高考数学 3.1.1导数与函数的单调性 北师大版选修2-2
高中数学 第三章 导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修2-2
（2）图像法
（3）导数法
K12课件
7
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内：
1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.
K12课件
6
结论：
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这
个区间内y ′ >0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数； 如果在这个区间内y ′ <0，那么y=f(x)为这个区间内的
减函数.
y ′ >0
增函数
判断函数单 调性
新疆
王新敞 奎屯
y ′ <0
减函数
判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
f(x) lim f(x Δx) f(x)
Δx0
Δx
K12课件
2
新课讲授
引例 区
已知函数y=x2－4x＋3,求证：这个函数在 间用(定2，义+法∞判)上断是函单数调单递调性增的的步. 骤：
（1）任取x1<x2 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形 （3）判断符号
（4）下结论 引入
函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化 的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增 加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究
单调性呢？
K12课件
3
增函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
x1 x2
x
减函数时有
f ( x1) f ( x2 ) 0也即 y 0
3.1.1导数与函数的单调性 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
§1 函数的单调性与极值1．1导数与函数的单调性(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现函数的单调性与导数的关系，探索研究其关系的方法；(2)运用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间．2．过程与方法通过对函数的单调性与导数的关系的探究学习，经历探索过程，提高归纳、抽象概括能力，体会数形结合研究函数的单调性与导数的关系，培养探索精神和创新意识．3．情感、态度与价值观(1)通过对函数的单调性与导数的关系的探究学习，体会从特殊实例到一般规律这一认识事物的规律和多角度认识和分析问题，培养发散思维能力；(2)通过本节的学习和运用实践，体会事物之间的联系，学习用联系的观点认识问题、解决问题，学习用数学的思维认识、解决问题．●重点难点重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间；难点：函数的单调性与函数的导数之间的关系的探究和理解．教学时，可借助具体实例发现函数单调性与导数之间的关系，然后可以从导数的几何意义给予直观解释，再结合单调性定义和导数定义从代数角度肯定这一关系，这样就能突破难点，同时加深对导数本质特征的认识．引导学生解答相应问题，掌握用导数研究函数的单调性和求函数单调区间的方法和步骤，强化重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学习了导数的概念和运算之后，是对概念和运算的进一步认识和运用；同时，作为研究函数的工具，本节也是用导数研究函数的重中之重．因此，使学生通过“运算——比较——归纳——概括”发现导数与单调性关系，并从“数”“形”两个角度对这一关系加以验证，是本节课教学的重点之一，故可采取探究式课堂教学模式，即教学中在具体问题的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，“以导数与函数的关系”为探究内容，让学生发现问题、提出问题、解决问题．●教学流程创设情境，提出问题，求具体函数f(x)的函数值并说明f(x)的变化情形.⇒学生探索自主解决.学生可以从导数的定义、几何意义等角度，说明导数的符号与函数单调性的关系.⇒师生交流，揭示规律.通过引导学生回答问题，理解函数的单调性与导数的关系.⇒通过例1及变式训练的解答，明确用导数研究函数单调性的步骤.⇒通过例2及变式训练，使学生明确利用导数的符号研究函数单调性.⇒通过例3及变式训练，训练学生逆向思维能力，及化归转化的数学思想.⇒归纳小结，整体认识本节知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈、矫正1．已知函数f (x )＝x 2－2x ，试求f ′(3)，并说明f ′(3)的几何意义及函数f (x )在x ＝3处的变化情形．【提示】 f ′(x )＝2x －2，故f ′(3)＝4.它表示曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线斜率．函数f (x )在x ＝3处的瞬时变化率为4，故在x ＝3附近单调递增．2．试在同一坐标系中画出上述函数f (x )和f ′(x )的图像，并分析f (x )的单调性与f ′(x )的关系．【提示】如图所示，f (x )的减区间为(－∞，1)，此时，f ′(x )<0；f (x )的增区间为(1，＋∞)，此时，f ′(x )>0.3．上述情形可以推广到一般情形吗？若能，请说明函数f (x )的单调性与其导函数f ′(x )的什么有关？若不能，请说明理由．【提示】 能．符号(或正负)如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )>0，则在这个区间上，函数y ＝f(x )是增加的；如果在某个区间内，函数y ＝f (x )的导数f ′(x )<0，则在这个区间上，函数y＝f (x )是减少的．(1)f (x )＝－x 3＋2；(2)f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1. 【思路探究】 求函数f (x )的定义域，并求导函数f ′(x )⇒ 解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0⇒判断f (x )的单调性并写出单调区间【自主解答】 (1)f ′(x )＝－3x 2<0，故f (x )在R 上单调递减．f (x )的减区间为(－∞，＋∞)；无增区间； (2)f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x ＋2)(x －1)．