导数的计算(共42张)
第十三章 放射性核素在化学、 放射化学 课件(共42张PPT)
二、实验方法(fāngfǎ)： 1、由实验测得t=0和t⇒∞和t时刻固体中的放
射性活度，即可按(13-31)式求得交换度F 2、由计算出的F-Bt表查出Bt值。 3、由t值计算出B。为了得到平均值，一般是
测量不同时刻的F，由表中查出一系列Bt值， 做Bt-t曲线，应为一条直线，直线斜率即B 4、再根据固体半径r求得自扩散系数Ď。
等。 2、医学和生物方面： 医学上的诊断，治疗(zhìliáo)；光合作用等生物过程
研究。 3、化学研究方面： 分子结构研究；化学反响机理研究；各种动力学参数
测定；热力学平衡常数等的测定；分析元素含量等。
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三、对标记(biāojì)化合物所需放射性比活度的 估算
如：每分钟计数〔根据测量误差而定〕为A， 那么要求示踪原子的毫居里数q：
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4、放射性核素示踪剂的选择 (xuǎnzé)
• 半衰期：根据实验目的及周期长短选择适 合半衰期的放射性核素。太长太短都不好。 医用大多项选择择半衰期为几小时到十几 天之间。
• 辐射类型和能量：常用β和γ，β测量效率高， 且容易防护。对需穿过较厚物质(wùzhì)层 那么需用γ射线。如脏器的扫描和γ照相。 对于β，要求Eβ=0.01-2Mev; 对于γ， Eγ=100-600Kev。
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§13-4配合(pèihé)物稳定常数的 测定
一、测定原理〔见讲义〕 关键是引入配合度Ф和函数ψ。然后逐级外推，即可
求得β1、β2……βn。 二、实验方法： 通常是先用实验求得无配体时的分配比D和有配体
时的分配比D’，再按照(13-19)式，以log(D/D’1)对log[L]作图，从直线截距可求得logβn，由斜 率求得配位数n。 由于示踪原子(shì zōnɡ yuán zǐ)方法灵敏度高，可 以在中心离子浓度非常低时进行。
2022-2023学年山东省临沂市高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从A 地到B 地要经过C 地，已知从A 地到C 地有三条路，从C 地到B 地有四条路，则从A 地到B 地不同的走法种数是（ ） A ．7B ．9C ．12D ．162．已知随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），若P （ξ＜2）＝P （ξ＞8）＝0.15，则P （2≤ξ＜5）＝（ ） A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.73．4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ） A ．13B ．12C ．16D ．344．若f （x ）＝2xf '（2）+x 2，则f '（1）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．2D ．45．函数f （x ）＝x sin x 的导函数f ′（x ）在区间[﹣π，π]上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（x ﹣2+y ）6的展开式中，x 2y 2的系数为（ ） A ．360B ．180C ．90D ．﹣1807．随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种．为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务．已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ） A ．32B ．40C ．48D ．568．已知函数f （x ）＝alnx +12x 2，若对任意正数x 1，x 2（x 1≠x 2），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞1恒成立，则实数a的取值范围（ ） A ．（0，14]B ．（0，14）C ．[14，+∞）D ．（14，+∞）二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知随机变量的分布列为P （X ＝k ）＝0.2，k ＝1，2，3，4，5．若Y ＝2X ﹣3，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量X 的均值为3 B ．随机变量Y 的均值为3C ．随机变量X 的方差为2D ．随机变量Y 的方差为910．若（x √x ）n 的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）A ．n ＝8B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有1个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取1球，恰好有2次白球的概率为80243；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有1次取到红球的概率为2627．则其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④12．已知函数f(x)=12x +cosx ，以下说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在x =π6处取得极大值 B ．函数f （x ）在x =5π6处取得极大值 C ．函数f （x ）在(0，π2)上单调递减D ．函数f （x ）的递减区间为[π6+2kπ，5π6+2kπ]，(k ∈Z) 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为 ．14．已知（ax +1x ）（2x +1）5（a ≠0），若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝ ．15．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），且对任意x ∈R ，f '（x ）﹣f （x ）＜0，若f （2）＝e 2，f （t ）＜e t ，则t 的取值范围是 ．16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上a 1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上6；这样就可以得到一个新的实数a 2，对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数a 3，当a 3＜a 1时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为34，则a 1的取值范围是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知在(√x 3−3√x3)n 的展开式中，第4项为常数项． （1）求n 的值； （2）求含x 2项的系数18．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣x 在x ＝﹣1处取得极大值． （1）求实数a 的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积．19．（12分）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f （x ）=1√2πσ−(x−μ)22σ2，其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为25．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．20．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．21．（12分）甲、乙去某公司应聘面试该公司的面试方案为：应聘者从7道备选脚取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是47，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；（2）请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？