和性质综合，有时与解三角形综合．难度一般不大，单独命题多以选择题、填空题的形式出现，有时与其他知识综合，以解答题的形式出现．2．解三角形主要考查正、余弦定理、面积的综合问题，有时也涉及三角恒等变换，难度中等．单独考查以选择题、填空题为主，综合考查以解答题为主．[真题体验]1．(·全国Ⅱ卷)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B.55C.33D.255解析：B [∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，由2sin 2α＝cos 2α＋1得：4sin αcos α＝2cos 2 α，∴2sin α＝cos α，∴2sin α＝1－sin 2 α，∴5sin 2 α＝1，∴sin 2 α＝15，∴sin α＝55.]2．(·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：A [∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴a 2－b 2＝4c 2， ∵cos A ＝－14，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，即－3c 22bc ＝－14，∴b c ＝4×32＝6.] 3．(·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C，得b sin C ＝c sin B ，又由3c sin B ＝4a sin C ，得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .又因为b ＋c ＝2a ，得到b ＝43a ，c ＝23a ，由余弦定理可得cos B＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154，从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158，cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.[主干整合]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba .4．正弦定理及其变形在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)．变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .5．余弦定理及其变形在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.6．三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一三角恒等变换与求值[例1] (1)(·江苏卷)已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________． [解析] 方法1：由tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α(1－tan α)tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13.sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α) ＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22，将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝210. 方法2：∵tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos α－cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4sin α＝22，② 由①②，解得sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－25， cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3210. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤α＋⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝sin αcos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝210. [答案]210(2)(·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45. (ⅰ)求sin(α＋π)的值； (ⅱ)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cos β的值． [解析] (ⅰ)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45. (ⅱ)由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35，由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] (ⅰ)45 (ⅱ)－5665或1665(1)三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现张冠李戴的情况．(2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解．(1)(·维坊三模)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4D.π6解析：C [因为α，β均为锐角，所以－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4.](2)(·广西三市联考)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________．解析：因为α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45＞0，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6－22⎣⎡⎦⎤2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1 ＝2×35×45－22⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫452－1＝12225－7250＝17250. 答案：17250热点二正、余弦定理的应用用正、余弦定理求解边、角、面积[例2－1] (·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[解析] (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．用正、余弦定理解决实际问题[例2－2](·重庆二诊)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.[解析]由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600 m，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°. 解得BC＝3002m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝3002×33＝1006(m)．[答案]100 6解三角形实际问题三步骤(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解．(1)(·威海三模)如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长为()A.14B．4C．25D．5解析：B[利用余弦定理求解．因为sin∠ABC＝sin⎝⎛⎭⎫∠DBC＋π2＝cos∠DBC＝235，在△DBC中，由余弦定理可得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝25＋27－2×5×33×235＝16，所以CD ＝4，故选B.](2)如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北θ(0°＜θ＜45°)的C 处，且cos θ＝45.已知A ，C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．解析：因为cos θ＝45，0°＜θ＜45°，所以sin θ＝35，cos(45°－θ)＝22×45＋22×35＝7210，在△ABC 中，BC 2＝800＋100－2×202×10×7210＝340，所以BC ＝285，该货船的船速为485海里/小时．答案：485热点三与解三角形的交汇创新[例3] (·烟台模拟)已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin B ＝74，cos A sin A ＋cos C sin C ＝477. (1)求证：0＜B ≤π3；(2)若BA →·BC →＝32，求|BC →＋BA →|.[审题指导] (1)三角恒等变换，利用重要不等式转化关于cos B 的不等式．(2)由数量积求ac ，再由模长公式结合余弦定理求模． [解析] (1)证明：因为cos A sin A ＋cos Csin C＝cos A sin C ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝477＝1sin B，所以sin A sin C ＝sin 2B ，由正弦定理可得b 2＝ac ，因此b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ≥2ac －2ac cos B ，所以cos B ≥12，又0＜B ＜π，所以0＜B ≤π3.(2)由(1)知0＜B ≤π3，又sin B ＝74，所以cos B ＝1－sin 2B ＝1－716＝34. 所以32＝BA →·BC →＝ca cos B ＝34ac ，解得ac ＝2，因此b 2＝2.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝2＋2×2×34＝5.从而|BC →＋BA →|2＝a 2＋c 2＋2BC →·BA →＝5＋2×32＝8，故|BC →＋BA →|＝2 2.以向量的运算为载体考查三角函数、三角变换、解三角形及不等式．这类综合问题的解法思路是：通过向量的运算把向量问题转化为三角函数问题或解三角形问题，再利用三角变换或正(余)弦定理综合解决．(·山师附中模拟)已知m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 4，cos 2x4，设函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的单调增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列，求f (B )的取值范围．