第三章_弹塑性断裂力学

当σ/σs ＜ ＜ 0.6，即小范围屈服时，可只取首项，
故有
8s E
12
2s
2
a Es
（10）
因为 ，所以有： KI
a,GI
KI2 E
2a
KI2
GI
Es Es s
（11）
式（11）表示在小范围屈服条件下裂尖张开位移δ
与KI、GI之间的关系。该结果与Irwin有效裂纹模型所 得的结果式（3）比较，可见它们的形式相同，只是
第三章 弹塑性断裂力学
第一节 弹塑性断裂力学概述 第二节 COD理论 第三节 J积分理论
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第一节 弹塑性断裂力学概述
1）线弹性断裂力学的适用范围 （1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、岩石，及高强度钢 等材料。 （2）小范围屈服的金属材料，可用小范围屈服的塑 性修正断裂准则来计算。
2）实际中的问题 （1）大范围屈服：对中、低强度构件，其塑性区尺 寸超过了裂纹尺寸。（低温、厚截面和高应变速率 下除外） （2）全面屈服：焊接件等由于局部应力和残余应力 的作用，使局部地区的应力超过屈服应力。
（b）裂纹长度修正 压力容器上的表面裂纹或深埋裂纹应换算为等效穿透裂纹。
非贯穿裂纹： KI= α σ(πa*)1/2 = σ[π(α a*)2]1/2 ，其中α为裂纹形 状因子。
无限大板中心穿透裂纹：KI=σ（πa*）1/2
按等效原则，令非贯穿裂纹的等于无限大板中心穿透裂纹
的，则等效穿透裂纹长度为：. a*= α2 a
由含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，可绘出无量 钢COD即/2esa 与标称应变 e / e s 之间的关系曲线 。
.
其中es是相应于材料屈服点σs的屈服应变，a是裂 纹尺寸，标称应变e是指一标长下的平均应变，通常 两个标点取在通过裂纹中心而与裂纹垂直的线上。
由图可以看出，实验数据构成一个较宽的分散带。 实际应用时，为偏于安全，曾提出如下经验设计曲线 作为裂纹容限和合理选材的计算依据。
的高应力集中区及残余应力区中往往发生短裂纹。由 于这些区域内的应力达到甚至超过材料的屈服点，故 使裂纹处于塑性区包围之中，这就是所谓的全面屈服。
对于全面屈服情况，载荷的微小变化都会引起应 变和COD的很大变化，故在大应变情况下，已不宜用 应力作用断裂分析的依据，而需要寻求裂尖张开位移 δ与应变e、裂纹几何和材料性能之间的关系，即引入 应变这一物理量。
（17）
（c）材料加工硬化修正
考虑材料的加工硬化修正，可用流变应力σf代替 屈服点，对于σs =200~400MPa的低碳钢，一般取：
σf =0.5（ σs + σb）
(18)
式中σb为材料的抗拉强度。
综上所述修正，D-B模型的δ计算公式（10）变为：
8Efa*lnsec(2M f )
(19)
6）临界的实验测定 裂纹张开位移COD的临界值δc是COD准则的一个
其计算公式参见式（20）为：
e
G s
.
(2) δ的表达式 由实验直接准确地测量出裂纹尖端张开位移是困
难的，目前均利用三点弯曲试样的变形几何关系，由 测得的裂纹嘴的张开位移V去推算求出裂纹尖端的张 开位移δ 。为此必须建立δ与V之间关系式。
.
三点弯曲试样受力弯曲时，滑移线场理论分析表
明，裂纹尖端塑性变形引起的滑移线对称平分缺口夹
角2θ的平面，试样的变形可视为绕某中心的刚体转动。
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Wells
公式
e es
2
e Байду номын сангаасs
e
es
1
e
es
1
（12）
Burdekin
公式
e es
2
e es
0.25
e
es
0.5
e
es
0.5
JWES2805标准： 3.5ea或
0.5
e es
（13） （14）
.
1984年，我国压力容器缺陷评定规范编制组制定 了压力容器缺陷评定规范（CVDA）：
系数稍有差别。
** 适用条件：(1)针对平面应力情况下的无限大平板
含中心穿透裂纹进行讨论的；(2)引入了“弹性”化假
设后，使计算分析比较简单，适用于σ/σs ≤0.6的情况； （3）在塑性区内假设材料为理想塑性，实际上一般
金属材料存在加工硬化，硬化材料的塑性区形状可能
不是窄条形的。
.
