【高考冲刺】2018年高考数学专题复习课件 理科通用版 (十七)紧扣最小 秒杀线面

法三：当点 P 在 CM 上运动时，意味着∠PAC 也随之变化， 因此，也可以以∠PAC 的大小为变量， 设∠PAC＝α，∠ACD＝β，∠PCA＝γ， 4 2 3 由题意得 cos β＝ ，cos γ＝cos β· cos 30° ＝ . 5 5 故在△PAC 中，由正弦定理可知 5 13 25sin α PA＝ ，PC＝ . sinα＋γ sinα＋γ
[典例]
如图，某人在垂直于
水平地面 ABC 的墙前面的点 A 处 进行射击训练． 已知点 A 到墙面的 距离为 AB，某目标点 P 沿墙面的 射击线 CM 移动，此人为了准确瞄 准目标点 P，需计算由点 A 观察点 P 的仰角 θ 的大小．若 AB ＝ 15 m， AC ＝ 25 m，∠ BCM ＝ 30° ，则 tan θ 的最大值为 ________．(仰角 θ 为直线 AP 与平面 ABC 所成角)
1 25sin α PD＝ · ， 2 sinα＋γ PD 从而得到 tan θ＝AD＝ 5 ， 52 －25 sin2α
5 3 即当 α＝90° 时，tan θ 的最大值为 . 9 5 3 [答案] 9
[经典好题——练一手] 1．如图，已知三棱锥 DABC，记二面角
CABD 的平面角是 θ，直线 DA 与平面 ABC 所成的角是 θ1，直线 DA 与 BC 所成 的角是 θ2，则 A．θ≥θ1 B．θ≤θ1 ( )
3向量法 利用 sin θ＝|cos〈n，l〉|，其中 n 是平面的法向量，l 是直 线的方向向量. 在研究空间角的最值问题时，我们还应该关注最小角定理. 它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线 所成的所有角中最小的角 常称为最小角定理 . 根据最小角定 理，平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这 个平面内的任一条直线所成角中最小的角.同理：二面角定义的 合理性唯一性也是考查学生数学素养的有效途径.这样的考查 在近几年的学考、高考试题中已多次出现.
1
125 3 5 3 当且仅当 m＝ 时，取得最大值 . 6 9 法二：建立空间直角坐标系 Bxyz，设点 P(0,20－ 3z，z)， ―→ 则有 AP ＝(－15,20－ 3z，z)， z 则有 sin θ＝ ， 2 4z －40 3z＋625 125 3 5 所以当 z＝ 时，仰角 θ 最大，有 sin θ＝ ，即 tan θ 12 2 13 5 3 的最大值为 . 9
[解析]
法一：以 PC＝m 为变量，
m 3 则 PD＝ ，CD＝ m. 2 2 ∵AB＝15，AC＝25， 15 3 4 ∴sin∠ACB＝ ＝ ，∴cos∠ACB＝ ， 25 5 5 在△ACD 中，由余弦定理得 AD＝ 3 2 m －20 3m＋625. 4
PD 所以 tan θ＝AD＝
2
5 3 ≤ ， 9 625 20 3 3 － m ＋ m2 4
C．θ≥θ2 D．θ≤θ2 解析：根据最小角定理，平面的斜线和它在平面内的射
影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成 角中最小的角，所以 θ1≤θ2.二面角是所有线面角中最大 的，所以 θ≥θ1. 答案：A
2．已知正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1＝AB， D 为棱 AC 上的动点(包括端点)． (1)若 AB1∥平面 BDC1，试确定 D 点的 位置； (2)求直线 AB1 与平面 BDC1 所成角的正弦 值的取值范围．
(十七)紧扣最小
秒杀线面
[速解技法——学一招]
平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与 平面所成的角. 求线面角问题的解法主要有： 1直接法 通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成 的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系 各线段的作用.
h 2利用公式 sin θ＝ l 其中 θ 是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，l 是斜 线段的长，其中求出垂线段的长即斜线上的点到平面的距离 既是关键又是难点，有时可用三棱锥的体积来求垂线段的长.
―→ ―→ BD ＝(x，－ 3，0)， BC1 ＝(－1，－ 3，2)， 设平面 BDC1 的法向量为 n＝(a，b，c)， ―→ BD · n ＝ 0， 则 ―→ n ＝ 0， BC1 ·
xa－ 3b＝0， 即 －a－ 3b＋2c＝0，
令 a＝2 3，则 b＝2x，c＝ 3(1＋x)， 则平面 BDC1 的一个法向量 n＝(2 3，2x， 3(1＋x))． ―→ 又因为 AB1 ＝(－1， 3，2)， 设直线 AB1 与平面 BDC1 所成角为 θ，
|4 3x| 则 sin θ＝ 2 2＝ 2 2· 12＋4x ＋31＋x
6 6 ∈ 0 ， . 1 1 4 32 2 15 x＋5 ＋ 5
6 15 6 2 ＋ ＋7 x x
＝
又当 x＝0 时，sin θ＝0. 所以直线 AB1 与平面 BDC1 所成角的正弦值的取值范围为
解：(1)连接 B1C 交 BC1 于点 E，连接 DE， 则平面 BDC1∩平面 AB1C＝DE. 因为 AB1∥平面 BDC1，所以 AB1∥DE. 又因为 E 是 B1C 的中点，则 D 是 AC 的中点． (2)取 AC 的中点 O，建立如图所示的空间直 角坐标系 Oxyz， 不妨设 AA1＝AB＝2，D(x,0,0)，－1≤x≤1， 那么 A(1,0,0)，B1(0， 3，2)，B(0， 3，0)， C1(－1,0,2)，
0，
6 . 4
[常用结论——记一番]
解空间角最值问题时往往会用到最α 的一条斜线，O 为斜足， OB 为 OA 在平面 α 内的射影，OC 为 平面 α 内的一条直线， 其中 θ 为 OA 与 OC 所成的角， θ1 为 OA 与 OB 所成的角，即线面角， θ2 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝cos θ1cos θ2.