CH8空间解析几何与向量代数
(完整版)第八章向量代数与空间解析几何教案(同济大学版高数)(最新整理)
形对角线的交点（。见图 7－5）
图 7－4
解： a
b
AC
2
AM
，于是
MA
1
(a
b)
2
由于 MC MA ，
于是
MC
1
(a
b)
2
又由于
a
b
BD
2 MD
，于是
MD
1
(b
a)
2
由于 MB MD ，
于是
MB
1
(b
a)
2
三、空间直角坐标系
1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
五、向量的模、方向角、投影
设 a {ax , a y , az } ，可以用它与三个坐
标轴的夹角、、 （均大于等于 0，小
5
于等于 ）来表示它的方向，称、、 为非零向量 a 的方向角，见图 7－6，其余弦表示
形式cos、cos 、cos 称为方向余弦。
1． 模
a
a
2 x
a
2 y
a
2 z
2． 方向余弦
PP1 x2 2 2 32 x2 11 PP2 x2 12 12 x2 2
PP为： (1,0,0) ， (1,0,0)
四、利用坐标系作向量的线性运算
1．向量在坐标系上的分向量与向 量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的 点与有序数组之间建立了一一对应关 系，同样地，为了沟通数与向量的研 究，需要建立向量与有序数之间的对 应关系。
◆ 任意向量的方向余弦有性质： cos2 cos2 cos2 1
◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为：
a 0 a 1 {a x , a y , a z } {cos, cos , cos } aa
高数下 第八章空间解析几何.PDF
平行向量对应坐标成比例
当 a 0 时,
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay bz = az
例1 已知两点 在AB直线上求一点M ，使
及实数 −1，
A
解 设 M 的坐标为
如图所示
M
B
AM = MB OM − OA = ( OB − OM )
第八章 空间解析几何与向量代数
第一讲 向量及其线性运算
回顾
基本概念 向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量、 向量之间的关系：向量平行、 向量相等、 向量共面、 向量的线性运算与坐标表示：平面向量的线性运算、 平面向量的坐标表示、 平面向量平行的坐标表示等
一 、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴， 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
C(x, Байду номын сангаас, z)
oo
x P(x, 0, 0)
M y
Q(0, y, 0) A(x, y, 0)
z
o
x
坐标面
坐标轴
y
视频2
二、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下，任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M 的坐标为
M (x , y , z) , 则 OM = ON + NM = OA + OB + OC
及
解 设该点为 M (0, 0, z),
因为 M A = M B ,
(−4)2 +12 +(7 − z)2 = 32 +52 +(−2 − z)2 解得 故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
高等数学-第8章空间解析几何与向量代数
b a b≤+，向量与数的乘法a ，方向与、向量与数量乘法的性质(运算律和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量（以后简称向量），即只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时（例如，谈到某一质点的运动速向量A B ''在轴上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1（投影定理）=cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质可推广到有限个向量的情形。
：向量a 在坐标轴上的投影向量向量a 在三条坐标轴上的投影由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a 量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、2x a a a =+acos a b cos a b (,)a b =为向量之间的夹角并且0θπ≤≤。
2a =，因此我们可以把a a ∙简记为x y z z 由向量的坐标还可以计算两个向量之间的夹角， cos ab θ所以2cos xa b a ba θ∙==+两个向量垂直的充分必要条件是sin a b θ，它的方向是垂直于。
a b ⨯=sin a b b 为两边的平行四边形的面积。
如果向量a ={,,a a a }，{,}b b =则a b ⨯=..........x y zi j a a b b b 两向量平行的充分必要条件为也就是说两向量共线，其对应坐标成比例。
