合肥工业大学-高等数学-上-5-2微积分基本定理与牛顿-莱布尼兹公式

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sin tdt x( sin tdt )
0
x2
sin tdt x sin( x )( x ) sin tdt 2 x 2 sin( x 2 ) .
2 2 0 0
x2
x2
23-9
1 x 例 5.2.2 求 lim 3 sin(t 2 )dt . 0 x0 x
23-13
1 ax ( x a)[ f ( ) f ( )] 2 2
续证 ⑵ 令 G( x)
x a
1 f (t ) dt ( x a)[ f (a) f ( x)] ,a x b , 2
则 G( x) 在 [a, b] 上二阶可导.当 a x b 时,有
例如
sin x 是 cos x 的一个原函数;
x n 是 nx n1 的一个原函数; 1 ln x 是 的一个原函数等等. x
23-16
注 1 如果 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数,则 F ( x) C (C 为任意常 数)为 f ( x) 的原函数.


x0 x x0
f (t )dt

x0 x x0
f (t ) dt M x ,
由夹逼定理,得 lim 0 ,故 ( x) 在点 x0 处连续.由 x0 的任
x0
意性,知 ( x) 在 [a, b] 上连续.
23-7
续证 ⑵ 因为 f ( x) 在 [a, b] 上连续,所以由积分中值定理知,
( x0 x) ( x0 )
x0 x a
f (t )dt f (t )dt
a
x0
x0 x x0
f (t )dt .
23-6
续证 ⑴ 由于 f ( x) 在 [a, b] 上可积,故 f ( x) 在 [a, b] 上有界.即 存在非负实数 M ,使得对任意的 t [a, b] ,有 | f (t ) | M ,进而
5.2 微积分基本定理与牛顿-莱布尼兹公式
5.2.1 5.2.2 5.2.3 从实例看微分与积分的联系 微积分基本定理微分形式 微积分基本定理积分形式
23-1
5.2.1 从实例看微分与积分的联系
在变速直线运动的路程问题中, 设物体运动速度 v(t ) 是时间间隔
[T1,T2 ] 上的连续函数,则在时间间隔 [T1,T2 ] 中物体所运动的路程为
s v(t )dt .
T1 T2
现在换一个角度来考虑该问题.
设物体运动的路程函数为 s(t ), t 0 , 那么该物体在[T1,T2 ] 中所 走过的路程又为
s s(T2 ) s(T1) .
因此有

T2 T1
v(t )dt s (T2 ) s (T1 ) .
23-2


2 ( x )
1( x)
f (t )dt ,称为积分变限函数.
例如

x2 a
f (t )dt ,
b 1 x
f (t )dt ,
x sin x
f (t )dt
等等均为积分变限函数.
23-5
㈡ 微积分基本定理微分形式
定理 5.2.1 ⑴ 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积,则积分上限函 数 ( x) 在 [a, b] 上连续.
f ( x) 在 [a, x] 上可积, f ( x) 在 [a, x] 上的积分为 f (t )dt ,因此对每
a
x
一个 x [a, b] , 都有惟一确定的值 是 x 的函数.

x a
f (t )dt 与之对应, 所以 f (t )dt
a
x
定义 5.2.1 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积, 称函数 f (t )dt 为积分上
1 1 1 1 G( x) f ( x) f ( x) ( x a) f ( x) ( x a) f ( x) 0 . 2 2 2 2
因 此 , G( x) 在 [a, b] 上 单 调 下 降 . 从 而 , 当 a x b 时 ,
1 1 G ( x) f ( x) [ f (a) f ( x)] ( x a) f ( x) 2 2 1 1 [ f ( x) f (a)] ( x a) f ( x) , 2 2
ax ax 其中 x .因为 f ( x) 0 ,所以 f ( ) f ( ) ,进 2 2 而 F ( x) 0, 表明 F ( x) 在 [a, b] 上单调增加, 故 F (b) F (a) 0 , b ab ) f ( x) dx . 即有 (b a) f ( a 2
a
x
限函数,或变上限积分,记为 ( x) ,即
( x) f (t )dt , x [a, b] .
a x
23-4
注 1:在积分上限函数 f (t )dt 中, x 的取值与积分变量t 无关,
a
x
如 a xf (t )dt x a f (t )dt .
x
x
注 2: 将积分上限函数与复合函数结合起来,可得到一类函数
G( x) G(a) 0 ,进而可知 G( x) 在 [a, b] 上单调下降,故 b 1 G(b) G(a) 0 ,即 f ( x) dx (b a)[ f (a) f (b)] . a 2
23-14
例 5.2.5 求 f ( x) (1 t )arctan tdt 的极值点.
(5.2.3)
特别地
(
( x)
a
f (t )dt ) f ( ( x)) ( x) .
例 5.2.1 求 f ( x) x sin tdt 的导数.
0
x2
解 f ( x) ( x sin tdt ) ( x sin tdt )
0 0
x2
x2

