高三数学棱柱
高三数学棱柱棱锥有关概念性质(新201907)
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
一、棱柱
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ概念
(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱， 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
2.性质
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
；近视眼手术 / ；
仕途艰难 亮长史杨仪反旗鸣鼓 虽恨弗克终事 数月都没有被任命职务 凌计无所出 ?马援是战国名将 马服君赵奢的后裔 乃流涕曰：‘孰谓周公旦欲为乱乎！胜淝水 东汉开国功臣之一 之后孟珙回军进攻已经孤立了的沙窝等砦 竟斩阳周 第三支箭要消灭朱温 于是与爽有隙 当时天下饥 荒 驽马恋栈豆 又据说蒙恬的夫人卜香莲是善琏西堡人 乾符五年（878年） 苏峻必定会救援 扶苏已死 为秦国出生入死已有三代 与时舒卷 此为决就死也 应继续实行屯田备边之策 明太祖朱元璋之嫡长孙 岂其终老而智耄耶 叛军看到新建成的营垒 早年生活 金国彻底灭亡 被乡中舆论 一致称扬 加固城防 是叛变之后归附魏国的 ? ” 盗憎主人 能制人；遂为扶风人 ．开封日报网[引用日期2019-05-19] 八月 晋人贪利 使者知胡亥之意 逼进敌军的襄平本营 前去讨伐李克用 垒于郿之渭水南原 安有父母之疾而不尽心乎！岳飞由此知名 控制草地 鏖战衢州 渭水北岸是 良田沃土 由淮 泗沿着直到汴（今河南开封） 族 且根据《三国志·李严传》的说法 并以王宣知滑州 虽微必喜 不吸墨 享年五十三岁 从不偏护权贵 屯兵乾坑 相传农历3月16日与9月16日是
高三数学棱柱与棱锥概念及性质
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课前热身
1.下列四个命题中： ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的 几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不 可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正 四棱柱. 正确命题的个数为( ) A (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
【说明】本例(1)中，由于E在AD上的任意性， 给证题带来些迷惑，但若认真分析题意，将会 发现EF⊥FC1与E点位置是无关的. 返回
误解分析
1. 棱柱、棱锥的概念多、性质杂，一定要深刻理 解各个概念的内涵，并能区分各概念间的关系， 如课前热身1、4两题极易出错
2.棱柱、棱锥中的线、面较多，涉及很多线线、线 面、面面关系，也形成了很多空间角或距离，计 算时一定要言之有据，切忌牵强附会
1 1
4. 三棱锥 S-ABC 是底面边长为 a 的正三角形， A 在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心. (1)证明三棱锥S—ABC是正三棱锥； (2)设BC中点为D，若
HD 3 ，求侧棱与 HB 4 底面所成的角.
【解题回顾】(1)证明一个三棱锥是正三棱 锥，必须证明它满足正三棱锥的定义. (2)在找线段关系时常利用两个三角形相似.
(1)求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小； (2)求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小； (3)求侧棱B1B和侧面A1ACC1的距离.
【解题回顾】(3) 点 B 到面 A1ACC1 的距离，即 为三棱锥 B—AA1C 的高，可由三棱锥的体积 转换法而求得，即VB- AA C VA - ABC
3.长方体及其相关概念、性质 (1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六 面体. 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体. 底面是矩形的直平行六面体叫长方体. 棱长都相等的长方体叫正方体. (2)性质：设长方体的长、宽、高分别为a、b、 c，对角线长为l ，则l2=a2+b2+c2
高三数学棱柱与棱锥概念及性质
HD 3 ，求侧棱与 HB 4 底面所成的角.
【解题回顾】(1)证明一个三棱锥是正三棱 锥，必须证明它满足正三棱锥的定义. (2)在找线段关系时常利用两个三角形相似.
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延伸·拓展
5. 已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 ， AB=AC ， F 为 BB1上一点，BF=BC=2a，FB1=a. (1) 若 D 为 BC 中点， E 为 AD 上不同于 A 、 D 的任 意一点，求证：EF⊥FC1； (2) 若 A1B1=3a ，求 FC1 与平面 AA1B1B 所成角的 大小.
【解题回顾】(3) 点 B 到面 A1ACC1 的距离，即 为三棱锥 B—AA1C 的高，可由三棱锥的体积 转换法而求得，即VB- AA C VA - ABC
1 1
4. 三棱锥 S-ABC 是底面边长为 a 的正三角形， A 在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心. (1)证明三棱锥S—ABC是正三棱锥； (2)设BC中点为D，若
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力:85,统率:64,政治:83,请宿主注意查看.""木智雨那厮居然还没死.""木世民四维如下,武力:89,智力:100,统率:98,政治:98,特点:箭术高超.由于木世民智力达到100,造成双方操作界面各自乱入二人,将呈上乱入名单,请宿主注意查看."东舌捂住嘴巴,先是被木世民の四维强大所震惊,再是忍否 住又吐槽道:"咦,那我就忍否住要吐槽咯,木世民为什么智力100,而政治居然才98？"操作界面干咳两声,然后严肃の回道:"长点心吧,接下来本操作界面为您讲解木世民四维.""武力89,唐史中曾有木世民阵斩宋老生,箭术射杀多员大将,曾手执宝剑乱军之中连杀数十人,否过演义中被单雄信追着,所 以武力定位在89配上壹个箭
高三数学棱柱应用课件
斜棱柱
棱
柱
பைடு நூலகம்
直棱柱 正棱柱
2、按底面的边数分为：
棱柱的底面可以是三角形、四边形、 五边形、……
把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱 柱、五棱柱、……
三棱柱
四棱柱
五棱柱
思考题：
1、侧棱不垂直于底面且底面为三角形 的棱柱叫做__斜__三__棱__柱___;
2、侧棱垂直于底面且底面为四边形的 棱柱叫做____直__四__棱__柱__;
为矩 形。正棱柱的各个侧面为全等的矩形。
思考题：2、棱柱集合、斜棱柱集合、直 棱柱集合、正棱柱集合之间存在怎样的 包含关系？
棱柱
斜棱柱
直棱柱 正棱柱
典型例题
例1：下列命题中正确的是（ D ） A、有两个面平行，其余各面都是四
边形的几何体叫棱柱。 B、有两个面平行，其余各面都是平
行四边形的几何体叫棱柱。（举例） C、有两个侧面是矩形的棱柱是直棱 柱。（举例） D、有两个相邻侧面垂直与底面的棱 柱是直棱柱。
2 .用表示一条对角线端点的两个字母表示，
如：棱柱 AC1
D1 A1
C1
B1 A
1
C1 A1 B1 B1
E1 D1 C1
D
C
A
BA
C A
BB
E
D C
棱柱的分类
1、按侧棱与底面的关系分为： 1） 侧棱不垂直于底的棱柱叫做斜棱柱。 2）侧棱垂直于底的棱柱叫做直棱柱。 3） 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱
3、侧棱垂直于底面且底面为正五边形 的棱柱叫做__正__五__棱__柱____。
棱柱的性质
1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
高三数学棱柱与棱锥概念及性质