4) 全面屈服条件下的COD 在工程结构或压力容器中，一些管道或焊接部件
.
4）D-B带状塑性区模型的COD Dugdale通过拉伸试验，提出裂纹尖端塑性区呈
现尖劈带状特征的假设，从而得到一个类似于 Barrenblett的模型。该模型称为D-B模型，这是一个对 小范屈服和大范围屈服都适用的模型，可以用来处理 含中心穿透裂纹的无限大薄板在均匀拉伸应力作用下 的弹塑性断裂问题。
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3）弹塑性断裂力学的提出
（1）解决如何通过小试样在全面屈服条件下断裂韧度 的测试去确定中、低强度重型构件的平面应变断裂韧 度KIC。
因为用线弹性断裂力学方法测定中、低强度钢的 断裂韧度KIC ，不仅需用大型试件和大吨位的试验机， 而且还由于大锻件不同部位的KIC差别很大，用大试 样所测得的KIC只是一个平均值，得不出各个具体部 位的KIC值。
裂纹张开位移的定义
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2）COD判据
Wells认为；当裂纹张开位移δ达到材料的临界值δC 时，裂纹即发生失稳扩展，这就是弹塑性断裂的COD 准则，表示为：
δ =δC
（1）
δC是材料弹塑性断裂的韧性指标，是一个不随试 件尺寸改变的材料常数。
对于COD准则，要解决三个方面的问题：（a） 找出裂纹尖端张开位移δ与裂纹几何尺寸、外加载荷 之间的关系式，即δ的计算公式。（2）实验测定材料 的裂纹张开位移的临界值δC 。（3）COD准则的工程 应用。
e es
2
1 2
e es
1
e
es
1
e
es
1
（15）
下图画出了几种设计曲线的比较图形。由图可见，
CVDA曲线在0≤ e/es ≤0.5范围内与Burdekn曲线相同； 在0≤ e/es ≤1.5范围内比Burdekn曲线偏于保守，有较高 的安全裕度；而在1.5< e/es <8.76范围内则比 JWES2805设计曲线偏于保守，但比其余的设计曲线
COD，简写为δ 。
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由平面应力条件下的位移公式并代入k3/1 推演得：
VKI E
2 rsin221cos22
（2）
当以O’点为裂尖时，O点处(即 沿y方向的张开位移则为：
， r
ry
1 2
KI s
)2 ，
2V
r ry
1 2
KI s
2
4
K
2 I
E s
4GI
s
（3）
此即为Irwin提出的小范围屈服下的COD计算公式。 式中σs为材料的屈服极限，GI为裂纹扩展能量释放率。
0.39KsI
2
（8）
将式（8）与Irwin小范围屈服下平面应力的塑性
区尺寸比较 R1 KsI
2
0.318 KsI
2，可见
D-B模型
的塑性区尺寸稍大一些。
.
（3）δ的计算公式
经计算可得：
8sa E
lnsec
2s
（9）
由式（9）可见，D-B模型不适用于全面屈服（即
σ= σs ）的情况。有限元计算表明，对小范围屈服或 大范围屈服，当σ/σs ≤0.6时，按式（9）所作的预测是 令人满意的。
(1) 试样尺寸 实践表明， δc可以用小型三点弯曲试样在全面屈
服下通过间接方法测出。 由于COD不要求试样满足平面应变的条件，因此，
规定试样的厚度B一般等于被测材料的厚度（即所谓 全厚度），宽度W及裂纹长度a有如下规定:
.
W=B， a=(0.25~0.35)W W=1.2B， a=(0.35~0.45)W W=2B， a=(0.45~0.55)W S=4W
.
（2）带状塑性区的大小R
假想地把塑性区挖去，在弹性区与塑性区界面上
加上均匀拉应力σs ，于是得到如图2b所示的裂纹长度 为2c，在远场应力σ和界面应力σs作用下的线弹性问
题。
此时裂纹尖端点c的应力强度因子K
C I
应由两部分组
成：一是由远场均匀拉应力σ产生的
K
，1 另一个是由
I
塑性区部位的“裂纹表面”所作用的均匀应力σs所产
但是由于裂纹尖端的钝化，很难确切地指出原 裂纹尖端的位置，因而亦难确定裂纹尖端的张开位移。
.