当f ′(x )>0，即x <－2或x >1时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0 ，即－2<x <1时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(1，＋∞)，单调减区间为(－2,1)．1．当f ′(x )＝0仅在孤立的点x 0处成立时，可将x 0并入增(或减)区间内；若f ′(x )＝0在(a ，b )内恒成立，则f (x )在(a ，b )内为常数函数，不增不减．2．导数法求单调区间的步骤：第一步：求函数f (x )的定义域，并求导函数f ′(x )； 第二步：解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0； 第三步：判断f (x )单调性，并求单调区间．求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调区间．【解】 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x.令f ′(x )＞0，解得x ＞12，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜12.∴函数f (x )的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1).试讨论函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3a的单调性．【思路探究】 先对函数f (x )求导，然后转化为含参数的一元二次不等式的问题；通过对参数的分类讨论求解．【自主解答】 由题意知：a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax (x －2a)，令f ′(x )＝0得3ax (x －2a)＝0.(1)当a >0时，2a>0，若x ∈(－∞，0)时，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，0)上是增函数；若x ∈(0，2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，2a )上是减函数．若x ∈(2a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(2a，＋∞)上是增函数．(2)当a <0时，2a <0，若x ∈(－∞，2a )，则f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，2a )上是减函数；若x ∈(2a ，0)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(2a，0)上是增函数；若x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )<0，所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 综上讨论可知：当a >0时，函数f (x )在(－∞，0)上是增函数；在(0，2a )上是减函数，在(2a，＋∞)上是增函数；当a <0时，函数f (x )在(－∞，2a)上是减函数；在(2a ，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．函数解析式中含有参数时，讨论其单调性(或求其单调区间)问题，往往要转化为解含参数的不等式问题，这时应对所含参数进行适当的分类讨论，做到不重不漏，最后要将各种情况分别进行表述．(2013·济宁高二检测)求函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1的单调区间． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )<0， 故f (x )在(0，＋∞)单调递减； 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，x ∈故f 在(【思路探究】 由f (x )在R 上是增加的，即在R 上，f ′(x )≥0恒成立，从而将问题转化为不等式恒成立问题．【自主解答】 ∵f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1，又∵f (x )在R 上是增加的，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立．即3ax 2－2x ＋1≥0在R 上恒成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13.当a ＝13时，f ′(x )＝x 2－2x ＋1＝0有且只有f ′(1)＝0，∴a ＝13适合题意．∴实数a 的取值范围为[13，＋∞)．1．一般地，最后要检验参数的取值能否使f ′(x )恒等于0.若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则由f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解．如本题中当a ＝13时的检验．2．已知单调性求字母取值的一般步骤： (1)先求f (x )的导数f ′(x )；(2)由单调性可知，f ′(x )在相应区间上恒正(恒负)，即f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)； (3)利用分离参数法或函数性质求参数的值； (4)对导数等于0单独验证说明．已知函数f (x )＝x 2＋ax(a ≠0，常数a ∈R)．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是增函数，求a的取值范围．【解】 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是增函数， ∴(2x 3)min ＝2×23＝16， ∴a ≤16.∴a 的取值范围是(－∞，16].分类讨论思想在用导数法 研究函数单调性中的应用(12分)已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋a (1－a )x ＋3，(a ∈R)．试讨论函数f (x )的单调性．【思路点拨】 求函数f (x )的导数f ′(x )⇒依据f ′(x )的图像，寻找分类依据，并分类⇒在各类中，分别研究函数f (x )的单调性【规范解答】 f ′(x )＝x 2－x ＋a (1－a )＝(x －a )[x －(1－a )]． (1)当a ＝1－a ，即a ＝12时，f ′(x )≥0恒成立，故f (x )在R 上是增加的.3分(2)当a >1－a ，即a >12时，由f ′(x )>0得x <1－a 或x >a ； 由f ′(x )<0得1－a <x <a .故f (x )在(－∞，1－a )上是增加的，在(1－a ，a )上是减小的，在(a ，＋∞)上是增加的.7分(3)当a <1－a ，即a <12时，由f ′(x )>0，得x <a 或x >1－a ， 由f ′(x )<0，得a <x <1－a ，故f (x )在(－∞，a )上是增加的，在(a,1－a )上是减小的，在(1－a ，＋∞)上是增加的.11分综上可知，当a <12时，f (x )在(－∞，a )上是增加的，在(a,1－a )上是减小的；在(1－a ，＋∞)上是增加的；当a ＝0时，f (x )在R 上是增加的；当a >12时，f (x )在(－∞，1－a )上是增加的，在(1－a ，a )上是减小的，在(a ，＋∞)上是增加的.12分1．用导数研究函数的单调性，主要考查导数的符号，因此，在解决具体问题时，可画。