决；在求向量，特别是求垂直向量问题时常用向量积。
注意向量的平行、垂直关系及角度。
利。
空间解析几何与向量代数
空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数是数学中的两个重要分支，它们分别从几何和代数的角度，研究了空间中点、线、面的性质，以及向量的运算与性质。
本文将介绍空间解析几何与向量代数的基本概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、空间解析几何空间解析几何是以坐标系为基础，利用代数方法研究空间中点、线、面的性质与相互关系的数学学科。
它的基本概念包括平面直角坐标系、空间直角坐标系，以及点、直线、平面的方程等。
1. 点的坐标在平面直角坐标系中，点的坐标用有序实数对(x, y)表示；在空间直角坐标系中，点的坐标用有序实数三元组(x, y, z)表示。
通过坐标，可以确定点在坐标系中的位置。
2. 直线的方程空间解析几何中，直线的方程有多种表示形式，常见的有点向式、对称式和一般式。
在点向式中，直线上的任意一点可以用一个固定点和一个方向向量表示；在对称式中，直线上的任意一点满足一个关系式；一般式则是通过线的法向量与截距来表示。
这些方程形式各有特点，在不同的问题中有不同的用途。
3. 平面的方程平面的方程也有多种表示形式，常见的有点法式和一般式。
在点法式中，平面上的任意一点满足一个关系式，并且平面的法向量可以通过法线上的两个点相减并取正交向量得到；一般式则是通过平面的法向量与截距来表示。
同样，不同的方程形式适用于不同类型的问题。
二、向量代数向量代数是关于向量的计算与运算的数学学科，它以向量作为基本研究对象，研究向量的性质、向量之间的关系以及向量的运算规则等。
1. 向量的表示向量可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。
在空间中，一个向量可以写成一个实数三元组，例如向量v(x, y, z)表示从原点指向点(x, y, z)的有向线段。
向量的长度用模表示，记作|v|。
2. 向量的运算向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和内积运算。
向量的加法和减法遵循平行四边形法则和三角形法则；数量乘法将向量的模与一个实数相乘，改变了向量的长度和方向；内积运算结果是一个实数，满足交换律和分配律。
第八章空间解析几何与向量代数
即有
b
a.
(
此时
b
与
a
同向,
且 a
a
b
a
b
)
两的式唯相一减性，.得又设设(bb)aaa，， 0，
即
a
a
0，
a
0
0
即 .
设 ea
表示与非零向量
a
同方向的单位向量，
按照数乘的定义，得
规定：
a
a
|
a
1
| ea
a
a
|a
即
| a |a
|
|
1 a
a |
ea
|
1 (| a|
a
OP 与实数 x 一一对应
点P 向量OP xi 实数 x 定义：轴上点P 的坐标为实数 x
x
Oi
P
x
轴上点P的坐标为x
OP x i
三、空间直角坐标系
在空间取定一点O和三个两两垂直
的单位向量 i , j, k
就确定了三条以O为原点的
i
两两垂直的数轴，依次记为
x轴, y轴, z轴
x
（横轴）（纵轴）（竖轴）统称为坐标轴
2
2
MC AM a b 2
定 理1 设 向 量a 0， 那 末 向 量b 平 行 于 向 量 a 的 充 分 必 要 条 件 是 ： 存在 唯 一 的
实数 ，使得 b a
证 充分性 显然
必要性 的存在性
设 b‖
a
取
b
,
即
b
a
a
当
b
与
a
同向时
取正值，
当
b
与
第8章 空间解析几何与向量代数
第八章空间解析几何与向量代数习题8-1★★1．填空：（1） 要使b a b a -=+成立，向量b a , 应满足b a ⊥（2） 要使b a b a +=+成立，向量b a , 应满足 //b a ，且同向★2．设c b a v c b a u-+-=+-=3 , 2，试用c b a , , 表示向量v u 32-知识点：向量的线性运算解：c b a c b a c b a v u 711539342232+-=+-++-=-★3．设Q , P 两点的向径分别为21 , r r ，点R 在线段PQ 上，且nmRQPR =，证明点R 的向径为 n m m n+=+r r r 12知识点：向量的线性运算证明：在OPQ ∆中，根据三角形法则PQ OP OQ =-，又)(21r r -+=+=nm mn m m ，∴nm m n n m mPR OP OR++=-++=+=22r r r r r 111)(★★4．已知菱形ABCD 的对角线b a AC ==BD , ，试用向量b a , 表示DA CD BC AB , , , 。
知识点：向量的线性运算解：根据三角形法则， b a ==-==+ , ，又ABCD 为菱形，∴=（自由向量），∴222AB AC BD AB CD DC AB --=-=-⇒=⇒=-=-= a b b aa b ∴2b a +==，2DA +=- a b★★5．把ABC ∆的BC 边五等分，设分点依次为4321 , , , D D D D ，再把各分点与点A 连接，试以a c == , 表示向量 , , 321D D D 和D 4。
