2015年上海市杨浦区高三一模数学试卷(WORD版)

杨浦区2015年高三学业质量调研数学试卷（理科）

2015.1.9

一. 填空题 1. 已知1

sin 2

α=

，(0,)απ∈，则α= . 2. 设{|13}A x x =≤≤，{|124,}B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是 .

3. 已知等差数列{}n a 中，37a =，73a =，则通项公式n a = .

4. 已知直线l 经过点(1,2)A -，(3,2)B -，则直线l 的方程是 .

5. 函数2()1f x x =- (0)x <的反函数1()f x -= .

6. 二项式9

1

()x x

-的展开式（按x 的降幂排列）中的第4项是 .

7. 已知条件:|1|2p x +≤，条件:q x a ≤，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是 .

8. 向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则实数m = . 9. 一家5口春节回老家探亲，买到了如下图的一排5张车票：

其中爷爷行动不便要坐靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座位之一，则座位的安排方式一共有 种

10. 在底面直径为6的圆柱形容器中，放入一个半径为2的冰球，当冰球全部溶化后，容器中液面的高度为 .（相同质量的冰与水的体积比为10：9） 11. 不等式2log (43)1x x ->+的解集是 .

12. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若3

0a b c a b a b c ++=+-

，

则C ∠= .

13. 已知

1

2ω=-+

，集合2

{|1,}n A z z n ωωω==++++∈*N …，集合

1212

{|}B x x z z z z A

==⋅∈，、（1z 可以等于2z ）则集合B 的子集个数为 . 14. 如图所示，已知函数2log 4y x =图像上的两点A 、B 和函数2log y x =上的点C ，线

段AC 平行于y 轴，△ABC 为正三角形时，点B 的坐标为(,)p q ，则22q

p ⨯的值

为 .

二. 选择题

15. 程序框图如图所示，若其输出结果是140，则判断框中填写的是（ ） A. 7i <； B. 8i <； C. 7i >； D. 8i >； 16. 下列命题中正确的是（ ）

A. 若x C ∈，则方程3

2x =只有一个根； B. 若1z C ∈，2z C ∈且120z z ->，则12z z >； C. 若z R ∈，则2||z z z ⋅=不成立；

D. 若z C ∈，且2

0z <，那么z 一定是纯虚数；

17. 圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）

A. 22

210x y x y +--+=； B. 2

2

1

204x y x y +---

=； C. 22

210x y x y ++-+=； D. 22

1

204

x y x y +--+

=； 18. 对于数列{}n a ，{}n b ，若区间[,]n n a b 满足下列条件： ① 11[,][,]n n n n a b a b ++⊂*

()n N ∈；

② lim()0n n n b a →∞

-=；则称{}[,]n n a b 为区间套；

下列选项中，可以构成区间套的数列是（ ）

A. 12(),()2

3

n

n

n n a b ==； B. 21(),3

1

n

n n n

a b n ==+； C. 11,1()3n n n n a b n -==+； D. 32

,21

n n n n a b n n ++==++ 三. 解答题

19. 如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，异面直线

AD 与1BC 所成角的大小为60°，求：（1）线段11A B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱锥11B ABC -的体积；

20. 如图，有一块扇形草地OMN ，已知半径为R ，2

MON π

∠=

，现要在其中圈出一块矩

形场地ABCD 作为儿童乐园使用，其中点A 、B 在弧MN 上，且线段AB 平行于线段MN ； （1）若点A 为弧MN 的一个三等分点，求矩形ABCD 的面积S ； （2）当A 在何处时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大值为多少？

21. 已知函数21

()ax f x bx c

+=+是奇函数，,,a b c 为常数

（1）求实数c 的值；

（2）若,a b Z ∈，且(1)2f =，(2)3f <，求()f x 的解析式；

（3）对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对(0,)x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围；

22. 如图，曲线Γ由曲线22122:1x y C a b += (0,0)a b y >>≤和曲线22

222:1x y C a b -=

(0)y >组成，其中点12,F F 为曲线1C 所在圆锥曲线的焦点，点34,F F 为曲线2C 所在圆锥曲

线的焦点

（1）若2(2,0)F ，3(6,0)F -，求曲线Γ的方程；

（2）如图，作直线l 平行于曲线2C 的渐近线，交曲线1C 于点,A B ，求证：弦AB 的中点M 必在曲线2C 的另一条渐进线上；

（3）对于（1）中的曲线Γ，若直线1l 过点4F 交曲线1C 于点,C D ，求△1CDF 面积的最大值；

23. 数列{}n a 各项均不为0，前n 项和为n S ，3n n b a =，n b 的前n 项和为n T ，且2n n T S = （1）若数列{}n a 共3项，求所有满足要求的数列； （2）求证：n a n =*()n N ∈是满足已知条件的一个数列；

（3）请构造出一个满足已知条件的无穷数列{}n a ，并使得20152014a =-；若还能构造其他符合要求的数列，请一并写出（不超过四个）；