2019-2020学年陕西省西安中学高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)

2019-2020学年陕西省西安中学高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|x 2−4x <0}，B ={−1,3，7}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {3}C. {3,7}D. {−1,7}2. 命题“∃x ∈R ，x 2−x +1<0”的否定是( )A. ∀x ∈R ，x 2−x +1≥0B. ∀x ∈R ，x 2−x +1>0C. ∃x ∈R ，x 2−x +1≥0D. ∃x ∈R ，x 2−x +1>0 3. 已知等差数列中，a 1=1，a 3=5，则a 10等于( )A. 19B. 21C. 37D. 414. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是( )A. y =cosxB. y =1x C. y =lgxD. y =e x −e −x5. 若tanα=2，则sin2α+cos 2α=( )A. 1B. −1C. 2D. −26. 函数f(x)=x 13−12x的零点所在区间是( )A. (0,14)B. (14,13)C. (13,12)D. (12,1)7. 已知函数f (x )={e x ,x ≤0lnx,x >0，其中e 为自然对数的底数，则f(f(1e ))=( )A. 1B. 0C. eD. 1e8. 已知变量x ，y 满足约束条件{y ⩽xx +y ⩾2y ⩾3x −6，则目标函数z =2x +y 的最小值是( )A. 2B. 3C. 4D. 9 9. 已知(0.61.2)a >(1.20.6)a ，则a 的取值范围是( )A. (0,+∞)B. (−∞,0)C. (1,+∞)D. (−∞,1) 10. 在△ABC 中，AB =10，BC =6，CA =8，且O 是△ABC 的外心，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16B. 32C. −16D. −3211. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 满足f(2x +8)=f(2x)，且当x ∈(0,4)时，，则函数f(x)在区间[−4,12]上的零点个数是( )A. 7B. 9C. 11D. 1312. 已知定义在实数解R 上的函数f(x)满足f(1)=2，且f(x)的导函数f′(x)在R 上恒有f′(x)<1，则不等式f(x)<x +1的解集为( )A. (−1,1)B. (−∞,−1)C. (1,+∞)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，向量m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则实数λ的值为________．14.设函数f(x)=x2+2(a−a2)x+4a−1，若存在x1∈[a−2,a−1],x2∈[a+3,a+6]满足f(x1+1)=f(x2)，则实数a的取值范围为________．15.已知函数f(x)=|x+3|+|x−4|，求f(x)的最小值为________;不等式f(x)≤9的解集为________ ．三、解答题（本大题共8小题，共87.0分）16.求函数y=log3(2x2−5x−3)单调区间。

17.已知向量m⃗⃗⃗ =(√3sinx,1),n⃗=(cosx,cos2x)，记f(x)=m⃗⃗⃗ ·n⃗．(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)若f(x)=−310，x∈[−π3,−π12]，求cos2x的值；18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB=asinA+(c−a)sinC．(1)求B；(2)若3sinC=2sinA，且△ABC的面积为6√3，求b．19.已知函数f(x)=xe−x．(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)当0<x<1时f(x)>f(kx)，求实数k的取值范围．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长与焦距分别为方程x2−6x+8=0的两个实数根．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)若直线l过点M(−4,0)且与椭圆相交于A，B两点，F是椭圆的左焦点，当△ABF面积最大时，求直线l的斜率．21.已知函数f(x)=x2−ax+lnx(a∈R).(Ⅰ)当a=1时，求曲线f(x)在点P(1,0)处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，求f(x1+x2)的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：√3x +y −4=0，曲线C 2：{x =cosθy =1+sinθ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． (Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)曲线C 3：{x =tcosαy =tsinα(t 为参数，t >0，0<α<π2)分别交C 1，C 2于A ，B 两点，当α取何值时，|OB||OA|取得最大值．23. 已知x >0，求证：x 3+y 2+3≥3x +2y ．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x2−4x<0}={x|0<x<4}，B={−1,3，7}，∴A∩B={3}．