知识点：向量的线性运算解：见图7-1-5，根据三角形法则，)51(51 ,11111a c +-=-=⇒==+AD D BD AD BD 同理：)54( ),53( ),52((432a c a c a c +-=+-=+-=A D A D A D习题8-2★1在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(2 , 2 , 3)A -； 5) , 3 , 3(-B ； )4 , 2 , 3(--C ； 2) , 3 , 4(--D答：(2 , 2 , 3)A -在第四卦限，5) , 3 , 3(-B 在第五卦限，)4 , 2 , 3(--C 在第八卦限，2) , 3 , 4(--D 在第三卦限★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：A B C D -(2,3,0); (0,3,2); (2,0,0); (0,2,0)知识点：空间直角坐标答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，∴点A 在xoy 坐标面上；B 在yoz 坐标面上；C 在x 轴上；D 在y 轴上。
向量代数与空间解析几何
空间解析几何的应用
空间解析几何在物理学中的应用
描述物体运动轨迹和方向
解释重力、电磁场等现象
用于研究光速、波的传播等
描述量子力学中的波函数
空间解析几何在计算机图形学中的应用
建模：利用空间解析几何构建三维模型实现复杂形状的描述和设计。
渲染：通过空间解析几何的方法实现光照、阴影、纹理等效果的渲染提高图像的真实感和质感。
动画：利用空间解析几何描述物体的运动轨迹和形态变化实现逼真的动画效果。
交互：利用空间解析几何的方法实现用户与三维场景的交互例如旋转、缩放、移动等操作。
空间解析几何在机器人学中的应用
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
路径规划：基于空间解析几何的方法规划机器人的移动路径
机器人姿态描述：利用空间向量和矩阵表示机器人的姿态和位置
向量的向量积的坐标表示：向量=(1,2,3)向量b=(b1,b2,b3)则向量和向量b的向量积的坐标表示为×b=(2b3-3b2,3b1-1b3,1b2-2b1)。
向量的混合积的坐标表示：对于三个三维向量、b和c向量和向量b的混合积的坐标表示为(×b)·c其中"·"表示点乘。混合积的结果是一个标量其值等于三个向量的行列式值乘以三个向量的模长。
向量的模和向量的数量积的坐标表示
添加标题
向量的模坐标表示：向量=(x1,y1,z1)则向量的模为||=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)
向量的数量积坐标表示：向量=(x1,y1,z1)向量b=(x2,y2,z2)则向量和向量b的数量积为·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2
添加标题
向量的向量积和向量的混合积的坐标表示
高等数学第八章空间解析几何与向量代数
|
c
|
102 52 5 5,
c0
|
c c
|
2
j
5
1 5
k
.
k
4 10 j 5k, 2
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
第三节 平面及其方程
一、平面的点法式方程
z
如果一非零向量垂直于一
平面，这向量就叫做该平
面的法线向量．
o
y
x
法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量．
定的平面, 指向符合右手系。
定义
向量
a
与
b
的向量积为
c
a
b
(其中
为a
与b
的夹角)
c 的方向既垂直于a，又垂直于b ，
指向符合右手系。
向量积也称为“叉积”、“外积”。
1、关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
( 0 sin 0)
(2) a//b
a b 0.
(a
0,
b
,
ab .
()
ab,
,
2
cos 0,
ab
|
a
|| b
2
| cos
0.
2、数量积符合下列运算规律：
(1) 交换律：
a
b
b
a
(2) 分配律：
(a b) c a c b c
(3) 若 为常数：
若 、 为常数：
(a)
b
a
(b)
(a
(a)
( b )
(a
b ).
3、向量积的坐标表达式
设
a
axi
第八章 空间解析几何与向量代数(同济六版)ppt课件
z
坐标轴 :
o
y
x轴
y轴
y0 z0
z0 x0
x
坐标面 : xoy面 z 0
x 0 z轴 y 0
x 0 yoz面 zox面 y 0
目录 上页 下页 返回 结束
2. 向量的坐标表示
i , j , k 分别表示坐标轴x, y, z上的单位向量
(1)设点 M (x, y, z), 则
第八章 空间解 析几何与向量 代数(同济六版 )
§1 向量及其线性运算
§2 数量积，向量积 §3 平面及其方程
§4 空间直线及其方程
§5 曲面及其方程
§6 空间曲线及其方程
目录 上页 下页 返回 结束
§1 向量及其线性运算
一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
第一次课
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
目录 上页 下页 返回 结束
【例1】如果四边形对角线互相平分，则它是
解: 如图 M 为四边形ABCD 对角线的交点, 则
D
A B a b ， 1 1
b
2
a
M
b1
C
2
D C a b 2 2
a
A
1
B
由已知 a a ,b b 1 2 1 2 所以
A B D C
所以ABCD为平行四边形.
