三角形各种心的向量性质

1、三角形重心的向量性质：0=++OC OB OA ．

2、三角形外心的向量性质：||||||OC OB OA ==．

3、三角形垂心的向量性质：OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅．

4、三角形内心的向量性质：0=++OC c OB b OA a ． 证明：内心是内角分线的交点，

c AB ，b AC 是AB ，AC 方向上的单位向量， 所以+c AB b

AC 平分BAC ∠， 又AO 平分BAC ∠， 所以AO 与+c AB b

AC 共线， 由共线定理知AO +=c AB (λ)b AC ， 所以AB AO ⋅+=c AB (λAB b AC ⋅)， 所以)(2b

AB AC c AB AB AO ⋅+=⋅λ， )cos 1(cos cos 22A c A c c b

A bc c c b A

B A

C c AB +=+=+=⋅+， 由于AO 在AB 方向上的投影是AF ， 所以2

tan 2tan ||||||A rc c A OF AB AF AB AO =⋅==⋅， 所以)cos 1(2tan A c A rc

+=λ， 所以)cos 1(2tan A A r +=λ， 而A A A A A A

A A sin 2cos 2sin 22cos 22

cos 2sin

)cos 1(2tan 2==⋅=+， 所以A

r sin =λ， 根据r c b a A bc S ⋅++==∆2sin 21，知道c b a bc A r ++=sin ， c b a F E D O

C

B A

所以c

b a b

c ++=

λ， 将之代入AO +=c AB (λ)b

AC ，并整理得：AC c AB b AO c b a +=++)(， 由于OA OB AB -=，OA OC AC -=， 所以)()()(OA OC c OA OB b AO c b a -+-=++， 进一步整理即可得证．