故选：B．2.答案：A解析：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2−x+l<0”的否定是“∀x∈R，x2−x+1≥0”．故选A．利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3.答案：A解析：解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1=1，a3=5，得d=a3−a13−1=5−12=2．∴a10=a1+(10−1)d=1+9×2=19．故选：A．由已知求出等差数列的公差，然后代入等差数列的通项公式求解．本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题，属会考题型．4.答案：D解析：【分析】根据常见函数奇偶性进行判断即可．本题主要考查常见函数奇偶性的判断以及函数零点的求解，要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质，属于基础题．解：A.y =cosx 为偶函数，不满足条件； B .y =1x不存在零点，不满足条件；C .函数的定义域为(0,+∞)，为非奇非偶函数，不满足条件；D .y =e x −e −x 为奇函数，由y =e x −e −x =0，解得x =0，存在零点，满足条件． 故选：D ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查三角函数的化简求值和证明，涉及同角三角函数的基本关系，二倍角公式及其应用，属于基础题，先由sin2α+cos 2α化简得，再代值计算即可． 【解答】 解：，tanα=2，．故选A ．6.答案：C解析： 【分析】本题考查零点存在性定理，属于基础题．先判断函数单调递增，将所给区间端点代入解析式，判断函数值符号即可求解． 【解答】易知函数在R 上单调递增，因为f (0)=−1，f (14)<0，f (13)<0，f (12)>0， 所以函数f (x )=x 13−12x的零点所在区间是(13,12)，故选C ． 7.答案：D解析：根据分段函数的解析式求解即可，注意从内往外． 【解答】解：f (f (1e ))=f (−1)=e −1=1e 故选D ．8.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了简单的线性规划，作出不等式组的可行域，由图判断出当直线经过点A 时，z 最小，代入数值可得答案． 【解答】解：作出变量x ，y 满足约束条件{y ⩽xx +y ⩾2y ⩾3x −6,对应的平面区域如图知当为A 点时取得目标函数的最小值， 即{x =yx +y =2可知A 点的坐标为(1,1)，代入目标函数中，可得z 的最小值为2+1=3， 故选B ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查指数函数、幂函数的性质，属于基础题目．利用指数函数y =1.2x 得0.61.2<1.20.6,再利用幂函数即可解答. 【解答】解：由指数函数y =0.6x 是减函数知0<0.61.2<0.60=1．由指数函数y =1.2x 是增函数知1.20.6>1.20=1，所以0.61.2<1.20.6， 幂函数y =x a ，由(0.61.2)a >(1.20.6)a 知a <0， 故选B ．10.答案：D解析： 【分析】本题考查向量的基本运算，利用外心的概念以及数量积公式进行求解．【解答】解：由AB =10,BC =6,CA =8得，则外心O 即为AB 的中点．．由投影的定义可知，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=−32． 故选D ．11.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的奇偶性、对称性，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，属于较难题． 根据函数的奇偶性和周期性，结合已知函数解析式赋值计算可得函数f(x)在区间[−4,12]上的零点个数． 【解答】解：根据题意，f(x)满足当x ∈(0,4)时，f(x)=x 2−πx +|cosx|−1， 分析可得，当x =π时，有f(π)=0， 又由f(x)是奇函数，则有f(−π)=0， f(x)是定义在R 上的奇函数，则有f(0)=0，在f(2x +8)=f(2x)中，令x =0可得：f(8)=f(0)=0， 令x =−2可得：f(4)=f(−4)，又由函数f(x)为奇函数，则有f(−4)=−f(4)，则有f(−4)=f(4)=0，再令x=2可得：f(12)=f(4)=0，令，有，即有f(8+π)=f(π)=0，令，有，即有f(8−π)=f(−π)=0，则函数f(x)在区间[−4,12]上的零点有：−4，−π，0，π，4，8−π，8，8+π，12；共9个，故选B．12.答案：C解析：解：令g(x)=f(x)−x−1，由f′(x)<1，则g′(x)=f′(x)−1<0，g(x)在R上递减，又f(1)=2，则g(1)=f(1)−1−1=0，则不等式f(x)<x+1，即为g(x)<0，又g(1)=0，即有g(x)<g(1)，由g(x)为递减函数，则x>1．故选C．令g(x)=f(x)−x−1，由有f′(x)<1，可得g(x)的导数小于0，g(x)递减，由f(1)=2，可得g(1)=0，再由单调性，即可得到不等式的解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造函数运用单调性解不等式的思想，属于中档题．13.答案：−4解析：【分析】本题考查了平行向量与共线向量，考查了共线向量基本定理，是基础题．由题意可知m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，然后由共线向量基本定理列式求解λ的值．