( 2 , 3 , )
c a 2 ( 2 )( 1 3 )( 1 ) 0
6 2 0 取λ =1，则μ =3
c (, 58 , 2 )
特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标面上的点 A , B , C
第八章空间解析几何与向量代数知识点题库与答案
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
第八章空间解析几何与向量代数.ppt课件
且平行平面3x 4y z 10 0
又与直线 x 1 y 3 z
3
12
相交的直线方程。
例3．已知质点M以 M0 1,1,1 为
起点，以21米／秒的速度，在向
量 R 2,3,6 的方向上作直线
运动，试求质点M的运动方程。
例4．求直线
L1
:
x 1 1
y 4
z
3 1
和
L2
:
x 2
y2 2
z 1
例2．在平行四边形 ABCD 中，
设 AB a , AD b ，试用
a和b 表示向量
MA ,MB ,MC和MD
。
例3．求解以向量为未知元的线性方
程组 5x3 ya 其中 3x2 yb
a=2,1, 2 b=1,1,-2
例4．已知两点
A x1, y1, z1 和 B x2, y2, z2
以及实数 1 ，在直线 AB
上求点 M ,使 AM MB 。
例5．已知空间一点 M 的坐
标为 3, 4,5 ，试在直角
坐标系 oxyz 中描出它
的位置。
例6．已知空间一点 M 的坐标
为 3,3, 2 ，试描出它关于坐标
面
oxy
oy ，坐标轴
和坐标
o 原点 的对称点。
例7．求证以
M1 4,3,1 M2 7,1, 2 M3 5, 2,3
例14．设立方体一条对角线为 OM
一条棱为 OA ，且 OA a ，
求 OA在OM 方向上的投影
prj OA OM
。
§8-2 数量积 向量积 混合积
例1．试用向量证明三角形的余弦
定理。
例2．在 XOY 坐标面上，求出与
考研数学高数第八章知识梳理空间解析几何与向量代数
考研高数第八章知识梳理:空间解析几何与向量代数
来源:文都图书
考研数学中最重要的分支―高等数学。
高等数学是考研数学中所占内容最多的部分，在数一和数三中，高数部分占总分的56%，在数二中，高数部分占总分的78%，可见高等数学对考研数学的成绩起着至关重要的作用。
但是很多考生往往对高等数学的复习抓不到重点，今天,我们对高等数学的各个章节的知识点进行了梳理，希望对考生们有所帮助。
下面是2017考研高数第八章知识梳理：空间解析几何与向量代数。
1.理解空间直线坐标系，理解向量的概念及其表示。
2.掌握向量的数量、积向量积、混合积并能用坐标表达式进行运算，了解两个向量垂直、平行的条件。
3.掌握向量的线性运算，掌握单位向量、方向角与方向余弦，掌握向量的坐标表达式掌握用坐标表达式进行向量运算方法。
4.掌握直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题，会求点到直线及点到平面的距离。
5.掌握平面方程及其求法，会求平面与平面的夹角，并会用平面的相互关系(平行相交垂直)解决有关问题。
6.理解曲面方程的概念，了解二次曲面方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
7.了解空间曲线的概念，了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
上面讲述了空间解析几何与向量代数的相关知识点,对这个章节中所涉及的所有知识点都进行了详细的解答和分析,希望考生可以好好利用, 汤家凤编写的《2017考研数学硕士研究生入学考试高等数学辅导讲义》这本书对高数中的高频考点,进行了分析与解答,
考生们要好好利用哦,加油。
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。
以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。
2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。
二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。
2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。
三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。
2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。
四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。
2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。
高等数学第一节、向量及其线性运算
o
a
A
记作(a, b) 或 (b, a),即(a, b) .
如果向量 a 与 b 中有一个是零向量 ,规定它们的
夹角可以在 0 与 π 之间任意取值 .
8、向量平行
如果(a, b) 0或，就称向量a 与b 平行，记作a// b .
a
c
b
零向量与任何向量都平行.
9、向量垂直
如果
( a,
b)
，就称向量a
因为向量 a 与 a 平行,所以常用向量与数的乘
积来说明两个向量的平 行关系.
