第八章理想流体有旋流动和无旋流动演示文稿
工程流体力学讲义
强制涡
r r0
ω
复合涡
自由涡
1.速度分布
前面已讨论过涡核内外的速度分布：
涡内：
与半径成正比如图
。由于
Hale Waihona Puke 这部分流体有旋。涡外：
与半径r成反比。
在时
当 不变 处 的 为常数
2、压力分布： 自由涡：由于是无旋流动，在自由涡中 任取一点与无穷远处写伯努利方程：
忽略位能
若
则
将
代入
在自由涡中 p与r 成平方关系,(抛物线）
3.点源的压力分布 在源上任取一点与无穷远处写能量方程
将 ， 代入
有
p
P与r成抛物线正比。r
p;r p
r r0
三、点涡
点涡：无限长的直 线涡束所形成的平 面流动。除涡线本 身有旋外涡线外的 流体绕涡线做等速 圆周运动且无旋。
这种流动也称纯环流。若设点涡的强度
为
则在半径r处由点涡所诱导的速
度为 而
例2：求有间断面的平行流的速度环量 Γ＝？
4
3
b
1L 2
u1 u2
例3：龙卷风的速度分布为 时
时
试根据 stokes law 来判断是否为有 旋流动。
如图，当
，流体以ω象刚体一样转
动，称风眼或强迫涡（涡核）。
在
区域，流体绕涡核转动，流体
质点的运动轨迹是圆但本身并没有旋转
称之为自由涡或势涡。
强制涡
y
d
c
vu
a
b
c’ d’
Δα
b’
a’ Δβ
定义：单位时间内ab、cd转过的平均角度
称角变形速度，用 θ表示。 由定义有：
第八章 势流
称函数ψ为流函数。注意到Oxy平面的流动只有速度分量 ux和 uy，且它们都只是x和y的函数，由式(8.3a)知涡量 V 只有z方向的分量
17
第八章 势流
u x x y
(8.16b)
15
第八章 势流
速度势函数等于常数的曲线称为等势线。平面内由于x 和y的微小变化而引起的速度势函数φ=φ(x，y)的变化为
在等势线上φ等于常数，dφ =0，则有
d u x dx u y dy dx dy x y
0 u x dx u y dy
等势线斜率
V 0
即以速度势函数φ的梯度表示的速度场为势流场。
8
第八章 势流
将式(8.5)代入不可压缩流动的连续方程，▽· V= ▽· ▽ φ=0，即 2 0 0 (8.6) 或 在直角坐标系中上式可写为
2 2 2 0 2 2 2 x y z
V 0
(8.4)
2
第八章 势流
§8-1 势流
无旋流动或势流是指涡量等于零的流动。由式(8.3a)， 一个流体微元绕z轴的旋转角速度
1 1 u y u x z z 2 2 x y
上式的物理意义可理解为一个矩形流体微元的两个相互垂直 的边(分别平行于x轴和y轴)各自绕z轴的旋转角速度的算术平 均值(图3.13)，旋转就是物质线元随时间连续改变其空间朝 向或方位。一个流动是否有旋或涡量是否等于零，要看流体 微团在运动过程中是否改变其空间方位，而与流体微团的运 动轨迹无关。
c11 c22
也是方程(8.7)的解，式中c1和c2是不全为零的任意常数。
七、理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动7-1 试证明极坐标中的不可压缩流体平面流动的旋转角速度为)1(21θωθθ∂∂-+∂∂=r z v r r v r v7-2 已知流场的速度分布为（1）yxy v y x x v y x 22,422--=-+=； （2）y x v x z v z x v z y x +=+=+=,,；（3）0,/=-=θv r k v r ；（4）θθθθ2sin 2,cos sin 2r v r v r -== 试确定：（1）流动是否连续；（2）流动是否有旋。
[连续，有旋；连续，无旋；连续，无旋；连续，有旋]7-3 不可压缩流体平面势流的流函数为1032+-+=y x xy ψ，试求其速度势。
[y x y x 232/)(22---=ϕ] 7-4 不可压缩流体平面势流的速度势为 x y x +-=22ϕ，试求其流函数。
[y xy +=2ψ] 7-5 已知有旋流动的速度场为,32,32,32y x v x z v z y v z y x +=+=+= 试求旋转角速度、角变形速度和涡线方程。
[z y x z y x z y x =========;2/5;3,2/12/1γγγωωωω]7-6 已知流场的速度分布为（1）x v x =， y v y -=；（2）x y x v x +-=22， )2(y xy v y +-=；（3）θcos )/11(2r v r -=，θθsin )/11(2r v +-= 试确定：（1）流动是否有势；（2）它们的速度势和流函数。
