指数与指数函数

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指数与指数函数(一)

一、选择题:

1.下列结论中正确的个数是( )

①当a <0时,3232)(a a =; ②a a n n =; ③函数021)73()2(---=x x y 的定义域是(2,+∞); ④若5100=a ,210=b ,则12=+b a .

A .0

B .1

C .2

D .3 2.46394369)()(

a a ∙ (a ≥0)的化简结果是( ) A .a 16 B .a 8 C .a 4 D .a 2

3.若函数y =(a 2-5a +5)·a x 是指数函数,则有( )

A .a =1或a =4

B .a =1

C .a =4

D .a >0,且a ≠1

4.在平面直角坐标系中,函数f (x )=2x +1与g (x )=21-x 图象关于( )

A .原点对称

B .x 轴对称

C .y 轴对称

D .直线y =x 对称

5.若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,a ≠1),满足f (1)=19

,则f (x )的单调递减区间是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[-2,+∞) D .(-∞,-2]

6.已知函数f (x )=⎝ ⎛⎭

⎪⎫13x -log 2x ,实数a 、b 、c 满足f (a )f (b )f (c )<0(0

A .x 0

B .x 0>b

C .x 0

D .x 0>c

二、填空题:

1.已知不论a 为何正实数,y =a x +1

-2的图象恒过定点,则这个定点的坐标是________.

2.函数y =(13

)x -3x 在区间[-1,1]上的最大值为________. 3.定义:区间[x 1,x 2](x 1

度的最大值与最小值的差为________.

4.设f (x )=e x +e -x 2,g (x )=e x -e -x 2

,计算f (1)g (3)+g (1)f (3)-g (4)=________,f (3)g (2)+g (3)f (2)-g (5)=________,并由此概括出关于函数f (x )和g (x )的一个等式,使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是________. 三、解答题:

1.已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).

(1)试确定f (x ); (2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭

⎪⎫1b x -m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,求实数m 的取值范围.

2.已知函数f (x )=342)31

(+-x ax . (1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求a 的值.

(3)若f (x )的值域是(0,+∞),求a 的取值范围.

3.已知函数f (x )=2x -12

. (1)若f (x )=2,求x 的值; (2)若2t f (2t )+mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围.

指数与指数函数(一)参考答案

一、 选择题:

1.B

2.C

3.C

4. 解析:y =2x 左移一个单位得y =2x +1,y =2-x 右移一个单位得y =21-x ,y =2x 与y =2-x 关于y 轴对称.∴f (x )与g (x )关于y 轴对称,选C

5.B

6. 解析:如图所示,方程f (x )=0的解即为函数y =⎝⎛⎭

⎫13x 与y =log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )=0的一个解,若x 0>c >b >a >0,则f (a )>0,f (b )>0,f (c )>0,与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾,所以,x 0>c

不可能成立,故选D.

二、填空题:

1. 解析:因为指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点(0,1).而函数y =a x +1-2的图象可由y =a x (a >0,

a ≠1)的图象向左平移1个单位后,再向下平移2个单位而得到,于是,定点(0,1)→(-1,1)→(-1,-1).所

以函数y =a x +1-2的图象恒过定点(-1,-1).

2. 83

3. 解析:[a ,b ]的长度取得最大值时[a ,b ]=[-1,1],区间[a ,b ]的长度取得最小值时[a ,b ]可取[0,1]或[-1,0],因此区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为1.

4. 答案:0 0 f (x )g (y )+g (x )f (y )-g (x +y )=0

三、解答题:

1. 解:(1)∵f (x )=b ·a x 的图象过点A (1,6),B (3,24) ∴⎩⎨⎧

b ·a =6 ①b ·a 3=24 ②

②÷①得a 2=4, 又a >0,且a ≠1,∴a =2,b =3, ∴f (x )=3·2x .

(2) ⎝⎛⎭⎫1a x +⎝⎛⎭⎫1b x -m ≥0在(-∞,1]上恒成立化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭

⎫13x 在(-∞,1]上恒成立. 令g (x )=⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x ,g (x )在(-∞,1]上单调递减,∴m ≤g (x )min =g (1)=12+13=56,故所求实数m 的取值范围是⎝

⎛⎦⎤-∞,56. 2. 分析:函数f (x )是由指数函数和二次函数复合而成的,因此可通过复合函数单调性法则求单调区间,研究函数的最值问题.

解:(1)当a =-1时,f (x )=⎝⎛⎭

⎫13-x 2-4x +3, 令g (x )=-x 2-4x +3, 由于g (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而y =⎝⎛⎭

⎫13t 在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数f (x )的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). (2)令h (x )=ax 2-4x +3,y =⎝⎛⎭⎫13h (x ),由于f (x )有最大值3,所以h (x )应有最小值-1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >012a -164a =-1,解得a =1.

即当f (x )有最大值3时,a 的值等于1.

(3)由指数函数的性质知,要使y =⎝⎛⎭

⎫13h (x )的值域为(0,+∞).应使h (x )=ax 2-4x +3的值域为R ,因此只能有a =0.因为若a ≠0,则h (x )为二次函数,其值域不可能为R .故a 的取值范围是a =0.

评析:求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决.

3. 解:(1)当x <0时,f (x )=0;当x ≥0时,f (x )=2x -12x . 由条件可知2x -12x =2,即22x -2·2x -1=0, 解得2x =1± 2. ∵2x >0,∴x =log 2(1+2).

(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝⎛⎭⎫22t -122t +m ⎝⎛⎭

⎫2t -12t ≥0,即m (22t -1)≥-(24t -1). ∵22t -1>0,∴m ≥-(22t +1). ∵t ∈[1,2],∴-(1+22t )∈[-17,-5],故m 的取值范围是[-5,+∞).

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