定理 1 设向量 a 0,那么向量b 平行于 a 的充分
必要条件是: 存在唯一的实数,使得 b a .
6、数轴与向量
数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故
给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴.
6、零向量： 模等于零的向量叫做零 向量,记作 0 或 0 .
零向量的起点与终点重合，它的方向可以看做是任意的.
7、向量的夹角 设有两个非零向量 a, b, 任取空间一点 O,
作 OA a, OB b,
规定不超过 π 的 AOB
B
b
(设 AOB, 0 π)
称为向量a 与 b的夹角,
A
D
二、向量的线性运算
1. 向量的加法
三角形法则
ab
C
A
a
b
B
或平行四边形法则
b
A
D
ab
a
B
C
b (ab)c
a (b c)
c bc
运算规律 :
ab b
交换律 结合律
a b b a (a b) c
a
(b
c)
高等数学向量代数与空间解析几何总结
高等数学向量代数与空间解析几何总结高等数学是大学数学学科的一门重要基础课程，其中向量代数与空间解析几何是其重要的内容之一、本文将对向量代数与空间解析几何的主要内容进行总结，让我们一起来了解一下吧！向量代数是研究向量的代数性质和运算法则的数学分支，旨在通过研究向量的各种运算进行分析与求解问题。
空间解析几何则是研究点、线、面等几何对象在三维空间中的位置关系和几何性质的学科。
首先，我们先来了解一下向量代数的基本概念和运算法则。
在向量代数中，向量是具有大小和方向的量，通常用一个有向线段表示。
向量的加法是指两个向量相加，得到一个新的向量，其结果是由两个向量的平行四边形法则确定的。
向量的乘法有数量乘法和点乘法两种形式。
数量乘法是指数与向量相乘，得到一个新的向量，其长度与原向量的长度相乘，方向与原向量相同或相反。
点乘法是指两个向量进行点乘，得到一个实数结果，其大小等于两个向量的长度相乘再乘以它们的夹角的余弦值，方向与夹角为锐角的原向量相同，为钝角时与原向量相反。
向量代数的运算法则包括交换律、结合律和分配律。
接下来，我们来了解一下空间解析几何的基本内容。
空间解析几何主要研究三维空间中的点、直线和平面的位置关系和几何性质。
其中，点是空间中没有大小、没有方向的对象，用坐标表示。
直线是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过两点确定一条直线，也可以通过点和方向向量确定一条直线。
平面是由无数个点组成的无限延伸的几何对象，可以通过三个点确定一个平面，也可以通过点和法向量确定一个平面。
空间解析几何要求我们掌握点与点之间的距离、点与直线之间的关系、直线与直线之间的关系、点与平面之间的关系、直线与平面之间的关系等内容。
对于这些关系，我们可以通过向量的性质和运算进行解决。
在向量代数与空间解析几何中，还有一些重要的概念与定理需要了解。
例如，向量的模长是指向量的长度，可以通过向量的坐标和勾股定理求得。
向量的单位向量是指长度为1的向量，可以通过将向量的坐标除以其模长得到。
空间解析几何与向量代数知识点总结
空间解析几何与向量代数知识点总结
以下是空间解析几何与向量代数的一些重要知识点总结：
1.三维坐标系：空间解析几何中，我们使用三维坐标系来描述点的位置。
常见的三维坐标系有直角坐标系和球坐标系。
2.点、向量和直线：点是空间中的一个位置，向量是由起点和终点确定的有方向的线段。
直线是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
3.向量的表示和运算：向量可以用坐标表示，常见的表示方法有行向量和列向量。
向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。
4.向量的长度和方向：向量的长度可以用模长表示，方向可以用单位向量表示。
单位向量是长度为1的向量，可以通过将向量除以其模长得到。
5.平面和曲面：平面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合，可以用法向量和一个过点的向量表示。
曲面是空间中一组满足某种几何性质的点的集合。
6.点到直线和点到平面的距离：点到直线的距离可以通过求取点到直线的垂直距离得到，点到平面的距离可以通过求取点到平面的垂直距离得到。
7.向量的线性相关性和线性独立性：向量的线性相关性表示向量之间存在线性关系，线性独立性表示向量之间不存在线性关系。
8.平面的交线和平面的夹角：两个平面的交线是同时在两个平面上的点的集合，平面的夹角是两个平面的法向量之间的夹角。
9.点积和叉积的应用：点积可以用来计算向量的夹角和投影，叉积可以用来计算向量的长度、面积和法向量。
10.直线和平面的方程：直线可以用参数方程和对称方程表示，平面可以用点法式方程和一般式方程表示。
向量代数与空间解析几何
向量代数与空间解析几何在数学中，向量代数与空间解析几何是两个重要的概念，它们在许多领域都有着广泛的应用。
虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的概念，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系。
向量代数向量代数是研究向量的数学分支，它主要研究向量的运算和性质。
