北京科技大学历年数学分析考研真题答案汇编(2003-2012)
【北京科技大学2012年考研专业课真题】单独考试数学2012
北 京 科 技 大 学2012年硕士学位研究生入学考试试题============================================================================================================= 试题编号： 610 试题名称： 单独考试数学 （共3 页） 适用专业： 全校各专业单独考试考生 说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效。
=============================================================================================================一、单项选择题（本题8小题，每题4分，满分32） 1. =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰--→2020022lim x t x t x dt te dt e （ ）（A ）０． （B ）１. （C ）２． （D ）∞．2. 设)(x f 在),(+∞-∞内由定义, 则下列函数中必为奇函数的是（A ）)(x f y =． （B ）)(x f y -= ． （C ）．)(x f y = （D ）)(2x xf y =． 3. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<-=312101)(x x x x x f 在1=x 处间断是因为（ ）(A ) )(x f 在1=x 处无定义． (B ))(lim 1x f x -→不存在． (C ) )(lim 1x f x +→不存在． (D ) )(lim 1x f x →不存在. 4. ∑是)(2122y x z +=介于0=z 及2=z 之间的下侧, 则⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z )(2=（ ）（A ）π． （B ）π2． （C ）π4． （D ）π8．5. 设幂级数∑∞=1n n n x a 的收敛半径为R )0(+∞<<x ，则∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛13n nn x a 的收敛半径为 （ ）（A ）3R ． （B ）R3． （C ）R ． （D ）R 3．6. 设L 是由直线1,0==x y 及1=+y x 所围成的三角形的正向边界，则曲线积分⎰=-L ydx xdy 3( )（A ）1． （B ）2． （C ）3． （D ）4．7. 设x x f tan ln )(=, 则=')(x f （ ）(A ) x tan 1． (B ) x 2sin 2． (C )-22tan x ． (D ) x x 2sin cos ．. 8. 设D 是圆域422≤+y x , 则=+⎰⎰dxdy y x D 22（ ）(A ) 38π． (B )316π． (C ) 4π． (D ) π. 二、填空题（本题6小题，每题4分，满分24）9. 设⎰+=3241)(x x t dt x P ，则=')1(P _____．10. )(x f y =由方程03275=--+x x y y 所确定，则曲线)(x f y =在点)0,0(处的 切线斜率k =_____． 11.⎰=++3011dx xx _____． 12.=+⎰⎰102arcsin 2cos 1cos dx x x dy y π _____． 13.=⎰+1012dx e x _____． 14.⎰=dx x x 2cos 2sin _____．三、计算题（本题7小题，每题10分，满分70）15. 求4212+-=x x y 极值和拐点． 16. 设)ln(yzz x =，求dz ． 17. 判定交错级数∑∞=-+-1)1()1(n n n n 的．18. 求由方程0)ln(22=+-xyz xyz xz 所确定的隐函数),(y x z z =在点(1,1)处的全微分．19. 设⎰>+=xx dt t t x f 10,1ln )(，求)1()(xf x f +． 20. 求⎰+dx xx 32)1ln(． 21. 已知)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(=g ，又函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,0,c o s )()(x a x x x x g x f确定a 的值使)(x f 在0=x 处连续；(2)求)(x f '；（３）讨论)(x f '在0=x 的连续性．四、应用证明题（本题2小题，每题12分，满分24） 22. 求曲线xy 1=与直线2,4==x x y 围成区域的面积S 绕x 轴旋转所成的旋转体的体积V ．23. 证明：当0>x 时，1)1ln(+<+x xx ．.。
北京科技大学考研真题数学分析03 04
北京科技大学2003年研究生入学考试《数学分析》试题一、讨论函数2()lim n nn nn x x f x x x +−−→∞−=+的间断点及类型。
二、设，010, 1sin(1) (1, 2, )n n x x x n −==+−=L （1） 证明：数列{}n x 收敛；（2） 求极限lim n n x →∞。
三、设函数()f x 在区间[,上可导，证明：至少存在 ]a b (, )a b ξ∈，使得233(()())()()f b f a b a f 3ξξ′−=−。
四、设()f x 在区间[0上连续，证明：, 1] 1 1()()0 01f x f y e dx e dy −≥∫∫ 。
五、设 1501()(1)()2f x x x f x d =−+∫x ，求()f x 。
六、设函数()f x 在区间[1内有定义，在开区间(1, 1]−, 1)−内有一阶连续导数，且()lim x f x a x→∞=，证明： （1） 11(1)n n f n ∞=⎛⎞−⎜⎟⎝⎠∑收敛； （2）11n f n ∞=⎛⎞⎜⎟⎝⎠∑发散。
七、计算积分()(sin())S I x y z dydz y z x dzdx =+−++++()x y z edxd ∫∫y ++，其中为曲面||的外侧。
S |||x y z y z x z x y −++−++−+=|1八、证明：函数项级数 22311ln(1)n n x n ∞=+∑在区间[1, 1]−上一致收敛。
九、设(, )x y ϕϕ=连续，(, ) ||(, )f x y x y x y ϕ=−，研究(, )f x y 在原点的可微性。
十、从已知ABC Δ的内部的点向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点的位置。
P P。
2003年数一真题、标准答案及解析(超强版)
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ = .（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是 . （3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = .（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为 .（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P .（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ ]（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ ]（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则(A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.[ ]（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ ] （6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ ] 三、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x L ysin sin sin sin -=-⎰⎰--;(2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly 六 、（本题满分10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.） 