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝⎝⎛⎭⎫cos x 4，1·⎝⎛⎭⎫3sin x 4，cos 2x 4＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＋12，令2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2，则4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3，k ∈Z ，所以函数f (x )单调递增区间为⎣⎡⎦⎤4k π－4π3，4k π＋2π3，k ∈Z . (2)由b 2＝ac可知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12(当且仅当a ＝c 时取等号)，所以0＜B ≤π3，π6＜B 2＋π6≤π3，1＜f (B )≤3＋12，综上f (B )的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，3＋12.限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(·河北省六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A.25－35B.5－35C.5＋35D.25＋35解析：B [∵α∈(0，π)，tan α＝2，∴α在第一象限，cos α＝15，cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，选B.]2．(·日照模拟)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.13 B.16 C.23D.89解析：C [∵sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1＝13，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23.] 3．(组合型选择题)下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°； ②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④解析：C [对于①，tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝3；对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝3；对于③，1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan 60°＝3；对于④，tan π61－tan 2π6＝12×2tanπ61－tan 2π6＝12×tan π3＝32.综上，式子的运算结果为3的是①②③.故选C.]4．(·沈阳质检)已知△ABC 的内角分别为A ，B ，C ，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边的高为( )A.32 B.332 C.3＋62D.3＋394解析：B [由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得7＝AB 2＋4－4AB cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，则BC 边上的高为AB sin 60°＝332，故选B.]5．(·广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，C ＝π3，sin B ＝2sin A ，则△ABC 的周长是( )A ．3 3B ．2＋ 3C ．3＋ 3D ．4＋ 3解析：C [在△ABC 中，sin B ＝2sin A ，∴由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，∴a ＝1，b ＝2.∴△ABC 的周长是a ＋b ＋c ＝1＋2＋3＝3＋ 3.故选C.]6.(·保定二模)已知在河岸A处看到河对岸两个帐篷C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B处后再次观察帐篷C，D，此时C，D分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C，D之间的距离为()A．1015米B．106米C．515米D．56米解析：C[由题意可得∠DAB＝60°，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∠DBA＝30°，在△ABD中，∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，AB＝30，所以∠ADB＝90°，sin∠DAB＝sin 60°＝BDBA，解得BD＝15 3.在△ABC中，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，所以∠ACB＝60°，ABsin 60°＝BCsin 45°，解得BC＝10 6.在△BCD中，∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝45°，则由余弦定理得cos∠CBD＝cos 45°＝BC2＋BD2－CD22BC·BD，即22＝(106)2＋(153)2－CD23×106×153，得CD＝515.故选C.]二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7．(·陕西省质量检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba＋c＝1－sin Csin A＋sin B，且b＝5，AC→·AB→＝5，则△ABC的面积是________．解析：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba＋c＝1－sin Csin A＋sin B，所以ba＋c＝1－ca＋b，化简可得：b2＝a2＋bc－c2，可得cos A＝12，∵0＜A＜π，∴A＝π3.又b＝5，AC→·AB→＝5，∴bc cos A＝5，∴bc＝10.S＝12·bc sin A＝12×10×32＝532.答案：5328．(·浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝______，cos∠ABD＝________.解析：解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征．在ΔABD 中，有：AB sin ∠ADB ＝BD sin ∠BAC ，而AB ＝4，∠ADB ＝3π4，AC ＝AB 2＋BC 2＝5，sin∠BAC ＝BC AC ＝35，cos ∠BAC ＝AB AC ＝45，所以BD ＝1225.cos ∠ABD ＝cos(∠BDC －∠BAC )＝cos π4cos ∠BAC ＋sin π4sin ∠BAC ＝7210.答案：1225，7210三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 9．(·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . (1)若a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，求c 的值；(2)若sin A a ＝cos B2b，求sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2的值．解：(1)因为a ＝3c ，b ＝2，cos B ＝23，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，得23＝(3c )2＋c 2－(2)22×3c ×c，即c 2＝13.所以c ＝33. (2)因为sin A a ＝cos B 2b，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得cos B 2b ＝sin Bb ，所以cos B ＝2sin B .从而cos 2 B ＝(2sin B )2，即cos 2 B ＝4(1－cos 2 B )，故cos 2 B ＝45.因为sin B ＞0，所以cos B ＝2sin B ＞0，从而cos B ＝255.因此sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π2＝cos B ＝255. 10．(·辽宁三市调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.(1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . 因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2)，故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3(2＋1)2，即△ABC 面积的最大值为32＋32.11.(·广东六校联考)某学校的平面示意图为如图五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km. (1)求道路BE 的长度．(2)求生活区△ABE 面积的最大值．解析：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，由余弦定理得：BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，所以BD ＝3310，因为BC ＝CD ，所以∠CDB ＝∠CBD ＝π－23π2＝π6，又∠CDE ＝2π3，所以∠BDE ＝π2. 在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝335.(2)设∠ABE ＝α，因为∠BAE ＝π3，所以∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，由正弦定理，得ABsin ∠AEB ＝AE sin ∠ABE ＝BE sin ∠BAE ＝335sin π3＝65，所以AB ＝65sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，AE ＝65sin α. 所以S △ABE ＝12|AB ||AE |sin π3＝9325⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2π3－αsin α ＝9325⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋14≤9325⎝⎛⎭⎫12＋14＝273100，因为0＜α＜2π3，所以当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值为273100，即生活区△ABE面积的最大值为273100.高考解答题·审题与规范(二) 三角函数与解三角形类考题审题指导审题方法。

