广东省东莞市2013届高三数学(文)小综合专题练习：立体几何

2013届高三文科数学小综合专题练习—立体几何东莞高级中学刘心华老师提供一、选择题1．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是2．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．17848+ B ．17832+ C ．48 D ．80 3.下列命题正确的是A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行4.下列命题中，n m 、表示两条不同的直线，γβα、、表示三个不同的平面． ①若αα//,n m ⊥，则n m ⊥；②若γββα⊥⊥,，则γα//； ③若αα//,//n m ，则n m //； ④若αγββα⊥m ,//,//，则γ⊥m .正确的命题是 A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5. 如图是正方体平面展开图，在这个正方体中: ①BF 与ND 平行；②CM 与BF 成60º角； ③CM 与BN 是异面直线；④DF 与BM 垂直. 以上四个命题中，正确命题的序号是 A.①②③ B.①③④ C.②④ D.③④EB ANF CDM二、填空题6. 如下图所示，直观图///B A O 是有一个角为045的三角形，则其原平面图形的面积为________.7．某几何体的三视图如图所示,它的体积为________．8．设z y x ，，是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若z x ⊥，且z y ⊥，则y x //”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号)．①x 为直线，z y ，为平面；②z y x ，，为平面；③y x ,为直线，z 为平面；④y x ,为平面，z 为直线；⑤z y x ，，为直线．9．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆周上(异于点B A ，)，直线PA 垂直于圆O 所在的平面，点M 为线段PB 的中点．有以下四个命题： ①//PA 平面MOB ； ②//MO 平面PAC ； ③⊥OC 平面PAC ； ④平面PAC ⊥平面PBC .其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．10．如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中 点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．第7题第10题三、解答题11.在长方体1111D C B A ABCD -中,2==BC AB ,过B C A ,,11三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111D C A ABCD -，这个几何体的体积为340． （1）证明：直线B A 1∥平面D D CC 11； （2）求棱A A 1的长；（3）求经过D B C A ,,,11四点的球的表面积.12. 已知三棱柱111C B A ABC -的三视图如图所示，其中主视图B B AA 11和左视图CC BB 11均为矩形，在俯视图△111C B A 中，8,10,6111111===C B B A C A . (1)在三棱柱111C B A ABC -中，求证：1AC BC ⊥； (2)若三棱柱的高为10,求三视图中左视图的面积；(3)若三棱柱的高为10，动点∈P 线段1CC ，求P A BP 1+的最小值.C1A1D1D CABB 1A 1俯视图主视图左视图 BB 1 A 1 AAA 1 CC B B 1C 1 BC 1B 1C 113. 如图，AEC 弧是半径为a 的半圆，AC 为直径，点E 为弧AC 的中点，点B 和点C 为线段AD 的三等分点，平面AEC 外一点F 满足FC ⊥平面BED ，FB =5a . （1）证明：EB FD ⊥； （2）求点B 到平面FED 的距离.14. 如图，1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，D 、E 分别是1AA 、1CB 的中点，1DE CBB ⊥面．(1)证明：//DE ABC 面； (2)证明：AC A C B A 111面面⊥；(3)求四棱锥11A ABB C -与圆柱1OO 的体积比.15.如图所示,AF 、DE 分别是⊙O 、⊙1O 的直径， AD 与两圆所在的平面均垂直，8=AD .BC 是⊙O 的直径，6==AC AB ,AD OE //. 1A O1OABCDE 1BDE1O第13题P )(P AA BCDDCB直观图俯视图（1）证明：//EF 面BCD ； （2）证明：面⊥ACD 面CEF ； （3）求三棱锥OBF O -1的体积.16.