七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y xf t F σ，⎰⎰⎰-+=t t D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为 :1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a十一 、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 十二 、（本题满分8分） 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21nX X X =θ (1) 求总体X 的分布函数F(x); (2) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(3) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.2003年考研数学一真题评注一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(12)(cos lim x x x +→ =e1.【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =- 【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→x xx x x x ， 所以原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx a x n n ，其系数计算公式为⎰=ππcos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1.【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [n βββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式1≤+y x 的公共部分D ，再在其上积分即可.（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(D) 一个极小值点和两个极大值点. (E) 两个极小值点和一个极大值点. (F) 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导)(x f '的图象，本题是其逆问题.（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且 222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想.（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关. (C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关.或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).【评注】 本题将一已知定理改造成选择题，如果考生熟知此定理应该可直接找到答案，若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项.（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题： ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).【例】 齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B). (B) A,B 为相似矩阵.(C) A, B 的行向量组等价. (D) A,B 的列向量组等价. [ C ] 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.（6）设随机变量21),1)((~X Y n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21XY =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).【评注】 本题综合考查了t 分布、2χ分布和F 分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的定义.三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (3) 求D 的面积A;(4) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是 ).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x e y 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy e e V y 2102)(⎰-=π， 因此所求旋转体的体积为).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ【评注】 . 也可考虑用微元法分析.四 、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形.本题可先求导，再利用函数x-11的幂级数展开 +++++=-n x x x x2111即可，然后取x 为某特殊值，得所求级数的和.【详解】 因为).21,21(,4)1(2412)(202-∈--=+-='∑∞=x x x x f nn n n 又f(0)=4π, 所以 dt t dt t f f x f n n xxn n ]4)1([24)()0()(20⎰⎰∑∞=--='+=π=).21,21(,124)1(24120-∈+--+∞=∑x x n n n n n π因为级数∑∞=+-012)1(n nn 收敛，函数f(x)在21=x 处连续，所以].21,21(,124)1(24)(120-∈+--=+∞=∑x x n x f n n n n π令21=x ，得 ∑∑∞=+∞=+--=⋅+--=012012)1(4]21124)1([24)21(n nn n n n n f ππ, 再由0)21(=f ，得.4)21(412)1(0ππ=-=+-∑∞=f n n n五 、（本题满分10分）已知平面区域}0,0),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界. 试证： (1) dx ye dy xe dx ye dy xe xLy x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--; (2).22sin sin π≥--⎰dx ye dy xe x Ly【分析】 本题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然可想到用格林公式；(2)的证明应注意用(1)的结果.【详解】 方法一：(1) 左边=dx e dy ex y⎰⎰--0sin 0sin ππππ=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，右边=⎰⎰--ππππ0sin sin dx e dy e x y=⎰-+ππ0sin sin )(dx e e x x ，所以dx ye dy xe dx ye dy xex Ly x Lysin sin sin sin -=-⎰⎰--.(2) 由于2sin sin ≥+-x xe e ，故由（1）得.2)(20sin sin sin sin πππ≥+=-⎰⎰--dx e e dx yedy xex x xLy方法二：（1） 根据格林公式，得⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin ， ⎰⎰⎰+=---Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin . 因为D 具有轮换对称性，所以 ⎰⎰-+Dx ydxdy e e)(sin sin =⎰⎰+-D x y dxdy e e )(sin sin ，故dx ye dy xe dx ye dy xe x Ly x Ly sin sin sin sin -=-⎰⎰--. (2) 由(1)知⎰⎰⎰--+=-Dx y x Ly dxdy e e dx ye dy xe )(sin sin sin sin =dxdy e dxdy eD D x y⎰⎰⎰⎰-+sin sin=dxdy e dxdy e DDxx ⎰⎰⎰⎰-+sin sin （利用轮换对称性） =.22)(2sin sin π=≥+⎰⎰⎰⎰-dxdy dxdy e e DDx x 【评注】 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的. 