[有势，2/)(22y x -=ϕ，xy =ψ；有势，223)2/1(2/3/y x x x +-+=ϕ，y x x y )(3/23++-=ψ；有势，θϕcos )/11(2r r +=，θψsin )/11(2r r -=] 7-7 已知流场的流函数为（1）xy =ψ；（2）22y x -=ψ试确定：（1）二流场是否有势，若有势，求出速度势；（2）通过点)3,2(A 和点)7,4(B 的任意曲线的流量和沿该线的切向速度线积分。
有旋流动和无旋流动_1~9
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
Y方向速度： vy
Z方向速度：
vx
vx
vx dt
y
v x dx v x dy x 2 y 2
vz
vx
v x dx vx dy v x dz x 2 y 2 z 2
vx vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx vx dx vx dy vx dz x 2 y 2 z 2
E
vx
vx dx v x dy v x dz x 2 y 2 z 2
vy
vx
v y dx v y dy x 2 y 2
v x dx v x dy x 2 y 2
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
Y方向速度：
y
vy
vy
v y dx v y dy x 2 y 2
vx
vx
v x dx v x dy x 2 y 2
(
(
y
v y dy dy )(v y )dzdx y 2 y 2
z轴方向流体的净流入量：
( v z dz v z dz )dxdy ( v z )dxdydz z z z
o
z
x
每秒流入微元六面体的净流体质量
x轴方向流体的净流入量：
( v x dx v x dx )dydz ( v x )dxdydz x x x
dz v dz )( v z z )dxdy z 2 z 2
第八章 旋转水射流
第八章 旋转水射流第一节 概 述所谓旋转射流是指在射流喷嘴不旋转的条件下产生的具有三维速度的、射流质点沿螺旋线轨迹运动而形成的扩散式射流，也称之为旋动射流。
这种射流与常规的普通圆射流的主要不同点在于其外形呈明显扩张的喇叭状，具有较强的扩散能力和卷吸周围介质参与流动的能力，并能够形成较大的冲击面积，产生良好的雾化效果。
旋转射流作为一种特殊射流，早巳被用于工农业生产中。
喷洒农药的雾化器就是一个典型实例，液体农药通过管道被压到一个装有旋流片的雾化器中，使农药液流产生高速旋转，并喷出雾化器，达到雾化农药的目的。
工程技术中常常利用旋风原理来组织燃烧炉中的燃烧过程，如旋风燃烧室、旋风预燃室等。
因为燃料的燃烧过程可分为三个基本阶段：燃料与助燃空气的混合、燃料与空气的混合物升温到藉火温度，以及燃烧反应过程。
燃烧反应过程也就是燃料和空气中氧气之间进行的氧化过程，这个阶段实际上是瞬间完成的。
而前两个阶段则需要较长的时间。
因此，组织混合的过程决定着整个燃烧过程和火焰的特性，从而决定着炉膛内的温度分布和对工艺要求的适应程度。
在旋风燃烧室或顶燃室中，由于旋转射流能使流体质点以较高的速度旋转前进，形成扩散，产生一定程度的雾化，并且在强旋射流的内部形成一个回流区．旋转射流不但从射流外侧卷吸周围介质，而且还从回流区中卷吸介质，故它有较好的“抽气”能力，使大量的高温烟气回流到火炬根部，使燃料与空气充分掺混 ，提高温度和浓度的均匀分布程度，保证燃料顺利着火和火炬稳定燃烧，提高燃烧效率。
另外，在石油钻并工程中使用的固控设备(如除砂器、除泥器、离心机等)，也是利用旋转流体的离心力原理将流体中的因相颗粒进行分离清除，以保持洗井浓的性能，满足钻井过程中的安全快速钻进之需要，旋转射流的流动见图8·1所示。
通常用圆柱坐标来描述旋转射流的运动，将射流各质点的流速分解为三个v w分量：轴向流速u，径向流速和切向流速，这三个流速分量的时均流场和脉动流场就可表示旋转射流的运动状态。
流体力学课件
第九章: 第九章:相似理论
§9 - 1 §9 - 2 §9 - 3 §9 - 4 相似概念 相似理论 方程分析法 因次分析法与定理
第十章:粘性流体一元流动 第十章:
§10-1 1010§10-2 10§10-3 10§10-4 10§10-5 10§10-6 管路计算基本方程式 流体的两种流动状态几判别方法 圆管中的层流运动 湍流流动及其特征 直圆管中的湍流运动 沿程阻力系数