3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－ 或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ， 为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ， ，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 解得a≥ . 3 1 当a＝ 时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝ ＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e
3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大版选修2-2)
x (2,3) 时，f ( x ) 0 则 f ( x )
∴ f ( x ) 2 x 3 3 x 2 36 x 16 的增区间为 ( ,2) 和 ( 3, ) ，减区间为 ( 2,3) 。 图形
2 2 f ( x ) 3 x 3 3 ( x 1) ∵ 解 : （ 1）
0
f ( x)
y log 0.5 x
1 y k切线 x ln 0.5
0
f ( x)
y x 的导数与其单调性又如何？？试描述其中关系。 2 yx
2
x ( ,0)时，
y k切线 2 x 0
f ( x ) 在 ( ,0)上
x (0,) 时， y k切线 2 x 0
再观察指数、对数函数的导数及单调性： x y y 2x 1 y y 2
x
y k切线 2 ln 2 0
x
f ( x)
(递增)
y k切线 0.5 x ln 0.5 0 f ( x) (递减)
x
y log 3 x
y k切线
1 x ln 3
y 6 x 1
y
y = 2x + 5
y=x
y = -3x + 4 的导数是-3 ，
是负数，其图像单调递减。 再画 y 0.5 x 2 ，
x
y= -0.4x + 1
y 0.5 x 2
y 6 x 1及 y 0.4 x 1
的图像，观察规律。
y = -3x + 4
引例
观察下列函数的导数，它们与函数的单调性是 否有关系？？
(1) y x , y 1
( 2) y 2 x 5 , y 2
高中高中数学北师大版选修2-2练习课件3.1.1 导数与函数的单调性(1)精选ppt课件
解析：令
y′＝10x－2>0，得
1 x>5.
答案：(15，＋∞)
5．求下列函数的单调区间：
(1)y＝23x3－2x2＋3；(2)y＝ln(2x＋3)＋x2.
解：(1)函数的定义域为R. y′＝2x2－4x＝2x(x－2)． 令y′>0，则2x(x－2)>0，解得x<0或x>2. 所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2， ＋∞)． 令y′<0，则2x(x－2)<0，解得0<x<2. 所以函数的单调递减区间为(0,2)．
(2)函数 y＝ln(2x＋3)＋x2 的定义域为(－32，＋∞)． y′＝2x＋2 3＋2x＝4x22＋x＋6x3＋2＝22x＋2x1＋3x＋1. 令 y′>0，解得－32<x<－1 或 x>－12. 所以函数的单调递增区间为 (－32，－1)，(－12，＋∞)．
令 y′<0，解得－1<x<－12. 所以函数的单调递减区间为(－1，－12)． 故 f(x)的单调增区间为(－32，－1)，(－12，＋∞)；单调 减区间为(－1，－12)．
答案：C
知识点二
求函数的单调区间
3.[2014·乌鲁木齐高二检测]函数f(x)＝x3－ 3x2＋1是减函数的区间为( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，0) D．(0,2)
解析：f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)<0.
答案：D
4．函数y＝5x2－2x的单调递增区间是 __________．
课后提升训练
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再见
A．充分而不必要条件
B．必要但不充分条件
高中数学 北师大选修2-2 3.1.1导数与函数的单调性
只需证
g(1) g(1)
0,0即11
a a
2 2
0, 0
解得
:
1
a
1
例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间．
(1) f (x) x3 3x
(2) f (x) x2 2x 3
(3) f (x) sin x x x (0, ) (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
解 : (1) f (x) x3 3x f (x) 3x2 3 3(x2 1) 0 因此, f (x) x3 3x在R上单调递增.如图1所示.
x 在(, 0)上单调递减,在(0, )上单调递减.
而y
1 x2
,因为x
0, 所以y
0.
再观察函数y=x2－4x＋3的图象：
y
0 ....2
.. .
该函数在区间（－∞，2） 上单减,切线斜率小于0, 即其导数为负;
在区间（2，+∞）上单 增,切线斜率大于0,即
x 其导数为正.
而当x=2时其切线斜率 为0,即导数为0. 函数在该点单调性发 生改变.
解: (3) f (x) sin x x x (0, ) f (x) cos x 1 0
因此,函数f (x) sin x x 在(0, )单调递减, 如图
解: (4) f (x) 2x3 3x2 24x 1
当f (x) 0,即
时,函数f (x) 2x3 3x2 24x 1
函数的单调性与导数的关系:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果f´(x)>0, 则f(x)在这个区间为增函数; 如果f´(x)<0, 则f(x)在这个区间为减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.
2018学年北师大版高中数学选修2-2课件：3.1.1导数与 函数的单调性 精品
若a=0, f (x) 1 0,此时f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
若a<0,则 f ( x) 3a( x
1 )( x 3a
1 3a
),易知此时f(x)
恰有三个单调区间.