另外，一个题由两部分构成时，求证第二部分时应首先想到利用第一部分的结果，事实上，第一部分往往是起桥梁作用的.六 、（本题满分10分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k>0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问(1) 汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2) 若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？ （注：m 表示长度单位米.）【分析】 本题属变力做功问题，可用定积分进行计算，而击打次数不限，相当于求数列的极限.【详解】 (1) 设第n 次击打后，桩被打进地下n x ，第n 次击打时，汽锤所作的功为),3,2,1( =n W n . 由题设，当桩被打进地下的深度为x 时，土层对桩的阻力的大小为kx ，所以22101221a k x k kxdx W x ===⎰， ).(2)(22222122221a x k x x k kxdx W x x -=-==⎰由12rW W =可得2222ra a x =- 即 .)1(222a r x +=].)1([2)(22232223332a r x k x x k kxdx W x x +-=-==⎰ 由1223W r rW W ==可得22223)1(a r a r x =+-， 从而 a r r x 231++=，即汽锤击打3次后，可将桩打进地下am r r 21++.（2） 由归纳法，设a r r r x n n 121-++++= ，则)(222111n n x x n x x k kxdx W n n-==++⎰+=].)1([22121a r r x k n n -++++- 由于1121W r W r rW W n n n n ====-+ ，故得 22121)1(a r a r r x n n n =+++--+ ,从而 .11111a rr a r r x n nn --=+++=++于是 a rx n n -=+∞→11lim 1， 即若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下a r-11m. 【评注】 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了，有一定难度.但用定积分求变力做功并不是什么新问题，何况本题的变力十分简单.七 、（本题满分12分）设函数y=y(x)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解. 【分析】 将dy dx 转化为dx dy 比较简单，dy dx =y dxdy '=11，关键是应注意： )(22dy dx dy d dyx d ==dy dxy dx d ⋅')1( =32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知y dy dx '=1，于是有 )(22dy dx dy d dyx d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-. 代入原微分方程得.sin x y y =-'' ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程0=-''y y 的通解为 .21xxe C e C Y -+= 设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=，代入方程( * )，求得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=，从而x y y sin =-''的通解是 .sin 2121*x e C e C y Y y xx -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C . 故所求初值问题的解为.sin 21x e e y xx --=-【评注】 本题的核心是第一步方程变换.八 、（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，⎰⎰⎰⎰⎰+++=Ω)(22)(222)()()(t D t d y xf dvz y x f t F σ，⎰⎰⎰-+=tt D dxx f d y x f t G 12)(22)()()(σ，其中}),,{()(2222t z y x z y x t ≤++=Ω，}.),{()(222t y x y x t D ≤+=(1) 讨论F(t)在区间),0(+∞内的单调性. (2) 证明当t>0时，).(2)(t G t F π>【分析】 (1) 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数)(t F '的符号确定单调性；(2) 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】 (1) 因为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==ttttrdrr f drr r f rdrr f d drr r f d d t F 020222002200022)()(2)(sin )()(πππθϕϕθ，202022])([)()()(2)(rdr r f drr t r r f t tf t F tt⎰⎰-='，所以在),0(+∞上0)(>'t F ，故F(t) 在),0(+∞内单调增加.（2） 因 ⎰⎰=ttdrr f rdrr f t G 0202)()()(π，要证明t>0时)(2)(t G t F π>，只需证明t>0时，0)(2)(>-t G t F π，即.0])([)()(0202222>-⎰⎰⎰tt trdr r f dr r f dr r r f令 ⎰⎰⎰-=tttrdr r f dr r f dr r r f t g 0202222])([)()()(，则 0)()()()(222>-='⎰dr r t r f t f t g t ，故g(t)在),0(+∞内单调增加.因为g(t)在t=0处连续，所以当t>0时，有g(t)>g(0). 又g(0)=0, 故当t>0时，g(t)>0,因此，当t>0时，).(2)(t G t F π>【评注】 本题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明（2）中的不等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：dx x g dx x f dx x g x f b ababa⎰⎰⎰⋅≤)()(])()([222，在上式中取f(x)为r r f )(2，g(x)为)(2r f 即可.九 、（本题满分10分）设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=322232223A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100101010P ，P A P B *1-=，求B+2E 的特征值与特征向量，其中*A 为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵.【分析】 可先求出1*,,-P A ，进而确定P A P B *1-=及B+2E ，再按通常方法确定其特征值和特征向量；或先求出A 的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E 与A*+2E 相似求出其特征值与特征向量.【详解】 方法一： 经计算可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=522252225*A ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P ，P A P B *1-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----322452007.