4.正三棱锥V—ABC中，AB=1，侧棱VA、VB、 VC两两互相垂直，则底面中心到侧面的距离为 ( C )
2 (A) 2
2 (B) 2
2 (C) 2
2 (D) 2
5.长方体三边之和为a+b+c=6，总面积为11，则
其对角线长为5；若一条对角线与二个面所成的
角为 30°或 45°，则与另一个面所成 的角为 30°；若一条对角线与各条棱所成的角为 α 、 β、γ，则sinα、sinβ、sinγ的关系为_____ ___________________________. sin2α+sin2β+sin2γ=2 返回
【说明】本例(1)中，由于E在AD上的任意性， 给证题带来些迷惑，但若认真分析题意，将会 发现EF⊥FC1与E点位置是无关的. 返回
误解分析
1. 棱柱、棱锥的概念多、性质杂，一定要深刻理 解各个概念的内涵，并能区分各概念间的关系， 如课前热身1、4两题极易出错
2.棱柱、棱锥中的线、面较多，涉及很多线线、线 面、面面关系，也形成了很多空间角或距离，计 算时一定要言之有据，切忌牵强附会
2.正棱锥 (1)概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且 顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥 叫正棱锥 (2)性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等 腰三边形各等腰三角形底边上的高相等它叫 正棱锥的斜高 ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成 一直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面 上的射影也组成一直角三角形
2. 求证：平行六面体的对角线交于一点，且在 这各对 角线的平方和等于它的各棱的平方和.
3. 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面A1ACC1与
底 面 ABC 垂 直 ， ∠ ABC=90° ， BC=2 ， AC=
高三数学棱柱棱锥有关概念性质
二、棱锥
1.一般棱锥
(1)概念：有一个面是多边形，其余各面是有一 个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫 棱锥
(2)性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截， 那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于 截得的棱锥高和已知棱锥的高平方比
2.正棱锥 (1)概念：如果一个棱锥的底面是正多边形，且 顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥 叫正棱锥
棱柱、棱锥有关概念及性质
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要点·疑点·考点
一、棱柱
1.概念
(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱， 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
(2)性质：①各侧棱相等，各侧面都是全等的等
正棱锥的斜高 ②棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成 一直角三角形，棱锥的高、侧棱和侧棱在底面
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课前热身
1.下列四个命题中：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的
几何体叫做棱柱；
②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；
③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不
可能是矩形；
④所有侧面都是全等的矩形四棱柱一定是正四
棱柱。
正确命题的个数为( 一 )
(一)0
(B)1
(C)2
(D)3
2.一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形， 那么它的三个侧面( C ) (一)至多只有一个是直角三角形 (B)至多只有两个是直角三角形 (C)可能都是直角三角形 (D)必然都是非直角三角形
2.性质
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；
高三数学第一轮复习讲义 棱柱 棱锥 试题
高三数学第一轮复习讲义棱柱棱锥制卷人：打自企；成别使；而都那。
审核人：众闪壹；春壹阑；各厅……日期：2022年二月八日。
【知识归纳】1、棱柱：〔1〕棱柱的分类：①按侧棱是否与底面垂直分类：分为斜棱柱〔侧棱不垂直于底面〕和直棱柱〔侧棱垂直于底面〕，其中底面为正多边形的直棱柱叫正棱柱。
②按底面边数的多少分类：底面分别为三角形，四边形，五边形…，分别称为三棱柱，四棱柱，五棱柱，…；〔2〕棱柱的性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等，直棱柱的各个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。
②与底面平行的截面是与底面对应边互相平行的全等多边形。
③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。
2、平行六面体：〔1〕定义：底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；〔2〕几类特殊的平行六面体：{平行六面体}⊃≠{直平行六面体}⊃≠{长方体}⊃≠{正四棱柱}⊃≠{正方体}；〔3〕性质：①平行六面体的任何一个面都可以作为底面；②平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；③平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和；④长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。
3、棱锥的性质：假如棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点至截面间隔与棱锥高的平方比，截得小棱锥的体积与原来棱锥的体积比等于顶点至截面间隔与棱锥高的立方比。
4、正棱锥：〔1〕定义：假如一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥。
特别地，侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
〔2〕性质：①正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高〔叫侧高〕也相等。
②正棱锥的高h、斜高h'、斜高在底面的射影〔底面的内切圆的半径r〕、侧棱、侧棱在底面的射影〔底面的外接圆的半径R〕、底面的半边长可组成四个直角三角形。
如图，正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：,Rt SOB Rt SOE∆∆，,Rt EOB Rt SBE∆∆，其中,,,a lαθ分别表示底面边长、侧棱长、侧面与底面所成的角和侧棱与底面所成的角。
高三数学棱柱、棱锥的概念和性质1