22．（12分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣1，g （x ）＝a （x +lnx ），且f （x ）≥g （x ）恒成立（a ＞0）． （1）求实数a 的值：（2）证明：x 3e x ＞（x 2+3）lnx +2sin x ．2022-2023学年山东省临沂市高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．从A 地到B 地要经过C 地，已知从A 地到C 地有三条路，从C 地到B 地有四条路，则从A 地到B 地不同的走法种数是（ ） A ．7B ．9C ．12D ．16解：根据题意，从A 地到B 地要经过C 地，已知从A 地到C 地有三条路，则从A 到C 有3种不同的走法，从C 地到B 地有四条路，则从C 到B 有4种不同的走法， 则从A 地到B 地不同的走法种数有3×4＝12种； 故选：C ．2．已知随机变量ξ服从正态分布N （μ，σ2），若P （ξ＜2）＝P （ξ＞8）＝0.15，则P （2≤ξ＜5）＝（ ） A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7解：根据题意，正态分布N （μ，σ2）， 若P （ξ＜2）＝P （ξ＞8）＝0.15，则μ＝5，即这组数据对应的正态曲线的对称轴x ＝5，则P （ξ＜5）＝0.5， 又由P （ξ＜2）＝0.15，得P （2≤ξ＜5）＝0.5﹣0.15＝0.35． 故选：B ．3．4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ） A ．13B ．12C ．16D ．34解：4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n =C 42=6，取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”包含的基本事件个数m =C 22=1，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为P =m n =16． 故选：C ．4．若f （x ）＝2xf '（2）+x 2，则f '（1）＝（ ） A ．﹣4B ．﹣6C ．2D ．4解：∵f ′（x ）＝2f ′（2）+2x ，∴f ′（2）＝2f ′（2）+4，解得f ′（2）＝﹣4， ∴f ′（x ）＝﹣8+2x ，∴f ′（1）＝﹣8+2＝﹣6． 故选：B ．5．函数f （x ）＝x sin x 的导函数f ′（x ）在区间[﹣π，π]上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数的导数f ′（x ）＝sin x +x cos x ，则f ′（﹣x ）＝﹣sin x ﹣x cos x ＝﹣（sin x +x cos x ）＝﹣f ′（x ）， 则f ′（x ）为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ，D ， 故选：C ．6．（x ﹣2+y ）6的展开式中，x 2y 2的系数为（ ） A ．360B ．180C ．90D ．﹣180解：∵（x ﹣2+y ）6＝[x +（y ﹣2）]6，的通项公式为 T r +1=C 6r •x 6﹣r •(y ﹣2)r ，∴要得到含x 2y 2的项，则r ＝4，故含x 2y 2的项的系数为C 64C 42(−2)2=360，故选：A ．7．随着新冠疫苗的成功研发，某地区开始对重点人群进行新冠疫苗接种．为了配合社区对新冠疫苗接种人员讲解注意事项，某医科大学共派出4名男志愿者和2名女志愿者参与该地区志愿服务．已知6名志愿者将会被分为2组派往该地区的2个不同的社区，且女志愿者不单独成组，若每组不超过4人，则不同的分配方法种数为（ ） A ．32B ．40C ．48D ．56解：根据题意，分2步进行分析：①将6名志愿者将会被分为2组，要求女生不能单独成组，且每组最多4人； 若分为4、2的两组，有C 62﹣1＝14种分组方法， 若分为3、3的两组，有12C 63＝10种分组方法，则有14+10＝24种分组方法；②将分好的2组分配到两个社区进行志愿服务，有2种情况，则有24×2＝48种分配方案； 故选：C ．8．已知函数f （x ）＝alnx +12x 2，若对任意正数x 1，x 2（x 1≠x 2），都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞1恒成立，则实数a的取值范围（ ） A ．（0，14]B ．（0，14）C ．[14，+∞）D ．（14，+∞）解：因为对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞1恒成立，设x 1＞x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2，即f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2恒成立，问题等价于函数F （x ）＝f （x ）﹣x ，即F （x ）＝alnx +12x 2−x 在（0，+∞）上为增函数， 所以F ′（x ）=ax+x ﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立，即a ≥x ﹣x 2在（0，+∞）上恒成立， 所以a ≥（x ﹣x 2）max =14，即实数a 的取值范围是[14，+∞）， 故选：C ．二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知随机变量的分布列为P （X ＝k ）＝0.2，k ＝1，2，3，4，5．若Y ＝2X ﹣3，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量X 的均值为3 B ．随机变量Y 的均值为3C ．随机变量X 的方差为2D ．随机变量Y 的方差为9解：由已知P （X ＝k ）＝0.2，可知：P （X ＝1）＝0.2，P （X ＝2）＝0.2，P （X ＝3）＝0.2，P （X ＝4）＝0.2，P （X ＝5）＝0.2，故均值E （X ）＝1×0.2+2×0.2+3×0.2+4×0.2+5×0.2＝3，故A 正确； E （Y ）＝E （2X ﹣3）＝2E （X ）﹣3＝2×3﹣3＝3，故B 正确；D （X ）＝（1﹣3）2×0.2+（2﹣3）2×0.2+（3﹣3）2×0.2+（4﹣3）2×0.2+（5﹣3）2×0.2＝2， 故C 正确；D （Y ）＝D （2X ﹣3）＝4D （X ）＝8，故D 错误． 故选：ABC ．10．若（x 1√x ）n 的二项展开式共有8项，则该二项展开式（ ）A ．n ＝8B ．各项二项式系数和为128C ．二项式系数最大项有2项D ．第4项与第5项系数相等且最大解：由展开式共有8项，故n ＝7，故展开式中间两项第4项和第5项的二项式系数最大， 所有项的二项式系数和为27＝128，由展开式的第4项的系数为﹣C 73，第5项的系数为C 74，故不相等；故选：BC ．11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有1个白球的概率是35；②从中有放回地取球6次，每次任取1球，恰好有2次白球的概率为80243；③现从中不放回地取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回地取球3次，每次任取1球，则至少有1次取到红球的概率为2627．则其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④解：①从中任取3球，恰有1个白球的概率是C 42⋅C 21C 63=1220=35，∴①正确，②6次试验中取到白球的次数X 服从二项分布，即X ～B （6，13），则P （X ＝2）=C 62•(13)2(23)4=80243，∴②正确，③在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为35，∴③错误，④3次试验中取到红球的次数Y 服从二项分布，即Y ～B （3，23），则P （Y ≥1）＝1﹣P （Y ＝0）＝1−(1−23)3=2627，∴④正确． 故选：ABD ．12．已知函数f(x)=12x +cosx ，以下说法正确的是（ ） A ．函数f （x ）在x =π6处取得极大值 B ．函数f （x ）在x =5π6处取得极大值 C ．函数f （x ）在(0，π2)上单调递减 D ．