故a<0,其单调区间是: 单调递增区间:(
v
v2
(v≠0).
引入
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1,x 2 ∈G 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在G 上是减函数；
从函数y=x2-4x+3的图像可以看到:
在区间(2,+∞)内,切线的斜率
为而正增,大函,即数y=>f(0x)时的,值函y随数着y=xf(的x)增在大
y
区间(2, +∞)内为增函数.
在区间(-∞,2)内,切线的斜
1 1
率增为大负而,减函小数,y即=f(x<)0的y时值,随函着数x的
o
－1
x
பைடு நூலகம்
y=f(x) 在区间(-∞,2)内为减函数.
3
3
因此, f(x)的递增区间是: (2k 2 ,2k 2 )(k Z);
3
3
递减区间是: (2k 2 ,2k 4 )(k Z ).
3
3
(2) f(x)=x/2-ln(1+x)+1
解:函数的定义域是(-1,+∞), f (x) 1
2016高考数学 3.1.1导数与函数的单调性课件 北师大版选修2-2
方法二:∵f'(x)=x2-ax+a-1,
由题意知 f'(x)≤0 在(1,4)上恒成立,f'(x)≥0 在(6,+∞)上恒成立.
1- + -1 ≤ 0,
'(1) ≤ 0,
∴ '(4) ≤ 0, ∴ 16-4 + -1 ≤ 0,
'(6) ≥ 0,
36-6 + -1 ≥ 0.
思路分析:构造函数 f(x)=x-ln(1+x),只要证明在 x∈(1,+∞)上,f(x)>0 恒
成立即可.
证明:设 f(x)=x-ln(1+x)(x>1).
1
∵f'(x)=1-1+ = +1,x>1,
∴f'(x)>0.
∴f(x)在(1,+∞)上是增加的.
又 f(1)=1-ln 2>1-ln e=0,
第三章 导数应用
§3.1
函数的单调性与极值
3.1.1 导数与函数的单调性
学习目标
思维脉络
1.结合实例,借助几
何直观探索函数的单调
性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的
单调性,会根据导数值的
变化规律说出函数值变
化快慢的规律.
3.会求不超过三次的多项
式函数的单调区间.
4.会利用导数解决单调性
的逆向求参问题.
当 x∈(0,1)时,图像在 x 轴的下方,表示在此区间上,原函数的图像呈下
降趋势,可排除 A 选项.故选 C.
答案:C
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
高中数学选修2-2 北师大版 3.1.1导数与函数的单调性学案
课题：§1.1 导数与函数的单调性学习目标：理解导数与函数的单调性的关系 学习重点：掌握利用导数判断函数单调性的方法 学习难点：会利用导数求函数的单调区间 一、预学部分【自主学习】要点回复1.基本初等函数的导数公式：①='C ②=)'(n x ③=)'(sin x ④=)'(cos x ⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则：①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf 新课知识 1、函数的单调性与导数之间的关系1.如图,导数ƒˊ(x 0)表示函数ƒ(x)在点(x 0,y 0)处的切线的斜率,在x=x 0处, ƒˊ(x 0)>0切线是“_________”式的,这时,函数ƒ(x)在x 0附近单调性递增;在x=x 1处,ƒˊ(x 1)<0切线是“______________”.式的,这时,函数ƒ(x)在x 1附近单调性递减.2、函数单调性与其导数正负的关系:在某个区间(a,b)内,如果_______________,那么函数y=ƒ(x)在这个区间内单调性递增;如果___________,那么函数y=ƒ(x)在这个区间内单调性递减;如果_____________,那么函数y=ƒ(x)在这个区间内是常数函数. 3、思考探究：（1）.若ƒˊ(x)=0,则ƒ(x)是常数函数,这种说法正确吗? （2）.函数y=x 3+2x 的递增区间是 ( )A. (0,+∞)B. (-∞,1)C. (-∞, +∞)D. (1,+∞)（3）.若一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间能用“∪”连接吗? （4）.函数的单调区间与函数的定义域有何关系? 4、求解函数单调区间的步骤: (1)确定函数y= ƒ(x)的定义域; (2)求导数y ˊ=ƒˊ(x);(3)解不等式ƒˊ(x)>0,解集在定义域内的部分为______________;(4)解不等式ƒˊ(x)<0,解集在定义域内的部分为____________________.