度的最大值与最小值的差为________.
4.设f (x )=e x +e -x 2,g (x )=e x -e -x 2
,计算f (1)g (3)+g (1)f (3)-g (4)=________,f (3)g (2)+g (3)f (2)-g (5)=________,并由此概括出关于函数f (x )和g (x )的一个等式,使上面的两个等式是你写出的等式的特例,这个等式是________. 三、解答题:
1.已知函数f (x )=b ·a x (其中a ,b 为常量且a >0,a ≠1)的图象经过点A (1,6),B (3,24).
(1)试确定f (x ); (2)若不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x +⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b x -m ≥0在x ∈(-∞,1]时恒成立,求实数m 的取值范围.
2.已知函数f (x )=342)31
(+-x ax . (1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求a 的值.
(3)若f (x )的值域是(0,+∞),求a 的取值范围.
3.已知函数f (x )=2x -12
. (1)若f (x )=2,求x 的值; (2)若2t f (2t )+mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立,求实数m 的取值范围.
指数与指数函数(一)参考答案
一、 选择题:
1.B
2.C
3.C
4. 解析:y =2x 左移一个单位得y =2x +1,y =2-x 右移一个单位得y =21-x ,y =2x 与y =2-x 关于y 轴对称.∴f (x )与g (x )关于y 轴对称,选C
5.B
6. 解析:如图所示,方程f (x )=0的解即为函数y =⎝⎛⎭
⎫13x 与y =log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )=0的一个解,若x 0>c >b >a >0,则f (a )>0,f (b )>0,f (c )>0,与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾,所以,x 0>c
不可能成立,故选D.
二、填空题:
1. 解析:因为指数函数y =a x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点(0,1).而函数y =a x +1-2的图象可由y =a x (a >0,
a ≠1)的图象向左平移1个单位后,再向下平移2个单位而得到,于是,定点(0,1)→(-1,1)→(-1,-1).所
以函数y =a x +1-2的图象恒过定点(-1,-1).
2. 83
3. 解析:[a ,b ]的长度取得最大值时[a ,b ]=[-1,1],区间[a ,b ]的长度取得最小值时[a ,b ]可取[0,1]或[-1,0],因此区间[a ,b ]的长度的最大值与最小值的差为1.
4. 答案:0 0 f (x )g (y )+g (x )f (y )-g (x +y )=0
三、解答题:
1. 解:(1)∵f (x )=b ·a x 的图象过点A (1,6),B (3,24) ∴⎩⎨⎧
b ·a =6 ①b ·a 3=24 ②
②÷①得a 2=4, 又a >0,且a ≠1,∴a =2,b =3, ∴f (x )=3·2x .
(2) ⎝⎛⎭⎫1a x +⎝⎛⎭⎫1b x -m ≥0在(-∞,1]上恒成立化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭
⎫13x 在(-∞,1]上恒成立. 令g (x )=⎝⎛⎭⎫12x +⎝⎛⎭⎫13x ,g (x )在(-∞,1]上单调递减,∴m ≤g (x )min =g (1)=12+13=56,故所求实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤-∞,56. 2. 分析:函数f (x )是由指数函数和二次函数复合而成的,因此可通过复合函数单调性法则求单调区间,研究函数的最值问题.
解:(1)当a =-1时,f (x )=⎝⎛⎭
⎫13-x 2-4x +3, 令g (x )=-x 2-4x +3, 由于g (x )在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 而y =⎝⎛⎭
⎫13t 在R 上单调递减,所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增, 即函数f (x )的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). (2)令h (x )=ax 2-4x +3,y =⎝⎛⎭⎫13h (x ),由于f (x )有最大值3,所以h (x )应有最小值-1,因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >012a -164a =-1,解得a =1.
即当f (x )有最大值3时,a 的值等于1.
(3)由指数函数的性质知,要使y =⎝⎛⎭
⎫13h (x )的值域为(0,+∞).应使h (x )=ax 2-4x +3的值域为R ,因此只能有a =0.因为若a ≠0,则h (x )为二次函数,其值域不可能为R .故a 的取值范围是a =0.
评析:求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决.
3. 解:(1)当x <0时,f (x )=0;当x ≥0时,f (x )=2x -12x . 由条件可知2x -12x =2,即22x -2·2x -1=0, 解得2x =1± 2. ∵2x >0,∴x =log 2(1+2).
(2)当t ∈[1,2]时,2t ⎝⎛⎭⎫22t -122t +m ⎝⎛⎭
⎫2t -12t ≥0,即m (22t -1)≥-(24t -1). ∵22t -1>0,∴m ≥-(22t +1). ∵t ∈[1,2],∴-(1+22t )∈[-17,-5],故m 的取值范围是[-5,+∞).