函数f （x ）的递减区间为[π6+2kπ，5π6+2kπ]，(k ∈Z) 解：已知f(x)=12x +cosx ，函数定义域为R ， 可得f ′（x ）=12−sin x ，对于选项A ：当0＜x ＜π6时，0＜sin x ＜12，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当π6＜x ＜π2时，12＜sin x ＜1，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以函数f （x ）在x =π6处取得极大值，故选项A 正确； 对于选项B ：当π2＜x ＜5π6时，12＜sin x ＜1，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减； 当5π6＜x ＜π时，0＜sin x ＜12，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增；所以函数f （x ）在x =5π6处取得极小值，故选项B 错误； 对于选项C ：令f '（x ）≤0，解得sinx ≥12，所以π6+2kπ≤x ≤5π6+2kπ，k ∈Z ，则函数f （x ）的递减区间为[π6+2kπ，5π6+2kπ]，(k ∈Z)，故选项C 错误； 对于选项D ：由选项C 可得选项D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情．某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加A 市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为35．解：设“甲同学被选出”记为事件A ，“乙同学被选出”记为事件B ， 设1表示甲，2表示乙，3，4，5，6，表示剩下的4名同学，从6名同学中选4名，样本空间Ω＝{1234，1235，1236，1245，1246，1256，1345，1346，1356，1456，2345，2346，2356，2456，3456}，共15个样本点；事件A ＝{1234，1235，1236，1245，1246，1256，1345，1346，1356，1456}，共10个样本点； 事件AB ＝{1234，1235，1236，1245，1246，1256}，共6个样本点； 则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率P （B |A ）=n(AB)n(A)=610=35． 14．已知（ax +1x）（2x +1）5（a ≠0），若其展开式中各项的系数和为81，则a ＝ −23． 解：(ax +1x )(2x +1)5中，令x ＝1，得（a +1）•35＝81，解得a =−23． 故答案为：−23．15．已知函数f （x ）的导函数为f '（x ），且对任意x ∈R ，f '（x ）﹣f （x ）＜0，若f （2）＝e 2，f （t ）＜e t ，则t 的取值范围是 （2，+∞） ． 解：令g （x ）=f(x)e x ，g ′（x ）=f′(x)−f(x)e x， ∵对任意x ∈R ，f '（x ）﹣f （x ）＜0，f （2）＝e 2，∴g ′（x ）＜0，∴函数g （x ）在R 上单调递减， 由g （t ）=f(t)e t ＜1＝g （2）=f(2)e2， ∴t ＞2，即不等式f （t ）＜e t 的解集为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）16．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚质地均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上a 1乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a 1除以2后再加上6；这样就可以得到一个新的实数a 2，对实数a 2仍按上述方法进行一次操作，又可以得到一个新的实数a 3，当a 3＜a 1时，甲获胜，否则乙获胜，若乙获胜的概率为34，则a 1的取值范围是 （﹣∞，6]∪[12，+∞） ．解：由题意可知，进行两次操作后，可得如下情况：当a 3＝2（2a 1﹣6）﹣6＝4a 1﹣18，其出现的概率为(12)2=14， 当a 3=12×(2a 1−6)+6=a 1+3，其出现的概率为(12)2=14， 当a 3=2(a 12+6)−6=a 1+6，其出现的概率为(12)2=14， 当a 3=12×(a 12+6)+6=a 14+9，其出现的概率为(12)2=14， ∵甲获胜的概率为34，即a 3＞a 1的概率为34， 则满足{4a 1−18≤a 1a 14+9＞a 1或{4a 1−18＞a 1a 14+9≤a 1整理得a 1≤6或a 1≥12．故答案为：（﹣∞，6]∪[12，+∞）．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知在(√x 3−3√x3)n 的展开式中，第4项为常数项． （1）求n 的值； （2）求含x 2项的系数解：（1）∵二项展开式的通项T r+1=C n r (√x 3)n−r (−3√x3)r=(−3)r C n rxn−2r3，∵第4项为常数项， ∴n−63=0，故n ＝6，（2）由（1）得，T r+1=C n r (√x 3)n−r (−3√x3)r=(−3)r C n rxn−2r3，令6−2r 3=2，可得r ＝0，∴含x 2项的系数为（﹣3）0C 60=1．18．（12分）已知函数f （x ）＝x 3+ax 2﹣x 在x ＝﹣1处取得极大值． （1）求实数a 的值，并求函数f （x ）的单调递增区间；（2）求曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积． 解：（1）f ′（x ）＝3x 2+2ax ﹣1，依题意，f ′（﹣1）＝3﹣2a ﹣1＝0，解得a ＝1， 经检验，a ＝1符合题意，令f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣1＞0，解得x ＜﹣1或x ＞13，则函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），(13，+∞)； （2）由（1）可知，f （x ）＝x 3+x 2﹣x ，f ′（x ）＝3x 2+2x ﹣1， 则f （1）＝1，f ′（1）＝4，由点斜式可得，曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y ﹣1＝4（x ﹣1），即y ＝4x ﹣3， 令x ＝0，可得y ＝﹣3，令y ＝0，可得x =34， 则所求面积为12×3×34=98．19．（12分）我们认为灯泡寿命的总体密度曲线是正态分布曲线f （x ）=12πσ−(x−μ)22σ2，其中μ为总体平均数，σ为总体标准差，某品牌灯泡的总体寿命平均数μ＝2600小时．（1）随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的概率；（2）该品牌灯泡寿命超过2800小时的概率为25．我们通过设计模拟试验的方法解决“随机取三个该品牌灯泡，求三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率”问题．利用计算器可以产生0到9十个随机数，我们用1，2，3，4表示寿命超过2800小时，用5，6，7，8，9，0表示寿命没有超过2800小时．因为是三个灯泡，所以每三个随机数一组．例如，产生20组随机数 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 就相当于做了20次试验．估计三个灯泡中恰有两个寿命超过2800小时的概率．解：（1）由题知平均数μ＝2600，所以每个灯泡寿命超过2600小时的概率都是12，这个随机试验满足古典概型条件：有限性，等可能性．设三个灯泡寿命超过2600小时分别为A ，B ，C ；没有超过2600小时分别为A ，B ，C ， 则样本空间Ω={ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC ，ABC}， 三个灯泡中恰有两个寿命超过2600小时的事件M ={ABC ，ABC ，ABC}， 所以P(M)=n(M)n(Ω)=38． （2）20组随机数中满足恰有两灯泡寿命超过2800小时的有191，271，932，812，393共计5组， 所以三个灯泡中恰有两个灯泡寿命超过2800小时的概率估计值P =520=14． 20．（12分）已知函数f （x ）＝e x ﹣ax +a ，a ∈R ． （1）讨论函数f （x ）的单调性； （2）讨论函数f （x ）的零点个数．