空中课堂--数列复习(含答案)

C．第 15 项
a20 5．等比数列{an}中，a7· a11＝6，a4＋a14＝5，则 ＝( a10 2 3 A. 或 3 2 [答案] A [解析] 2 B. 3 3 C. 2
) 1 1 D. 或－ 3 2
a4＝2 在等比数列{an}中，a7· a11＝a4· a14＝6，又 a4＋a14＝5，∴ 或 a14＝3
巩固训练
1．已知等差数列{an}满足 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前 10 项的和 S10＝( A．138 答案：C a1＋a10 [解析] 由 a2＋a4＝4，a3＋a5＝10 可得 d＝3，a1＝－4，所以 S10＝ ×10 2 ＝95. 2． 等比数列{an}中， a1＝2， 前 n 项和为 Sn， 若数列{an＋1}也是等比数列， 则 Sn=( A．2n 1－2
8a1＋28d＝48， ∴ 解方程组得 a1＝－8，d＝4. 12a1＋66d＝168.
(3)已知 a6＝10，S5＝5，求 a8 和 S8；
a1＋5d＝10， (3)∵a6＝10，S5＝5，∴ 解方程组得 a1＝－5，d＝3. 5a1＋10d＝5.
8a1＋a8 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝ ＝44. 2 (4)已知 a16＝3，求 S31. (4)S31＝ a1＋a31 ×31＝a16×31＝3×31＝93. 2
n＝1 Sn ； ①中 Sn＝an2＋bn＋c， c≠0 时， {an}是从第二项开始的等差数列， Sn－Sn－1n≥2
但{an}不是等差数列，故①不对；②中 a100＝S100－S99＝1385 正确；③中，Sn＝pan －p(p≠0，a≠0)，则{an}是等比数列，其公比为 2 首项为 1，an＝2n 中，Sn＝1，∴a1＝1，n≥2 时 an＝0，∴④错． 1 9．若数列{an}满足 a1＝2，an＝1－ ，则 a2013＝________. an－1 [答案] －1 [解析] ∵a1＝2，an＝1－ 1 1 1 ，∴a2＝1－ ＝ ， a1 2 an－1
(2)已知 a6－a4＝24，a3a5＝64.求{an}前 8 项的和 S8. (2)因为{an}是等比数列，所以依题设条件得 a2 a5＝64.∴a4＝± 8， 4＝a3· a6 ∵{an}是等比数列，∴q2＝ >0， a4 ∴a6 与 a4 同号， ∵a6＝a4＋24，∴a4＝8，a6＝32. ∴q＝± 2. a11－q8 当 q＝2 时，得 a1＝1，所以 S8＝ ＝255； 1－q a11－q8 当 q＝－2 时，得 a1＝－1，所以 S8＝ ＝85. 1－q 所以 S8＝255 或 85.
a4＝3 ，又 a14＝a4· q10， a ＝ 2 14
2 3 a20 2 3 ∴q10＝ 或 ，∴ ＝q10＝ 或 . 3 2 a10 3 2
6． 等比数列{an}共有 2n＋1 项， 奇数项之积为 100， 偶数项之积为 120， 则 an＋1=( 6 A. 5 [答案] B [解析] 由题意知：S 奇＝a1· a3· …· a2n＋1＝100， S 偶＝a2· a4· …· a2n＝120， S奇 a3· a5· …· a2n＋1 ∴ ＝ · a ＝a1· qn＝an＋1， S偶 a2· a4· …· a2n 1 100 5 ∴an＋1＝ ＝ . 120 6 22＋1 32＋1 n＋12＋1 7．数列 2 ， 2 ，…， 的前 10 项和为( 2 －1 3 －1 n＋12－1 17 A. 55 [答案] C n＋12＋1 n＋12－1＋2 [解析] ∵ ＝ n＋12－1 n＋12－1 1 1 2 ＝1＋ ＝1＋n－n＋2， nn＋2 1 1 1 1 1 1－ 1 ∴S10＝10＋ 1－3＋2－4＋3－5＋…＋ 10 10＋2 11 B．11 12 43 C．11 132 ) 89 D．11 132 5 B. 6 C．20 D．110
＋
)
B．135
C．95
D．23
)
B．3n
C．2n
D．3n－1
答案：C [解析] 解法 1：由{an}为等比数列可得 an＋1＝an· q，an＋2＝an· q2， 由{an＋1}为等比数列可得(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)， 故(an· q＋1)2＝(an＋1)(an· q2＋1)， 化简上式可得 q2－2q＋1＝0，解得 q＝1， 故{an}为常数列，且 an＝a1＝2，故 Sn＝n· a1＝2n，故选 C. 3．已知数列{an}的通项公式 an＝3n－50，则前 n 项和 Sn 的最小时 n 的值为( A．17 [答案] B [解析] 由 3n－50≥0 及 n∈N*知 n≥17，∴n≤16 时，an<0，a17>0，∴S16 最小 4．等差数列{an}中，a1＝－8，它的前 16 项的平均值是 7，若从中抽取一项，余下 的 15 项的平均值为 7.2，则抽取的是( A．第 7 项 [答案] A a1＋a16×16 [解析] S16＝ ＝7×16,7×16－x＝7.2×15，∴x＝4，又 a1＝－8， 2 1 ∴a16＝22，d＝ (a16－a1)＝2，∴an＝－8＋(n－1)· 2＝4，∴n＝7. 15 B．第 8 项 ) D．第 16 项 B．16 C．15 D．18 )
2.等差(等比)数列的性质 [例 3] (2011· 宁夏银川一中高二期中)已知等比数列{an}中，an>0，a5，a95 为方 程 x2－10x＋16＝0 的两根，则 a20· a50· a80 的值为( A．32 答案：B 由条件知 a5＋a95＝10，a5· a95＝16， ∵{an}是等比数列，∴a2 50＝16，
an－am a45－a15 153－33 解法 2：由 d＝ ，得 d＝ ＝ ＝4，由 an＝am＋(n－m)d 得， 30 n－m 45－15 a61＝a45＋16d＝153＋16×4＝217. (2)已知 S8＝48，S12＝168，求 a1 和 d； 1 (2)∵Sn＝na1＋ n(n－1)d， 2
(4) 构造法： an1 Aan B ，其中 A, B 为常数 (5) 知 Sn 求 an ： an
,n 1 S1 S n S n 1 , n 2
5. 数列求和 （1） 公式法：等差、等比数列的求和； （2） 分组求和：等差+等比 （3） 错位相减法：等差×等比 （4） 裂项相加法：分式形、根式形 （5） 倒序相加法：首尾相加是常数
3 ∵an>0，∴a50＝4，∴a20a50a80＝a50 ＝64.