【解答】解：若m⃗⃗⃗ ，n⃗的夹角为180°，则m⃗⃗⃗ 与n⃗反向，m⃗⃗⃗ //n⃗，∵m⃗⃗⃗ =2a⃗−λb⃗ ，n⃗=λa⃗−8b⃗ ，∴2λ=λ8，解得λ=±4，∵当λ=4时，m⃗⃗⃗ 与n⃗同向，故舍去，∴λ=−4，故答案为−4．14.答案：(1−√14,1−√10)∪(1+√10,1+√14)解析：【分析】本题考查函数的综合应用，属难题．【解答】解：因为f(x)=x2+2(a−a2)x+4a−1=[x−(a−a2)]2−(a−a2)2+4a−1，所以f(x1+1)=[(x1+1)−(a−a2)]2−(a−a2)2+4a−1，f(x2+1)=[(x2+1)2−(a−a2)]2−(a−a2)2+4a−1，因为f(x1+1)=f(x2)，所以[(x1+1)−(a−a2)]2=[x2−(a−a2)]2，(x1+1)2−2(a−a2)(x1+1)=x22−2(a−a2)x2，(x₁+1−x₂)(x₁+x₂+1)=2(a−a2)(x1+1−x2)，所以x₁+x₂=2(a2−a)−1，x₁+x₂≤a+6+a−2=2a+4，x₁+x₂≥a+3+a−1=2a+2，2a+2≤2(a2−a)−1≤2a+4，整理，得：2a2−4a−3≥0或2a2−4a−5≤0，解得实数a的取值范围为(1−√14,1−√10)∪(1+√10,1+√14)故答案为(1−√14,1−√10)∪(1+√10,1+√14)．15.答案：7；[−4,5]解析：【分析】本题考查了绝对值函数和不等式，考查求函数的最值，是中档题．分类讨论去绝对值即可求解．【解答】解：(1)当x≥4时,f(x)=2x−1,f(x)min=f(4)=7，当x≤−3时,f(x)=−2x+1,f(x)min=f(−3)=7,当−3<x<4时,f(x)=7，综上f(x)的最小值为7;(2)x ≥4时,f(x)=2x −1≤9,解得4≤x ≤5,x ≤−3时,f(x)=−2x +1≤9, 解得−4≤x ≤−3，−3<x <4时,f(x)=7<9 解得−3<x <4，综上f(x)≤9的解集为[−4,5]．故答案为7；[−4,5]．16.答案：解：由2x 2−5x −3>0得x <−12或x >3， 令u =2x 2−5x −3， 因为u =2(x −54)2−498在(−∞,−12)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增， 因为为增函数， 所以函数的单调递增区间为(3,+∞)，单调递减区间为(−∞,−12)．解析：本题考查了复合函数的单调区间，掌握求复合函数的单调区间的方法是解题的关． 先求u =2x 2−5x −3的单调区间，再y =log 3u 为增函数，则可求得答案．17.答案：解：(Ⅰ)由题意：f(x)=√32sin2x +1+cos2x 2=sin(2x +π6)+12． 函数f(x)单调递增，则2x +π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ],k ∈Z ．解得：−π3+kπ≤x ≤π6+kπ(k ∈Z)，∴单调递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ](k ∈Z)．(Ⅱ)由f(x)=−310知sin(2x +π6)=−45，又∵x ∈[−π3,−π12]，即 2x +π6∈[−π2,0]，∴cos(2x +π6)=35， ∴cos2x =cos[(2x +π6)−π6]=3√3−410；解析：本题主要考查向量的乘积运算，三角函数的图象和性质，和与差的构造计算．属于基础题． (Ⅰ)根据向量的乘积运算可得f(x)，结合三角函数的性质求解f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)f(x)=−310，x ∈[−π3,−π12]，根据cos2x ，利用和与差公式求解； 18.答案：解：(1)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bsinB =asinA +(c −a)sinC ．所以：b 2=a 2+(c −a)c ，整理得：，由于：0<B <π，故：B =π3．(2)∵3sinC =2sinA ， ∴由正弦定理可得：3c =2a ，①∵△ABC 的面积为6√3=12acsinB =√34ac ，解得：ac =24，② ∴由①②解得：a =6，c =4，∴由余弦定理可得：=2√7．解析：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和正弦定理的应用，属于基础题．(1)化简已知等式利用余弦定理可求cosB =12，结合范围0<B <π，可求B =π3．(2)由已知利用正弦定理可得3c =2a ，利用三角形面积公式可求ac =24，解得a ，c 的值，由余弦定理可得b 的值．19.答案：解：(Ⅰ)由题知f′(x)=(1−x)e −x (x ∈R)，当f′(x)>0时，x <1，当f′(x)<0时，x >1，----(3分)所以函数f(x)的增区间为(−∞,1)，减区间为(1,+∞)，其极大值为f(1)=1e ，无极小值．-----------(5分)(Ⅱ)由题知0<x <1，当k ≤0时，因为k x ≤0<x <1，由(1)知函数在(−∞,1)单调递增， 所以f(x)>f(k x )，符合题意；-------(7分)当0<k <1时，取x =k ，可得f(k)>f(1)，这与函数在(−∞,1)单调递增不符；(9分) 当k ≥1时，因为k x ≥1x >1，由(1)知函数f(x)=xe −x 在(1,+∞)单调递减，所以f(k x )≤f(1x )，即只需证f(x)>f(1x )，即证xe −x >1xe −1x ， 同时取对数得ln(xe −x )>ln(1x e −1x )， 即lnx +lne −x >ln 1x+lne −1x ， 即lnx −x >−lnx −1x ，2lnx −x +1x >0，令ℎ(x)=2lnx −x +1x (0<x <1)，则ℎ′(x)=−x 2+2x−1x 2=−(x−1)2x 2<0对0<x <1恒成立，所以ℎ(x)为(0,1)上的减函数，所以ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以f(x)>f(k x )，符合题意．