高考数学第二层提升篇专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形高三全册数学教案

第2讲三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析]式出现.(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上.(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).[例θ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝( )A.－157B.157C.－158D.158(2)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12 B.π3C.π4D.π6[解析] (1)法一：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sinθ＝cos θ，所以tan θ＝1515，则tan2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×15151－⎝⎛⎭⎪⎪⎫15152＝157，故选B.法二：由15sin θ＝cos(2π－θ)，得15sin θ＝cos θ，所以tan2θ＝sin2θcos2θ＝2sin θcos θcos 2θ－sin 2θ＝2sin θ·15sin θ（15sin θ）2－sin 2θ＝157，故选B. (2)∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.∵sin(α－β)＝－1010，sin α＝55，∴cos(α－β)＝31010，cos α＝255，∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝255×31010＋55×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1010＝22， ∴β＝π4.[答案] (1)B (2)C[解题方略] 三角函数求值的类型及方法1.(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝( )A.－2－ 3B.－2＋3C.2－ 3D.2＋3解析：选 D tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋ 3.故选D.2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos θ－45＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4的值为()A.－7B.－17C.7D.－7或－17解析：选A由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝45，sin θ≠35，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝－35，所以tan θ＝－34，于是tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θtanπ4＝－34－11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34×1＝－7.3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π12，且2sin2θ＋3sin2θ＝－15，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π12＝________.解析：由2sin 2θ＋3sin2θ＝－15，得1－cos2θ＋3sin2θ＝－15，得cos2θ－3sin2θ＝65，2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝65，即cos ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝35，又θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π12，所以2θ＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝43，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π12＝tan ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－tanπ41＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π3tanπ4＝17.答案：17考点二利用正、余弦定理解三角形题型一利用正、余弦定理进行边、角计算[例2] 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3c a cos B＝tan A ＋tan B.(1)求角A 的大小；(2)设D 为AC 边上一点，且BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，求c . [解] (1)∵在△ABC 中，3ca cos B ＝tan A ＋tan B ，∴3sin C sin A cos B ＝sin A cos A ＋sin B cos B，即3sin C sin A cos B ＝sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B ， ∴3sin A ＝1cos A ，则tan A ＝3，又0<A <π，∴A ＝π3.(2)由BD ＝5，DC ＝3，a ＝7，得cos ∠BDC ＝25＋9－492×3×5＝－12，又0<∠BDC <π，∴∠BDC ＝2π3.又A ＝π3，∴△ABD 为等边三角形，∴c ＝5.[变式1] 若本例(2)变为：a ＝3，求b ＋c 的取值范围. 解：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得b 2＋c 2－3＝bc ，即(b ＋c )2－3＝3bc ≤34(b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时取等号，∴b ＋c ≤23，又由两边之和大于第三边可得b ＋c >3， ∴b ＋c ∈(3，23].[变式2] 若本例(2)变为：AD ⊥BC ，且a ＝3，求AD 的取值范围.解：∵S △ABC ＝12AD ·BC ＝12bc sin A ，∴AD ＝12bc .由余弦定理得cos A ＝12＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －32bc ，∴0<bc ≤3(当且仅当b ＝c 时等号成立)，∴0<AD ≤32，即AD 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，32.[解题方略] 正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.题型二利用正、余弦定理进行面积计算[例3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a sinA ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围.[解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C2＝sin B sin A .因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B.由A ＋B ＋C ＝180°，可得sinA ＋C2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，故sin B 2＝12，因此B ＝60°. (2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a .由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin （120°－C ）sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 结合A ＋C ＝120°，得30°<C <90°，所以12<a <2，从而38<S △ABC <32.因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎪⎫38，32. [解题方略] 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式.(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.三角形面积公式还可用其它几何量表示S ＝12(a ＋b ＋c )r ，其中a ＋b ＋c 为三角形的周长，r 为三角形内切圆的半径.题型三正、余弦定理的实际应用[例4] 甲船从位于海岛B 正南10海里的A 处，以4海里/时的速度向海岛B 行驶，同时乙船从海岛B 以6海里/时的速度向北偏东60°方向行驶，当两船相距最近时，两船行驶的时间为________小时.[解析] 如图，设经过x 小时后，甲船行驶到D 处，乙船行驶到C 处，则AD ＝4x ，BC ＝6x ，则BD ＝10－4x ，由余弦定理得，CD 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2×(10－4x )×6x cos120°＝28x2－20x ＋100＝28⎝⎛⎭⎪⎫x －5142＋6757.若甲船行驶2.5小时，则甲船到达海岛B ，因而若x <2.5，则当x ＝514时距离最小，且最小距离为6757＝15217，若x ≥2.5，则BC ≥6×2.5＝15>15217，因而当两船相距最近时，两船行驶的时间为514小时.[答案] 514[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc＝( )A.6B.5C.4D.3解析：选A ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ，∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝b 2＋c 2－（4c 2＋b 2）2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴bc＝6.故选A.2.(2019·河南期末改编)在△ABC 中，B ＝π3，AC ＝3，且cos 2C－cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sinC ，则C ＝________，BC ＝________.解析：由cos 2C －cos 2A －sin 2B ＝－2sin B sinC ，可得1－sin 2C －(1－sin 2A )－sin 2B ＝－2sin B sinC ，即sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝－2sin B sinC .结合正弦定理得BC 2－AB 2－AC 2＝－2·AC ·AB ，所以cos A ＝22，A ＝π4，则C ＝π－A －B ＝5π12.由AC sin B ＝BC sin A，解得BC ＝ 2.答案：5π1223.(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B ).(1)求角C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.