合肥工业大学-高等数学-上-5-2微积分基本定理与牛顿-莱布尼兹公式

sin tdt x( sin tdt )
0
x2
sin tdt x sin( x )( x ) sin tdt 2 x 2 sin( x 2 ) ．
2 2 0 0
x2
x2
23-9
1 x 例 5.2.2 求 lim 3 sin(t 2 )dt ． 0 x0 x
23-13
1 ax ( x a)[ f ( ) f ( )] 2 2
续证 ⑵ 令 G( x)
x a
1 f (t ) dt ( x a)[ f (a) f ( x)] ，a x b ， 2
则 G( x) 在 [a, b] 上二阶可导．当 a x b 时，有
例如
sin x 是 cos x 的一个原函数；
x n 是 nx n1 的一个原函数； 1 ln x 是 的一个原函数等等． x
23-16
注 1 如果 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数，则 F ( x) C （C 为任意常 数）为 f ( x) 的原函数．


x0 x x0
f (t )dt

x0 x x0
f (t ) dt M x ，
由夹逼定理，得 lim 0 ，故 ( x) 在点 x0 处连续．由 x0 的任
x0
意性，知 ( x) 在 [a, b] 上连续．
23-7
续证 ⑵ 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续，所以由积分中值定理知，
( x0 x) ( x0 )
x0 x a
f (t )dt f (t )dt
a
x0
x0 x x0
f (t )dt ．
23-6
续证 ⑴ 由于 f ( x) 在 [a, b] 上可积，故 f ( x) 在 [a, b] 上有界．即 存在非负实数 M ，使得对任意的 t [a, b] ，有 | f (t ) | M ，进而
5.2 微积分基本定理与牛顿-莱布尼兹公式
5.2.1 5.2.2 5.2.3 从实例看微分与积分的联系 微积分基本定理微分形式 微积分基本定理积分形式
23-1
5.2.1 从实例看微分与积分的联系
在变速直线运动的路程问题中， 设物体运动速度 v(t ) 是时间间隔
[T1,T2 ] 上的连续函数，则在时间间隔 [T1,T2 ] 中物体所运动的路程为
s v(t )dt ．
T1 T2
现在换一个角度来考虑该问题．
设物体运动的路程函数为 s(t ), t 0 ， 那么该物体在[T1,T2 ] 中所 走过的路程又为
s s(T2 ) s(T1) ．
因此有

T2 T1
v(t )dt s (T2 ) s (T1 ) ．
23-2


2 ( x )
1( x)
f (t )dt ，称为积分变限函数．
例如

x2 a
f (t )dt ，
b 1 x
f (t )dt ，
x sin x
f (t )dt
等等均为积分变限函数．
23-5
㈡ 微积分基本定理微分形式
定理 5.2.1 ⑴ 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积，则积分上限函 数 ( x) 在 [a, b] 上连续．
f ( x) 在 [a, x] 上可积， f ( x) 在 [a, x] 上的积分为 f (t )dt ，因此对每
a
x
一个 x [a, b] ， 都有惟一确定的值 是 x 的函数．

x a
f (t )dt 与之对应， 所以 f (t )dt
a
x
定义 5.2.1 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积， 称函数 f (t )dt 为积分上
1 1 1 1 G( x) f ( x) f ( x) ( x a) f ( x) ( x a) f ( x) 0 ． 2 2 2 2
因 此 ， G( x) 在 [a, b] 上 单 调 下 降 ． 从 而 ， 当 a x b 时 ，
1 1 G ( x) f ( x) [ f (a) f ( x)] ( x a) f ( x) 2 2 1 1 [ f ( x) f (a)] ( x a) f ( x) ， 2 2
ax ax 其中 x ．因为 f ( x) 0 ，所以 f ( ) f ( ) ，进 2 2 而 F ( x) 0， 表明 F ( x) 在 [a, b] 上单调增加， 故 F (b) F (a) 0 ， b ab ) f ( x) dx ． 即有 (b a) f ( a 2
a
x
限函数，或变上限积分，记为 ( x) ，即
( x) f (t )dt ， x [a, b] ．
a x
23-4
注 1：在积分上限函数 f (t )dt 中， x 的取值与积分变量t 无关，
a
x
如 a xf (t )dt x a f (t )dt ．
x
x
注 2： 将积分上限函数与复合函数结合起来，可得到一类函数
G( x) G(a) 0 ，进而可知 G( x) 在 [a, b] 上单调下降，故 b 1 G(b) G(a) 0 ，即 f ( x) dx (b a)[ f (a) f (b)] ． a 2
23-14
例 5.2.5 求 f ( x) (1 t )arctan tdt 的极值点．
(5.2.3)
特别地
(
( x)
a
f (t )dt ) f ( ( x)) ( x) ．
例 5.2.1 求 f ( x) x sin tdt 的导数．
0
x2
解 f ( x) ( x sin tdt ) ( x sin tdt )
0 0
x2
x2