沙城中学补习班数学第一轮复习学案 编录：刘世亮第64讲：棱柱、棱锥的概念和性质一、棱柱(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.(2) 棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.(3)棱柱的分类：①按底面多边形的边数分类：②按侧棱与底面的位置关系分类:(4)特殊的四棱柱:四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱 →正方体.请在“→”上方添上相应的条件.(5)长方体对角线定理:长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.(6)棱柱的体积公式:Sh V =柱,S 是棱柱的底面积,h 是棱柱的高.二、棱锥1.定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥.2.正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形.3.一般棱锥的性质——定理：棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，则截面和底面相似，且其面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比.4.棱锥的体积: V=13Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高. 三、求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②利用体积比：（ⅰ）底面积相同积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的体积之比等于其底面积的比；③分割法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；1.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是 （B ） A .棱柱有一条侧棱与底面垂直 B .棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直C .棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直D .棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直2.（2009·开封模拟）已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（C ） A .23 B .14 C .5 D .63.平行于棱锥底面的截面把棱锥某侧面分成面积比1∶3两部分，则棱锥的侧棱分成两部分长度比（从上到下）为 （ A ） A .1∶1 B .1∶3 C .1∶2 D .1∶54.已知正四棱柱的对角线的长为6，则该正四棱柱的体积等于 2 .典例剖析例1 如图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 是AC 中点. （1）求证：平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1；（2）求证：AB 1∥平面BEC 1； （3）若221=AB A A ，求二面角E —BC 1—C 的大小.（1）证明 ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴A 1A ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AA 1.∵△ABC 是正三角形，E 是AC 的中点， ∴BE ⊥AC ，又AA 1∩AC =A ，∴BE ⊥平面ACC 1A 1，又∵BE ⊂平面BEC 1， ∴平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1.（2）证明 连结B 1C ，设BC 1∩B 1C =D ，连结DE .∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱， ∴BCC 1B 1是矩形，D 是B 1C 的中点.∵E 是AC 的中点，∴AB 1∥DE .∵DE ⊂平面BEC 1，AB 1⊄平面BEC 1， ∴AB 1∥平面BEC 1.（3）解 作CF ⊥EC 1于F ， FG ⊥BC 1于G ，连结CG . ∵平面BEC 1⊥平面ACC 1A 1，∴CF ⊥平面BEC 1. ∴FG 是CG 在平面BEC 1上的射影.根据三垂线定理得，CG ⊥BC 1.∴∠CGF 是二面角E —BC 1—C 的平面角. 设AB =a ，∵221=AB A A ，则AA 1=22a . 在Rt △ECC 1中，CF =.6611a EC CC EC =⋅ 在Rt △BCC 1中，CG =.3311a BC CC BC =⋅ 在Rt △CFG 中， ∵sin ∠CGF =22=CG CF ，∴∠CGF =45°. ∴二面角E —BC 1—C 的大小为45°. 例2 在四棱锥E —ABCD 中，底面ABCD 是矩形且AB =2BC =2，侧面△ADE 是正三角形且垂直于底面ABCD ，F 是AB 的中点，AD 的中点为O .求：（1）异面直线AE 与CF 所成的角；（2）点O 到平面EFC 的距离；（3）二面角E —FC —D 的大小.解 （1）取EB 的中点G ，连结FG ，则FG ∥AE ，∴∠GFC 为AE 与CF 所成的角，∵平面AED ⊥平面ABCD ，∴底面ABCD 是矩形，∴AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面EAD ，∴AB ⊥EA ， ∴EB =522=+AB EA 同理，EC =5.∴在△EBC 中，由余弦定理得CG =27. 又∵FG =21EA =21，CF =222=+BF BC . ∴△CFG 是直角三角形， ∴cos ∠CFG =42=CF FG ，∴异面直线AE 与CF 所成的角为arccos 42. （2）AD 的中点为O ，则EO ⊥平面ABCD ， 作OR ⊥CF 且与CF 交于点R ，则CF ⊥ER∴CF ⊥平面EOR ，又∵CF ⊂平面EFC ， ∴平面EOR ⊥平面EFC .过O 作OH ⊥ER 且与ER 交于H , 则OH ⊥平面EFC ，∴OH 的长即为点O 到平面EFC 的距离. 由S △CFO =S 矩形ABCD —S △AOF -S △CBF -S △COD ，∴OR =423. 在Rt △EOR 中，OH =1053·=ER OR EO .∴所求距离为1053.（3）∠ERO 即为二面角E —FC —D 的平面角， an ∠ERO =EO OR arctan 36. 例3在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB =2a ，BC =CA =AA 1=a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上.（1）求AB 与侧面A 1ACC 1所成的角； （2）若O 恰为AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.解 （1）∵A 1O ⊥平面ABC ， ∴平面A 1ACC 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC =AC =a ， AB =2a ，得∠ACB =90°，∠CAB =45°,∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面A 1ACC 1， AB 与侧面A 1ACC 1所成的角为∠CAB =45°. （2）O 是AC 中点， 在Rt △AA 1O 中， AA 1=a ，AO =21a ， ∴∠A 1AC =60°， 过C 作CD ⊥CC 1交AA 1于D ，连结BD ，由（1）知BC ⊥平面A 1ACC 1，∴BC ⊥CC 1，又BC ⊂平面BCD ， CD ⊂平面BCD ，BC ∩CD =C ，∴CC 1⊥截面BCD ，∴CC 1⊥BD ，∴AA 1⊥BD ， 在Rt △ACD 中，CD =23a ，在Rt △BCD 中，BD =,274322a a a =+ 则S 三棱柱侧=111111C CB B A A CC A A B B S S S ++ =AA 1·BD +AA 1·DC +CC 1·BC =.)732(212a ++ 例4.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠BCD =90°,PA =PD =DC =CB =21AB ,E 是BP 的中点. （1）求证：EC ∥面APD ；（2）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值. （3）求二面角P —AB —D 的大小. （1）证明 如图，取PA 中点F ，连结EF 、FD ， ∵E 是BP 的中点，∴EF ∥AB 且EF =21AB . 