在向量代数中，向量被定义为具有大小和方向的量，通常用箭头来表示。
向量在空间中可以进行加法、减法、数乘等运算，而这些运算都满足一定的代数规律。
向量代数对于分析和描述空间中的各种物理现象和运动非常重要。
许多力学和动力学问题都可以通过向量代数来解决，从而为实际应用提供了有效的数学工具。
空间解析几何空间解析几何是研究空间中点和曲线的几何性质的数学分支，它主要通过代数方法来描述和研究空间中的几何对象。
在空间解析几何中，点可以用坐标来表示，而曲线可以用方程来描述。
通过空间解析几何，我们可以准确描述空间中的各种几何对象，如直线、平面、曲线等，从而使几何问题更加直观和形象化。
空间解析几何在工程学、物理学和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
向量代数与空间解析几何的关系虽然向量代数和空间解析几何是两个独立的数学分支，但它们之间是密不可分的。
首先，向量可以用坐标表示，而坐标又是空间解析几何的基本概念之一。
通过向量代数的运算规律，我们可以更方便地描述和计算空间中的几何对象。
其次，向量代数中的向量空间和空间解析几何中的空间有着相同的数学结构。
通过向量空间的性质，我们可以进一步研究和理解空间中点和向量的几何关系，从而推广和应用解析几何的方法。
总的来说，向量代数和空间解析几何是两个相互支持、相互促进的数学分支，它们共同构建了我们对空间中几何对象的深刻认识和理解。
总结向量代数与空间解析几何是数学中两个重要的概念，它们在各种领域都有着广泛的应用。
通过向量代数和空间解析几何的研究，我们可以更好地理解和描述空间中的各种几何对象，从而为实际问题的求解提供了有效的数学工具。
虽然向量代数和空间解析几何是独立的数学分支，但它们之间存在着密切的联系和相互支持的关系，共同构建了我们对空间几何的理解和认识。
CH8空间解析几何与向量代数
知识点六 向量的运算内容：1．空间坐标系（1）点的坐标与位置（2）两点间距离公式：()()()21221221221z z y y x x M M -+-+-=2．向量的线性运算（略）方向余弦：（1）1cos cos cos 222=++γβα（2）向量的单位余弦构成的向量是同方向的单位向量，即}cos ,cos ,{cos ||0γβαa a a ==3．向量的数量积（点积、内积）（1）数量积的定义计算式：θb a b a cos ||||=⋅（2）数量积的坐标计算式：z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅（3）数量积的两个性质：（a ）2||a a a=⋅(b ) 0=⋅⇔⊥b a b a0=++⇔z z y y x x b a b a b a（4）两向量的夹角：222222cos zy x zy x zz y y x x b b b a a a b a b a b a θ++++++=（5）向量的数量积的物理意义：恒力对直线运动物体的做功 4．向量的向量积（叉积、外积） （1）向量积的定义计算：（a ）方向：右手法则（b ）大小：0sin ||||||==⨯θb a b a（2）向量积的坐标计算：zy xz y x b b b a a a k j i b a=⨯（3）向量积的性质：（a ）0=⨯a a(b ) zz y y x x b a b a b a b a b a ==⇔=⨯⇔0|| （即向量共线） （c ）b b a a b a⊥⨯⊥⨯,5．向量的混合积（1）计算公式：zy xz y xz y xc c c b b b a a a c b a =⋅⨯)( （2）意义：向量a 、b 、c共面0)(=⋅⨯⇔c b a典型例题1. 设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标. 解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x()113222221+=++=x x PP ，()21122222+=+-+=x x PP221122+=+x x 1±=⇒x ，所求点为)0,0,1(),0,0,1(-。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识点六 向量的运算内容：1．空间坐标系（1）点的坐标与位置（2）两点间距离公式：()()()21221221221z z y y x x M M -+-+-=2．向量的线性运算（略）方向余弦：（1）1cos cos cos 222=++γβα（2）向量的单位余弦构成的向量是同方向的单位向量，即}cos ,cos ,{cos ||0γβαa a a ==3．向量的数量积（点积、内积）（1）数量积的定义计算式：θb a b a cos ||||=⋅（2）数量积的坐标计算式：z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅（3）数量积的两个性质：（a ）2||a a a=⋅(b ) 0=⋅⇔⊥b a b a0=++⇔z z y y x x b a b a b a（4）两向量的夹角：222222cos zy x zy x zz y y x x b b b a a a b a b a b a θ++++++=（5）向量的数量积的物理意义：恒力对直线运动物体的做功 4．