目前，有人用2AB作为理解纹张开位移（从变形 后的裂纹顶端测量）；有人用2CD作为裂纹张开位移 （在D点测量，D为线弹性的直线与非线性的曲线的 交点）；有人用2EF作为裂纹张开位移（从裂纹尖端 作450线与裂纹面相交处F的分离的大小）。
该中心点（图中的C点）到裂纹尖端的距离为r（Wa），r为转动因子。利用相似三角形的比例关系容易
写出：
V
rWa zarWa
故
rWaV zarWa
式中，z为刃口的厚度。
（20）
对弹塑性情况， δ可由弹性的δe和塑性的δp两部分
组成，即：
.
e P
（21）
式中， δe为对应于载荷P的裂纹尖端弹性张开位移，
D-B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面 应力模型。由于它消除了裂纹尖端点的奇异性，实质 上是一个线弹性化的模型。因此，当塑性区较小时， COD参量δ与线弹性参量K之间存在一致性。由式 （9），将函数展开为幂级数得：
8E sa 1 2 2 s 2 . 1 1 2 2 s 4LL
重要参量。它和KIC一样，是材料韧性好坏的量度， 可以通过试验测定。
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COD试验方法适用于线弹性断裂力学失败的延性
断裂情况，可以认为是KIC试验的延伸。因此，试验 的许多具体方法沿用了KIC试验的有关规定。譬如利
用同样的夹式引伸仪和载荷传感器来获得载荷-位移 曲线。但由于COD试验又具有本身的一些特点。
力，将使裂纹向外鼓胀，而在裂纹端部产生附加弯矩。 附加弯矩的附加应力与原工作应力迭加，使有效作用 增大，故按平板公式进行δ计算时，应在工作应力中 引入鼓胀系数M，用Mσ代替σ 。
.
M系数与裂纹长度2a、容器半径R和壁厚t有关：
M 1 a2
Rt
（16）
其中 β为1.61（圆筒轴向裂纹）；0.32（圆筒径向裂纹）； 1.93（球形容器裂纹）。
（2）在大范围屈服条件下，确定出能定量描述裂纹尖 端区域弹塑性应力、应变场强度的参量，以便既能用 理论建立起这些参量与裂纹几何特征、外加载荷之间 的关系，又易于通过实验来测定它们，并最后建立便 于工程应用的断裂准则。
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第二节 COD理论
1）COD定义
1961年Wells提出COD理论。COD是英文（Crack Opening Displaement）的缩写，其意是“裂纹张开位 移”。指裂纹体受载后，裂纹尖端垂直于裂纹方向上 产生的张开量，就称主裂纹（尖端）张开位移，通常 用δ表示。
生的
： K
2
I
KI1 c
KI2
2s
ccos1ac
从而有： K I C K I 1 K I 2 c 2s cc o s 1 a c （4） .
由于c点是塑性区的端点，应无奇性，故其K
C I
=0，
于是代入式（4）得
ca/cos agsec
2s
2s
（5）
由于塑性区尺寸R=c-a ，将式（5）代入并化简得
.
3）Irwin小范围屈服条件下的COD
在讨论小范围屈服的塑性区修正时，曾引入有效 裂纹长度a a ry 的概念，这意味着为考虑塑性区的影 响假想地把原裂纹O移至O’，O O ry 。这样一来当以 假想的有效裂纹尖端点作为“裂尖”时，原裂纹点O 发生了张开位移，这个位移就是张开位移，简称为
可有较小的安全裕度。 .
.
5）COD准则的工程应用 COD准则主要用于韧性较好的中、低强度钢，特
别是压力容器和管道。考虑到压力容器壁中的“鼓胀 效应”及容器多为表面裂纹和深埋裂纹，故将平板穿 透裂纹的断裂力学公式用于压力容器和管道时，还需 进行一些修正。
（a） “鼓胀效应” 压力容器曲面上的穿透裂纹，由于器壁受有内压
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
.
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
R
a
sec
2
s
1
若将 s e c 按级数展开，则 2 s
sec2 s 11 22 s22542 s4LL
2
当
/
s 较小时，
sec
2s
1 1 22s
（6）
.
代入式（6），得R的近似表达式为：
R
a
2
2
s
2
（7）
考虑到无限大平板有中心穿透裂纹时， a KI，有：
R8KsI
2