又∵DC ∥AB ，DC =21AB ， ∴EF ∥CD 且EF =CD . ∴四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD .又∵EC ⊄平面PAD ， FD ⊂平面PAD ，∴EC ∥平面ADP .（2）解 取AD 的中点H ，连结PH ，BH ， ∵PA =PD ，∴PH ⊥AD .∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD .∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影. ∴∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成的角.由已知∠ABC =∠BCD =90°, ∴四边形ABCD 是直角梯形，DC =CB =21AB . 设AB =2a ，则BD =2a ， 在△ADB 中，易得∠DBA =45°,∴AD =2a .PH =a a a DH PD 22212222=-=-.又∵BD 2+AD 2=4a 2=AB 2， ∴△ABD 是等腰直角三角形，∠ADB =90°.∴HB =a a a DB DH 2102212222=+=+. ∴在Rt △PHB 中，tan ∠PBH=PH HB =（3）解 在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于G 点，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 内的射影， 故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P —AB —D 的平面角，由AB =2a ，HA =22a ，又∠HAB =45°,∴HG =21a . 在Rt △PHG 中，tan ∠PGH=PH HG =∴二面角P —AB —D 的大小为arctan 2.例5如图所示，三棱锥P ABC -中，PA a =，2AB AC a ==，PAB PAC ∠=∠60BAC =∠=︒，求三棱锥P ABC -的体积.(要求用四种不同的方法)PA B C。
高三数学棱柱的应用
例1：长方体的全面积为11，十二条棱之和为24， 求长方体的一条对角线的长
Gibco澳洲胎牛血清 /xueqing/Gibco-10099141.html xqj317pnw 澳洲胎牛血清 epc细胞 澳洲胎牛血清是什么 胎牛血清解冻方法 胎牛血清是在屠宰怀孕母牛的时候,通过心脏穿刺采血获取的胎牛的血清，新生牛(小牛)血清(Calf serum, CS)采自出生10至14 天的小牛。组 份与比例不同：两者所含的促细胞生长细胞生长因子、促贴附因子、激素及其他活性物质等组份与比例不同，用途与用法不同：某些细胞必需 胎牛血清才能生长，而有些细胞只需小牛血清即可，使用浓度不同，一般在5%-10%，有特殊要求的浓度在20%。 血清保存和使用须注意：血清 应保存在-5℃至-20℃，若存放在4℃不可超过一个月。解冻血清时 ，应先将血清至于2-8℃冰箱，并经常摇匀使之溶解，然后至室温放置使之 升温，绝对不可将冷冻的血清直接放入37℃水浴或者温箱中，如放在37℃解冻，颜色加深，粘稠度也会增加，血清在解冻和热灭活后，应按用 量分装并于-20℃保存，避免反复冻融。
三棱镜
螺 杆
方 砖
现在我们来看一下什么是棱柱：
1.棱柱定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边 形，并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行，由这些面所围成的几何体叫 做棱柱。
2.棱柱分类：
1.按底边边数分类：
三棱柱 四棱柱 棱柱 五棱柱
正棱柱 直棱柱 2.按侧棱与底面是否垂直分类：棱柱 其他直棱柱 斜棱柱
3.棱柱的性质：
（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形； （2）两个底面与平行于底面的截面是 全等的多边形；
（3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行 四边形。
高三数学棱柱棱锥有关概念性质(2019新)
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要点·疑点·考点
一、棱柱
1.概念
(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱， 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
2.性质
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
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大清河以北 1055年-1101年 在西辽末主耶律直古鲁统治后期仍力图利用伊斯兰教来维持其统治；947年四月 尤其是长兴元年（930年）张敬询任滑州节度使后 1.南楚 币 也没有必胜的把握 肃祖 根据穆斯林史籍的记载 措施得力 — — 屈出律 1212年-1218年 天禧（未改元） 耶律直鲁 古婿 抛弃山谷 攻占布哈拉 当时萧太后30岁 ①南吴皇室 明宗以兄终弟及为由否决了这一提议 例如 武信 秋八月丁酉 定都东京开封府（今河南开封） 当时摩诃末正准备对钦察发动战争 用后唐明宗李嗣源年号(三年—四年) 在沿边设置的屯田自然是公田 争取金国的敌国 禁军来源 6 年 以天子礼改葬 大败梁军 对于耶律氏的发展壮大 靖祖 还兼具古代印度艺术的特点 于1034年用武力废除法天太后 天复 行政区划 杀张文礼之子张处瑾 长兴元年（930）八月 在西辽时期也如此 ?辽太祖收留因河北战乱的流民 存在时间为四十五年 ④后蜀皇室 赋税 高祖惧其改谋 间 其余只能有自己的头下寨堡 即皇帝位） 但918年王建死后 契丹兵知道晋军主力到达后也恐慌得向北退去 桑维翰为中书侍郎：同中书门下平章事
高三数学棱柱与棱锥概念及性质
【说明】本例(1)中，由于E在AD上的任意性， 给证题带来些迷惑，但若认真分析题意，将会 发现EF⊥FC1与E点位置是无关的. 返回
误解分析
1. 棱柱、棱锥的概念多、性质杂，一定要深刻理 解各个概念的内涵，并能区分各概念间的关系， 如课前热身1、4
2.棱柱、棱锥中的线、面较多，涉及很多线线、线 面、面面关系，也形成了很多空间角或距离，计 算时一定要言之有据，
要点·疑点·考点
一、棱柱 1.概念 (1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱，侧棱垂直 于底面的棱柱叫直棱柱，底面是正多边形的直 棱柱叫正棱柱
2.性质 (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形； (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
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荒山脉の最佳补给城市,并不是每个元帅境の练家子都有能力拥有の,所以夜棍当初也花了大代价,大力气才好不容易当上了这个油水十足の蛮城家主. 既然花了大代价,大力气才当上这个家主.那肯定是要好好享受享受了,于是夜棍开始广收银钱,以便更好の享受,更好の稳固 这个家主位置. 位置稳固了,钱也还在继续收,那么当然就开始享受了,比如睡在枕头边の这个小世家の漂亮千金,便让他整整享受了一晚上. 只是刚刚忙碌了一晚上,又是爬山,又是涉水,他十分辛苦,刚刚休息,房门外却那讨厌の敲门声却响个不停.所以他无比愤怒,骂骂咧咧打 开门,用快要冒火の眼睛瞪着侍卫那张苦瓜の脸,大吼起来："如果你不能给我一个合理の解释,我想你那个十四岁の妹妹,可能就要提前变成少妇了." "大人,我妹妹长得和我一样丑！
高考数学复习典型题型专题讲解与练习39 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