向量的向量积（叉积、外积） （1）向量积的定义计算：（a ）方向：右手法则（b ）大小：0sin ||||||==⨯θb a b a（2）向量积的坐标计算：z y x z y x b b b a a a k j i b a=⨯（3）向量积的性质：（a ）0=⨯a a(b ) zz y y x x b a b a b a b a b a ==⇔=⨯⇔0||（即向量共线） （c ）b b a a b a⊥⨯⊥⨯,5．向量的混合积（1）计算公式：zyxz y xz y xc c c b b b a a a c b a =⋅⨯)(（2）意义：向量a 、b 、c 共面0)(=⋅⨯⇔c b a典型例题1. 设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标. 解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x()113222221+=++=x x PP ，()21122222+=+-+=x x PP221122+=+x x 1±=⇒x ，所求点为)0,0,1(),0,0,1(-。
2．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？)3,2,1(-A ，)4,3,2(-B ，)4,3,2(--C ，)1,3,2(--D 。
解：四，八，七，三。
3.已知}4,1,1{-=a，}2,2,1{-=b ，求（1）b a ⋅；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.解：（1）92)4()2(111-=⋅-+-⋅+⋅==⋅b a（2）21cos 222222-=++++++=zy x zy x zz y y x x b b b a a a b a b a b a θ，43πθ=。
（3）3||Prj -=⋅=b ba a b4．求与k j i a423+-=，k j i b 2-+=都垂直的单位向量。
解：k j k j i b b b a a a k j i b a c z y x z y x510211423+=--==⨯= ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±=±=k j c c c 5152||0典型练习1．)1,2,3(--p 关于平面xoy 对称的点是 ，关于平面yoz 对称的点是 ，关于平面zox 对称的点是 ，关于x 轴对称的点是 ，关于y 轴对称的点是 ，关于z 轴对称的点是 ， 2．点)5,3,4(-A 在xoy 平面上的射影点为___ ,在yoz 面上的射影点为________，在zox 轴上的射影点为________，在x 轴上的射影点为_______，在y 轴上的射影点为______，在z 轴上的射影点为______ 3.已知三角形的三个顶点)4,1,2(-A ，)6,2,3(-B ，)2,0,5(-C ，则过A 点的中线长为__________; 4．在yoz 面上，求与三个已知点)2,1,3(A ，)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。
5．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形6．设j i m +=，k j n+-=2，求以向量n m ,为边的平行四边形的对角线的长度.7．设{}{}4,1,2,2,5,3=-=b a，问λ与μ怎样的关系能使行μλ+与z 轴垂直？8． 已知c b a ,,两两垂直，且3,2,1===c b a ，求c b a s ++=的长度与它和c b a,,的夹角。
9． 计算以向量212e e p -=和212e e q +=为边的三角形的面积，其中1e 和2e是相互垂直的单位向量。
知识点七 曲面方程内容：1. 空间曲面的方程：0),,(=z y x F ，或),(y x f z = 2．旋转曲面方程：坐标面yoz 上的曲线0),(=z y f 绕z 轴旋转一周的旋转曲面方程为：()0,22=+±z y x f ，绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为：()0,22=+±z x y f 。
同理：坐标面xoy 上的曲线0),(=y x f 绕x 轴旋转一周的旋转曲面方程为：()0,22=+±z y x f ，绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程为：()0,22=+±y z x f 。
坐标面xoz 上的曲线0),(=z x f 绕z 轴旋转一周的旋转曲面方程为：()0,22=+±z y x f ，绕x 轴旋转一周的旋转曲面方程为：()0,22=+±z y x f 。
3．柱面方程：特征——缺项：缺哪一变量，柱面的母线平行于哪个轴。
例：12222=+c z b y ：方程中缺x ——母线平行于x 轴的椭圆柱面；12222=-by a x ：方程中缺z ——母线平行于z 轴的双曲柱面；pz x 22=： 方程中缺y ——母线平行于y 轴的抛物柱面。
