2017步步高《单元滚动检测卷》高考数学精练6数 列.doc

高三单元滚动检测卷·数学考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分．4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．单元检测六 数 列第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·黄冈中学期中)已知{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－2，a 3＝2，则{a n }的公差d 等于( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－42．(2015·福建)若a ，b 是函数f(x)＝x 2－px ＋q(p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．93．已知数列{a n }是等差数列，若a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0，且数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 等于( )A ．4 029B ．4 030C ．4 031D ．4 0324．(2015·重庆模拟)已知a 1＝1，a n ＝n(a n ＋1－a n )(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝(n ＋1n )n －1C ．a n ＝n 2D ．a n ＝n5．(2015·浙江)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞06．(2015·天津模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a n n≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2}B ．{1,2,3,4}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4}7．设函数f(x)＝2x －cos x ，{a n }是公差为π8的等差数列，f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 5)＝5π，则[f(a 3)]2－a 1a 5等于( )A ．0B.116π2C.18π2D.1316π2 8．(2015·黄冈中学月考)若数列{a n }满足1a n ＋1－p a n＝0，n ∈N *，p 为非零常数，则称数列{a n }为“梦想数列”．已知正项数列{1b n}为“梦想数列”，且b 1b 2b 3…b 99＝299，则b 8＋b 92的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)9．(2015·青岛模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a(n ∈N *)，则实数a 的值是________．10．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________.11．设关于x 的不等式x 2－x<2nx(n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．12．(2015·江苏)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．13．在数列{a n }中，a 1≠0，a n ＋1＝3a n ，S n 为{a n }的前n 项和．记R n ＝82S n －S 2n a n ＋1，则数列{R n }的最大项为第________项．14．(2015·杭州严州中学阶段测试)已知数列{a n }满足a 1＝a ，a n ＋1＝1＋1a n.若对任意的自然数n≥4，恒有32<a n <2，则a 的取值范围为________． 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(13分)(2015·福建)等差数列{a n}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2a n－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．16．(13分)(2015·山东省实验中学模拟)为了综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2015年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用．同时每年投放10万辆的机动车牌号．只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．(1)问：到2019年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；(2)根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解，问：至少需要多少年可以实现这一目标．(参考数据：0.954＝0.81,0.955＝0.77，lg 0.75＝－0.13，lg 0.95＝－0.02)17.(13分)(2015·北京西城区期末)已知数列{a n}满足a2＝5，且其前n项和S n＝pn2－n.(1)求p的值和数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}为等比数列，公比为p，且其前n项和T n满足T5<S5，求b1的取值范围．18．(13分)已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .19.(14分)已知a 2、a 5是方程x 2－12x ＋27＝0的两根，数列{a n }是递增的等差数列，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－12b n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .20．(14分)(2015·淄博一模)在数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项和为S n ，则S n ＝a n ＋1－12，(n ∈N *)．