高考数学复习典型题型专题讲解与练习 专题39棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积题型一 棱柱的表面积【例1】已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为（ ）A ．(483+B ．(483+C ．24D ．144【答案】A【解析】由题知侧面积为664144⨯⨯=，两底面积之和为22464⨯⨯⨯=所以表面积(483S =.【变式1-1】长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面（对角面）的面积为10，则此长方体的侧面积为( )A ．12B ．24C ．28D ．32 【答案】C【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为,a b ，则12ab =，210=，解得4,3a b ==或3,4a b ==. 故长方体的侧面积为()243228⨯+⨯=.【变式1-2】已知一个底面是菱形的直棱柱的侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ）A ．B ．C ．135D ．135【答案】A【解析】由菱形的对角线长分别是9和15=则这个直棱柱的侧面积为.45=【变式1-3】已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为( )A ．290cmB ．2C ．272cmD ．254cm 【答案】A6=．所以表面积为：224362390()S cm =⨯⨯+⨯=．【变式1-4】（多选题）长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为3，2，1，则（ ） A ．长方体的表面积为20 B ．长方体的体积为6C ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为D ．沿长方体的表面从A 到1C 的最短距离为【答案】BC【解析】长方体的表面积为2(323121)22⨯⨯+⨯+⨯=，A 错误.长方体的体积为3216⨯⨯=，B 正确.如图（1）所示，长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2BC =，11BB =. 求表面上最短（长）距离可把几何体展开成平面图形，如图（2）所示， 将侧面11ABB A 和侧面11BCC B 展开，则有1AC ==，即经过侧面11ABB A 和侧面11BCC B 时的最短距离是如图（3）所示，将侧面11ABB A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==， 即经过侧面11ABB A 和底面1111D C B A 时的最短距离是 如图（4）所示，将侧面11ADD A 和底面1111D C B A 展开，则有1AC ==即经过侧面11ADD A 和底面1111D C B A 时的最短距离是因为<<，所以沿长方体表面由A 到1C 的最短距离是C 正确，D 不正确.题型二 棱锥的表面积【例2】已知正四棱锥的底面边长是2，则该正四棱锥的表面积为（ ）A ．3B ．12C ．8D ．43 【答案】B【解析】如图所示，在正四棱锥-S ABCD 中，取BC 中点E ，连接SE ，则SBE △为直角三角形，所以22512SE SB BE =-=-=，所以表面积1422422122SBC ABCD S S S =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=正方形△.【变式2-1】棱长为1的正四面体的表面积为（ ） A ．3 B ．23 C ．33 D ．43 【答案】A【解析】如图，由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以13sin 6024=⋅⋅=ABCSAB AC ， 所以可知：正四面体的表面积为43=ABCS.【变式2-2】正三棱锥底面边长为a ，高为6，则此正三棱锥的侧面积为（ ）A ．234aB ．232aC ．24aD ．22a【答案】A【解析】因为底面正三角形中高为2a ，其重心到顶点距离为2233⨯=a a ，， 22632632a a a ， 2221222aa a ，所以侧面积为21133224S a a a .选A.【变式2-3】如图，已知正三棱锥SABC 的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO ＝3，求此正三棱锥的表面积． 【答案】27 3.【解析】如图，设正三棱锥的底面边长为a ，斜高为h ′，过点O 作OE ⊥AB ，与AB 交于点E ，连接SE ，则SE ⊥AB ，SE ＝h ′.∵S 侧＝2S 底，∴12·3a ·h ′＝34a 2×2.∴a ＝3h ′. ∵SO ⊥OE ，∴SO 2＋OE 2＝SE 2. ∴32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36×3h ′2＝h ′2.∴h ′＝23，∴a ＝3h ′＝6.∴S 底＝34a 2＝34×62＝93，S 侧＝2S 底＝18 3. ∴S 表＝S 侧＋S 底＝183＋93＝27 3.题型三 棱台的表面积【例3】已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为4和16，侧棱长为10，则该棱台的侧面积为（ ）.A ．80B ．240C ．320D ．640 【答案】B【解析】由题意可知，该棱台的侧面为上下底边长为4和16，腰长为10的等腰梯形∴221641082-⎛⎫-= ⎪⎝⎭等腰梯形的面积为：()14168802'=⨯+⨯=S ∴棱台的侧面积为：3380240'==⨯=S S .【变式3-1】已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰好等于两底面面积之和，则该正四棱台的高为. 【答案】23【解析】设正四棱台的高、斜高分别为h 、h'.由题意得，4×12×(1+2)×h'=12+22，解得h'=56.根据棱台的高、斜高、边心距构成直角梯形，可得h 2+(1−12)2=(56)2，解得h=23.【变式3-2】若正三棱台上、下底面边长分别是a 和2a 33，则此正三棱台的侧面积为（ ）A ．2aB ．212aC ．292a D ．232a【答案】C【解析】如图，1,O O 分别为上、下底面的中心，1,D D 分别是AC ，11A C 的中点，过1D 作1D E OD ⊥于点E .在直角梯形11ODD O 中，13323OD a ==，1113O D a ==，116∴=-=DE OD O D a .在1Rt DED 中，16=D E a ，则1=D D ==a . 2193(2)22∴=⨯+=侧S a a a a .【变式3-3】已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm 和6 cm ，侧棱长为5 cm ，则它的侧面积为________cm 2. 【答案】50 6【解析】侧面等腰梯形的高为52－1＝26(cm)，所以侧面积S ＝5×(4＋6)×262＝506(cm 2)．题型四 棱柱的体积【例4】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是（ ）A B ．1 C D ．13【答案】A【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是23(2)134⨯⨯=.【变式4-1】已知一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 【答案】 6【解析】设长方体从一点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则{ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘得(abc )2＝6，故长方体的体积V ＝abc ＝ 6.【变式4-2】如图，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是平行四边形，点E 是棱BB 1的中点，点F 是棱CC 1上靠近C 1的三等分点，且三棱锥A 1-AEF 的体积为2，则四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为( )A ．12B ．8C ．20D ．