解：（1）已知f （x ）＝e x ﹣ax +a ，函数定义域为R ， 可得f ′（x ）＝e x ﹣a ，当a ≤0时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增； 当a ＞0时，令f ′（x ）＝0， 解得x ＝lna ，当x ＜lna 时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞lna 时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增， 综上，当a ≤0时，f （x ）在R 上单调递增；当a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，lna ）上单调递减，在（lna ，+∞）上单调递增； （2）不妨令f （x ）＝0，解得e x ＝a （x ﹣1）， 当a ＝0时，e x ＝0无解，所以函数f （x ）无零点； 当a ≠0时，可得1a =x−1e x，不妨设φ(x)=x−1e x ，函数定义域为R ，可得φ′(x)=2−xex ， 当x ＜2时，φ'（x ）＞0，φ（x ）单调递增；当x ＞2时，φ'（x ）＜0，φ（x ）单调递减， 所以φ(x)max =φ(2)=1e 2， 又当x →+∞时，φ（x ）→0，当x →﹣∞时，φ（x ）→﹣∞， 所以当1a ＞1e 2，即0＜a ＜e ²时，f （x ）无零点；当1a=1e 2，即a ＝e ²时，f （x ）有一个零点；当0＜1a ＜1e 2，即a ＞e ²时，f （x ）有两个零点；当1a＜0，即a ＜0时，f （x ）有一个零点，综上，当0≤a ＜e ²时，f （x ）无零点；当a ＜0或a ＝e ²时，f （x ）有一个零点； 当a ＞e ²时，f （x ）有两个零点．21．（12分）甲、乙去某公司应聘面试该公司的面试方案为：应聘者从7道备选脚取3道题，按照答对题目的个数为标准进行筛选．已知7道备选题中应聘者甲有4道题能正甲有4道题能正确完成，3道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是47，且每题正确完成与否互不影响．（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列；（2）请从均值和方差的角度分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？解：（1）设X 为甲正确完成面试题的数量，Y 为乙正确完成面试题的数量，由题意可得X 的可能取值为：0，1，2，3，P （X ＝0）=C 33C 73=135，P （X ＝1）=C 32C 41C 73=1235，P （X ＝2）=C 31C 42C 73=1835，P （X ＝3）=C 43C 73=435，所以X 的分布列为：由题意可得Y ～B （3，47），所以P （Y ＝0）=(37)3=27343，P （Y ＝1）=C 31×47×(37)2=108343， P （Y ＝2）=C 32×(47)2×37=144343，P （Y ＝3）=(47)3=64343，所以Y 的分布列为：（2）E （X ）=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127， E （Y ）＝3×47=127， D （X ）＝（0−127）2×135+（1−127）2×1235+（2−127）2×1835+（3−127）2×435=2449， D （Y ）＝3×47×37=3649，∵E （X ）＝E （Y ），D （X ）＜D （Y ），∴甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大． 22．（12分）已知函数f （x ）＝xe x ﹣1，g （x ）＝a （x +lnx ），且f （x ）≥g （x ）恒成立（a ＞0）．（1）求实数a 的值：（2）证明：x 3e x ＞（x 2+3）lnx +2sin x ． 解：（1）因为不等式f （x ）≥g （x ）恒成立， 所以xe x ﹣a （lnx +x ）≥1， 令h （x ）＝xe x ﹣a （lnx +x ）， h ′（x ）＝（x +1）（xe x −a x），当a ＜0时，h （x ）单调递增，h （x ）的值域为R ，不符合题意， 当a ＝0时，则h （12）=√e2＜1，也不符合题意，当a ＞0时，令xe x ﹣a ＝0，得a ＝xe x ， 令p （x ）＝xe x ，则p ′（x ）＝（x +1）e x ＞0，所以p （x ）在（0，+∞）上单调递增，且p （0）＝0， 所以a ＝xe x 有唯一实数根，即h ′（x ）＝0有唯一实数根，设为x 0，即a ＝x 0e x 0，所以h （x ）在（0，x 0）上为减函数，在（x 0，+∞）上为增函数， 所以h （x ）min ＝f （x 0）＝x 0e x 0−a （lnx 0+x 0）＝a ﹣alna ， 故只需a ﹣alna ≥1，令t =1a ，上式即转化为lnt ≥t ﹣1， 设h （t ）＝lnt ﹣t +1，则h ′（t ）=1−tt ，所以h （t ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h （x ）max ＝h （1）＝0， 所以lnt ≤t ﹣1，所以lnt ＝t ﹣1，解得t ＝1， 从而有1a =t ＝1，则a ＝1，所以满足条件的实数为a ＝1． （2）证明：借助第（1）问结论，由（1）知，当a ＝1时，f （x ）≥g （x ）对任意x ＞0恒成立， 所以∀x ∈（0，+∞），xe x ≥x +lnx +1（当且仅当x ＝1时等号成立）， 则x 3e x ≥x 3+x 2lnx +x 2（x ＞0），所以要证明x3e x＞（x2+3）lnx+2sin x（x＞0），只需证x3+x2lnx+x2＞（x2+3）lnx+2sin x（x＞0），即证x3+x2＞3lnx+2sin x（x＞0），设G（x）＝lnx﹣x+1，m（x）＝sin x﹣x，则G′(x)=1x−1=1−xx(x＞0)，G（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以∀x∈（0，+∞），G（x）≤G（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），m'（x）＝cos x﹣1≤0在（0，+∞）恒成立，m（x）在（0，+∞）上单调递减，所以∀x∈（0，+∞），m（x）＜m（0）＝0，即sin x＜x（x＞0），所以要证x3+x2＞3lnx+2sin x（x＞0），只需证x3+x2≥3（x﹣1）+2x（x＞0），即x3+x2﹣5x+3≥0（x＞0），令H（x）＝x3+x2﹣5x+3，则H′（x）＝3x^2+2x﹣5＝（3x+5）（x﹣1），H（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x∈（0，+∞）时，H（x）≥H（1）＝0，即x3+x2﹣5x+3≥0（x＞0）恒成立．。
( 人教A版)微积分基本定理课件 (共38张PPT)
2
2
答案：D
3．设 f(x)＝x22－，x0，≤1x<≤x≤1，2，
则2f(x)dx 等于________． 0
解析：2f(x)dx＝1x2dx＋2(2－x)dx
0
0
1
＝x3310 ＋(2x－x22)21
＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56.
答案：56
探究一 计算简单函数的定积分
[自主梳理]
如果 f(x)是区间[a，b]上的 连续 函数，并且 F′(x) 内容 ＝ f(x)，那么bf(x)dx＝ F(b)－F(a)
a
符号
bf(x)dx＝F(x)ba ＝ F(b)－F(a)
a
二、定积分和曲边梯形面积的关系 设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，x 轴下方的面积为 S 下，则 1．当曲边梯形的面积在 x 轴上方时，如图(1)， 则bf(x)dx＝ S 上．
(7)baxdx＝lnaxaba (a>0 且 a≠1)． a
1．计算下列定积分．
(1)1(x3－2x)dx； 0
(2)
2 0
(x＋cos
x)dx；
(3
解析：(1)∵(14x4－x2)′＝x3－2x，
∴1(x3－2x)dx＝(14x4－x2)10 ＝－34. 0
2．(1)若
f(x)＝x2 cos
x≤0 x－1
x>0
2．常见函数的定积分公式： (1)bCdx＝Cxba (C 为常数)．
a
(2)abxndx＝n＋1 1xn＋1ba (n≠－1)． (3)bsin xdx＝－cos xba .