二、导学模块 【合作探究】判断下列函数的单调性,并求出单调区间.1、ƒ(x)=x 3+23x 2+4x+1; 2、ƒ(x)=2cosx+x,x ∈(0,π)3、ƒ(x)=x-x 34、ƒ(x)=lnx-x.5、若函数y= x 2-2bx+b 在(2,8)内是增或减函数,试求实数b 的取值范围.6、当x > 0,求证e x >1+x.【拓展延伸】 高（中）考对接1.(2011·辽宁高考)函数ƒ(x)的定义域为R, ƒ(-1)=2对任意x ∈R, ƒˊ(x)>2,求ƒ(x)>2x+4的解集2. (2011·广东高考)设a>0,讨论函数ƒ(x)=lnx+a(1-a)x 2-2(1-a)的单调性.三、固学提高【课堂检测】1.函数ƒ(x)=(x-3) e x的单调递减区间是 ( )A. (-∞,2)B. (0,3)C. (1,4)D. (2,+∞)2.已知函数ƒ(x)=x 2-ax 在区间[1,2]上为增函数,则实数a 的取值范围是____________.3.若在区间[a,b]内有ƒˊ(x)>0,且ƒ(a)≥0,则在(a,b)内有 ( ) A. ƒ(x)>0 B. ƒ(x)<0 C. ƒ(x)=0 D. 不能确定4.已知函数ƒ(x)=xlnx 则 ( )A. 在(0,＋∞)上递增B. 在(0,＋∞)上递减C. 在(0,e 1)上递增 D. 在(0,e1)递减 5.已知a>0,函数ƒ(x) = -x 3+ax 在[2, ＋∞)上单调递减,则a 的最大值为__________.6.求函数ƒ(x)= e x-e1x 的单调区间.课后反思。
数学高中北师大版选修2-2课后习题：3.1.1 导数与函数的单调性
第三章DISANZHANG 导数应用§1 函数的单调性与极值1.1 导数与函数的单调性课后训练案巩固提升A 组1.函数y=x sin x+cos x 在区间( )内是增函数,括号内为( )A.(π2,32π) B.(π,2π) C.(32π,52π)D.(2π,3π)解析:∵y'=sin x+x cos x-sin x=x cos x ,∴当x ∈(32π,52π)时,y'=x cos x>0. 答案:C2.函数y=f (x )在定义域(-32,3)内可导,其图像如图所示,记y=f (x )的导函数为y=f'(x ),则不等式f'(x )≤0的解集为( ) A.[-13,1]∪[2,3] B.[-1,12]∪[43,83] C.[-32,12]∪[1,2] D.(-32,-1)∪[12,43]∪[83,3]解析:∵f'(x )<0,∴函数y=f (x )在对应的区间上是减少的,结合函数图像可知,不等式f'(x )≤0的解集为[-13,1]∪[2,3]. 答案:A3.设函数f (x )=ln(1+x )-x ,记a=f (1),b=f (3),c=f (√7),则( ) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<cD.a<c<b解析:∵f'(x )=[ln(1+x )-x ]'=11+x -1=-x1+x 且f (x )的定义域为(-1,+∞),∴由-x 1+x >0,得-1<x<0,即f (x )在(-1,0)上是增加的,由-x1+x <0,得x>0,即f (x )在(0,+∞)上是减少的.又∵0<1<√7<3,∴f (3)<f (√7)<f (1),即b<c<a.答案:B4.设函数f (x )=12x 2-9ln x 在区间[a-1,a+1]上是减少的,则实数a 的取值范围是( ) A.(1,2] B.[4,+∞) C.(-∞,2]D.(0,3]解析:∵f (x )=12x 2-9ln x ,∴f'(x )=x-9x (x>0).令x-9x≤0,解得0<x ≤3,即函数f (x )在(0,3]上是减少的,∴a-1>0且a+1≤3,解得1<a ≤2. 答案:A5.已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)=1,且f (x )的导函数f'(x )<12,则f (x )<x 2+12的解集为( ) A.{x|-1<x<1}B.{x|x<-1}C.{x|x<-1或x>1}D.{x|x>1} 解析:设g (x )=f (x )-x2−12,∵g'(x )=f'(x )-12<0, ∴g (x )在R 上是减少的. ∵g (1)=f (1)-12−12=1-1=0,∴g (x )=f (x )-x2−12<0的解集为{x|x>1}.故选D . 答案:D6.若函数f (x )=x 3-3ax 2-bx ,其中a ,b 为实数,f (x )在区间[-1,2]上是减少的,且b=9a ,则a 的取值范围是 .解析:∵f'(x )=3x 2-6ax-b ≤0对∀x ∈[-1,2]恒成立,且b=9a ,∴f'(x )=3x 2-6ax-9a ≤0,x ∈[-1,2],即对∀x ∈[-1,2],有x 2-2ax-3a ≤0.