解：(1)由a (sin A －sin B )＝(c －b )(sin C ＋sin B )及正弦定理，得a (a －b )＝(c －b )(c ＋b )，即a 2＋b 2－c 2＝ab .所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)由(1)知a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以(a ＋b )2－3ab ＝c 2＝7，又S ＝12ab sin C ＝34ab ＝332，所以ab ＝6，所以(a ＋b )2＝7＋3ab ＝25，a ＋b ＝5. 所以△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7.考点三解三角形与三角函数的交汇问题[例5] 成等差数列，且AC ＝10，BC ＝15.(1)求△ABC 的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy 中点D (10，0)，若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，C ，D 三点，且A ，D 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，求f (x )的解析式.[解] (1)在△ABC 中，由角B ，A ，C 成等差数列，得B ＋C ＝2A ，又A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π3.设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3，所以c 2－10c －125＝0，解得c ＝AB ＝5＋5 6. 因为CO ＝10×sin π3＝53，所以S △ABC ＝12×(5＋56)×53＝252(32＋3).(2)因为AO ＝10×cos π3＝5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2×(10＋5)＝30，故ω＝π15.因为f (－5)＝M sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π15×（－5）＋φ＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，所以－π3＋φ＝k π，k ∈Z .因为|φ|<π2，所以φ＝π3.因为f (0)＝M sin π3＝53，所以M ＝10，所以f (x )＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π15x ＋π3.[解题方略] 解三角形与三角函数交汇问题一般步骤[跟踪训练](2019·湖南省五市十校联考)已知向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，3cos x )，x ∈R ，设函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)求函数f (x )的解析式及单调递增区间；(2)设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝2，b ＋c ＝22，△ABC 的面积为12，求a 的值.解：(1)由题意知，f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1.令2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)∵f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝1.∵0＜A ＜π，∴π6＜2A ＋π6＜13π6，∴2A ＋π6＝π2，即A ＝π6.由△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12，得bc ＝2，又b ＋c ＝22，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝(22)2－4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋32＝4－23＝(3－1)2，解得a ＝3－1.数学建模——解三角形的实际应用[典例] 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候观测仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测.如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B地晚217s ，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°.(1)求A ，C 两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .(已知声音的传播速度为340m/s)[解] (1)设BC ＝x m ，由条件可知AC ＝x ＋217×340＝(x ＋40)m.在△ABC 中，由余弦定理，可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即x 2＝1002＋(x ＋40)2－2×100×(x ＋40)×12，解得x ＝380.所以AC ＝380＋40＝420(m)，故A ，C 两地间的距离为420m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠HAC ＝30°，所以HC ＝AC tan30°＝420×33＝1403，故这种仪器的垂直弹射高度为1403m. [素养通路]数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.本题中把求A ，C 两地间的距离问题建立数学模型，在△ABC 中，通过解三角形求AC 的长，把求高度HC 建立数学模型，在Rt △ACH 中，通过解三角形求HC 的长.考查了数学建模这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·开封市定位考试)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－13，则cos2α的值为( )A.－79B.79 C.－223D.13解析：选B 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－13，所以sin α＝13，所以cos2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79，故选B.2.(2019·长春市质量监测一)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin x的最大值为( )A. 3B.2C.2 3D.4解析：选A 法一：由已知得f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为3，故选A.法二：由已知得f (x )＝12sin x ＋32cos x ＋sin x ＝32sin x ＋32cos x ，故函数的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝3，故选A. 3.(2019·长春市质量监测一)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A.60°B.120°C.45°D.135°解析：选A 由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π，所以A ＝60°，故选A.4.(2019·江西七校第一次联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝a ⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则角C ＝( )A.3π4 B.π3C.π6D.π4解析：选D 由b ＝a⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos C ＋33sin C ，得sin B ＝sin A ·⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos C ＋33sin C .因为sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，所以sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋33sin A sin C (sin C ≠0)，cos A ＝33sin A ，所以tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.由正弦定理a sin A ＝csin C ，得sin C ＝22.因为0＜C ＜2π3，所以C ＝π4.故选D.5.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c b<cos A ，则△ABC 为( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析：选A 根据正弦定理得c b ＝sin Csin B<cos A ，即sin C <sin B cos A .∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin C ＝sin(A ＋B )<sin B cos A ，整理得sin A cos B <0.又三角形中sin A >0，∴cos B <0，π2<B <π，∴△ABC 为钝角三角形.6.(2018·南昌一模)已知台风中心位于城市A 东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A 西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cos α＝34cos β，则v ＝( )A.60B.80C.100D.125解析：选C 如图，台风中心为B ，2.5小时后到达点C ，则在△ABC 中，AB sin α＝AC sin β，即sin α＝43sin β，又cos α＝34cos β，∴sin 2α＋cos 2α＝169sin 2β＋916cos 2β＝1＝sin 2β＋cos 2β，∴sin β＝34cos β，∴sin β＝35，cos β＝45，∴sin α＝45，cos α＝35，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝35×45－45×35＝0，∴α＋β＝π2，∴BC 2＝AB 2＋AC 2，∴(2.5v )2＝1502＋2002，解得v ＝100，故选C.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，则△ABC 的面积为________.解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B. 又∵b ＝6，a ＝2c ，B ＝π3，∴36＝4c 2＋c 2－2×2c 2×12，∴c ＝23，a ＝43，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×43×23×32＝6 3.答案：638.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2Ccos C＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝________.解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×12＝b 2＋c 2－bc ，又3sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，由正弦定理可得3c 22ab ＝a 2＋b 2－c 22ab ，即a 2＋b 2－4c 2＝0，则b 2＋c 2－bc ＋b 2－4c 2＝0.