当微矩形面积的数目趋于无限多， 当微矩形面积的数目趋于无限多，相应微 分面积趋向于零时， 分面积趋向于零时，其外边界趋向于这条封闭 曲线Ｃ。可以得到： 曲线Ｃ。可以得到： Ｃ。可以得到 Γ C = 2 ∫∫ ω n d σ = 2 J
在曲面σ上任取微分面积dσ， 在曲面σ上任取微分面积dσ， 法线分量 dσ ω 为ωｎ， Ｊ＝ω 则 dＪ＝ωndσ 为dσ上的旋涡强度 dσ上的旋涡强度 上的 若将d 若将dＪ沿σ面积分，则得 面积分， 穿过σ面的旋涡强度： 穿过σ面的旋涡强度：
J =
r
(5(5-2)
∫∫ σ
ω
n
dσ
（5 －3 ）
Γc =
∫
V s d s （5 －9 ） c
速度环量的计算： 速度环量的计算： 1.若已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量 若已知速度场， 若已知速度场 ★ 对于无旋场 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ Γ AB = ∫ Vx dx + Vy dy + Vz dz = ∫ dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z AB AB
@
旋涡运动理论广泛地应用于工程实际, 机翼、 旋涡运动理论广泛地应用于工程实际 机翼、 螺旋桨理论就是以旋涡理论为基础的。 螺旋桨理论就是以旋涡理论为基础的。旋涡与 船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。 船体的阻力、振动、噪声等问题密切相关。 旋涡的产生： 与压力差、 旋涡的产生： 与压力差、质量力和粘性力等 因素有关。 因素有关。 流体流过固体壁面时， 流体流过固体壁面时，除壁面附近粘性影响严 重的一薄层外， 重的一薄层外，其余区域的流动可视为理想流体 的无旋运动。 的无旋运动。
第八章-理想流体的有旋流动和无旋流动
y x
t
同理，在δt时间内，D较点A纵向多移动
x t 线段 A D 逆时针旋转了 y
' '
x y t x
角变形速度（剪切变形速度）： 单位时间内直角的变化量
直角的变化量：
角变形速度：
x y 2 z / t y x
1 z 1 z z z 2 x 2 x
z
x 1 y x x x x 2 x y 1 y x 2 x y
1 y x z 2 z x
同理
1 y x z z 2 z x 1 1 My y y y z y z y x x y 2 y x 2 z z y 1 1 x z y x x 2 y x 2 z z z 1 x z 1 y z Mz z z y x z 2 z x 2 z y
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
1 y x z z / t 2 x y
有旋流动、无旋流动：流体微团的旋转角速度 是否为零。
x y z 0
z y y z
z x x z
x x x x y z x 2 x 2
z
x z y
z z z z x y z 2 z 2
y
z z z z x y z 2 z 2
《流体力学》第八章绕流运动解析
( x, y ) d u dy u y dx C
x
实际上ψ(x,y)表示流场中的流线，C为任 意常数。不同的C，则对应不同的流线。 d dx dy ux , uy x y y x
ux , uy y x
第八章
绕流运动
在自然界和实际工程中，存在着大量的流体 绕流物体的流动问题，即绕流问题。 我们研究时，都是把坐标固结于物体，将物 体看作是静止的，而探讨流体相对于物体的 运动。 在大雷诺数的绕流中，由于流体的惯性力远 大于粘性力，可将流体视为理想流体。 在靠近物体的一薄层内，可以用附面层理论 处理。
d ( x, y, z) ux dx uy dy uz dz
展开势函数的全微分
d dx dy dz x y x
比较上两式的对应系数，得出：
ux uy uz x y z 即速度在三坐标上的投影，等于速度势函 数对于相应坐标的偏导数
工 业 液 槽 边 侧 吸 气
平面无旋运动是旋转角速度为零的平面运 动。在平面运动中，仅只有一个坐标方向 上的旋转角速度分量ωz，当ωz=0时，则 满足： u u
y
x
x
y
这时速度势函数全微分为：
d ux dx u y dy
对应的拉普拉斯方程为： 0 2 2 x y