4． 二次曲面：（1）椭球面 1222222=++cz b y a x当c b a ,,中有两个相等时，如1222222=++cz a y a x ，为旋转椭球面当c b a ==时，如2222a z y x =++，为圆球面（2）椭圆锥面 22222z by a x =+（3）单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x （有不同形式的变化）（4）双叶双曲面 1222222=--cz b y a x （有不同形式的变化）（5）椭圆抛物面 z by a x =+2222（6）双曲抛物面 z by a x =-2222加上椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，二次曲面共九种一般形式。
典型例题1．球面：07442222=--+-++z y x z y x 的球心是点___________，半径=R __________； 2．方程2=x 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面（柱面）；方程422=+y x 在平面解析几何中表示圆．，在空间解析几何中表示圆柱面。
3．设曲面方程22a x +22b y +122=c z ，当b a =时，曲面可由xoz 面上曲线12222=+cz a x 绕z 轴旋转面成，或由yoz 面上以曲线12222=+cz b y 绕z 轴旋转面成。
典型练习1. 与Z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程是_____________；2. 以点)1,2,2(-O 为球心，且通过坐标原点的球面方程是_______________；3. 曲面222)(y x a z +=-是由曲线______________绕_____轴旋转一周所形成的； 4. 曲面z y x 10922=+与yoz 平面的交线是___ __；5. 通过曲线162222=++z y x ,0222=-+y z x ，且母线平行于y 轴的柱面方程是____________；知识点八 空间曲线内容：1．空间曲线的方程：（1）一般方程（两空间曲面的交线）：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F（2）参数方程⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x2．空间曲线在坐标平面上的投影曲线的求法：（以空间曲线在xoy 平面上投影为例） （1）曲线方程消掉参数z ，得0),(=y x H ；（2）曲线在坐标平面xoy 上的投影曲线为⎩⎨⎧==00),(z y x H典型例题1．求抛物面x z y =+22与平面 02=-+z y x 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程。
解：交线方程为⎩⎨⎧=-+=+0222z y x xz y 。
消去z ，得在平面xoy 上的投影：⎩⎨⎧==-++004522z x xy y x ；消去y ，得在平面xoz 上的投影：⎩⎨⎧==--+0042522y x xz z x ；消去x ，得在平面yoz 上的投影：⎩⎨⎧==-++0222x z y z y 。
2．设一个立体由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成，求它在平面xoy 上的投影。
解：实心立体的投影，应是最外端曲线（两曲面交线）在平面xoy 上的投影。
半球面和锥面的交线为：⎪⎩⎪⎨⎧+=--=)(34:2222y x z yx z C消去z ，得投影柱面122=+y x ，则交线C 在平面xoy 上的投影为⎩⎨⎧==+.0122z y x ，所以立体在平面xoy 上的投影为122≤+y x典型练习1. 曲线01,0332322=+-=-+-++z y z x yz z x 在xoz 平面上的投影方程是_______________；2. 方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+319422y y x 在平面解析几何中表示____________，在空间解析几何中表示_______________； 3. 旋转抛物面22y x z +=(40≤≤z )在xoy 面的投影为__________；在yoz 面的投影为____________；在zox 面上的投影为__________。
4. 求螺旋线⎪⎩⎪⎨⎧===θb z θa y θa x sin cos 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
5. 求由上半球面222y x a z --=,柱面022=-+ax y x 及平面0=z 所围成的立体，在xoy 面和xoz 面上的投影 .知识点九 平面方程内容：1．平面的法向量：),,(C B A n =2．平面的方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+++=-+-+-100)()()(000c z b y a x D Cz By Ax z z C y y B x x A 截距式方程：一般方程：点法式方程：3．特殊位置的平面方程：（1）过原点的平面：0=++Cz By Ax ，（0=D ）（2）平行于坐标轴（如x 轴）也即垂直于坐标平面的平面：0=++D Cz By ，（0=A ） （3）过坐标轴（如x 轴）的平面：0=+Cz By ，（0==D A ）（4）垂直于坐标轴（如x 轴）也即平行于坐标平面的平面：0=+D Ax ，（0==C B ）典型例题1．求过点)3,2,1(),0,0,2(),0,0,1(C B A 的平面方程。