又b ＝6，∴c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4(负值舍去).答案：49.(2019·洛阳市统考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且tan B ＝34，则1tan A ＋1tan C 的值是________.解析：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，由正弦定理得sin 2B ＝sin A sinC ，∴1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C ＝sin C cos A ＋cos C sin Asin A sin C ＝sin （C ＋A ）sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1sin B ，∵tan B ＝34，∴sin B ＝35，∴1tan A ＋1tan C ＝53.答案：53三、解答题10.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .解：(1)在△ABD 中，由正弦定理得BDsin ∠A＝ABsin ∠ADB，即5sin45°＝2sin ∠ADB ，所以sin ∠ADB ＝25.由题设知，∠ADB <90°，所以cos ∠ADB ＝1－225＝235.(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC ＝sin ∠ADB ＝25.在△BCD 中，由余弦定理得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠BDC＝25＋8－2×5×22×25＝25，所以BC ＝5.11.(2019·重庆市学业质量调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为32ac cos B ，且sin A ＝3sin C .(1)求角B 的大小；(2)若c ＝2，AC 的中点为D ，求BD 的长. 解：(1)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝32ac cos B ，∴tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，∴B ＝60°.(2)sin A ＝3sin C ，由正弦定理得，a ＝3c ，∴a ＝6. 由余弦定理得b 2＝62＋22－2×2×6×cos60°＝28， ∴b ＝27.∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（27）2＋22－622×2×27＝－714.∵D 是AC 的中点，∴AD ＝7.∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝22＋(7)2－2×2×7×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－714＝13. ∴BD ＝13.12.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .解：(1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sinB sinC ，故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°<A <180°，所以A ＝60°. (2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22.因为0°<C <120°，所以sin(C ＋60°)＝22，故sin C ＝sin(C ＋60°－60°)＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24.B 组——大题专攻强化练1.(2019·江西七校第一次联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝bc .(1)求角A 的大小；(2)若f (x )＝sin(2x ＋A )，将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度后又向上平移了2个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的解析式及单调递减区间.解：(1)∵a 2－(b －c )2＝bc ，∴a 2－b 2－c 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2，令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤kπ＋2π3，k ∈Z ，故函数g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .2.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a sin A cos C ＋c sin A cos A －3b cos A ＝0.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为43，且b ，a ，c 成等差数列，求△ABC 的内切圆的半径.解：(1)由a sin A cos C ＋c sin A cos A －3b cos A ＝0，可知sin A (sin A cos C ＋cos A sin C )＝3sin B cos A ，∴sin A sin(A ＋C )＝3sin B cos A ，∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴sin A sin B ＝3sin B cos A ，∵sin B ≠0，∴sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝3，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由题意可知S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×32＝43，∴bc ＝16，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝(b ＋c )2－3bc ，又∵b ，a ，c 成等差数列，∴a 2＝4a 2－48，∴a ＝4，b ＋c ＝2a ＝8，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝12，设△ABC 内切圆的半径为r ，则12r ·(a ＋b ＋c )＝S △ABC ，即12r ×12＝43，∴r ＝233.3.(2019·武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C .(1)求B 的大小；(2)求sin A ＋cos C 的取值范围.解：(1)锐角三角形ABC 中，sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C －3sin A sin C ，故b 2＝a 2＋c 2－3ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32，又B ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ＝π6.(2)由(1)知，C ＝5π6－A ，故sin A ＋cos C ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝32sin A －32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，C ＝5π6－A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，32，故sin A ＋cos C的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，32. 4.(2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3（2＋3）2.(1)求CD ；(2)求∠ABC .解：(1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3（2＋3）2，∵BC ＝23，BD ＝3＋6， ∴sin ∠CBD ＝12.∵∠ABC 为锐角，∴∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9，∴CD ＝3.(2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CDsin ∠CBD ，即23sin ∠BDC ＝3sin30°，解得sin ∠BDC ＝33.∵BC ＜BD ，∴∠BDC 为锐角，∴cos ∠BDC ＝63.在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD ，∴ACsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠BDC ＝CDsin ∠CAD即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD.① 在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC ，即ACsin ∠ABC ＝23sin ∠BAC.② ∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BAC .由①②得sin ∠ABC cos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝错误!.∴∠ABC 为锐角，∴∠ABC ＝45°.c .已知b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6.(1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B )的值. [快审题](1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b sin A ＝a sin B.又因为b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以a sin B ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，即sin B ＝32cos B ＋12sin B ，所以tan B ＝ 3.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝7，故b ＝7.由b sin A ＝a cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，可得sin A ＝37.因为a ＜c ，所以cos A ＝27.所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝437，cos 2A ＝2cos 2A －1＝17.所以sin(2A －B )＝sin 2A cos B －cos 2A sin B ＝437×12－17×32＝3314.[题后悟道]1.利用正、余弦定理求解问题的策略2.三角恒等变换的思路为“一角二名三结构”升幂(降幂)公式口诀：“幂降一次，角翻倍；幂升一次，角减半”.。