(1)求a n ，S n ；(2)设b n ＝log 2(2S n ＋1)－2，数列{c n }满足c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使4T n >2n ＋1－1504成立的最小正整数n 的值． 答案解析1．C [由a 1＋a 7＝2a 4＝－2得a 4＝－1，a 3＝2，d ＝－3，故选C.]2．D [由题意知：a ＋b ＝p ，ab ＝q ，∵p ＞0，q ＞0，∴a ＞0，b ＞0.在a ，b ，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a ，b ，－2；b ，a ，－2；－2，a ，b ；－2，b ，a ；成等比数列的情况有：a ，－2，b ；b ，－2，a.∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2b ＝a －2或⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝4，2a ＝b －2解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4. ∴p ＝5，q ＝4，∴p ＋q ＝9，故选D.]3．C [∵数列{a n }的前n 项和S n 有最大值，∴数列{a n }是递减的等差数列．又∵a 2 016＋a 2 017<0，a 2 016·a 2 017<0，∴a 2 016>0，a 2 017<0，∴数列的前2 016项为正数，从第2 017项开始为负数， 由求和公式和性质可得S 4 031＝4 031a 2 016>0，S 4 032＝2 016(a 2 016＋a 2 017)<0， ∴S n 取最小正值时n ＝4 031.]4．D [因为a n ＝n(a n ＋1－a n )，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n， 所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n n －1×n －1n －2×n －2n －3×…×32×21×1＝n.] 5．B [∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d)2＝(a 1＋2d)(a 1＋7d)，整理得a 1＝－53d ， ∴a 1d ＝－53d 2＜0，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3， ∴dS 4＝－2d 23＜0，故选B.] 6．B [因为S n ＝2a n －1，所以当n≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，又因为a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1，所以{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，故{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. 而a n n≤2，即2n －1≤2n ， 所满足的正整数n ＝1,2,3,4.]7．D [∵{a n }是公差为π8的等差数列， ∴a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，且a 1＝a 3－π4，a 2＝a 3－π8，a 4＝a 3＋π8，a 5＝a 3＋π4. ∵f(x)＝2x －cos x ，∴f(a 1)＋f(a 5)＝2a 1－cos a 1＋2a 5－cos a 5＝2(a 1＋a 5)－(cos a 1＋cos a 5)＝4a 3－⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫a 3－π4＋cos ⎝⎛⎭⎫a 3＋π4 ＝4a 3－2cos a 3cos π4＝4a 3－2cos a 3， f(a 2)＋f(a 4)＝2a 2－cos a 2＋2a 4－cos a 4＝2(a 2＋a 4)－(cos a 2＋cos a 4)＝4a 3－⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫a 3－π8＋cos ⎝⎛⎭⎫a 3＋π8 ＝4a 3－2cos a 3cos π8. ∴f(a 1)＋f(a 2)＋f(a 3)＋f(a 4)＋f(a 5)＝10a 3－cos a 3－(2＋2cos π8)cos a 3 ＝10a 3－⎝⎛⎭⎫1＋2＋2cos π8cos a 3＝5π， ∴a 3＝π2，∴f(a 3)＝2×π2－cos π2＝π. ∴a 1＝π2－π4＝π4，a 5＝π2＋π4＝34π. ∴[f(a 3)]2－a 1a 5＝π2－34π×π4＝1316π2.] 8．B [依题意可得b n ＋1＝pb n ，则数列{b n }为等比数列．又b 1b 2b 3…b 99＝299＝b 9950，则b 50＝2.b 8＋b 92≥2b 8·b 92＝2b 50＝4，当且仅当b 8＝b 92，即该数列为常数列时取等号．]9．－1解析 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋a ，因为{a n }是等比数列，所以有3＋a ＝2，解得a ＝－1.10．1解析 设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 11．10 100解析 由x 2－x<2nx(n ∈N *)得0<x<2n ＋1，因此a n ＝2n ，所以数列{a n }是一个等差数列，所以S 100＝100×(2＋200)2＝10 100. 12.2011解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n－1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(2＋n)(n －1)2，即a n ＝n(n ＋1)2， 令b n ＝1a n， 故b n ＝2n(n ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝2⎣⎡⎦⎤1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 13．4解析 ∵a 1≠0，a n ＋1＝3a n .∴数列{a n }是等比数列．∴R n ＝82a 1(1－3n 2)－a 1(1－3n )(1－3)a 1·3n 2＝(3n 2)2－82(3n 2)＋813n 2(1－3) ＝11－3×(3n 2＋813n 2－82)≤11－3(281－82) ＝643－1. 当且仅当3n 2＝813n 2⇒3n ＝81⇒n ＝4时等号成立． 