从而⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=+5224720092E B ，)3()9(522472009)2(2--=---=+-λλλλλλE B E ，故B+2E 的特征值为.3,9321===λλλ当921==λλ时，解0)9(=-x A E ，得线性无关的特征向量为,0111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η ,1022⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 所以属于特征值921==λλ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+102011212211k k k k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数. 当33=λ时，解0)3(=-x A E ，得线性无关的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103η， 所以属于特征值33=λ的所有特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110333k k η，其中03≠k 为任意常数. 方法二：设A 的特征值为λ，对应特征向量为η，即 ληη=A . 由于07≠=A ，所以.0≠λ又因 E A A A =*，故有 .*ηληAA =于是有 )()(*)(1111ηληη----==P AP P A P PB ，.)2()2(11ηλη--+=+P APE B因此，2+λA为B+2E 的特征值，对应的特征向量为.1η-P由于 )7()1(3222322232--=---------=-λλλλλλA E ，故A 的特征值为.7,1321===λλλ当121==λλ时，对应的线性无关特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=0111η， .1012⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=η 当73=λ时，对应的一个特征向量为.1113⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=η 由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1000011101P，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-01111ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-11121ηP ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-11031ηP .因此，B+2E 的三个特征值分别为9，9，3.对应于特征值9的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+--11101121212111k k P k P k ηη，其中21,k k 是不全为零的任意常数；对应于特征值3的全部特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-1103313k P k η，其中3k 是不为零的任意常数.【评注】 设AP P B 1-=，若λ是A 的特征值，对应特征向量为η，则B 与A 有相同的特征值，但对应特征向量不同，B 对应特征值λ的特征向量为.1η-P本题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同的特征值以及A 与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十 、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为:1l 032=++c by ax ， :2l 032=++a cy bx ， :3l 032=++b ay cx .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】 方法一：必要性设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A由于 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a ba ca c bcb aA ---++++=---==])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++, 但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故 .0=++c b a充分性：由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A 由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ， 故秩(A)=2. 于是，秩(A)=秩)(A =2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.方法二：必要性设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为Ax=0的非零解，其中.323232⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b a c a c b c b a A 于是 0=A .而 ])[(6323232222bc ac ab c b a c b a b a ca cb cb a A ---++++-===])()())[((3222a c c b b a c b a -+-+-++-,但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a充分性：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*)将方程组(*)的三个方程相加，并由a+b+c=0可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *)因为 ])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-= =-0])([222≠+++b a b a ,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点.【评注】本题将三条直线的位置关系转化为方程组的解的判定，而解的判定问题又可转化为矩阵的秩计算，进而转化为行列式的计算，综合考查了多个知识点.十一 、（本题满分10分）已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1) 乙箱中次品件数的数学期望；(2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【分析】 乙箱中可能的次品件数为0，1，2，3，分别求出其概率，再按定义求数学期望即可；而求从乙箱中任取一件产品是次品的概率，涉及到两次试验，是典型的用全概率公式的情形，第一次试验的各种可能结果（取到的次品数）就是要找的完备事件组.【详解】 (1) X 的可能取值为0，1，2，3，X 的概率分布为36333}{C C C k X P k k -==， k=0,1,2,3.即 X 0 1 2 3P201 209 209 201 因此.232013209220912010=⨯+⨯+⨯+⨯=EX (2) 设A 表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于}0{=X ，}1{=X ，}2{=X ，}3{=X 构成完备事件组，因此根据全概率公式，有∑====3}{}{)(k k X A P k X P A P=∑∑====⋅=330}{616}{k k k X kP k k X P=.41236161=⋅=EX【评注】本题对数学期望的计算也可用分解法：设,,,1,0件产品是次品从甲箱中取出的第件产品是合格品从甲箱中取出的第i i X i ⎩⎨⎧=则i X 的概率分布为i X 0 1P 2121.3,2,1=i因为321X X X X ++=，所以.23321=++=EX EX EX EX十二 、（本题满分8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=--,,,0,2)()(2θθθx x e x f x其中0>θ是未知参数. 从总体X 中抽取简单随机样本n X X X ,,,21 ，记).,,,min(ˆ21n X X X =θ(4) 求总体X 的分布函数F(x);(5) 求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ；(6) 如果用θˆ作为θ的估计量，讨论它是否具有无偏性.【分析】 求分布函数F(x)是基本题型；求统计量θˆ的分布函数)(ˆx F θ，可作为多维相互独立且同分布的随机变量函数求分布函数，直接用定义即可；是否具有无偏性，只需检验θθ=ˆE 是否成立. 【详解】 (1).,,0,1)()()(2θθθ≤>⎩⎨⎧-==⎰∞---x x e dt t f x F xx (2) }),,,{min(}ˆ{)(21ˆx X X X P x P x F n≤=≤= θθ =}),,,{min(121x X X X P n >-=},,,{121x X x X x X P n >>>-=n x F )](1[1--=.,,0,1)(2θθθ≤>⎩⎨⎧---x x e x n (3) θˆ概率密度为.,,0,2)()()(2ˆˆθθθθθ≤>⎩⎨⎧==--x x ne dx x dF x f x n 因为 ⎰⎰+∞--+∞∞-==θθθθdx nxe dx x xf E x n )(2ˆ2)(ˆ =θθ≠+n21， 所以θˆ作为θ的估计量不具有无偏性.【评注】本题表面上是一数理统计问题，实际上考查了求分布函数、随机变量的函数求分布和概率密度以及数学期望的计算等多个知识点.将数理统计的概念与随机变量求分布与数字特征结合起来是一种典型的命题形式.[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。
