余弦定理内容以及解析

余弦定理定义及公式

余弦定理，是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。是勾股定理在一般三角形情形下的推广。

a²=b²+c²-2bccosA

余弦定理证明

如上图所示，△ABC，在c上做高，根据射影定理，可得到：

将等式同乘以c得到：

运用同样的方式可以得到：

将两式相加：

向量证明

正弦定理和余弦定理

正弦定理

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

（1）已知三角形的两角与一边，解三角形

（2）已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形

（3）运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系

直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。

余弦定理

是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三

边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起

来更为方便、灵活。

直角三角形的一个锐角的邻边和斜边的比值叫这个锐角的余弦值

在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EFcos∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，在斜三棱柱ABC-A1B1C1的中ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角为θ，则得到的类似的关系式是_____．

答案:

．

解析:

由平面和空间中几何量的对应关系，和已知条件可写出类比结论

解：平面中的点、线、面分别对应空间中的线、面、体，平面中的长度对应空间中的面积，平面中线线的夹角，对应空间中的面面的夹角

故答案为：

证明如下：如图斜三棱柱ABC-A1B1C1

设侧棱长为a

做面EFG垂直于侧棱AA1、BB1、CC1，则∠EFG=θ

又∵

在△EFG中，根据余弦定理得：EG2=EF2+FG2-2EF•FG•COSθ

等式两边同时乘以a2，可得答案

故答案为：

类比余弦定理，在△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF•EF∠DFE．拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-A1B1C1BC的3个侧面面积之间的关系式(其中θ为侧面为ABB1A1与BCC1B1所成的二面角的平面角)_____．

答案:

S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ

解析:

类比三角形的余弦定理，利用类比的方法写出斜三棱柱ABC-A1B1C1BC的3个侧面面积之间的关系式即可．

解：根据题意得：S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ．

故答案为：S△A1C1C2=S△BB1A12+S四边形BCC1B12-2S△BB1A1•S四边形BCC1B1•cosθ