∵2x+3>0,∴a ≥x 22x+3对[-1,2]内的x 恒成立.∴a ≥1.答案:a ≥17.若函数f (x )=x 3-mx 2-2m 2-5的递减区间是(-9,0),则m= . 解析:f'(x )=3x 2-2mx ,∵f'(x )<0,即3x 2-2mx<0的解集是(-9,0),∴2m 3=-9,m=-272. 答案:-2728.已知函数y=f (x )(x ∈R )上任一点(x 0,f (x 0))处切线的斜率k=(x 0-2)(x 0+1)2,则该函数的递减区间为 .解析:由于切线的斜率就是其该点的导数值,所以由题意知f'(x )=(x-2)(x+1)2<0⇒x<2.故递减区间为(-∞,2). 答案:(-∞,2)9.求下列函数的单调区间. (1)y=12x 2-ln x ;(2)y=x 3-2x 2+x ; (3)f (x )=a x -a -x (a>0,且a ≠1). 解(1)函数的定义域为(0,+∞),∵y=1x 2-ln x ,∴y'=x-1=x 2-1. ①令y'>0,即x 2-1>0, 又∵x>0,∴{x 2-1>0,x >0.∴x>1.②令y'<0,即x 2-1<0, 又∵x>0,∴x 2-1<0.∴0<x<1.∴函数y=f (x )的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).(2)∵y=x 3-2x 2+x ,∴y'=3x 2-4x+1,定义域为R ,①令3x 2-4x+1>0,得x>1或x<13.②令3x 2-4x+1<0,得13<x<1.∴函数y=x 3-2x 2+x 的递增区间为(-∞,13)和(1,+∞),递减区间为(13,1).(3)函数的定义域为R .f'(x )=a x ln a-a -x ln a ·(-x )'=ln a (a x +a -x ). 当a>1时,ln a>0,a x +a -x >0,∴f'(x )>0.∴函数y=f (x )在(-∞,+∞)上是增加的.当0<a<1时,ln a<0,a x +a -x >0,∴f'(x )<0.∴函数y=f (x )在(-∞,+∞)上是减少的.10.导学号88184033已知函数f (x )=ln x ,g (x )=ax(a>0),设F (x )=f (x )+g (x ).(1)求F (x )的单调区间.(2)若以y=F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0,y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立,求实数a 的最小值. 解(1)F (x )=f (x )+g (x )=ln x+ax (x>0),F'(x )=1x −ax 2=x -ax 2(x>0).∵a>0,由F'(x )>0得x ∈(a ,+∞). ∴F (x )在(a ,+∞)上是增加的.由F'(x )<0得x ∈(0,a ),∴F (x )在(0,a )上是减少的.∴F (x )的递增区间为(a ,+∞),递减区间为(0,a ).(2)∵F'(x )=x -ax 2(0<x ≤3),∴k=F'(x 0)=x 0-ax 02≤12(0<x 0≤3)恒成立,即a ≥(-12x 02+x 0)max,当x 0=1时,-12x 02+x 0取得最大值12,∴a ≥12.故a min =12. B 组1.下列命题正确的是( )A.若f (x )在(a ,b )上是增加的,则对任意x ∈(a ,b )都有f'(x )>0B.若在(a ,b )上对任意x 都有f'(x )>0,则f (x )在(a ,b )上是增加的C.若f (x )在(a ,b )上是单调函数,则f'(x )也是单调函数D.若可导函数f (x )在(a ,b )上有f'(x )<0,则在(a ,b )上有f (x )<0解析:根据导函数的符号与函数的单调性之间的关系可知B 正确;对于A,可能存在x 0∈(a ,b ),使得f'(x 0)=0;因为f'(x )的单调性与f (x )的单调性的关系不确定,所以C 不正确;因为f'(x )与f (x )的符号关系不确定,所以D 不正确. 答案:B2.f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足:f (x )的导函数存在,且f (x )f '(x )<x ,则下列不等式成立的是( )A.f (2)<2f (1)B.3f (3)<4f (4)C.2f (3)<3f (4)D.3f (2)<2f (3)解析:∵f (x )在(0,+∞)上是增加的,∴f'(x )>0在(0,+∞)上恒成立. ∴f (x )f '(x )<x 可化成xf'(x )-f (x )>0.设g (x )=f (x )x,则g'(x )=xf '(x )-f (x )x 2>0. ∴g (x )在(0,+∞)上是增加的.