x2 0
23-10
例 5.2.3 设 f ( x) 在[a, b] 上连续，且 f ( x) 0 ，证明方程 x x 1 a f (t )dt b f (t )dt 0 在 (a, b) 内有且只有一个实根．
证 令 F ( x) f (t )dt
a
x
x b
1 dt ，显然 F ( x) 在 [a, b] 上可导，由于 f (t )
解 由于 sin(t 2 )dt 为连续函数，故
0 x
lim sin(t )dt sin(t 2 )dt 0 ，
2 x 0 0 0
x
0
0 因此此极限为 型不定式，由 L'Hospital 法则，得 0
原式 lim
x0
x 0
sin(t )dt x
3
2
lim
x 0
0
x2
解 f ( x) 2 x(1 x 2 )arctan( x 2 ) ，令 f ( x) 0 ，解得驻点为
x1 1, x2 1, x3 0 ．
当 x 1 时， f ( x) 0 ；
当 1 x 0 时， f ( x) 0 ；
当 0 x 1 时， f ( x) 0 ；
注意到 s(t ) v(t ) ，由（5.2.2）可得到下列两个结论．
( v( )d ) v(t ) 和 s( )d s (t ) s (t0 ) ．
t0 t0
t
t
23-3
5.2.2
微积分基本定理微分形式
㈠ wenku.baidu.com分上限函数
设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积， 由定理 5.1.2 知， 对任意的 x [a, b] ，

总有 x0 ．因此有
x0 x x0
f (t )dt f ( ) x ，
其中 [ x0 , x0 x](x 0) 或 [ x0 x, x0 ](x 0) ，当 x 0 时，
1 x0 x 1 lim lim f (t )dt lim f ( )x lim f ( ) f ( x0 ) ， x0 x x0 x x0 x0 x x0
23-11
1 0 ，可知在 F ( x) 在[a, b] 上单调增 f ( x) 加，故方程 F ( x) 0 在 (a, b) 内至多存在一个实根．
续证
又 F ( x) f ( x)
综上，方程 F ( x) 0 ，即 a f (t )dt b 且只有一个实根．
x
⑵（微积分基本定理微分形式）设函数 f ( x) 在[a, b] 上连 续，则 ( x) 在 [a, b] 上可导，且 ( x) ( a f (t )dt ) f ( x) ．
证 设 x0 为 [a, b] 上 的 任意 一 点， x 为 点 x0 处的 增 量， 且
x
x0 x [a, b] ，则有
（5.2.1）为
T2 T1
v(t )dt s (T2 ) s (T1 ) ．
（5.2.1）
如果视 T1 为固定时刻 t 0 ，T2 为任一时刻 t (t t0 ) ，则 [T1,T2 ] [t0 , t ] ，

t t0
v( )d s(t ) s(t0 ) ．
（ 5.2.2）
f ( x) 0 ，则
F (a)
a b
b 1 b 1 dt dt 0 ，F (b) f (t )dt 0 ， a a f (t ) f (t )
故由零点定理知， 在 (a, b) 内至少存在一点 ， 使 F ( ) 0 ， 即方程 F ( x) 0 在 (a, b) 内至少存在一个实根．
x
1 dt 0 在 (a, b) 内有 f (t )
例 5.2.4 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) 0, 证明
b ab 1 (b a) f ( ) f ( x) dx (b a)[ f (a) f (b)] ． a 2 2
23-12
( sin(t 2 )dt )
0
x
( x3 )
sin( x 2 ) 1 lim 2 x 0 3x 3
再如
x 1 x sin t sin x sin 2 1 1 1 lim x dt lim[ ] 1 1 ． x 0 x x 0 x 2 t x 2 2 2 2
所以 ( x) 点 x0 处可导，且 ( x0 ) f ( x0 ) ．由 x0 的任意性， 即知 ( x) 在 [a, b] 上可导，且 ( x) f ( x) ．
在定理 5.2.1 的证明过程中， 已将端点 a 和 b 处的情况包含在内， 届时只需考虑 x 0 或 x 0 即可．
23-8
推论 5.2.1 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，1 ( x), 2 ( x) 在[a, b] 上可导， 则积分变限函数
(
2 ( x ) 1 ( x )
2 ( x ) 1 ( x )
f (t )dt 在 [a, b] 上可导，且
( x) f (1 ( x))1 ( x) ． f (t )dt ) f (2 ( x))2
当 x 1时， f ( x) 0 ．
因此， f ( x) 的极大值点为 x 1 和 x 1 ， 极小值点为 x 0 ．
23-15
5.2.3 微积分基本定理积分形式
㈠ 原函数
定义 5.2.2 对于区间 I 上 （内） 的 f ( x) ， 如果存在可导函数 F ( x) 满足 F( x) f ( x) ， 或 dF ( x) f ( x)dx ， 就称 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 上 （内）的一个原函数．
证 ⑴ 令 F ( x) f (t ) dt ( x a) f (
a
x
ax ) ，a x b ， 则 F ( x) 2
在 [a, b] 上可导，当 a x b 时，有
ax 1 ax F ( x) f ( x) f ( ) ( x a) f ( ) 2 2 2 1 1 ax f ( ) ( x a) ( x a) f ( ) 2 2 2