x2 0
23-10
例 5.2.3 设 f ( x) 在[a, b] 上连续,且 f ( x) 0 ,证明方程 x x 1 a f (t )dt b f (t )dt 0 在 (a, b) 内有且只有一个实根.
证 令 F ( x) f (t )dt
a
x
x b
1 dt ,显然 F ( x) 在 [a, b] 上可导,由于 f (t )
解 由于 sin(t 2 )dt 为连续函数,故
0 x
lim sin(t )dt sin(t 2 )dt 0 ,
2 x 0 0 0
x
0
0 因此此极限为 型不定式,由 L'Hospital 法则,得 0
原式 lim
x0
x 0
sin(t )dt x
3
2
lim
x 0
0
x2
解 f ( x) 2 x(1 x 2 )arctan( x 2 ) ,令 f ( x) 0 ,解得驻点为
x1 1, x2 1, x3 0 .
当 x 1 时, f ( x) 0 ;
当 1 x 0 时, f ( x) 0 ;
当 0 x 1 时, f ( x) 0 ;
注意到 s(t ) v(t ) ,由(5.2.2)可得到下列两个结论.
( v( )d ) v(t ) 和 s( )d s (t ) s (t0 ) .
t0 t0
t
t
23-3
5.2.2
微积分基本定理微分形式
㈠ wenku.baidu.com分上限函数
设函数 f ( x) 在 [a, b] 上可积, 由定理 5.1.2 知, 对任意的 x [a, b] ,

总有 x0 .因此有
x0 x x0
f (t )dt f ( ) x ,
其中 [ x0 , x0 x](x 0) 或 [ x0 x, x0 ](x 0) ,当 x 0 时,
1 x0 x 1 lim lim f (t )dt lim f ( )x lim f ( ) f ( x0 ) , x0 x x0 x x0 x0 x x0
23-11
1 0 ,可知在 F ( x) 在[a, b] 上单调增 f ( x) 加,故方程 F ( x) 0 在 (a, b) 内至多存在一个实根.
续证
又 F ( x) f ( x)
综上,方程 F ( x) 0 ,即 a f (t )dt b 且只有一个实根.
x
⑵(微积分基本定理微分形式)设函数 f ( x) 在[a, b] 上连 续,则 ( x) 在 [a, b] 上可导,且 ( x) ( a f (t )dt ) f ( x) .
证 设 x0 为 [a, b] 上 的 任意 一 点, x 为 点 x0 处的 增 量, 且
x
x0 x [a, b] ,则有
(5.2.1)为
T2 T1
v(t )dt s (T2 ) s (T1 ) .
(5.2.1)
如果视 T1 为固定时刻 t 0 ,T2 为任一时刻 t (t t0 ) ,则 [T1,T2 ] [t0 , t ] ,

t t0
v( )d s(t ) s(t0 ) .
( 5.2.2)
f ( x) 0 ,则
F (a)
a b
b 1 b 1 dt dt 0 ,F (b) f (t )dt 0 , a a f (t ) f (t )
故由零点定理知, 在 (a, b) 内至少存在一点 , 使 F ( ) 0 , 即方程 F ( x) 0 在 (a, b) 内至少存在一个实根.
x
1 dt 0 在 (a, b) 内有 f (t )
例 5.2.4 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导,且 f ( x) 0, 证明
b ab 1 (b a) f ( ) f ( x) dx (b a)[ f (a) f (b)] . a 2 2
23-12
( sin(t 2 )dt )
0
x
( x3 )
sin( x 2 ) 1 lim 2 x 0 3x 3
再如
x 1 x sin t sin x sin 2 1 1 1 lim x dt lim[ ] 1 1 . x 0 x x 0 x 2 t x 2 2 2 2
所以 ( x) 点 x0 处可导,且 ( x0 ) f ( x0 ) .由 x0 的任意性, 即知 ( x) 在 [a, b] 上可导,且 ( x) f ( x) .
在定理 5.2.1 的证明过程中, 已将端点 a 和 b 处的情况包含在内, 届时只需考虑 x 0 或 x 0 即可.
23-8
推论 5.2.1 设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续,1 ( x), 2 ( x) 在[a, b] 上可导, 则积分变限函数
(
2 ( x ) 1 ( x )
2 ( x ) 1 ( x )
f (t )dt 在 [a, b] 上可导,且
( x) f (1 ( x))1 ( x) . f (t )dt ) f (2 ( x))2
当 x 1时, f ( x) 0 .
因此, f ( x) 的极大值点为 x 1 和 x 1 , 极小值点为 x 0 .
23-15
5.2.3 微积分基本定理积分形式
㈠ 原函数
定义 5.2.2 对于区间 I 上 (内) 的 f ( x) , 如果存在可导函数 F ( x) 满足 F( x) f ( x) , 或 dF ( x) f ( x)dx , 就称 F ( x) 为 f ( x) 在区间 I 上 (内)的一个原函数.
证 ⑴ 令 F ( x) f (t ) dt ( x a) f (
a
x
ax ) ,a x b , 则 F ( x) 2
在 [a, b] 上可导,当 a x b 时,有
ax 1 ax F ( x) f ( x) f ( ) ( x a) f ( ) 2 2 2 1 1 ax f ( ) ( x a) ( x a) f ( ) 2 2 2
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