北京科技大学数学分析考研试题答案2003年
因为收敛，由(威尔斯-特拉斯判别法)知，得证. 十、解
2003年数学分析答案 一、解
(1) 但f(x)在x=0处无定义，因此x=0为f(x) 的可去间断点，也称为第一类间 断点.
(2) 在x=1处，因为， ，
左极限右极限，故x=1是f(x)的跳跃间断点，也是第一类间断点. (3) 在处，，
，左极限右极限，所以是f(x)的跳跃间断点，也是第一类间断点. 考查点：间断点的类型
1.可去间断点 若而f在点无定义，或有定义但则称为f的可去间断点. 2.跳跃间断点 若函数f在点的左右极限都存在，但则称点为函数f的 跳跃间断点. 3.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的 特点是函数在该点处的左、右极限都存在. 4.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存 在的那些点，称为第二类间断点. 5.找间断点的方法 i) 使得函数无意义的点（即考查函数的定义域），比如使分母为0 的点，使中的点. i) 左右极限不相等的点，通常考虑，尤其是函数中含有的形式. iii) 考虑. 例1 解 但是f(x)在x=0处无定义，故x=0是函数的第一类间断点中的可去 间断点. 例2 , 解 x=0处不存在，故x=0是函数的第二类间断点. x=1处，但是函数在x=1处无定义，故x=1是函数的第一类间断点中 的跳跃间断点. 例3 是函数的第二类间断点. 二、(1) 证明 因为，所以，也就是说数列{}有界.令，则，所以f(x)单调 递增，所以，即{}是单调递增数列.由单调有界定理知数列{}收敛。 (2) 设，求解得x=1，即. 考查点：单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 求极限的方法之一，设出把x直接带入题中等式，解方程。
三、证明 令，则f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由柯西中值定 理知，至少存在一点使得，整理即证. 考查点：柯西中值定理的应用
北京科技大学2003-2004学年度第二学期高等数学(A)试题及答案
敛区间 t 2 ，即 1 x 3 ， 当 x 3 时级数发散，当 x 1 时级数收敛，故原级数收 敛域为 [ 1, 3) 。 13．解： ï í
ì ïz = ï x= 0 ï ï î
y- 1
绕 y 轴旋转的旋转曲面方程为： y - 1 = z + x ，
2
2
I=
蝌 邋+
=
A 5
x2 y 1 = [ ] 2 ydy 1 2 y 1 2 5 [ y ( y 2) 2 y 5 ]dy = 5 1 2 8 a n 1 1 tn ， lim ， 收敛半径 R 2 ， 收 n n a 2 n 1 2 n n
12． 解： 令 t x 1 ， 则原级数化为
五．综合题 (10 分)
17 ． 设 曲 线 C 的 起 点 为 A ， 终 点 为 B ，
f ( ) 1 ， 求 函 数 f ( x) ， 使 曲 线 积 分
A，B 两点分别为 (1, 0) 和 ( , ) 时
C
[sin x f ( x)] x dx f ( x)dy 与路径无关，并求当
2 2
x
0
15．解：特征方程 r r 2 0 ， r1 1, r2 2 ， 齐次方程通解为 Y c1e c2e 为求原方程的特解 y 。 ，考虑两个方程，
2
x
2 x
，
， 对于前一方程， 因 0 不是特征根，可设 y ' ' y '2 y x 1 （1）和 y ' ' y '2 y e x （2）
(8 y 1) xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy ，
北京科技大学硕士学位研究生2003-2011传热学真题
北京科技大学2003年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题一、简要回答下列问题（每小题8分）1、写出下列准则的表达式，并注明各量的物理意义:Bi Fo Gr Nu Re Eu2、在工业用换热器中，有的将肋片装在圆管的内表面，圆管外表面为光管；有的换热器正好相反，为什么？举例说明。
3、为什么称大容器饱和沸腾中的临界热流为沸腾危机或烧毁点？4、试述强化管内流体对流换热常采用的方法，并简述理由。
5、什么是灰体？在实际工程计算中我们把物体表面当作灰体处理应满足什么条件？而又为什么要满足这样的条件？二、（20分）外径为60mm ,表面温度为200℃的蒸汽管道，外绝缘层为100mm 的正方形截面，绝热材料导热系数为0.1W/(m ·K),绝热层外表温度为50℃。
试计算每米长管道的热损失。
若用同样多的材料做成圆形截面，热损失又是多少？（可假设两种情况下绝热层外表面与环境的对流换热系数相同）三、（20分）如图中所示，位于导热系数分别为A k 和B k 两种材料界面处的节点O 。
试推导出稳态状况下，无内热生成的有限差分方程，若划分网格时令△x = △y ，则此导热问题的有限差分方程可简化为何种形式。
四、（25分）一套管式换热器，饱和蒸汽在内管中凝结，使内管的外壁温度保持在100℃。
初温为25℃、质量流量为0.8kg/s 的水从套管换热器的环形空间流过，换热器外壳绝热良好。
环形夹层内管外径为40mm ，外管内径为60mm ，试确定把水加热到55℃时所需的套管长度及管子出口截面处的局部热流密度。
（不考虑温差修正，水的物性参数为： λ=0.635W/（m ·K ），μ=653.3×610-Pa ·s ，p c =4174J/（kg ·K ），Pr=4.31）五、（25分）如图所示，由半径为1m 的1/4圆的两直径及圆周所组成的通道，在垂直纸面方向无限长。
表面1的温度和发射率分别为1t =200℃，1ε=0.2，表面2温度和发射率分别为t 2=27℃，2ε=0.7,表面3的发射率为3ε=0.5，单位长度热流3q =1000W/m 。
北京科技大学历年高等代数考研真题汇编(2003-2017)
九．（本题 20 分）设线性空间V W1 W2 L Ws ，证明：存在V 的线性变换1, 2 ,L , s
使得（1）
2 i
i
，1
i
s
；（2） i
j
0
，i
j ；（3）1 2 L
s I 为恒等变
换；（4） Im i Wi ，1 i s 。
1 ( 1,2,1,3 ),2 ( 1,1,2,1 ),3 ( 1,3,0,5 ), 1 ( 1,0,4,2 ), 2 ( 0,5,9,14 ) .
求（1）V1 的维数与一组基；（2）V2 的维数与一组基；（3）V1 V2 的维数 与一组基；（4）V1 V2 的维数与一组基.
注意：第一、二大题不必抄题，在答题纸上写清题号即可。
一．填空题（本题 20 分，每小题 4 分）
1． 已知 A 为 n 阶方阵且 A 3 ，则 A1 2 A*
。
2 ． 设 A是 3 阶 可 逆 矩 阵 ， A的 第 1 行 与 第 2 行 交 换 后 得 到 矩 阵 B， 则
AB1
一（15 分）、判断 f ( x ) x5 3x4 5x3 7 x2 6 x 2 有无重因式，若有，请求出 f (x)
的所有重因式并指出其重数.
1
二(20
分)、设矩阵
A
2 1
1 1 1
1
0 1
,
B
2
1
1 1
2 1
.
（1）计算矩阵 ABT 以及行列式 ABT BAT ；
-3-
北京科技大学 2012 年硕士学位研究生入学考试试题
北京科技大学613数学分析2014到2004十一套考研真题
所确定的隐函数, 求 ux .
x =u +v
(2)
设
y z
= =
u u
2 3
+ +
v2 v3
，求
z x
.