2021届高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形学案文(全国通用

2021届高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形学案文（全国通用----a9f5078a-6ea1-11ec-8df9-7cb59b590d7d第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1三角函数的简化与评价是高考中的一个热门话题。

同角度三角函数的基本关系和归纳公式是解决计算问题的工具。

三角恒等式变换使用三角恒等式（两个角度的和与差，双角度的正弦、余弦和切线公式），而“角度”变换是三角恒等式变换的核心；2.正弦定理、余弦定理和解三角形问题是高考必备的内容。

他们主要检查边缘、角度和面积的计算以及相关的范围问题真题感悟四1.(20212全国ⅲ卷)已知sinα－cosα＝，则sin2α＝()37a.－92c.92b.－97d.9二（sinα－cosα）－17解析sin2α＝2sinαcosα＝219答案a2.(20212山东卷)在△abc中，角a，b，c的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a＝2b(1－sin二2a），然后a=（）3a、π4πc.4解析因为b＝c，a＝2b(1－sina)，2b、 d。

π3π6b2＋c2－a22b2－2b2（1－sina）所以cosa＝＝，则cosa＝sina.22bc2bπ在里面△ ABC，a=4答案c3.（20222年第一卷）内角a、B和C的相对侧△ ABC分别是a、B和C。

如果已知SINB+Sina（sinc-COSC）=0，a=2，C=2，那么C=（）πa.12πC.4b.d.π6π3通过对问题意义的分析，得出sin（a+C）+Sina（sinc-COSC）=0，|sinacosc+cosasinc+sinasinc-sinacosc=0，?π?则sinc(sina＋cosa)＝2sincsin?a＋?＝0，4.π? 因为sinc≠ 0，罪恶？a＋？＝04??π3π又因为a∈(0，π)，所以a＋＝π，所以a＝.44从正弦定理=，我们得到sinasinc1π那么sinc=，C=26答案bπ?? π?? 4.（20222年国家卷一）已知α∈? 0 tanα＝2。