如图，四棱锥ABCD P -，PAB ∆≌CBA ∆，在它的俯视图ABCD 中，CD BC =，1=AD ，︒=∠=∠60BAD BCD ．（1）求证：PBC ∆是直角三角形； （2）求证：面PBD ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P ABCD -的体积．17.已知等腰梯形PDCB 中（如图），3=PB ，1=DC ，2==BC PD ，A 为PB 边上一点，且1=PA ，将PAD ∆沿AD 折起，使面PAD ⊥面ABCD （如图2）. （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；(2)试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC 把几何体分成的两部分1:2:=MACB PDCMA V V ；（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD 是否平行面AMC .2013届高三文科数学小综合专题练习—立体几何参考答案一、选择题DACBC 二、填空题6.67.π308.③④9.②④ 10.)1,21(三、解答题11.解：（1）证法1：如图，连结1D C ，∵1111ABCD A BC D -是长方体， ∴11A D BC 且11A D BC =．∴四边形11A BCD 是平行四边形． ∴11A B D C ．∵1A B ⊄平面11CDD C ，1D C ⊂平面11CDD C ，∴1A B 平面11CDD C ． 证法2：∵1111ABCD A BC D -是长方体， ∴平面1A AB 平面11CDD C ．∵1A B ⊂平面1A AB ，1A B ⊄平面11CDD C ， ∴1A B 平面11CDDC ． （2）设1A A h =，∵几何体111ABCD AC D -的体积为340∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=，即11114033ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=，即11402222323h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，解得4h =．∴1A A 的长为4． （3）如图，连结1D B ，设1D B 的中点为O ，连11OA OC OD ，，， ∵1111ABCD A BC D -是长方体，∴11A D ⊥平面1A AB ． ∵1A B ⊂平面1A AB ，∴11A D ⊥1A B ． ∴1112OA D B =．同理1112OD OC D B ==． ∴11OA OD OC OB ===．∴经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的球心为点O ． ∵2222222111124224D B A D A A AB =++=++=．∴()2221144242D B S OB D B ππππ⎛⎫=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭球．故经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的表面积为24π.12.解：(1)因为主视图和左视图均为矩形、所以该三棱柱为直三棱柱，在俯视图△111C B A 中，8,10,6111111===C B B A C A .211211211B A C B C A =+ ∴11190AC B ACB ∠=∠=︒，∴BC AC ⊥ 又∵BC ⊥CC 1，CC 1∩A 1C 1=C 1，∴BC ⊥平面ACC 1A 1. ∵AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BC ⊥AC 1.(2)左视图中BC 的长等于底面△ABC 中顶点C 到边AB 的距离d,5241086=⨯=d ,∴左视图的面积4810524=⨯=S . （3）由题意，动点∈P 线段1CC ，由侧面展开图可知，当P B A 、、1三点共线时，P A BP 1+ 的值最小，即P A BP 1+的最小值为74210)86(22=++.13.（1）证明：∵点B 和点C 为线段AD 的三等分点， ∴点B 为圆的圆心又∵E 是弧AC 的中点，AC 为直径， ∴EB BC ⊥即EB BD ⊥∵⊥FC 平面BDE ，⊂EB 平面BDE ， ∴EB FC ⊥又⊂BD 平面FBD ，⊂FC 平面FBD 且C FC BD = ∴⊥EB 平面FBD又∵⊂FD 平面FBD ， ∴FD EB ⊥（2）解：设点B 到平面FED 的距离（即三棱锥B FED -的高）为h .