整数0-1规划
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′=x 1=1,
x3′=0 x5′=0 x4′=0
z=4, 可行 z=1 z=-2
z=10,不可行
x2=0 z=6,不可行 x3′=0 x5′=0 z=5,不可行 x4′=0 z=3,不可行 x1=0 z=2,不可行
最优解为x2=0 ， x3′=0 ， x5′=1 ， x4′=1， x1=1 。 于是， 原 问 题 的 最 优 解 为 z*=4 ， x1*=1，x2*=0，x3*= 1-0=1， x4*=1-1=0，x5*=1-1=0
x1 , x2 , x3 0或1
求解0-1型整数规划，可使用分枝定界法。下面 用实例说明： 例 求解0-1型整数规划问题 Max z=8x1+2x2-4x3-7x4-5x5 3x1+3x2+x3+2x4+3x5≤4 5x1+3x2-2x3-x4+ x5≤4 xj=0或1，j=1,2,…,5 变成标准型，要求如下：⑴目标函数求极大化。 对于目标函数为Min z的极小化问题，令z′=-z，使其 变为目标函数为Max z′的极大化问题。⑵目标函数中 所有变量的系数都为正数。如果目标函数中变量xj的 系数为负数，令xj′=1-xj，把模型中的xj用xj′代换。⑶ 变量的排列顺序按变量在目标函数中的系数值从小到 大排列。
0-1型整数规划
0-1型整数规划是整数规划的一种特殊形式， 它的变量xj仅取值0或1。这种只能取0或1的变 量称为0-1变量或二进制变量。 例: 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。 拟议中有7个位置Ai（i=1,2, …பைடு நூலகம்7）可供选择。规 定：(1)在东区A1、A2、A3三个点中至多选两个； (2)在西区A4、A5两个点中至少选一个；(3)在南 区A6、A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获 利润估计为ci元，但投资总额不超过B元。问应 选择哪几个点可使年利润为最大？
引入0-1变量xi （i=1,2,…,7）,令
Max z= c1x1+c2x2+…+c7x7 b1x1+b2x2+…+b7x7≤B
xi=
1, 当Ai点被选用,
x1+x2+x3≤2
x4+x5≥1 x6+x7≥1 xi=0或1, i=1,2,…,7
0, 当Ai点没被选用。 （i=1,2,…,7)
于是建立下列模型:
0-1规划的解法
1、枚举法
适用于变量个数n比较少
书P112，例4
2、隐枚举法
对于变量个数n比较大，枚举法不可取。因 此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的 一部分，就能得到问题的最优解。当然，对于 有些问题隐枚举法并不适用，所以有时枚举法 还是必要的。
max z 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 2 x1 4 x2 x3 4 x1 x2 4 x1 3 x3 6
令 x3′=1-x3, x4′=1-x4, x5′=1-x5，得 Max z=2x2+4x3′+5x5′+7x4′+8x1-16 3x2- x3′- 3x5′- 2x4′+3x1≤-2 ① 3x2+2x3′- x5′+ x4′+5x1≤6 ② x2, x3′,x5′,x4′,x1 =0或1
z=8,不可行 x2 =x3′=x5′ = x4
x3′=0 x5′=0 x4′=0
z=4, 可行 z=1 z=-2
z=10,不可行
x2=0 z=6,不可行 x3′=0 x5′=0 z=5,不可行 x4′=0 z=3,不可行 x1=0 z=2,不可行
最优解为x2=0 ， x3′=0 ， x5′=1 ， x4′=1， x1=1 。 于是， 原 问 题 的 最 优 解 为 z*=4 ， x1*=1，x2*=0，x3*= 1-0=1， x4*=1-1=0，x5*=1-1=0
x1 , x2 , x3 0或1
求解0-1型整数规划，可使用分枝定界法。下面 用实例说明： 例 求解0-1型整数规划问题 Max z=8x1+2x2-4x3-7x4-5x5 3x1+3x2+x3+2x4+3x5≤4 5x1+3x2-2x3-x4+ x5≤4 xj=0或1，j=1,2,…,5 变成标准型，要求如下：⑴目标函数求极大化。 对于目标函数为Min z的极小化问题，令z′=-z，使其 变为目标函数为Max z′的极大化问题。⑵目标函数中 所有变量的系数都为正数。如果目标函数中变量xj的 系数为负数，令xj′=1-xj，把模型中的xj用xj′代换。⑶ 变量的排列顺序按变量在目标函数中的系数值从小到 大排列。
0-1型整数规划
0-1型整数规划是整数规划的一种特殊形式， 它的变量xj仅取值0或1。这种只能取0或1的变 量称为0-1变量或二进制变量。 例: 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。 拟议中有7个位置Ai（i=1,2, …பைடு நூலகம்7）可供选择。规 定：(1)在东区A1、A2、A3三个点中至多选两个； (2)在西区A4、A5两个点中至少选一个；(3)在南 区A6、A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获 利润估计为ci元，但投资总额不超过B元。问应 选择哪几个点可使年利润为最大？
引入0-1变量xi （i=1,2,…,7）,令
Max z= c1x1+c2x2+…+c7x7 b1x1+b2x2+…+b7x7≤B
xi=
1, 当Ai点被选用,
x1+x2+x3≤2
x4+x5≥1 x6+x7≥1 xi=0或1, i=1,2,…,7
0, 当Ai点没被选用。 （i=1,2,…,7)
于是建立下列模型:
0-1规划的解法
1、枚举法
适用于变量个数n比较少
书P112，例4
2、隐枚举法
对于变量个数n比较大，枚举法不可取。因 此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的 一部分，就能得到问题的最优解。当然，对于 有些问题隐枚举法并不适用，所以有时枚举法 还是必要的。
max z 3 x1 2 x2 5 x3 x1 2 x2 x3 2 x1 4 x2 x3 4 x1 x2 4 x1 3 x3 6
令 x3′=1-x3, x4′=1-x4, x5′=1-x5，得 Max z=2x2+4x3′+5x5′+7x4′+8x1-16 3x2- x3′- 3x5′- 2x4′+3x1≤-2 ① 3x2+2x3′- x5′+ x4′+5x1≤6 ② x2, x3′,x5′,x4′,x1 =0或1
z=8,不可行 x2 =x3′=x5′ = x4