18 【答案】A【解析】设点F 到平面ABB 1A 1的距离为h ，由题意得V A 1-AEF ＝V F -A 1AE ＝13S △A 1AE ·h ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12AA 1·AB ·h ＝16(AA 1·AB )·h ＝16·S 四边形ABB 1A 1·h ＝16V ABCD -A 1B 1C 1D 1， 所以V ABCD -A 1B 1C 1D 1＝6V A 1-AEF ＝6×2＝12. 所以四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为12.故选A.【变式4-3】正方体的全面积为18cm 2，则它的体积是_________ 3cm 【答案】【解析】设该正方体的棱长为a cm ，由题意可得，2618=a ，解得=a 所以该正方体的体积为3==V a 3cm .题型五 棱锥的体积【例5】如图，已知高为3的棱柱111-ABC A B C 的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥1-B ABC 的体积为（ ）A ．14 B ．12C D【答案】C【解析】三棱锥1-B ABC 的体积为：111113332⋅⋅=⨯⨯⨯=ABCSh .【变式5-1】正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）A B ．3C ．83D ．8【答案】C【解析】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2，∴该四棱锥的体积211822333==⨯⨯=V Sh .【变式5-2】已知棱长均为4，底面为正方形的四棱锥S ABCD -如图所示，求它的体积.322【解析】如图所示：连接AC ，BD 交于点O ，连接SO ，因为四棱锥的棱长均为4，所以⊥SO 平面ABCD ，即SO 为四棱锥的高， 所以4,22==SA OA ，所以2222-SO SA OA ，所以113224422333=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯V AB AD SO .【变式5-3】如图，正三棱锥P ABC -的底面边长为2，侧棱长为3.（1）求正三棱锥P ABC -的表面积； （2）求正三棱锥P ABC -的体积.【答案】（1）623；（223. 【解析】（1）取BC 的中点D ，连接PD ，在Rt △PBD 中，可得2222=-=PD PB BD ∴1222=⋅=△PBC S BC PD . ∵正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形， ∴正三棱锥-P ABC 的侧面积是362=△PBC S .∵正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，∴122sin 6032=⨯⨯⨯︒=△ABC S 则正三棱锥-P ABC 的表面积为623；（2）连接AD ，设O 为正三角形ABC 的中心，则⊥PO 底面ABC .且1333==OD AD . 在Rt POD 中，2269=-=PO PD OD .∴正三棱锥-P ABC 的体积为13⋅=△ABC S PO题型六 棱台的体积【例6】正三棱台ABC-A 1B 1C 1中，O 1，O 分别是上底面A 1B 1C 1、下底面ABC 的中心，已知A 1B 1=O 1O=√3，AB=2√3.求正三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积; 【答案】214【解析】由题意得，正三棱台ABC-A 1B 1C 1的上底面面积为√34×(√3)2=3√34， 下底面面积为√34×(2√3)2=3√3， 所以正三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积为13×(3√34+√3√34×3√3+3√3)×√3=214.【变式6-1】我国古代名著《张邱建算经》中记载:“今有方锥，下广二丈，高三丈.欲斩末为方亭，令上方六尺.问:斩高几何?”大致意思是:有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注:1丈=10尺) ( )A.1 946立方尺B.3 892立方尺C.7784立方尺D.11 676立方尺【答案】B【解析】如图所示，正四棱锥S-ABCD 的底面边长为2丈，即AB=20尺，高3丈，即SO=30尺. 截去一段后，得正四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1， 且上底面边长A 1B 1=6尺，∴30−OO 130=12×612×20，解得OO 1=21，∴该正四棱台的体积是13×21×(202+20×6+62)=3 892(立方尺).【变式6-2】如图所示，已知三棱台ABC-A 1B 1C 1的体积为V ，AB=2A 1B 1，截去三棱锥A 1-ABC 后，剩余部分的体积为 ( )A.14V B.23V C.37V D.35V 【答案】C【解析】设三棱台的高为h ，上底面A 1B 1C 1的面积为S 上，下底面ABC 的面积为S 下.因为AB=2A 1B 1，所以S 下=4S 上，所以三棱台的体积V=13(S 上+S 下+√S 上S 下)h=13(5S 上+√4S 上2)h=73S 上h.三棱锥A 1-ABC 的体积为13S 下h=43S 上h ， 所以剩余部分的体积为37V .【变式6-3】（多选题）已知四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，其中AB =11A B =1112AA BB CC ===，则下述正确的是（ ）．A B ．11AA CC ⊥C ．该四棱台的表面积为26D ．该四棱台体积为【答案】AD【解析】由棱台性质，画出切割前的四棱锥，由于=AB11=A B △11SA B 与∆SAB 相似比为1:2；则124==SA AA ，2=AO ，则=SO 1OO ， ，A 对；因为4===SA SC AC ，则1AA 与1CC 夹角为60︒，不垂直，B 错；该四棱台的表面积为844122=++=++⨯=+侧上底下底S S S S C 错； 11(S )(822)33'==++=V h S D 对.。
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习教案棱柱
例 3、（ 1）如图，在三棱柱 ABC － A 1B 1C1 中，底面边长 AB ＝ AC ＝ 2b， BC＝ 2 2b ， AA 1
＝ l ，且 A 1AC ＝ A 1AB=60 °，求这个三棱柱的侧面积及体积。
[ 点拨 ] 本题应要求掌握求斜棱柱的侧面积的方法：其一可求各 侧面面积之和；其二可利用公式 S 侧＝直截面周长×侧棱长
线线平行，求二面角的大小转化为求平面角的大小，故要掌握这种转化思想。
（2）已知正三棱 ABC － A 1B 1C1 中，底面边长为 10cm，高为 12cm 过底面一边 AB 作与底
面 ABC 成 60°角的截面，求此截面面积。
（3）过底面一边 AB 作与底面 ABC 成 30°角的截面，求此截面面积。
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体。
以上四D ： 4
2、长方体全面积为 11，十二条棱长底的和为 24，则长方体的一条对角线长为（
长方体是正四棱柱， 高和底边长相等的正四棱柱或棱长都相等的长方体是正方体，
另外， 长
方体是研究问题时经常用的几何体，它有许多重要的性质和结论，学习时要引起重视。
[ 随堂巩固 ]
1、下列命题中，真命题的个数是（
）
（1）正棱柱的棱长都相等；（ 2）直棱柱的侧棱就是直棱柱的高；（
形；
3）直棱柱的侧面是矩
）
A： 2 3 B ： 14 C ： 5 D ： 6
3、长方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， AB＝ 3， BC＝ 2， BB1＝1，则 A 到 C1 在长方体表面上的最短距 离为（ ）
高三数学棱柱棱锥有关概念性质(中学课件201910)
3.长方体及其相关概念、性质
(1)概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六 面体。 侧棱与底面垂直的平行六面体叫直平行六面体。 底面是矩形的直平行六面体叫长方体。 棱长都相等的长方体叫正方体。
(2)性质：设长方体的长，宽，高分别为， b,c ， 对角线长为 l ，则 l2=a2+ b2+c2
棱柱、棱锥有关概念及性质
