数学高考综合能力题选讲24

数学高考综合能力题选讲24

信息迁移型综合问题

100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

一般来说，信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等．由于突出体现了“考能力”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐．

范例选讲

例1． 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：

讲解：本题考察读图的能力．

从1950年到2000年的土地沙化总面积为一条折线，说明这一段的土地沙化总面积不是匀速增长的．但相应于这条折线的每一段线段，都代表其对应年份的土地沙化总面积匀速增长，即这一段的年平均土地沙化面积为定值．因此，分三段计算，不难得出结论，如图．

点评：函数三种表示法（解析式、列表、图像表示法）中，学生较为熟悉的是解析式表示法．然而，由于另外两种表示法具有直观、形象的特点，在实际应用中较为常见．因此，学会读图非常重要．

例2．这是一个计算机程序的操作说明：

（1）初始值为1,1,0,0x y z n ====；

（2）1n n =+（将当前1n +的值赋予新的n ）； （3）2x x =+（将当前2x +的值赋予新的x ）； （4）2y y =（将当前2y 的值赋予新的y ）； （5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；

（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；

（7）打印,n z ；

（8）程序终止．

由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________ ． 请写出计算过程：

讲解：不难看出，这是一个循环、迭代的过程．所谓程序，就是一步一步的操作．因此，为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次：

就此操作下去，并不难得出答案，这也是本题的一种计算方法． 从另一个角度考虑，本题中我们比较难以理解的是这样的语句：“1n n =+；2x x =+；……”，虽然题目中已经给出很好的解释，但是，按照我们通常的认识，应该用不同的符号来分别表达新值与旧值，如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同，以及它们之间的联系？

注意到在整个计算的过程中，一方面，n 的值似乎只起到一个计算第几轮的作用，另一方面，随着n 的变化，,,x y z 的值随之变化．从这一个角度，不难想到，数列是一种较好的表示方法．

设n i =时，,,x y z 的值分别为,,i i i x y z ．

依题意，011,2n n x x x -==+．所以，数列{}n x 是等差数列，且21n x n =+．

011,2n n y y y -==．所以，数列{}n y 是等比数列，且2n n y =． 010,n n n n z z z x y -==+．

所以，()231122325272212n n n n z x y x y x y n =+++=⋅+⋅+⋅+++⋅ ． 所以，()23412325272212n n z n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ．

以上两式相减，得()23132222222212n n n z n +=-⋅-⋅-⋅--⋅++⋅

()()211222122122n n n n n +++=-+++⋅=-⋅+

依题意，程序终止时，17000, 7000n n z z ->≤，

即()()1

2122700023227000

n n

n n +⎧-⋅+>⎪⎨-⋅+≤⎪⎩，可求得：8,7682n z ==． 点评：从简单的做起，试一试；抓住关键点，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，都是解决问题的途径．

例3．根据指令),(θr (0, 180180)r θ≥-<≤ ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ．

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）．

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．

讲解：（1） 45,24==θr

，得指令为) ．

（2）机器人最快截住小球时，机器人和小球应该同时到达相遇点，另外，机器人所走的应该是一条直线．

根据以上分析，可设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球，则因为小球速度是机器人速度的2倍，

所以在相同时间内有|17|x -=

即2321610x x +-=，得3

23

-

=x 或7=x ， ∵ 要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，

故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球，所给的

指

令

为

)13.98,5( -． 点评：通过阅读，正确理解和运用新定义，是解决问题的关键．

高考真题

1．（2002年上海高考题）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系．图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是：（ ）

（A ） 气温最高时，用电量最多． （B ） 气温最低时，用电量最少．

（C ） 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加． （D ） 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加． 2．（2002年北京高考题）

在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：

用计算机求n 个不同的数12,,,n v v v 的和121n

i n i v v v v ==+++∑ ．计算开始前，n 个数存贮在n

台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多

到一台其它机器中读数据，并与自己原有的数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工