∵⊥FC 平面BDE , ∴FC 是三棱锥F-BDE 的高，且三角形FBC 为直角三角形 由已知可得a BC =，又a FB 5=∴a a a FC 2)5(22=-=在BDE Rt ∆中，a BE a BD ==,2，故2221a a a S BDE =⨯⨯=∆, ∴323223131a a a FC S V BDE BDE F =⨯⨯=⋅=∆-, 又∵⊥EB 平面FBD ，故三角形EFB 和三角形BDE 为直角三角形, ∴a DE a EF 5,6==，在F C D Rt ∆中，a FD 5=, ∴=∆FED S 2221a , ∵FED B BDE F V V --=即323222131a h a =⋅⋅，故a h 21214=, 即点B 到平面FED 的距离为a h 21214=.14.（1）证明：连结EO ，OA .O E , 分别为BC C B ,1的中点，∴1//BB EO .又1//BB DA ，且121BB EO DA ==.∴四边形AOED 是平行四边形，即ABC DE OA DE 面⊄,//. ∴ABC DE 面//.(2)证明：1AA 、1BB 为圆柱1OO 的母线，所以11//B A AB 且O AA 圆⊥1，即AB AA ⊥1， 又BC 是底面圆O 的直径，所以AC AB ⊥，A AA AC =1 ，所以AC A AB 1面⊥由11//B A AB ，所以AC A B A 111面⊥，C B A B A 1111面⊂，所以AC A C B A 111面面⊥（3）解：由题1CBB DE 面⊥，且由（1）知OA DE //.∴1CBB AO 面⊥，∴ BC AO ⊥，∴AB AC =.因BC 是底面圆O 的直径，得AB CA ⊥，且CA AA ⊥1，∴B B AA CA 11面⊥，即CA 为四棱锥的高．设圆柱高为h ，底半径为r ， 则h r V 2π=柱，232)2()2(31hr r r h V =⋅=锥∴锥V ：=柱V π32.15. 证明：（1）连接DOAD 与两圆所在的平面均垂直，∴ ⊙O 面//⊙1O 面，又AD OE //，OE AD =所以四边形OADE 为平行四边形，所以DE ∥AO ，DE =AO所以DE ∥OF ，且DE =OF ，即四边形ODEF 为平行四边形，所以EF DO //⊂DO 面BCD ，⊄EF 面BCD ，所以//EF 面BCD（2） AF 是⊙O 的直径，∴AC CF ⊥，又AD 与两圆所在的平面均垂直，⊂CF ⊙O 面，∴AD CF ⊥，A AD AC = ，所以⊥CF 面ACD ，⊂CF 面CEF ，面⊥AC D 面CEF （3）由BC 是⊙O 的直径，6==AC AB ，所以26=BC ，且BC AF ⊥，所以OBF ∆为等腰直角三角形，23==OF OB ， 所以9232321=⋅⋅=∆OBF S由已知易知可知1O 到⊙O 面的距离即为8=AD ，所以三棱锥OBFO -1的高为8所以248931311=⋅⋅=⋅⋅=∆-h S V OBF OBF O16.解: (1)由已知，点P 在底面ABCD 上的投影是点A ，所以ABCD PA 面⊥因为AB 、ABCD BC 面⊂，所以AB PA ⊥，BC PA ⊥因为PAB ∆≌CBA ∆，所以090=∠=∠BAP ABC ，BC AB ⊥因为A AB PA = ，所以⊥BC 平面PAB ，所以PB BC ⊥，PBC ∆是直角三角形.(2) 连接BD ，因为CD BC =，060=∠BCD ，所以BCD ∆是等边三角形在ABD ∆中，根据多边形内角和定理计算得090=∠ADB ，即AD BD ⊥由ABCD PA 面⊥，所以PA BD ⊥，A AD PA = ，所以PAD BD 面⊥ 又PBD BD 面⊂，所以PAD PBD 面面⊥(3) 连接BD ，因为CD BC =，060=∠BCD ，所以BCD ∆是等边三角形在ABD ∆中，根据多边形内角和定理计算得090=∠ADB 又因为060=∠BAD ，所以33==AD BD所以23=∆ABD S ，433432==∆BD S BCD ，所以435=+=∆∆BCD ABD ABCD S S S 又3===BD BC PA ，所以，四棱锥ABCD P -的体积4543533131=⨯⨯=⨯⨯=ABCD S PA V17. 证明：(1) PDCB 为等腰梯形，3=PB ，1=DC ，1=PA ，则AD PA ⊥，AD CD ⊥又 面PAD ⊥面ABCD ,面PAD 面ABCD AD =⊂CD 面ABCD ,故⊥CD 面PAD又 ⊂CD 面PCD ∴平面PAD ⊥平面PCD(2)所求的点M 即为线段PB 的中点. 证明如下：设三棱锥ACB M -的高为1h ，四棱锥ABCD P -的高为2h当M 为线段PB 的中点时,2121==PB MB h h 311)12(2131)1221(3131312121=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=∴∆--h h h S h S V V ABCD ACB ABCD P ACBM 梯形 ∴截面AMC 把几何体分成的两部分1:2:=MACB PDCMA V V ；(3) 当M 为线段PB 的中点时，直线PD 与面AMC 不平行.证明：（反证法）假设PD //面AMC连接DB 交AC 于点O ，连接MOPD ⊂面PBD ，且面AMC 面PBD MO =MO PD //∴M 为线段PB 的中点时，则O 为线段BD 的中点，即11=OB DO 而DC AB //，故21==AB DC OB DO ，故矛盾。