高考数学统考二轮复习第二部分专题1三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形教师用书教案理

专题1 第2讲三角恒等变换与解三角形三角恒等变换及其应用授课提示：对应学生用书第17页考情调研考向分析三角恒等变换是三角变换的工具，主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值，重在考查化简、求值，公式的正用、逆用以及变式运用，可单独考查，也可与三角函数的图象和性质、向量等知识综合考查，加强转化与化归思想的应用意识．选择、填空、解答题均有可能出现，中、低档难度.1.应用三角变换化简求值．2.结合三角变换研究三角函数的图象和性质.[题组练透]1．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝( ) A.63 B.223 C.33D.13解析：由题意，根据诱导公式可得sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α，又由余弦的倍角公式，可得cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝13，故选D.答案：D2．(2019·三明质检)下列数值最接近2的是( ) A.3cos 14°＋sin 14° B.3cos 24°＋sin 24° C.3cos 64°＋sin 64°D.3cos 74°＋sin 74°解析：选项A ：3cos 14°＋sin 14°＝2sin(60°＋14°)＝2sin 74°；选项B ：3cos 24°＋sin 24°＝2sin(60°＋24°)＝2sin 84°；选项C ：3cos 64°＋sin 64°＝2sin(60°＋64°)＝2sin 124°＝2sin 56°；选项D ：3cos 74°＋sin 74°＝2sin(60°＋74°)＝2sin 134°＝2sin 46°，经过化简后，可以得出每一个选项都具有2sin α，0°＜α＜90°的形式，要使得选项的数值接近2，故只需要sin α接近于sin 45°，根据三角函数y ＝sin x ，0°＜x ＜90°图象可以得出sin 46°最接近sin 45°，故选D.答案：D3．(2019·滨州模拟)函数y ＝(cos x ＋sin x )·cos ⎝⎛⎭⎫x －π2的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π8，2k π＋3π8(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：函数的解析式y ＝(cos x ＋sin x )·sin x ＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4. 函数的单调递增区间满足2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π8≤x ≤k π＋38π(k ∈Z )，表示为区间形式即⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．故选B. 答案：B4．(2019·青岛模拟)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，则sin 2α＝________. 解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝13，∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4－1＝29－1＝－79，又cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α，∴sin 2α＝79.答案：79[题后悟通]三角函数求值的类型及方法(1)给角求值：解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变换．(2)给值求值：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．(3)给值求角：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．正弦定理与余弦定理授课提示：对应学生用书第19页考情调研考向分析以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强直观想象的应用意识．题型多样，中档难度.1.利用正、余弦定理解三角形．2.判断三角形的形状．3.计算三角形的面积.1．(2019·桂林、崇左模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若c cos B ＋b cos C ＝2，且b 2＋c 2－a 2＝2bc ，则a sin A＝( )A.2B.22C ．2D.12解析：把余弦定理代入c cos B ＋b cos C ＝2，得a ＝2，由b 2＋c 2－a 2＝2bc 得2bc cos A ＝2bc ，∴cos A ＝22，∴A ＝π4. ∴a sin A ＝222＝2. 故选C. 答案：C2．(2019·保定模拟)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边a 、b 、c 依次成等差数列，且B ＝π3，则△ABC 的形状为( ) A ．等边三角形B ．直角边不相等的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形解析：因为a 、b 、c 依次成等差数列，所以b ＝a ＋c2，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，将b ＝a ＋c2代入上式整理得(a －c )2＝0，所以a ＝c ，又B ＝π3，可得△ABC 为等边三角形．故选A. 答案：A3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A cos C ＋c sin A cos B ＝15a 4. (1)求sin A ；(2)若a ＝32，b ＝4，求c .解析：(1)因为b sin A cos C ＋c sin A cos B ＝15a 4，所以由正弦定理，得sin B sin A cos C ＋sin C sin A cos B ＝15sin A4，因为sin A ≠0，所以sin B cos C ＋sin C cos B ＝154，所以sin(B ＋C )＝154，所以sin(π－A )＝154，所以sin A ＝154. (2)法一：因为△ABC 为锐角三角形，所以A 为锐角，因为sin A ＝154，所以cos A ＝14. 因为a ＝32，b ＝4，由余弦定理得(32)2＝42＋c 2－2×4×c ×14，所以c 2－2c －2＝0，所以c ＝3＋1.法二：因为△ABC 为锐角三角形，所以A ，B 为锐角，因为a ＝32，b ＝4，所以由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝4×15432＝306，所以cos B ＝66. 因为sin A ＝154，所以cos A ＝14. 所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝30(3＋1)24，由正弦定理得c ＝a sin Csin A＝3＋1.[题后悟通]1．正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理． (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． 2．三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 3．解三角形实际应用问题的步骤解三角形与三角函数的交汇问题授课提示：对应学生用书第20页考情调研考向分析利用正弦定理、余弦定理与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查，加强数学知识的综合性考查．题型主要为选择题和填空题，中档难度.1.三角函数与解三角形．2.解三角形与其他知识交汇.[题组练透]1．(2019·吉安模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c cos B ＝2a ＋b .(1)求角C 的大小；(2)若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m cos 2x (m ∈R )图象的一条对称轴方程为x ＝C2且f ⎝⎛⎭⎫α2＝65，求cos(2α＋C )的值．解析：(1)由题意，根据正弦定理，可得2sin C cos B ＝2sin A ＋sin B ，又由A ＝π－(B ＋C )，所以 sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，可得2sin C cos B ＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ＋sin B ，即2sin B cos C ＋sin B ＝0，又因为B ∈(0，π)，则sin B >0，可得cos C ＝－12，∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m cos 2x ＝2sin 2x cos π6＋2cos 2x sin π6＋m cos 2x＝3sin 2x ＋(m ＋1)cos 2x ，由题意知函数f (x )的图象的一条对称轴方程为x ＝π3，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，得m ＋1＝3sin 4π3＋(m ＋1)cos 4π3，即m ＝－2，所以f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，又f ⎝⎛⎭⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝35，所以cos(2α＋C )＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋2π3＝－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝－cos 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝2sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－1＝－725. 