a
(4)bcos xdx＝sin xba . a
(5)b1xdx＝ln xba (b>a>0)． a
高三《导数的应用》说课稿
高三《导数的应用》说课稿以下是作者为大家准备的高三《导数的应用》说课稿（共含4篇），希望对大家有帮助。
篇1：高三《导数的应用》说课稿高三《导数的应用专题》说课稿导数是新课程教材中重要内容，是进一步刻画、研究函数的重要工具，为运用函数思想简捷地解决实际问题提供了广阔的前景。
纵观这几年的高考，考察的力度逐年加大，因此在高三复习中必须引起足够的重视。
在中学数学的新课程中，导数单元作为初等数学和高等数学重要的衔接点，显得格外引人瞩目。
导数的思想及其内涵丰富了对函数等问题的研究方法，已经成为近几年高考数学的一大热点。
另外，导数又具有很强的知识交汇功能，以其为载体的问题情景很多，给师生在复习内容和方法上的选择带来困惑。
从这个意义上说，高三师生采取什么样的策略复习，复习的重点落在何处？显得至关重要。
1、教材分析与考点分析在教材中，导数处于一种特殊的地位。
一方面它是沟通初、高等数学知识的重要衔接点，渗透和加强了对学生由有限到无限的辩证思想的教育，突破了许多初等数学在思想和方法上的障碍，拓宽、优化和丰富了许多数学问题解决的思路、方法和技巧；另一方面它具有很强的知识交汇功能，可以联系多个章节内容，如常与函数、数列、三角、向量、不等式、解析几何等内容交叉渗透，并成为解决相关问题的重要工具。
从高考关于导数单元的考查情况来看，以下两个特点非常明显：（1）循序渐进：从总体上看，高考考查导数的有关知识是循序渐进的过程。
导数的内容刚进入高考数学新课程卷时，其考试要求都是很基本的，以后逐渐加深，分析近几年的高考试题，可以看出高考对导数考查的思路已基本成熟。
考查的基本原则是重点考查导数的概念与应用。
这部分内容的考查一般分为三个层次：第一层次：主要考查导数的概念、求导公式、求导法则和与实际背景有关的问题（如瞬时速度，边际成本，加速度、切线的斜率）第二层次：主要考查导数的.简单应用，包括求函数的极值、最值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。
高三数学函数的最大值与最小值2
（1）确定函数的定义区间，求导数f’(x)
（2）求方程f’(x)=0的根
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义 区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f’(x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得最小值；若果左右不改变符号， 那么f(x)在这个根处无极值。
(2)下列函数中，x=0是极值点的函数是（ B ) A y=-x3 B y=cos2x C y=tanx-x D y=1/x
3 下列说法正确的是 （ C ） A 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B 函数在闭区间上的最大值一定是极大值 C 对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|<√6，则f(x)无极
值 D函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值
4 函数 求的值
f
(
x
)
a
s
in
x
1 3
s
in
3
x
在
x
3
处有极值，
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迎接鸠摩罗什到长安 其诗歌 散文及辞赋广泛影响后世名家如王维 李白 杜甫 苏轼 辛弃疾 陆游等人 407年赫连勃勃叛秦 郡以太守主事 前秦 吴郡 扬州 296年其弟郝度元以齐万年为首 移镇姑孰（今安徽当涂县） 六尚书分掌三十五曹 在热处理技术中发明了油淬 慕容宝则撤至 根本之地龙城 大量百姓与世族开始南渡 [25] 建国号大齐 政治编辑 齐王忧病而死 你能报仇 侯景发动侯景之乱后 八王之乱 最初有王导主持大局 二人应命来见晋元帝 慕容泓 [45] 晋愍帝 保守派穆泰 陆叡于平城拥王兵
数学题目100道
数学题目100道1.有3个红球和2个蓝球，从中随机抽取2个球，求两个球颜色相同的概率。
2.从10个编号为1到10的球中，随机抽取3个，求这3个球的编号之和为偶数的概率。
3.个袋子里有5个红球、3个蓝球、2个绿球，从中连续抽取3个球，求这3个球的颜色都不相同的概率。
4.在一个房间里，至少有多少人，使得有两个人生日相同的概率超过50%？5.一枚硬币连续抛掷3次，求至少出现一次正面的概率。
6.一位篮球运动员投篮命中率为60%，求他连续投掷3次全中的概率。
7.某列火车每天准时到达的概率是0.8，求连续4天都准时到达的概率。
8.个箱子里有4个红球、3个蓝球和5个黄球，从中随机抽取2个球，求至少一个是红球的概率。
9.抛掷一枚公平的硬币三次，求至少两次出现正面的概率。
10.如果一辆汽车以每小时60英里的速度行驶，那么4小时内它能行驶多远？11.一张长方形花坛的长和宽的比例是3:2，如果长是15米，求宽是多少？12.一桶混合物中，液体A和液体B的比例是2:5，如果桶里一共有35升液体，液体B有多少升？13.甲乙两人同时从一个起点出发，甲每分钟走3步，乙每分钟走4步。
如果10分钟后他们相遇，他们各自走了多少步？14.如果一个正方形的边长是8厘米，它的面积是多少平方厘米？15.一本书的页码是从1开始编号的，奇数页和偶数页的比例是3:2，这本书一共有多少页？16.一台机器生产零件的速度是另一台机器的2倍，如果两台机器同时工作，3小时内生产零件的总数是多少？17.某种汽车的油耗比是15升/百公里，如果行驶了300公里，需要多少升汽油？18.一个三角形的三条边长分别是5厘米、8厘米和12厘米，这个三角形是什么类型的三角形？19.一堆零钱中，5角和1元的硬币的数量比是3:4，总价值是多少元？20.一份调查显示，有80%的学生喜欢数学，如果有200名学生参与调查，有多少名学生喜欢数学？21.一项考试中，小明得了85分，满分是100分。
高中数学第四章导数应用22最大值最小值问题课件北师大版选修11
三、最值点的可能位置
函数的最值可能在__极__值__点__取得，也可能在_区__间__的__端__点___取得．
四、求函数最大(小)值的步骤 设 y＝f(x)是定义在[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内可导，求函数 y＝f(x)在[a，b]上的 最大(小)值，可分两步进行：
令f′(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0，
解得x＝a＋a b.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
0，a＋a b
f′(x) －
a a＋b
0
a＋a b，1 ＋
f(x)
极小值
从上表看出，函数在x＝
a a＋b
处取得极小值，且f
a a＋b
＝(a＋b)2.所以函数f(x)
在区间(0,1)内的极小值也就是最小值，即函数f(x)＝
1．求下列各函数的最值． (1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]； (2)f(x)＝x24＋x 1，x∈[－2,2]； (3)f(x)＝1－x x＋ln x，x∈12，2.
解析：(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，x∈[－1,1]． ∵f′(x)在[－1,1]上恒大于0， ∴f(x)在[－1,1]上为增函数． ∴当x＝－1时，f(x)取得最小值－12， 当x＝1时，f(x)取得最大值2. ∴f(x)的最小值为－12，最大值为2.
2．求下列函数的最大值与最小值： (1)f(x)＝2sin x－x(x∈[－π2，π2])； (2)f(x)＝x3－3x＋3(x∈[0，t])．
解析：(1)∵f′(x)＝2cos x－1，
2019-2020学年人教A版选修1-1 导数与函数的单调性、极值、最值问题 课件(40张)
4.x2＋2ax6的展开式的中间项系数为 20，如 图阴影部分是由曲线 y＝x2 和圆 x2＋y2＝a 及 x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积 S＝ ________．
于是 m＝－2a73＋2，M＝42－ ，a2， ≤0a<<3a.<2，
所以 M－m＝22a7－3，a2＋≤2a7a3，<30. <a<2， 当 0<a<2 时，可知 y＝2－a＋2a73单调递减， 所以 M－m 的取值范围是287，2. 当 2≤a<3 时，y＝2a73单调递增，
所以曲线在点(π，－1)处的切线方程为 y－(－1)＝－ 2(x－π)，即 2x＋y－2π＋1＝0.