所以数列{R n }的最大项为第4项．14．(0，＋∞)解析 a 1＝a ，a 2＝1＋1a ＝a ＋1a ，a 3＝1＋a a ＋1＝2a ＋1a ＋1，a 4＝3a ＋22a ＋1.由题意对任意的自然数n≥4，恒有32<a n <2，所以32<1＋1a n －1<2⇒1<a n －1<2，要使n≥4都成立，只需32<a 4<2成立，所以32<3a ＋22a ＋1<2， 解得a>0.15．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝4，(a 1＋3d)＋(a 1＋6d)＝15， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.16．解 (1)设2015年年初机动车保有量为a 1万辆，以后各年年初机动车保有量依次为a 2万辆，a 3万辆，…，每年新增机动车10万辆，则a 1＝600，a n ＋1＝0.95a n ＋10.又a n ＋1－200＝0.95(a n －200)，且a 1－200＝600－200＝400， 所以数列{a n －200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列． 所以a n －200＝400·0.95n －1， 即a n ＝400·0.95n －1＋200. 所以2019年初机动车保有量为a 5＝400×0.954＋200＝524万辆．(2)由题意可知，a n ＝400·0.95n －1＋200<500， 即0.95n －1<0.75，所以n>lg 0.75lg 0.95＋1＝7.5， 故至少需要8年的时间才能实现目标．17．解 (1)由题意，得S 1＝p －1，S 2＝4p －2. 因为a 2＝5，S 2＝a 1＋a 2，所以S 2＝4p －2＝p －1＋5，解得p ＝2.所以S n ＝2n 2－n.当n≥2时，由a n ＝S n －S n －1，得a n ＝(2n 2－n)－[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. 验证知n ＝1时，a 1符合上式，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)，得T n ＝b 1(1－2n )1－2＝b 1(2n －1)． 因为T 5<S 5，所以b 1(25－1)<2×52－5，解得b 1<4531.又因为b 1≠0， 所以b 1的取值范围是(－∞，0)∪(0，4531)． 18．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 故a n ＝3＋(n －1)·(－1)＝4－n.(2)由(1)得，b n ＝n·q n －1，于是 S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n·q n －1. 若q≠1，将上式两边同乘以q 有qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n·q n . 两式相减得到(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1 ＝nq n－q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1. 于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n(n ＋1)2. 所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n(n ＋1)2，q ＝1，nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2，q≠1.19．解 (1)由题意得a 2＝3，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 25－2＝2， 所以a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1，由S n ＝1－12b n 得，当n ＝1时b 1＝23， 当n≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12b n －1－12b n ， 得b n ＝13b n －1，所以数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列， 所以b n ＝23n . (2)c n ＝a n ·b n ＝4n －23n ， T n ＝4×1－231＋4×2－232＋4×3－233＋…＋4×(n －1)－23n －1＋4n －23n ， 3T n ＝4×1－230＋4×2－231＋4×3－232＋…＋4×(n －1)－23n －2＋4n －23n －1， 两式相减得：2T n ＝2＋431＋432＋…＋43n －1－4n －23n ＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋23n . 20．解 (1)由S n ＝a n ＋1－12，得S n －1＝a n －12(n≥2)， 两式作差得：a n ＝a n ＋1－a n ，即2a n ＝a n ＋1(n≥2)， ∴a n ＋1a n＝2(n≥2)， 又a 1＝S 1＝a 2－12，得a 2＝1， ∴a 2a 1＝2， ∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列， 则a n ＝12·2n －1＝2n －2， S n ＝a n ＋1－12＝2n －1－12. (2)b n ＝log 2(2S n ＋1)－2＝log 22n －2＝n －2， ∴c n ·b n ＋3·b n ＋4＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2b n ，即c n (n ＋1)(n ＋2)＝1＋(n ＋1)(n ＋2)·2n －2， c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋2n －2＝1n ＋1－1n ＋2＋2n －2， T n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)＋(2－1＋20＋…＋2n －2) ＝12－1n ＋2＋12(1－2n )1－2＝12－1n ＋2－12＋2n －1 ＝2n －1－1n ＋2.由4T n>2n＋1－1 504，得4(2n－1－1n＋2)>2n＋1－1504，即4n＋2<1504，n>2 014.∴使4T n>2n＋1－1504成立的最小正整数n的值为2 015.。