-------(11分)综上：k ∈(−∞,0]∪[1,+∞)为所求．------------(12分)解析：(Ⅰ)求函数的导数，即可求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)利用函数的单调性，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查函数单调性和极值的求解，以及导数与不等式的应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．20.答案：解：(I)由x 2−6x +8=0可得x 1=2，x 2=4，所以2a =4，2c =2，即a =2，c =1，所以b 2=a 2−c 2=3，故椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(II)设直线ld 的方程为x =my −4，代入椭圆方程，得(3m 2+4)y 2−24my +36=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则△=576m 2−4×36(3m 2+4)=144(m 2−4)>0，解得m 2>4，又y 1+y 2=24m 3m 2+4,y 1y 2=363m 2+4，所以S △ABF =32|y 1−y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=18√m2−43m 2+4，令t =√m 2−4(t >0)，则S △ABF =18t 3t 2+16=183t+16t ≤2√3t·16t =3√34， 当且仅当3t =16t ，即t =√163时，等号成立， 此时m =±2√213，直线得斜率为1m =±√214．解析：本题考查直线与椭圆得位置关系的综合应用．(I)由x 2−6x +8=0得到根，求出a ，c 的值，进而求出b 2即可求解；(II)设直线ld 的方程为x =my −4，代入椭圆方程得到关于y 的一元二次方程，由△>0求出m 的范围，结合韦达定理以及S △ABF =32|y 1−y 2|得到面积关于m 的函数，求出最值时m 的即可求解． 21.答案：解：(Ⅰ)由题意可知，函数f(x)的定义域为(0,+∞)．当a =1时，f (x )=x 2−x +lnx则f′(x )=2x −1+1x ，所以f′(1)=2，因此曲线f (x )在点P (1,0)处的切线方程为y =2(x −1)，即2x −y −2=0．(Ⅱ)由题意得f′(x )=2x −a +1x =0，因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，故2x2−ax+1=0的两个不等的正实根为x1，x2．由韦达定理得{Δ=a2−8>0x1+x2=a2>0x1⋅x2=12>0，解得a>2√2.----故．设g(a)=−a24+ln a2(a>2√2)，则g’(a)=−a2+1a=2−a22a<0.故g(a)在(2√2,+∞)单调递减，所以g(a)<g(2√2)=−2+ln√2．因此f(x1+x2)的取值范围是(−∞,−2+ln√2)．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，函数零点与方程根的关系，属于难题．(1)当a=1时，f(x)=x2−x+lnx，则f′(x)=2x−1+1x，所以f′(1)=2，从而可得出曲线f(x)在点P(1,0)处的切线方程为2x−y−2=0；(2)由题意f′(x)=2x−a+1x=0，根据函数f(x)有两个极值点x1，x2，可得出a>2√2，将f(x1+x2)表达为，再利用导数研究g(a)=−a24+ln a2(a>2√2)的单调性以及值域即可．22.答案：解：(Ⅰ)因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，C1的极坐标方程为√3ρcosθ+ρsinθ−4=0，C2的普通方程为x2+(y−1)2=1，即x2+y2−2y=0，对应极坐标方程为ρ=2sinθ．(Ⅱ)曲线C3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π2)设A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，则ρ1=√3cosα+sinα，ρ2=2sinα，所以|OB||OA|=ρ2ρ1=14×2sinα(√3cosα+sinα)=14(√3sin2α−cos2α+1)=14[2sin(2α−π6)+1]，又0<α<π2，−π6<2α−π6<5π6，所以当2α−π6=π2，即α=π3时，|OB||OA|取得最大值34．解析：本题考查三种方程的转化，考查极坐标方程的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．(Ⅰ)利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)|OB||OA|=ρ2ρ1=14×2sinα(√3cosα+sinα)=14(√3sin2α−cos2α+1)=14[2sin(2α−π6)+1]，即可得出结论．23.答案：证明：因为x>0，所以x3+2=x3+1+1≥3√x2×1×13=3x，当且仅当x3=1，即x=1时，取等号．因为y2+1−2y=(y−1)2≥0，所以y2+1≥2y，当且仅当y=1时，取等号．所以x3+2+y2+1≥3x+2y，即x3+y2+3≥3x+2y，当且仅当x=y=1时，取等号．解析：【分析】本题考查均值不等式的应用，考查考生的推理论证能力及等价转化思想．利用均值不等式求解．。