2007年高考真题试卷(北京卷)数学(理科)参考答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1．Ｃ 2．Ｂ 3．Ｄ 4．Ａ 5．Ｂ 6．Ｄ

7．Ａ 8．Ｄ

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．i - 10．211n - 3 11．

102

12．(23)，

13．

725

14．1

2

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

15．（共13分） 解：（I ）12a =，22a c =+，323a c =+， 因为1a ，2a ，3a 成等比数列， 所以2(2)2(23)c c +=+， 解得0c =或2c =．

当0c =时，123a a a ==，不符合题意舍去，故2c =． （II ）当2n ≥时，由于

21a a c -=， 322a a c -=，

1(1)n n a a n c --=-，

所以1(1)[12(1)]2

n n n a a n c c --=+++-=

．

又12a =，2c =，故2

2(1)2(23)n a n n n n n =+-=-+= ，

，． 当1n =时，上式也成立，

所以2

2(12)n a n n n =-+= ，，

． 16．（共14分） 解法一：

（I ）由题意，C O A O ⊥，B O A O ⊥，

B O

C ∴∠是二面角B A O C --是直二面角，

又 二面角B A O C --是直二面角， C O B O ∴⊥，又AO BO O = ，

C O ∴⊥平面AO B ，

又C O ⊂平面C O D ．

∴平面C O D ⊥平面AO B ．

（II ）作D E O B ⊥，垂足为E ，连结C E （如图），则D E AO ∥，

C D E ∴∠是异面直线A O 与C D 所成的角．

在R t C O E △中，2C O BO ==，112

O E B O ==，

2

2

5CE CO OE

∴=

+=．

又132D E A O ==

．

∴在R t C D E △中，515tan 3

3

C E C

D

E D E

=

=

=

．

∴异面直线A O 与C D 所成角的大小为15arctan

3

．

（III ）由（I ）知，C O ⊥平面AO B ，

C D O ∴∠是C D 与平面AO B 所成的角，且2tan O C C D O O D

O D

=

=

．

当O D 最小时，C D O ∠最大， 这时，O D AB ⊥，垂足为D ，3O A O B O D A B

=

=

，23tan 3

C D O =

，

C D ∴与平面AO B 所成角的最大值为23arctan

3

．

解法二： （I ）同解法一．

（II ）建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则(000)O ，，，(0023)A ，，，(200)C ，，，(013)D ，，，

(0023)O A ∴= ，，，(213)C D =- ，，，

cos O A C D

O A C D O A C D

∴<>=

，

664

2322

== ．

O

C

A

D

B

x

y

z O

C

A

D

B

E

∴异面直线A O与C D 所成角的大小为

6 arccos

4

．

（III）同解法一

17．（共14分）

解：（I）因为A B边所在直线的方程为360

x y

--=，且A D与A B垂直，所以直线A D的斜率为3

-．

又因为点(11)

T-，在直线A D上，

所以A D边所在直线的方程为13(1)

y x

-=-+．

320

x y

++=．

（II）由

360

32=0

x y

x y

--=

⎧

⎨

++

⎩

，

解得点A的坐标为(02)

-

，，

因为矩形A B C D两条对角线的交点为(20)

M，．

所以M为矩形A B C D外接圆的圆心．

又22

(20)(02)22

AM=-++=．

从而矩形A B C D外接圆的方程为22

(2)8

x y

-+=．

（III）因为动圆P过点N，所以P N是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以22

PM PN

=+，

即22

PM PN

-=．

故点P的轨迹是以M N

，为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．

因为实半轴长2

a=，半焦距2

c=．

所以虚半轴长222

b c a

=-=．

从而动圆P 的圆心的轨迹方程为

22

1(2) 22

x y

x

-=-

≤．

18．（共13分）

解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．

（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为110250340230

2.3

100100

⨯+⨯+⨯

==．

（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为