答案：C
2．(2017·全国卷Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax
－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1 B．－2e－3
C．5e－3 D．1
解析：f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
所以 f′(x)＝2－xb2＋1x＝2x2＋x2x－b. 因为 x＝1 是 f(x)＝2x＋bx＋ln x 的一个极值点， 所以 f′(1)＝0，即 2－b＋1＝0. 解得 b＝3，经检验，适合题意，所以 b＝3. 所以 f′(x)＝2－x32＋1x＝2x2＋x2x－3， 令 f′(x)<0，得 0<x<1. 所以函数 f(x)的单调递减区间为(0，1)．
则 f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，
则 f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
山西省大同市煤矿第二学校2024年高三一轮复习质量检测试题数学试题
山西省大同市煤矿第二学校2024年高三一轮复习质量检测试题数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x a x bx =+的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数C ．a 、b 均为任意实数D ．不存在满足条件的实数a ，b 2．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,+∞3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+ 4．小张家订了一份报纸，送报人可能在早上6:307:30-之间把报送到小张家，小张离开家去工作的时间在早上7.008:00-之间.用A 表示事件：“小张在离开家前能得到报纸”，设送报人到达的时间为x ，小张离开家的时间为y ，(,)x y 看成平面中的点，则用几何概型的公式得到事件A 的概率()P A 等于（ ）52375．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等6．某网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（）A ．月收入的极差为60B ．7月份的利润最大C ．这12个月利润的中位数与众数均为30D ．这一年的总利润超过400万元7．已知P 与Q 分别为函数260x y --=与函数21y x =+的图象上一点，则线段||PQ 的最小值为( ) A ．65 B 5C ．55 D ．68．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（ ）A ．100B ．210C ．380D ．4009．已知等差数列{}n a 中，51077,0a a a =+=，则34a a +=（ ）A ．20B ．18C ．16D ．1410．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．()cos sin xe f x x =在原点附近的部分图象大概是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．32C ．23D ．33二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
一致性检验的原理和方法
第三十三页，共42页。
实际(shíjì)建模的过程
★要求★ ： 1、测样方法必须为 “一致性检验.XPM” 。 2、测定参考光谱和检验光谱时文件名和样
品名必须为如下格式： 品种剂型－厂家－批号－仪器编号
(biān hào)（后四位）－测样日期 3、测样时的光谱保存路径必须为如下格式： E:\一致性检验\××市所\品种剂型－
值除以所选谱段内的波长点个数得到的Sum数值， 对其进行限定。 三是Sum 2方法，即超出CI限度(xiàndù)的所有y 值除以超过CI限度(xiàndù)的波长点个数得到的 Sum数值，对其进行限定。
刚才介绍了第一种方法，下面看看后两种方法。
第十六页，共42页。
此处就是这三种(sān zhǒnɡ)方 法。
第二十六页，共42页。
使用OPUS测定(cèdìng)光谱
“药品检验.XPM”存在于“C:\Program Files\SFDA_Ident\样品测试方法”（2.0.6版SFDA软 件）或“C:\Program Files\SFDA_Ident\XPM” （1.4.2版SFDA软件）。
♦♦建议先把“药品检验.XPM”文件复制到其他地方， 然后在刚才(gāngcái)打开的重复测定界面中Load该 方法文件，以免不慎更改而影响到SFDA的使用。
第十页，共42页。
一般选择(xuǎnzé)矢量归一化或一阶导数化。
选择(xuǎnzé)预处 理方法
选择(xuǎnzé)谱段
设定CI 限度
选择是否以非绝对值表示，一般不选
显示预处理后的光谱，见下页。
第十一页，共42页。
其中三条红色光谱表示平均光谱和上下的置信区间， 绿色表示所有(suǒyǒu)的参考光谱。
导数的概念
求函数y=x2在x=1处的导数 处的导数; 例2:(1)求函数 求函数 处的导数 (2)求函数 求函数y=x+1/x在x=2处的导数 处的导数. 求函数 在 处的导数
速度v就无限趋近于t = 时的瞬时速度.因此, 运动 员在t = 时的瞬时速度是 − . m / s. h ( 2 + ∆t ) − h ( 2 ) 为了表述方便, 我们用 lim = −13.1 ∆t →0 ∆t 表示 Байду номын сангаас当t = 2, ∆t 趋势处于0时, 平均速度 v 趋处于确
处的 − 13.1".
y |x= x0 表示函数 y关于自变量x在x0处的导数.
'
注意
lim （1） ∆x 为平均变化率，加上符号 ∆x →0 表示 ∆x 趋于 0，则 ） 为平均变化率， ，
f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) ∆y f ( x0 ) = lim = lim . ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆y
h(t ) = −4.9t 2 + 6.5t + 10 ∆ h h (2) − h (2 + ∆ t ) ∆ t < 0时 ， = v = = −4.9∆t − 13.1 ? ∆t 2 − (2 + ∆ t ) 通过表格中的数据观察， 趋于0时 通过表格中的数据观察h，当△t趋于 时，平 趋于 ∆ h h (2 + ∆ t ) − (2) ∆ t > 0时 ， = v = = −4.9∆t − 13.1 均速度处什么样的变化趋势？ 均速度处什么样的变化趋势？ ? ∆t (2 + ∆ t ) − 2
h(t ) = −4.9t + 6.5t + 10
复合函数微分法
u r
2
1 r2
u
2
u x
cos
u y
sin
2
1 r2
u x
r
sin
u y
r
cos
2
u 2 u 2
x
y
.