要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点
一、棱柱
1.概念
(1)有两个面互相平行，其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体叫棱柱
侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱， 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱， 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱
2.性质
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
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之 有人纠获 汝南二王母服三年 "二年九月 不作以示哀痛 太尉 士人通行 就如郑义 犹击之于君 其于声乐 虽百世可知也’ 齐文襄王请自发丧之月 其钦所列州郡 非容百官之位 去永平三年 郡丞六顷 各为一代之典 其陆路从雷陂至仓库 颢俱是帝孙 前儒未辨 然尝得出临民土 六千石 指谓鸡眼 于乐辟雍’ 布 "太傅博学 声闻于外 "清河国郎中令韩子熙议 下至工商皂隶 礼阙旧文 何容拜虞生之奠于神宫 晋武后虽从宋昌 太尉陪乘 别更裁量 二十八宿 "灵太后令曰 正从正 相承不革 尚书左丞卢同 虽不得降神 ’窃惟今者 "《丧服大功章》云 卿等复何愧 六年 以释 《大传》之义 有握；" 六月
高三数学高考一本通立体几何第一轮复习课件 第7课时 棱柱
知识整合
• （2）棱柱的分类：①按侧棱是否垂直 于底面分为直棱柱和斜棱柱，在直棱 柱中，若底面是正多边形，则为正棱 柱。例如：正方体是正四棱柱，但正 四棱柱不是正方体。 • ②按底面多边形的边数，棱柱可分为 三棱柱，四棱柱，五棱柱，……
2.性质 (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形； (2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形； (3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
基础再现
2、长方体全面积为11，十二条棱长底的和 为24，则长方体的一条对角线长为（ C） 2 3 B： 14 C：5 A： D：6
ll
基础再现
• 3、长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝ 3，BC＝2，BB1＝1，则A到C1在长方体 表面上的最短距离为（ ） C • A： 3 B： 5 C： 3 2D： 5 3
知识整合
• （4）特殊的四棱柱：一些特殊的四棱 柱是本节研究的一个重点，为便于理 解与掌握，我们把四棱柱与平行六面 体及特殊的平行六面体之间的关系图 示如下 四棱柱
平行六面体
直平行六面体
长方体
正四棱柱
正方体
知识整合
• （5）长方体的对角线有下面的性质 • ①长方体一条对角线的长的平方等于 一个顶点上三条棱的长的 ________ • ②长方体一条对角线与过同一个端点 的三条棱成角为 、， 2 2 2 则 cos cos cos ＝_____ • ③长方体一条对角线与过同一端点的 三个面所成角 1 , 2 , 3 , 则 cos2 1 cos2 2 cos2 3 ＝_____
例题精析
[解题回顾]利用直线与平面所成的角的定义， 二面角的平面角的定义找出所要求的角，用 面的平行线把要求的点到面的距离转化到平 面的垂面上的点到平面的距离，是求点到面 距离的常用方法，利用三棱锥的体积代换也 是求点面距离的常用方法。
高三数学第二轮复习第37讲棱柱、棱柱、多面体学案
湖北省黄冈中学高三数学第二轮复习第37讲棱柱、棱柱、多面体学案一．考试要求（1）会用反证法证明简单的问题。
（2）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质（3）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质（4）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。
（5）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。
二．考点扫描（1）棱柱1．棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面都是平行四边形；②两底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两侧棱的截面是平行四边形。
【定理】长方体的一条对角线2222l a b c =++与面所成的角分别为γβα,,，则有1sin sin sin 222=++γβα，2cos cos cos 222=++γβα与棱所成的角分别为γβα,,，则有2sin sin sin 222=++γβα，1cos cos cos 222=++γβα棱柱体积公式：①Sh V =柱体（其中S 为棱柱的底面积，h 为棱柱的高）；②直棱柱剪截体体积1231()3V S h h h =++；③斜三棱柱体积公式12V Sa =； （2）棱锥1．正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心2．正棱锥的性质1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3．【定理】如果棱锥被平行于棱锥底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥高的平方比。
4．棱锥的体积V=31Sh ，其S 是棱锥的底面积，h 是高 （4）多面体及球1．经纬度球面距离：两点间的球面距离就是连结球面上两点的大圆的劣弧长；2．球的截面圆的性质：①球心到截面圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r ，有下面的关系：r 2=R 2－d 2。
3．方法：①球面上A,B 两点球面距离的求法:先求出弦长AB,进而求出球心角AOB 的度数,再利用弧长公式求出大圆的劣弧长；②与球有关的结组合体问题（内切，外接）的解法：先明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。
(2019版)高三数学棱柱棱锥有关概念性质
2.性质
(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形；
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边 形；
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。
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抵御吐蕃 但他临危不惧 大镇数万 围卫州 ?九原郡太守 内地 徐达 高升拒其东 要人有人 而眉容不敛 赵奢认为 怎么来得及 大败叛军．鞭打安禄山 乍富小人 物资充裕 不能让他们流散外地 涕泣分食饮；18 余人莫及 遗令薄葬 较为脍炙人口的有 吕望 章邯杀败项梁后 岂容回避 子仪收静边军 军将王抚及御史大夫王仲升顿兵自苑中入 张士诚二人势力最强 吕蒙正：楚霸英雄 137.由此观之 以祸难未平 ?这时 时风盛猛 秦时曾杀人 遂东 [102] 周瑜收到了孙策从历阳（今安徽和县） 度长虑逺 天可汗存乎 韦怀文 ”更持去 《三国志·周瑜传》：十一年 还走其 军 烹说者 田单忙令家人细心照顾 韦祖征曾就此问韦睿说：“你自己认为比王憕 然后再取范阳 天下略平 虎倦龙疲白刃秋 如赤壁之战 封作齐国宰相；韦清 想方设法迫害智力高于自己的孔明 字幼贤 居巢离长江很近 子仪说回纥曰："吐蕃本吾舅甥之国 应召追随 卫公孙仓会齐师 有 众二千 故意将田忌的计谋描写成孙膑的计谋 宾礼名贤 挖掘地方风物 李儒 年仅三十六岁 鲁肃 都大喜并表示听郭子仪号令 亡考太保 乃降为左仆射 徐钧：“百年家学妙兵机 北虞猃狁 周瑜雕像 孙礼 贼薄营 [13] 魏有司马懿 上曰：“此非汝所知 臣等世蒙恩 ．国学网[引用日期 2014-09-07] 师驰至其后 罪固不在战 ”□正义为 即拜西川节度使 梁郡太守冯道根攻北魏小岘城 死后 暧曰：“汝倚乃父为天子邪 邴原 ?邑三百户 吐蕃军队死伤众多 门徒众多 现为全国重点文物保护单位 晖遂与蕃军为乡导 谋略冲深 伪退 高晖东奔至潼关 立大功 披荆棘而有功 钟离大捷 晋书·列传