故g (3)>g (2),即f (3)3>f (2)2, 即2f (3)>3f (2).故选D . 答案:D3.若函数f (x )的导函数f'(x )=x 2-4x+3,则函数f (1+x )的递减区间是 . 解析:∵f'(x )=x 2-4x+3,∴f'(1+x )=(1+x )2-4(1+x )+3=x 2-2x.由f'(1+x )<0得0<x<2, 即f (1+x )的递减区间为(0,2). 答案:(0,2) 4.导学号88184034已知向量a =(x 2,x+1),b =(1-x ,t ),若函数f (x )=a ·b 在(-1,1)上是增加的,求t 的取值范围.解(方法一)由题意得f (x )=x 2(1-x )+t (x+1)=-x 3+x 2+tx+t ,则f'(x )=-3x 2+2x+t.若f (x )在(-1,1)上是增加的,则在(-1,1)上有f'(x )≥0.∴f'(x )≥0⇔t ≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立.考虑函数g (x )=3x 2-2x ,由于g (x )的图像是对称轴为x=13,开口向上的抛物线,故要使t ≥3x 2-2x 在区间(-1,1)上恒成立⇔t ≥g (-1),即t ≥5.故t 的取值范围是t ≥5.(方法二)由题意得f (x )=x 2(1-x )+t (x+1)=-x 3+x 2+tx+t ,则f'(x )=-3x 2+2x+t. 若f (x )在(-1,1)上是增加的,则在(-1,1)上f'(x )≥0.∵f'(x )的图像是开口向下的抛物线,∴当且仅当f'(1)=t-1≥0,且f'(-1)=t-5≥0时,f'(x )在(-1,1)上满足f'(x )>0,即f (x )在(-1,1)上是增加的.故t 的取值范围是t ≥5. 5.导学号88184035已知f (x )=alnx x+1+bx ,曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为x+2y-3=0.(1)求a ,b 的值.(2)求证:当x>0,且x ≠1时,f (x )>lnxx -1.(1)解∵f'(x )=a (x+1x -lnx )(x+1)2−bx 2, 由题意知{f (1)=1,f '(1)=-12,即{b =1,a-b =-1,∴a=b=1.(2)证明由(1)知f (x )=lnxx+1+1x ,∴f (x )-lnx x -1=11-x 2(2lnx -x 2-1x). 设h (x )=2ln x-x 2-1(x>0),则h'(x )=-(x -1)22,当x ≠1时,h'(x )<0,而h (1)=0,故当x ∈(0,1)时,h (x )>0;当x ∈(1,+∞)时,h (x )<0,所以11-x 2·h (x )>0,从而当x>0,且x ≠1时,f (x )-lnxx -1>0,即f (x )>lnx x -1.由Ruize收集整理。
数学北师大版选修2-2教材基础3.1.1导数与函数的单调性含答案
第三章导数应用
走进学科思想
要想应用导数解决好实际问题,关键是先将实际问题转化为数学问题，再通过对导数知识的熟练掌握和运用来解决实际问题,导数在各类题型中的应用已越来越广泛了,已逐渐由解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题时的必不可少的工具。
此外,学习中还要注意数形结合。
导数是依照实际问题为背景提出的概念。
利用函数的导数可以研究函数的性质,诸如单调性、极值点、凹凸性、函数的渐进线、画图像等,它可以给中学里解决数学问题拓展新的思路,可以使得有些数学问题得到简化.
本章导读
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
导数是依照实际问题为背景提出的概念。
利用函数的导数可以研究函数的许多性质，这节课我们就利用导数来研究函数的单调性.高手支招1细品教材
一、函数的单调性
状元笔记
如何判断一个函数是增函数还是减函数呢？
可以根据定义,在区间内任取两个数x1,x2,先假设x1＜x2,然后比较f(x1）与f(x2)的大小,f（x1）＜f（x2)则是增函数；f(x1）＞f(x2）则是减函数。
1。
增函数和减函数
（1）增函数：对于任意的两个数x1，x2∈I,如果当x1＜x2时，都有f （x1)＜f（x2），那么函数f（x)就是区间I上的增函数。
(2)减函数:对于任意的两个数x1，x2∈I,如果当x1＜x2时,都有f（x1)＞f（x2），那么函数f(x）就是区间I上的减函数。
2。
函数的单调性
如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说f(x）在这个区间上具有单调性.