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§2 复合函数微分法
复合函数的求导法则
复合函数的全微分
例3 设 z uv sin t, 其中 u et , v cos t, 求 dz . dt
因此有
u u x u y u cos u sin ,
r x r y r x
y
u u x u y u (r sin ) u r cos .
x y x
y
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§2 复合函数微分法
复合函数的求导法则
复合函数的全微分
于是
解 所讨论的复合函数以 (u, v) 为中间变量, (x, y) 为
自变量, 并满足定理 17.5 的条件. 因此由
z 2u
u
u2 v
,
z v
1 u2 v
,
u e x y 2 , u 2 y e x y 2 , v 2 x , v 1,
x
y
x
y
数学分析 第十七章 多元函数微分学
fz (1,1)
复合函数的求导法则
复合函数的全微分
x2y
f
(
x,
y)
x2
y2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
由 §1 习题 6 已知 fx (0,0) f y (0,0) 0, 但 f ( x, y) 在点 (0,0) 不可微. 若以 f ( x, y) 为外函数, x t, y t
2025届东北师大附属中学高三下学期联考数学试题含解析
2025届东北师大附属中学高三下学期联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③2．曲线24x y =在点()2,t 处的切线方程为（ ） A ．1y x =-B ．23y x =-C ．3y x =-+D ．25y x =-+3．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．16163π+ B ．8163π+ C ．32833π+ D ．321633π+ 4．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ）A ．且B ．且C ．且D ．且5．已知a ，b ，c 分别是ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos 3sin a C c A b c +=+，则A =（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 6．已知A ，B 是函数()2,0ln ,0x x a x f x x x a x ⎧++≤=⎨->⎩图像上不同的两点，若曲线()y f x =在点A ，B 处的切线重合，则实数a 的最小值是（ ） A ．1-B ．12-C ．12D ．17．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 8．将一张边长为12cm 的纸片按如图(1)所示阴影部分裁去四个全等的等腰三角形，将余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥模型，如图(2)放置，如果正四棱锥的主视图是正三角形，如图(3)所示，则正四棱锥的体积是( )A ．33263cm B ．36463cm C ．33223cm D ．36423cm 9．一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为（ ）A ．1B 2C 3D ．2210．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A 6B ．34C ．12D 311．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，则23342122a a a a a a +++=（ ）A ．58B ．34 C ．54D ．5212．已知幂函数()f x x α=的图象过点(3,5)，且1a e α⎛⎫= ⎪⎝⎭，3b α=，1log 4c α=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高中数学 第5章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 第3课时 导数
第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学习目标核心素养1.能用导数解决函数的零点问题．2．体会导数在解决实际问题中的作用．3．能利用导数解决简单的实际问题．(重点、难点)1.借助用导数解决函数的零点问题，培养直观想象的核心素养．2．通过学习用导数解决生活中的优化问题，培养数学建模的核心素养．3．借助实际问题的求解，提升逻辑推理及数学运算的核心素养.学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传．现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128 dm2，上、下两边各空2 dm，左右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？1．函数图象的画法函数f (x)的图象直观地反映了函数f (x)的性质．通常，按如下步骤画出函数f (x)的图象：(1)求出函数f (x)的定义域；(2)求导数f ′(x)及函数f ′(x)的零点；(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分成若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，并得出f (x)的单调性与极值；(4)确定f (x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f (x)的大致图象．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)用导数研究实际问题要先求定义域． ( ) (2)方程x e x＝2有两个不相等的实数根．( )(3)做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为4 m ． ( ) [提示] (2)令y ＝x e x，，则y ′＝e x(x ＋1)．由于x ＞－1时，y ′＞0，x ＜－1时，y ′＜0.∴x ＝－1时y ＝x e x取到最小值－1e.结合单调性及变化趋势画出如图所示，由图可以看出y ＝x e x 与y ＝2只有一个交点，故方程只有一个解．(3)设底的边长为x m ，则高为256x 2.那么需材料的面积为x 2＋4x ×256x 2＝x 2＋4×256x.令y＝x 2＋4×256x ，∴y ′＝2x －4×256x2.令y ′＝0得x ＝8.又x ＞8时y ′＞0，x ＜8时y ′＜0，∴x ＝8时用料最省，这时高h ＝25682＝4(m)．[答案] (1)√ (2)× (3)√2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203 C ．－1 D ．－8C [由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∵0≤x ≤5，∴x ＝1时，f ′(x )的最小值为－1， 即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件C [由题意得，y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，解得x ＝9或x ＝－9(舍去)． 当0＜x ＜9时，y ′＞0；当x ＞9时，y ′＜0. 故当x ＝9时，y 取得极大值，也是最大值．]4．某产品的销售收入y 1(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)关于产量x (千台)的函数关系式为y 2＝2x 3－x 2，已知x ＞0，为使利润最大，应生产该产品________千台．6 [由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)．y ′＝36x －6x 2，由y ′＝36x －6x 2＝6x (6－x )＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)， 当x ∈(0，6)时，y ′＞0，当x ∈(6，＋∞)时，y ′＜0， ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数． 则当x ＝6时，y 有最大值．]利用导数研究函数的图象【例1】 函数y ＝x 3ex (其中e 为自然对数的底数)的大致图象是( )B [法一：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；y ′＝3x 2e x －x 3e x ex 2＝x 23－xex， 当x ＜3时，y ′＞0，当x ＞3时，y ′＜0， ∴函数在(0，＋∞)上先增后减．故选B.法二：由函数y ＝x 3e x 可知，当x ＝0时，y ＝0，排除C ；当x ＜0时，y ＜0，排除A ；当x →＋∞时，y →0.故选B.]由解析式研究图象常用的方法根据解析式判断函数的图象时，综合应用各种方法：如判断函数的奇偶性，定义域、特殊值和单调性，有时还要用导数研究函数的极值点，甚至最值等.[跟进训练]1．函数f (x )＝e x 2－2x 2的图象大致为( )A [∵f (x )＝f (－x )，当x ＞0时，f ′(x )＝e x 2·2x －4x ，令f ′(x )＝0，则2x (e x 2－2)＝0⇒x ＝ln 2∈(0，1)，且f (ln 2)＝2－2ln 2＞0，∴当x ＞0时，f (x )＞0，且只有一个极值点，∴排除B ，C ，D.故选A.]用导数研究方程的根【例2】 设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[思路探究] (1)对函数f (x )求导，根据导数的正负确定函数的单调区间和极值； (2)根据(1)中函数的单调性和极值分析函数图象，得出最值，进而得出函数存在零点时k 的取值范围，由此结合零点存在性定理进行证明．[解] (1)由f (x )＝x 22－k ln x (k ＞0)得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx，由f ′(x )＝0解得x ＝k .f (x )与f ′(x )在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k ) k(k ，＋∞)f ′(x ) － 0＋f (x )↘k 1－ln k2↗所以f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)，f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k 1－ln k2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k 1－ln k2.因为f (x )存在零点，所以k 1－ln k2≤0，从而k ≥e.当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e)上单调递减，且f (e)＝0， 所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点．当k ＞e 时，f (x )在区间(0，e)上单调递减，且f (1)＝12＞0，f (e)＝e －k2＜0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．与函数零点有关的问题与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x 轴的位置关系.