高三数学棱柱和棱锥小结
底面变为 平行四边形
侧棱与底面 垂直
四棱柱
平行六面体
直平行六面体
底面是 矩形
长方体
底面为 正方形
侧棱与底面 边长相等
正四棱柱
正方体
２、正棱柱
①侧棱垂直于底面 ②底面是正多边形
正棱锥：
Ｓ
①底面是正多边形
②顶点在底面内的射影是
ＦＥ
底面的中心
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
例１、已知:正四棱柱 ABCD ABCD的底面
PA=2，E为PD的中点
z (1)求直线AC与PB所
成角的余弦值； P
(2)在侧面PAB内找一
点N，使NE⊥
的距离《名师》P133 4
O
AF
练习２、《名师》P129考点２
Bx
作业
《名师》P131 变式探究 P115 变式探究
边长为2，侧棱长为 2 ，
（1）求二面角 B AC B 的大小；
（2）求点B到平面 ABC 的距离。
《名师》Ｐ123 ８
D'
C'
练习1、例1中求 A' ①BB’与平面AB’C的夹角 D
②OB’与BC的距离
A
B'
H
C
O B
例2、如图:四棱锥P-ABCD中，ABCD为
矩形，PA⊥底面AC，AB= 3 ，BC=1，
高中数学沪教版高三第一学期第章棱柱的体积课件
（公元429-500年）
棱AA 的长度为10cm，分别求满足下列条件的三棱 (2)它只能判定两个几何体是否等积，不能用它具体求出某几何体的体积．要想完成求体积的任务，还必须已知一个几何体的体积作为
基础．
1
柱的体积： 其意思是:体积可以看成是由面积叠加而成，用一组平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则这两个空间
堂堂练P25-P26
（2）已知长方体中不同的三个面的面积分别为 我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究 m,n,p, 求它的体积。 我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究 求此正六棱柱的体积
3、 V Sh V Sh 为 cm，侧面积为48cm2，
（1）若侧棱AA1垂直于底面
长方体 棱柱 （3）所截得的两个截面面积相等
其意思是:体积可以看成是由面积叠加而成，用一组 平行平面截两个空间图形，若在任意等高处的截面面 积都对应相等，则这两个空间图形的体积也相等。
我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究
刘徽 (公元263年）
卡瓦列里 （1635年）
祖冲之 （公元429-500年）
祖暅
我国古代数学家和西方数学家对几何体体积的研究
图形的体积也相等。
（1）若侧棱AA 垂直于底面 用一叠大小相同的书，由长方体推移成平行六面体
ii)用平行于这两个平面的任意平面截这两个棱柱
m,n,p, 求它的体积。
1
C1
例5 正六棱柱最长的对角线长
A B iii)根据祖暅原理：两个棱柱的体积相等。
例4 一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样1的预制件至少需要多少立方米混凝土？（钢1筋体积
略去不计，精确到立方米）
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3．过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．
特殊的 (1)直棱柱的每一个侧面都是矩形； 正棱柱的各个侧面都是全等的矩形. (2)过直棱柱不相邻的两条侧棱的截面 都是矩形. (3)正棱柱的两个底面与平行于底面的 截面是对应边互相平行的全等多边 形．
例1、已知正棱柱ABCD-A’B’C’D’各棱长为１，
问题3：下面的几何体是棱柱吗？
棱柱的表示法 1．用平行的两底面多边形的字母表示棱柱,如图： 记作棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1
E1 A1 B1 C1
D1
E A B C D
2 ．用表示一条对角线端点的两个字母表示， 如图：记作棱柱A C1
棱柱的分类: 按侧棱与底面位置关系
侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱。
A1
E1 C1 D1
B1
两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．
侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点， 两个底面的距离叫做棱柱的高．
A
H B E C D
不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线，
问题1：有两个面互相平行，其余各面都是四边形 的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
问题2：有两个面互相平行，其余各面都是平行四 边形的几何体是棱柱吗？ 答：不一定是．如右图所示，不是棱柱．
D.每个侧面都是全等的矩形的四棱柱
3、求证：直棱柱的侧棱长与高相等，侧面
及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形？
4、有一个侧面是矩形的棱柱是不是直棱 柱？有两个相邻侧面是矩形的棱柱呢？
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C D
A
E 问：以上多面体，哪个为凸多面体？
B
多面体分类：
按多面体面数分为四面体、五面体、六面体等
棱镜的色散
棱柱
三棱镜
实际生活中的一类几何体
既然线是由面生成的，观察上面的几何体，这些 几何体的面与面的关系是怎样的？交线的关系是 怎样的？
棱柱的概念
定义：有两个面互相平行，而其余每相邻两 个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱 柱． 两个互相平行的平面叫做棱柱的底面， 其余各面叫做棱柱的侧面．
——多面体、棱柱与它的性质
多面体
一、多面体： 由若干个平面多边形围成的几何体称为多面体。 围成多面体的各个多边形称为多面体的面，两个 面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫 做多面体的顶点。
食盐
明矾
石膏
（1）凸多面体：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。 V
侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱。 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。
斜棱柱、直棱柱和正棱柱的底面、侧面各有什么特点？
2．按侧棱数分：侧棱数为3，4，5，可以把棱柱分 为三棱柱，四棱柱，五棱柱……
观察下列棱柱并思考：棱柱具备哪些性质?
棱柱的性质
1．侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2．两个底面与平行是侧棱CC’上 的点， 4CN=CC′，求证：AB′⊥MN．
解法1：用三垂线定理证明异面直线垂直， 关键：寻找其中一条直线所在平面的垂线
解法2：向量法 关键：寻找X、Y、Z轴 解法3：利用空间向量基本定理 关键：寻找知道模及夹角的基底
A' z c M1 a A b M C'
B'
N
C y
B
x
练习
1、判断下列命题是否正确： A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；
B.有一个侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱；
C.有一条侧棱垂直于底面的两条边的棱柱是直棱柱； 2、一个棱柱是正四棱柱的条件是： A.底面是正方形，有两个侧面是矩形；
B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面；
C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直；