)
B．64
C．256
Dห้องสมุดไป่ตู้± 64
[例 4] 等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前 9 项 的和 S9 等于( A．66 答案：B [解析] 设 bi＝ai＋ai＋3＋ai＋6，则由条件知{bn}为等差数列，且 b1＝39，b3＝27， b3－b1 ∴公差 d＝ ＝－6，∴数列{an}前 9 项的和 a1＋a2＋…＋a9＝b1＋b2＋b3＝3b2＝ 2 3(b1＋d)＝3×(39－6)＝99. 3.等差(等比)数列的判定(证明)及综合应用 [例 5] (2011· 湖北荆门市调研)数列{an}是等差数列，公差 d≠0，且 a2046＋a1978 －a2 b2014＝( 2012＝0，{bn}是等比数列，且 b2012＝a2012，则 b2010· A．0 答案：C [解析] ∵a2046＋a1978＝2a2012，∴2a2012－a2 2012＝0， ∴a2012＝0 或 2， ∵{bn}是等比数列，b2012＝a2012，∴b2012＝2， ∴b2010· b2014＝b2 2012＝4. 4.数列与其它知识的交汇 [例 6] (2011· 辽宁沈阳二中检测，辽宁丹东四校联考)已知数列{an}满足 log3an ＋1＝log3an＋1(n∈N*)且 a2＋a4＋a6＝9，则 log1 (a5＋a7＋a9)的值是( 3 A．－5 答案：A [解析] 由 log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)得，an＋1＝3an，∵an>0，∴数列{an}是公 比等于 3 的等比数列， ∴a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35， ∴log1 (a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5. 3 B．－0.2 C．5 D.0.2 ) B．1 C．4 D．8 ) ) B．99 C．144 D．297
数列
知识要点梳理
1. 数列 （1） 数列的定义 （2） 数列的通项公式 （3）
an 与 Sn 的关系
设 Sn a1 a2 a3 an ，则 an
,n 1 S1 S n S n 1 , n 2
2. 等差数列 (1) 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数， 这样的数列叫做等差数列． (2) 等差中项： 如果三数 a，A，b 成等差数列，则 A 叫 a 和 b 的等差中项，记作 A=________ (3) 通项公式：____________________或者___________________ 推导方法：______________________ (4) 前 n 项和：_______________________________ 推导方法：倒序相加法. (5) 等差数列性质：若 m n s t ，则______________ 特别地，当 m n 2 s ，有______________ 3. 等比数列 (1) 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数， 这样的数列叫做等比数列． (2) 等比中项： 如果三数 a，G，b 成等比数列，则 G 叫 a 和 b 的等比中项，记作 G =________ (3) 通项公式：____________________或者___________________ 推导方法：______________________ (4) 前 n 项和：_______________________________ 推导方法：乘公比，错位相减法. (5) 等比数列性质：若 m n s t ，则______________ 特别地，当 m n 2 s ，有______________ 4. 求数列通项 (1) 公式法：等差、等比的定义或中项的形式 (2) 累加法： an1 an f (n) (3) 累乘法： an1 an f (n)
题型探究
1.等差（等比）通项公式、求和公式 [例 1] 在等差数列{an}中， (1)已知 a15＝33，a45＝153，求 a61； [解析] (1)解法 1：设首项为 a1，公差为 d，依题设条件，得
33＝a1＋14d， 153＝a1＋44d.
解方程组得 a1＝－23， d＝4.∴a61＝－23＋(61－1)×4＝217.
)


1 1 1 43 ＝10＋1＋2－10＋1－10＋2＝11 . 132
8． ①数列{an}前 n 项和 Sn＝n2－2n＋1，则{an}是等差数列． ②数列{an}前 n 项和 Sn＝7n2－8n，则 a100＝1385. ③数列{an}前 n 项和 Sn＝2n－1，则{an}是等比数列． ④数列{an}前 n 项和 Sn＝1，则 an＝1. 以上结论正确的个数为( A．0 [答案] C [解析] 本 题 考 查 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn 与 通 项 an 的 关 系 ， an ＝ B．1 ) C．2 D．3
[例 2] {an}为等比数列，解下列各小题． 1 (1)已知 a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝ ，求 n； 2 1 (1)∵a4＋a7＝a1q3(1＋q3)＝18 且 a3＋a6＝a1q2(1＋q3)＝36，∴q＝ ，a1＝128， 2 1 － 1 － － 又∵an＝a1· qn 1＝27· ( )n 1＝28 n＝ ， 2 2 ∴8－n＝－1，即 n＝9.