2．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx －sin 2ωx ＋1(ω>0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求ω的值及函数f (x )的单调递减区间；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且满足a ＝3，f (A )＝1，求△ABC 面积S 的最大值．解析：(1)f (x )＝32sin 2ωx －1－cos 2ωx 2＋1＝sin(2ωx ＋π6)＋12.因为函数f (x )的图象中相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T ＝π，即2π2ω＝π，所以ω＝1.所以f (x )＝sin(2x ＋π6)＋12.令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．(2)由f (A )＝1得sin(2A ＋π6)＝12.因为2A ＋π6∈(π6，13π6)，所以2A ＋π6＝5π6，得A ＝π3.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即(3)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3，所以bc ＋3＝b 2＋c 2≥2bc ，解得bc ≤3，当且仅当b ＝c 时等号成立．所以S △ABC ＝12bc sin A ≤12×3×32＝334.[题后悟通]解三角形与三角函数交汇问题一般步骤。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真题感悟1.(2016·全国Ⅲ卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( ) A.6425 B.4825C.1D.1625解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.答案 A2.(2016·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.解析在△ABC 中由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113. 答案 21133.(2015·全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________.解析如图所示，延长BA ，CD 交于点E ，则可知在△ADE 中，∠DAE ＝105°，∠ADE ＝45°，∠E ＝30°， ∴设AD ＝12x ，则AE ＝22x ，DE ＝6＋24x ，令CD ＝m ，∵BC ＝2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋24x ＋m ·sin 15°＝1⇒6＋24x ＋m ＝6＋2， ∴0<x <4，而AB ＝6＋24x ＋m －22x ＝6－24x ＋m ＝6＋2－22x ，∴AB 的取值范围是(6－2，6＋2). 答案 (6－2，6＋2)4.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长.解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .可得cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cos C ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25.所以△ABC 的周长为5＋7.考点整合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限. (3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.2.正、余弦定理、三角形面积公式 (1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径).变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C .(2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . (3)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A .热点一三角恒等变换及应用【例1】 (1)(2015·重庆卷)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝( )A.1B.2C.3D.4(2)已知α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.(3)(2016·合肥质检)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α²cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.则sin 2α＝________.解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin α·cos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3.(2)∵α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35＞0，∴α＋π6为锐角，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2³45³35＝2425，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π6＝2425.(3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.答案 (1)C (2)2425 (3)12探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当已知角有两个时，“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.【训练1】 (1)已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.16B.13C.12D.23(2)(2016·成都模拟)sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝( )A.－63B.－66C.66D.63(3)(2016·中山模拟)已知cos(2α－β)＝－1114，sin(α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________.解析 (1)法一 cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝12(1－sin 2α)＝16.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22cos α－22sin α.所以cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α) ＝12(1－sin 2α)＝16.(2)sin(π－α)＝sin α＝－53，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝－23. 由cos α＝2cos 2α2－1，α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，得cos α2＝－cos α＋12＝－66.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2＝－66.(3)因为cos(2α－β)＝－1114，且π4＜2α－β＜π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437，且－π4＜α－2β＜π2.。

高中数学二轮复习第2讲三角恒等变换与解三角形教案含答案(全国通用)

(新课标)高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形学案 理 新人

高考数学二轮复习 专题二 第2讲 三角变换与解三角形(含解析)-人教版高三全册数学试题

高三数学二轮复习 专题三第二讲 三角变换与解三角形教案 理

2020届高三数学二轮复习 专题二 第2讲 三角恒等变换与解三角形教案

高三二轮复习(理数) 第二讲 三角恒等变换与解三角形(教案)(Word版,含答案)