3. (15 分)设 f (x) 在0, 2 上连续，且 f (0) ＝ f (2) ，证明 x0 0,1 ，使
f (x0 ) ＝ f (x0 +1).
4.(15 分) 设 f (x) 为偶函数, 试证明:
=====================================
x2
cos xdx
1.(15 分)
（1）计算极限
lim
x→0
0
ln(1+ x2)
；
（2）设 a1 0,
an+1
=
2(1+ an ) 2 + an
,
(n
= 1, 2,3,L
), 证明:
lim
n→
an
存在，并求该极限.
2. (15 分) (1)设 u = x2 + y2 + z 2 ，其中 z = f (x, y) 是由方程 x3 + y3 + z3 = 3xyz
======================================================================== =====================================
1．（20 分） （1）、设 z = f ( x, y,u) = xy + xF(u) ，其中 F 为可微函数，且 u = y ，
(2)求级数
+ n=1
北京科技大学历年数学分析考研真题汇编(2003-2017)
1）
n1
3n
sin
5n
2）
n1
1 n 2ln n
-2-
北京科技大学 2012 年硕士学位研究生入学考试试题
=============================================================================================================
xa x a a
1．(15 分)设函数 f (x) 在闭区间[0,1] 上连续, 在开区间 (0,1) 内可微, 且 f (0) f (1) 0,
f (1 ) 1, 证明: 2
(1)
存
在
1 2
,1
,
使
得
f ( ) ;
(2) 存在 (0, ), 使得
f () f () 1.
-1-
6. (15 分) 求空间一点(x0, y0 , z0 )到平面Ax + By + Cz + D = 0 的最短距离.
7．(15 分)证明: 反常积分 ex2y d y ,在[a, b](a 0) 上一致收敛. 0
8. (15 分 ) 计 算 x 2dydz y 2dzdx z 2dxdy , 其 中 S 是 球 面 (x - a)2 + ( y - b)2
北京科技大学 2011 年硕士学位研究生入学考试试题
=============================================================================================================
北京科技大学2003-2004学年度第一学期高等数学(A)试题及答案
北 京 科 技 大 学 03 级 《高 等 数 学AI 》期 末 试 题120分钟 满分100 2004.1一．填空题 (每小题4分，共20分) 1．设 =⋅⨯-=-==c b a c b a)(}0,2,1{},3,1,1{},1,3,2{则 。
2．已知yx y x z ++=2)2(，则全微分=z d 。
3．设曲线n x y =在（1，1）点处的切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，则=∞→n n ξlim 。
4．设)(x f 可导且x x f 2tan )(cos '=，则=)(x f 。
5．不定积分⎰dx x arctan= 。
二．单项选择题 (每小题4分，共20分)6． 若∞=→)(lim 0x f x x 且∞=→)(0lim x g x x ，下列结论正确的是 【 】(A) ∞=+→)]()([lim 0x g x f x x (B) 0)]()([lim 0=-→x g x f x x(C) 0)()(1lim 0=→x g x f x x (D) 0)()(1lim=+→x g x f x x7．设b a,是非零向量，且||||b a b a +=-，则下列结论正确的是【 】(A) b a b a+=- (B) 0=⋅b a(C) 0 =⨯b a (D) ||||b a=8．设2)(x e x f =，则)0()2003(f 下列结论正确的是 【 】( A ) 2002 ( B ) 2003 ( C ) 2003！ ( D ) 09．函数141232)(23+-+=x x x x f 在区间 [ -1 , 2 ] 上的最大值和最小值分别是【 】(A) 27和7 (B) 34 和 7 (C) 34和18 (D) 27 和 1810．设),(y x f 在点),(00y x 的某邻域中有定义，则下列结论正确的是 【 】(A) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处连续 (B) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 存在，则),(y x f 在点),(00y x 处可微 (C) 若),(00y x f x ，),(00y x f y 不存在，则),(y x f 在点),(00y x 处不连续 (D) 若),(y x f x ，),(y x f y 在点),(00y x 处连续，则),(y x f 在点),(00y x 处可微三．计算题 ( 每小题6分，共36分 ) 11．求不定积分⎰-dx xx 1arcsin12．求极限)1(lim 2x x x x -++∞→13．求极限 xex x x-+→1)1(0lim14．求极限 )(lim 22222941n n n n n n n n n +++++++∞→15．求定积分⎰22cos πxdx e x16．求通过两条直线 1L :21123-==-z y x 与 2L : 21121zy x =-=+ 的平面方程。
考研数学二历年真题及答案详解_2003—2013李永乐
阵 C． 23（本题满分 11 分）
a1 b1 设二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) 2( a1 x1 a 2 x2 a3 x3 ) (b1 x1 b2 x2 b3 x3 ) ．记 a 2 , b2 ． a b 3 3
2
数学二历年考研试题及答案详解（2003~2013）
轴旋转一周所形成的立体的体积，若10V x V y ，求 a 的值． 17． （本题满分 10 分） 设平面区域 D 是由曲线 x 3 y, y 3x, x y 8 所围成，求 18． （本题满分 10 分） 设奇函数 f ( x ) 在 1,1 上具有二阶导数，且 f (1) 1 ，证明： （1）存在 (0,1) ，使得 f ' 1 ； （2）存在 (1,1) ，使得 f ( ) f ( ) 1 ． 19． （本题满分 10 分） 求曲线 x 3 xy y 3 1( x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离和最短距离． 20． （本题满分 11） 设函数 f ( x ) ln x
2．已知 y f x 是由方程 cos xy ln y x 1 确定，则 lim n f 1 （
n
2 n
）
（A）2 ３．设 f ( x )
（B）1
（C）-1
（D）-2
x sin x, x [0, ) ， F ( x ) f (t )dt 则（ ） 0 2, x [ ,2 ]
d2y dx 2
x 0
.