二、用导数判断函数单调性的法则
状元笔记。
高中数学3.1.1导数与函数的单调性(二)教案北师大选修2-2
3.1.1 导数与函数的单调性教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用。
二．新课讲授1．问题：图3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t 的图像，图 3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t 的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t ．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t ．2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．（图 3.3-3）在0x x 处，'0()0f x ，切线是“左下右上”式的，这时，函数()f x 在0x 附近单调递增；在1x x 处，'0()0f x ，切线是“左上右下”式的，这时，函数()f x 在1x 附近单调递减．结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x ，那么函数()y f x 在这个区间内单调递增；如果'()0f x ，那么函数()y f x 在这个区间内单调递减．说明：（1）特别的，如果'()0f x ，那么函数()y f x 在这个区间内是常函数．3．求解函数()y f x 单调区间的步骤：（1）确定函数()y f x 的定义域；（2）求导数''()y f x ；（3）解不等式'()0f x ，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式'()0f x ，解集在定义域内的部分为减区间．三．典例分析例1．已知导函数'()f x 的下列信息：当14x 时，'()0f x ；当4x ，或1x 时，'()0f x ；当4x ，或1x 时，'()0f x 试画出函数()y f x 图像的大致形状．解：当14x 时，'()0f x ，可知()y f x 在此区间内单调递增；当4x ，或1x 时，'()0f x ；可知()y f x 在此区间内单调递减；当4x ，或1x 时，'()0f x ，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．综上，函数()y f x 图像的大致形状如图 3.3-4所示．例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．（1）3()3f x x x ；（2）2()23f x x x （3）()sin (0,)f x x x x ；（4）32()23241f x x x x 解：（1）因为3()3f x x x ，所以，'22()333(1)0f x x x 因此，3()3f x x x 在R 上单调递增，如图 3.3-5（1）所示．（2）因为2()23f x x x ，所以，'()2221f x x x 当'()0f x ，即1x 时，函数2()23f x x x 单调递增；当'()0f x ，即1x 时，函数2()23f x x x 单调递减；函数2()23f x x x 的图像如图 3.3-5（2）所示．（3）因为()sin (0,)f x x x x ，所以，'()cos 10f x x 因此，函数()sin f x x x 在(0,)单调递减，如图 3.3-5（3）所示．（4）因为32()23241f x x x x ，所以．当'()0f x ，即时，函数2()23f x x x ；当'()0f x ，即时，函数2()23f x x x ；函数32()23241f x x x x 的图像如图 3.3-5（4）所示．注：（3）、（4）生练例3．如图 3.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像．分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快．反映在图像上，（A ）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．解：1,2,3,4B A D C思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3.3-7所示，函数()y f x 在0,b 或,0a 内的图像“陡峭”，在,b 或,a 内的图像“平缓”．例4．求证：函数3223121y x x x 在区间2,1内是减函数．证明：因为'22661262612yx x x x x x 当2,1x 即21x 时，'0y ，所以函数3223121y x x x 在区间2,1内是减函数．说明：证明可导函数f x 在,a b 内的单调性步骤：（1）求导函数'f x ；（2）判断'f x 在,a b 内的符号；（3）做出结论：'0f x 为增函数，'0f x 为减函数．例5．已知函数232()4()3f x x ax x x R 在区间1,1上是增函数，求实数a 的取值范围．解：'2()422f x ax x ，因为f x 在区间1,1上是增函数，所以'()0f x 对1,1x 恒成立，即220xax 对1,1x 恒成立，解之得：11a 所以实数a 的取值范围为1,1．说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ；若函数单调递减，则'()0f x ”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．例6．已知函数y =x +x 1，试讨论出此函数的单调区间.解：y ′=(x +x 1)′=1－1·x －2=222)1)(1(1x x x xx 令2)1)(1(x x x ＞0.解得x ＞1或x ＜－1.∴y =x +x 1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令2)1)(1(xx x ＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +x1的单调减区间是(－1，0)和(0，1)四．课堂练习1．求下列函数的单调区间1.f (x )=2x 3－6x 2+72.f (x )=x 1+2x 3.f (x )=sin x , x ]2,0[ 4. y=xlnx 2．课本练习五．回顾总结（1）函数的单调性与导数的关系（2）求解函数()y f x 单调区间（3）证明可导函数f x 在,a b内的单调性。
【创新设计】高中数同步课件：3.1.1 导数与函数的单调性 (北师大版选修22)
课堂讲练互动
2．导函数绝对值大小对函数变化快慢的影响： 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那 么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较 “陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“ 平缓 ”一 些．
课前探究学习
课堂讲练互动
3．利用导数求函数的单调区间 利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)； (3)由f′(x)>0(或f′(x)<0)，解出相应的x的范围．当f′(x)>0时，f (x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应区间 上是减函数． (4)结合定义域写出单调区间．
课前探究学习
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题型三 已知函数单调性求参数范围
【例3】 (12分)已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝12ax2＋2x，a≠0. (1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值 范围； (2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减， 求a的取值 范围． 审题指导 解答本题首先确定h(x)的定义域为(0，＋∞)． (1)h(x)存在单调减区间，则f′(x)<0在(0，＋∞)上有解． (2)h(x)在[1,4]上递减，即h′(x)≤0在x∈[1,4]上恒成立．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练1】 求下列函数的单调区间： (1)y＝x－ln x； (2)y＝21x. 解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)， y′＝1－1x，令1－1x>0，得x>1. 因此(1，＋∞)是函数的单调增区间． 再令1－1x<0，解得0<x<1， 因此(0,1)是函数的单调减区间．
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