或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题确定参数的取值范围.[跟进训练]2．若方程a x＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，求实数a 的取值范围．[解] 由a x＝x 知x ＞0，故x ·ln a －ln x ＝0⇒ln a ＝ln x x，令f (x )＝ln x x(x ＞0)，则f ′(x )＝1－ln xx2. 当x ∈(0，e)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈(e，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，故当x ＝e 时，f (x )取得最大值f (e)＝1e ，即ln a ＜1e，即a ＜e 1e .画出函数y ＝a x(a ＞0，a ≠1)与y ＝x 的图象(图略)，结合图象可知，若方程a x ＝x (a ＞0，a ≠1)有两个不等实根，则a ＞1.综上可知，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，e 1e .导数在生活实际问题中应用【例3】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． [思路探究] (1)由C (0)＝8可求k 的值从而求出f (x )的表达式． (2)求函数式f (x )的最小值．[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5.而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52，令f ′(x )＝0，即2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．求解优化问题中的最小值问题的思路在实际生活中关于用料最省、费用最低、损耗最小、用时最短等问题，一般情况下都需要利用导数求解相应函数的最小值.若求出极值点注意根据实际意义舍去不合适的极值点后，函数在该点附近满足“左减右增”，则此时唯一的极小值就是所求的函数的最小值.[跟进训练]3．已知A ，B 两地相距200千米，一只船从A 地逆水航行到B 地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v 千米/时(8＜v ≤v 0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v ＝12千米/时时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船在静水中的航行速度v 应为多少？[解] 设船每小时航行所需的燃料费为y 1元，比例系数为k (k ＞0)，则y 1＝kv 2.∵当v ＝12时，y 1＝720，∴720＝k ·122，得k ＝5，则y 1＝5v 2.设全程燃料费为y 元，由题意，得y ＝y 1·200v －8＝1 000v2v －8，∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000vv －82.令y ′＝0，解得v ＝0(舍去)或v ＝16.若v 0≥16，当v ∈(8，16)时，y ′＜0，y 为减函数；当v ∈(16，v 0]时，y ′＞0，y 为增函数．故当v ＝16千米/时时，y 取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省．若v 0＜16，则v ∈(8，v 0]，且y ′＜0，y 在(8，v 0]上为减函数．故当v ＝v 0时，y 取得最小值，此时全程燃料费最省．综上可得，若v 0≥16，则当v ＝16千米/时时，全程燃料费最省，为32 000元；若v 0＜16，则当v ＝v 0时，全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．角度2 利润最大、效率最高问题 [探究问题]1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ [提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？ [提示] (1)利润＝收入－成本． (2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路探究] (1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值． [解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2，3＜x ＜6， 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3，4) 4 (4，6) f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值42↘由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．[跟进训练]4．某电子公司开发一种智能手机的配件，每个配件的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件，通过改进工艺，每个配件的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果每个配件的销售价提高的百分率为x (0＜x ＜1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2，记改进工艺后该电子公司销售该配件的月平均利润是y (元)．(1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，试确定该智能手机配件的售价，使电子公司销售该配件的月平均利润最大．[解] (1)改进工艺后，每个配件的销售价为20(1＋x )元，月平均销售量为a (1－x 2)件， 则月平均利润y ＝a (1－x 2)·[20(1＋x )－15](元)， ∴y 与x 的函数关系式为y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)． (2)y ′＝5a (4－2x －12x 2)，令y ′＝0，得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0＜x ＜12时，y ′＞0；12＜x ＜1时，y ′＜0，∴函数y ＝5a (1＋4x －x 2－4x 3)(0＜x ＜1)在x ＝12时取得极大值也是最大值，故改进工艺后，每个配件的销售价为20×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝30元时， 该电子公司销售该配件的月平均利润最大．1．运用零点存在性定理求解零点存在或者零点个数问题的关键是寻找合适的零点区间．本题还可以采取分离变量法把零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题．2．利用导数解决优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题． 解题的一般方法如下：(1)设出变量找出函数关系式，确定定义域；(2)若函数f (x )在定义域内只有一个极值点x 0，则不需与端点处函数值比较，f (x 0)即是所求的最大值或最小值．3．“恒成立”问题的解决往往要转化为函数的最值问题．1．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60 B [V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)，因为0＜x ＜60，所以当0＜x ＜40时，V ′(x )>0， 此时V (x )单调递增；当40<x <60时，V ′(x )<0，此时V (x )单调递减，所以V (40)是V (x )的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]2．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )为偶函数，且在(0，1)上存在极大值，则f ′(x )的图象可能为( )C[根据题意，f (x)为偶函数，则其导数f ′(x)为奇函数，结合函数图象可以排除B、D.又由于函数f (x)在(0，1)上存在极大值，则其导数图象在(0，1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负，结合选项可以排除A，只有C选项符合题意，故选C.]3．若方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则实数m的取值范围是( )A．[－2，2] B．[0，2]C．[－2，0] D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A[方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有解，则－m＝x3－3x，x∈[0，2]，求实数m的取值范围可转化为求函数的值域问题．令y＝x3－3x，x∈[0，2]，则y′＝3x2－3，令y′＞0，解得x＞1，因此函数在[0，1)上单调递减，在(1，2]上单调递增，又x＝1时，y＝－2；x＝2时，y＝2；x＝0时，y＝0，∴函数y＝x3－3x，x∈[0，2]的值域是[－2，2]，故－m∈[－2，2]，∴m∈[－2，2]，故选A.]4．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝13x3－392x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．40[由题设知y′＝x2－39x－40，令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，故函数y＝13x3－392x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0，40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.]。
矢量代数第二节数量场的方向导数和梯度
u d u .
(2.3)
l d s
12
l M1 M
M0 图2.9
C
13
证 设曲线C以s为参数的参数方程为 x=x(s),y=y(s),z=z(s),
则沿曲线C, 函数 u=u[x(s),y(s),z(s)].
又由于在点M处, 函数u可微, 曲线C光滑, 按 复合函数求导定理, 即得u对s的全导数
4) grad(uv)=u grad v + v grad u,
5)
grad
u v
1 v2
(vgrad
u
ugrad
v),
6) grad f(u)=f '(u)grad u,
7) grad f (u,v) f grad u f grad v.
u
v
35
例7 设有一温度场u(M), 由于场中各点的温
u | G | . l 因此将G叫做u(M)在给定点处的梯度.
24
(1) 梯度的定义 若在数量场u(M)中的一点M 处, 存在这样一个矢量G, 其方向为函数u(M) 在M点处变化率最大的方向, 其模也正好是 这个最大变化率的数值. 则称矢量G为函数 u(M)在点M处的梯度, 记作grad u, 即
grad u i 3 j 3k. M l l 2 i 2 j 1 k, |l| 3 3 3
u l
M
1
2 3
(3)
2 3
(3)
1 3
1 3
32
例5 求常数a,b,c之值, 使函数 u=axy2+byz+cz2x3在点M(1,2,1)处沿平行于 Oz轴方向上的方向导数取得最大值32. 解 grad u=(ay2+3cz2x2)i+(2axy+bz)j