1 1 1 2 2 2 2 2 n n n2 1 n
.
北京科技大学历年数学分析考研真题答案汇编(2003-2012)
f (x) lim x1
x2n2 1 x2n 1
1
，
lim
x1
f (x)
lim
x1
xn2 0 xn 0
lim
x1
x2
1，左极限 右极限，所以 x 1 是 f(x)的跳跃间断
点，也是第一类间断点. 考查点：间断点的类型
1.可去间断点
若 lim x x0
少存在一点
(a,b) 使得
f ( ) g( )
f (b) f (a) g(b) g(a)
，整理即证.
考查点：柯西中值定理的应用 技巧：将题目中的等式变形成柯西中值定理的形式，根据情况再构造另一个函数. 柯西中值定理 设函数 f 和 g 满足 i) 在[a,b]上连续； ii) 在(a,b)内都可导；
的左、右极限都存在. 4.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第
二类间断点. 5.找间断点的方法
i) 使得函数无意义的点（即考查函数的定义域），比如使分母为 0 的点，使 loga f (x)
中 f (x) 0 的点.
i) 左右极限不相等的点，通常考虑 x 1 ，尤其是函数中含有 xn 的形式.
{ xn }有界.令 f (x) 1 sin(x 1) ，则 f (x) cos(x 1) 0, (0 x 2) ，所以 f(x)单调递
增，所以 xn xn1 ，即{ xn }是单调递增数列.由单调有界定理知数列{ xn }收敛。
(2)
设
lim
n
xn
x,则
x
所以 an1 an ，即{ an }单调递减有下界.故{ an }收敛.
【精品】北京科技大学攻读硕士研究生入学考试试题及答案解读
北京科技大学攻读硕士研究生入学考试试题及答案解读2005年北京科技大学攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目:金属学适用专业:材料学、材料科学与工程、材料加工工程说明:统考生做一至九题;单考生做一至六和十至十二题一、晶体结构(20分1.什么是晶面族{111}晶面族包含哪些晶面?2.面心立方结构金属的[100]和正[111]晶向间的夹角是多少?{100}面间距是多少?3.面心立方结构和密排六方结构金属中的原子堆垛方式和致密度是否有差异?请加以说明。
二、合金相(15分1.解释间隙固溶体和间隙相的含义,并加以比较。
2.为什么固溶体的强度常比纯金属高?三、晶体缺陷(15分1.晶体内若有较多的线缺陷(位错或面缺陷(晶界、孪晶界等,其强度会明显升高,这些现象称为什么?强度提高的原因是什么?2.上述的两类缺陷是怎样进入晶体的?举例说明如何提高这些缺陷的数目?四、相图热力学(10分利用图10-1的自由能-成分曲线说明,公切线将成分范围分成三个区域,各区域内哪些相稳定?为什么?五、凝固(20分1.相同过冷度下比较均匀形核与非均匀形核的临界半径、临界形核功、临界晶核体积,哪个大?2.合金凝固时的液/固界面前沿通常比纯金属液/固界面前沿更容易出现过冷?为什么?3.典型的金属(如铁和典型的非金属(如硅,石墨在液相中单独生长时的形貌差异是什么?六、扩散(20分1.菲克第二定律的解之一是误差函数解,C=A+Berf(x/2(Dt1/2,它可用于纯铁的渗碳过程。
若温度固定,不同时间碳的浓度分布则如图10-2。
已知渗碳1 小时后达到某一特定浓度的渗碳层厚度为0.5mm,问再继续渗碳8小时后,相同浓度的渗层厚度是多少?2.图10-3为测出的钍在不同温度及以不同方式扩散时扩散系数与温度的关系,从该实验数据图中能得出哪些信息?七、形变(20分1.常温下金属塑性变形有哪些主要机制? 它们间的主要差异是什么?2.面心立方金属铜在三种不同条件下的真应力-应变曲线如图10-4。
北京科技大学数学分析考研真题试题2009—2012年
9．（10 分）试利用闭区间套定理证明数列 {an}收敛的充要条件是: 对任意的 0 ，存在 N 0 ，使得当 m, n N 时， am an 。
10．（10 分）（1）设 a 为不是整数的实参数，计算函数 cos ax 在 , 的三角级
数展开式；
（2）证明：
1 sin t
1 t
使得
f
( )
1 n2
n
(2k
k 1
1) f
(xk ) .
10. (15 分)判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散:
1）
n1
3n
sin
5n
1 n
2）
n1
2ln n
-2-
北京科技大学 2012 年硕士学位研究生入学考试试题
=============================================================================================================
1．（20 分）（1）求极限 lim 1 n (n 1)(n 2)(2n) 。 n n
（2）证明积分 2 ln(sin x)dx 收敛且求其值。 0
2．（20 分）（1）证明：对于 0 ，级数 n1 (1)n tan n2 都收敛。
（2）设 f (x) 连续，求极限 lim x
x
最近的点。
7．（15 分）设 f x 在a, b 连续，在 a, b 可导，且 f x 0 。试证明：存在
1
, a, b ，使
f f
eb b
ea a
e
。
8．（15 分）设 f (x) 在区间[1,1]上连续且为奇函数, 区域D 由曲线y 4 x 2 与
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x=1 处 lim f (x) 0 ，但是函数在 x=1 处无定义，故 x=1 是函数的第一类间断点中的跳 x1
跃间断点.
