度的最大值与最小值的差为________．
4．设f (x )＝e x ＋e －x 2，g (x )＝e x －e －x 2
，计算f (1)g (3)＋g (1)f (3)－g (4)＝________，f (3)g (2)＋g (3)f (2)－g (5)＝________，并由此概括出关于函数f (x )和g (x )的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是________． 三、解答题：
1．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．
(1)试确定f (x )； (2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．
2．已知函数f (x )＝342)31
(+-x ax . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的取值范围．
3．已知函数f (x )＝2x －12
. (1)若f (x )＝2，求x 的值； (2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．
指数与指数函数(一)参考答案
一、 选择题：
1.B
2.C
3.C
4. 解析：y ＝2x 左移一个单位得y ＝2x ＋1，y ＝2－x 右移一个单位得y ＝21－x ，y ＝2x 与y ＝2－x 关于y 轴对称．∴f (x )与g (x )关于y 轴对称,选C
5.B
6. 解析：如图所示，方程f (x )＝0的解即为函数y ＝⎝⎛⎭
⎫13x 与y ＝log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，若x 0>c >b >a >0，则f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾，所以，x 0>c
不可能成立，故选D.
二、填空题：
1. 解析：因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)．而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，
a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0,1)→(－1,1)→(－1，－1)．所
以函数y ＝a x ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．
2. 83
3. 解析：[a ，b ]的长度取得最大值时[a ，b ]＝[－1,1]，区间[a ，b ]的长度取得最小值时[a ，b ]可取[0,1]或[－1,0]，因此区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为1.
4. 答案：0 0 f (x )g (y )＋g (x )f (y )－g (x ＋y )＝0
三、解答题：
1. 解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24) ∴⎩⎨⎧
b ·a ＝6 ①b ·a 3＝24 ②
②÷①得a 2＝4， 又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .
(2) ⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭
⎫13x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，g (x )在(－∞，1]上单调递减，∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，56. 2. 分析：函数f (x )是由指数函数和二次函数复合而成的，因此可通过复合函数单调性法则求单调区间，研究函数的最值问题．
解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭
⎫13－x 2－4x ＋3， 令g (x )＝－x 2－4x ＋3， 由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减， 而y ＝⎝⎛⎭
⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增， 即函数f (x )的递增区间是(－2，＋∞)，递减区间是(－∞，－2)． (2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >012a －164a ＝－1，解得a ＝1.
即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.
(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭
⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)．应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能有a ＝0.因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R .故a 的取值范围是a ＝0.
评析：求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．
3. 解：(1)当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0， 解得2x ＝1± 2. ∵2x >0，∴x ＝log 2(1＋2)．
(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝⎛⎭⎫22t －122t ＋m ⎝⎛⎭
⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)． ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)． ∵t ∈[1,2]，∴－(1＋22t )∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．