例 3 f (x) 1 x sin x
x k , (k 0, 1, 2,L ) 是函数的第二类间断点.
二、(1) 证明 因为 1 sin(xn1 1) 1 ，所以 0 xn 1 sin(xn 1) 2 ，也就是说数列
iii) 考虑 x 0 . 例 1 f (x) sin x
x 解 lim sin x 1, 但是 f(x)在 x=0 处无定义，故 x=0 是函数的第一类间断点中的可去间
x0 x
断点.
例 2 f (x)
1
x,
1 e1x
解 x=0 处 lim f (x) 不存在，故 x=0 是函数的第二类间断点. x0
的左、右极限都存在. 4.函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点，称为第
二类间断点. 5.找间断点的方法
i) 使得函数无意义的点（即考查函数的定义域），比如使分母为 0 的点，使 loga f (x)
中 f (x) 0 的点.
i) 左右极限不相等的点，通常考虑 x 1 ，尤其是函数中含有 xn 的形式.
lim x1
xn2 0 xn 0
lim x2 x1
1，
lim
x1
xn2 xn xn xn
lim x1
x2n2 1 x2n 1
1
，
左极限 右极限，故 x=1 是 f(x)的跳跃间断点，也是第一类间断点.
(3)
在 x 1 处， lim x1
则 S 变为 u v w 1，
V 是对称的八面体，它在 uvw 的第一卦限的部分是 u+v+w=1，u=0，v=0，w=0 所围的区域.
J
(x, y, z) (u, v, w)
1 (u, v, w)
1
(x, y, z) 1
1
1,
1 1 4
1 1
1 1 1
I
3
f (x)
A, 而 f 在点 x0 无定义，或有定义但
f (x0 )
A, 则称 x0 为 f
的可去间断点.
2.跳跃间断点
若函数
f
在点
x0
的左右极限都存在，但
lim
x x0
f
(x)
lim , 则称点
x x0
x0
为函
数 f 的跳跃间断点. 3.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.第一类间断点的特点是函数在该点处
一、解
2003 年数学分析答案
(1)
lim
x0
xn2 xn xn xn
lim x0
x2n2 1 x2n 1
1,
但 f(x)在 x=0 处无定义，因此 x=0 为 f(x) 的可去间断点，也称为第一类间断点.
(2)
在 x=1 处，因为 lim x1
xn2 xn xn xn
f (x) lim x1
x2n2 1 x2n 1
1
，
lim
x1
f (x)
lim
x1
xn2 0 xn 0
lim
x1
x2
1，左极限 右极限，所以 x 1 是 f(x)的跳跃间断
点，也是第一类间断点. 考查点：间断点的类型
1.可去间断点
若 lim x x0
少存在一点
(a,b) 使得
f ( ) g( )
f (b) f (a) g(b) g(a)
，整理即证.
考查点：柯西中值定理的应用 技巧：将题目中的等式变形成柯西中值定理的形式，根据情况再构造另一个函数. 柯西中值定理 设函数 f 和 g 满足 i) 在[a,b]上连续； ii) 在(a,b)内都可导；
包围的区域 x y z y z x z x y 1 ，
利用
Gauss
公式，
I
V
( P x
Q y
R )dxdydz z
V
(1 1 1)dxdydz
，
作变换，令 u x y z, v y z x, w z x y ，
iii) f (x) 和 g(x) 不同时为零；
iv) g(a) g(b) ,
则存在 (a,b) ，使得 f ( ) f (b) f (a) . g( ) g(b) g(a)
下面的改写技巧很重要，一定要牢记
四、证明 因为 f(x)在[0,1]连续， 1e f (x)dx 1e f ( y)dy
V
1dudvdw 4
1
sin(
x
1)
，求解得
x=1，即
lim
n
xn
1.
考查点：单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
求极限的方法之一，设出 lim n
xn
x, 把
x
直接带入题中等式，解方程。
三、证明 令 g(x) x3 ，则 f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由柯西中值定理知，至
0
0
e f (x) f ( y)dxdy ，[0,1][0,1]
[0,1][0,1]
关于 y=x 对称，而 e f (x) f ( y)与e f ( y) f (x) 也关于 y=x 对称，所以
e f (x) f ( y)dxdy
e f ( y) f (x)dxdy ，
[0,1][0,1]
[0,1][0,1]
故 1e f (x)dx 1e f ( y)dy 1
e f (x) f ( y) e f ( y) f (x)dxdy 1
2dxdy 1.
0
0
2 [0,1][0,1]
2 [0,1][0,1]
七、（裴礼文 P802）解 P=x+y-z，Q=y ,在 V 上连续，其中 V 是 S 所
{ xn }有界.令 f (x) 1 sin(x 1) ，则 f (x) cos(x 1) 0, (0 x 2) ，所以 f(x)单调递
增，所以 xn xn1 ，即{ xn }是单调递增数列.由单调有界定理知数列{ xn }收敛。
(2)
设
lim
n
xn
x,则
x