流函数与势函数间关系为：
ux x y
两者交叉相乘得：
uy y x
0 y y x x
由高等数学得到，上式表明， φ(x,y)=C1和 ψ(x,y)=C2是互为正交的。由此表明：流线与等 势线是相互垂直的。当给出不同的常数C1，C2时， 就可得到一系列等势线和流线，它们间构成相互 正交的流网，应用流网的正交性，借助数值计算 方法和计算机，可以解决复杂的流场问题。
有旋流动与无旋流动
y
B A C D
B’ C’ 0
�
A’ D’
B’’ C’’
A’’ D’’
x
需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再确 定速度分布的 。
§ 2.5 环量与涡
§ 2.5.1 环量与涡的概念 � 研究流动的问题，还有两面个极重要的概念，一个叫环量，一个叫做涡。 � 环量的定义：在流场中任取一条封闭曲线，速度沿该封闭曲线的线积分称为该封闭曲 线的速度环量。速度环量的符号不仅决定于流场的速度方向，而且与封闭曲线的绕行 方向有关，规定积分时逆时针绕行方向为正，即封闭曲线所包围的区域总在行进方向 的左侧。
旋流。一个流场，如果各处的
ωx x
� ω 都等于零，这种流场称为有很大的意义。无旋流多了一个 ω = 0 的条件。这个
条件就是 ：
ω x = 0, ω y = 0, ω z = 0
∂v ∂w = ; ∂z ∂y
�
∂u ∂v = ; ∂y ∂x
∂u ∂v ∂w 略高次项后＝ + + ∂x ∂y ∂z
� � 可以证明任何形状微团的相对体积膨胀率均为上式。 流体微团在运动中不论它的形状怎么变，体积怎么变，它的质量总是不变的。而 质量等于体积乘密度，所以在密度不变的不可压流里，其速度的散度必为零：
� ω
� ∂u ∂v ∂w divV = + + =0 ∂x ∂y ∂z
∫ (udx + vdy + wdz ) = ∫ dφ = φ
A A
� 例. 设有一个二维流场其速度分布是
B
B
B
− φA
u = 2 ax,
v = −2 ay
,
问这个流动是有旋的还
第八章理想流体的有旋流动和无旋流动
vx vy vz 0
x
y
z
vx vy vz 0 x y z
vx vy 0
x
y
vx vy 0 x y
第二节 流体微团运动分解
刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。 流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变
形。 因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样
可以移动和转动，而且还会发生变形运动。 所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移
动、转动和变形运动三部分。
vMx
vx
vx x
x
vx y
y
vx z
z
vMy
vy
vy x
x
vy y
y
vy z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
图8-2 平行六面体微小流体质团
vMx
vx
vx x
x
1 2
v y x
vx y
y
1 vx 2 z
vz x
z
1 vx 2 z
vz x
z
1 2
v y x
vx
vx x
δ
x δ t
vx
δt
vx x
δ
x
δt
v y
vy y
δ
y t
vy
δt
vy x
δ
y
δt
vx x
δ xδt
vx
δ x δt x
vy y
δ
yδt
vy
δ y δ t y
vMx
vx
vx x
x
zy yz
yz zy
8-第8讲 理想流体的有旋与无旋流动
21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。 这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、 流函数与势函数满足科希-黎曼关系式 由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、 等流函数线与等势线正交 对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）
q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注： 设 常数 ， 得到流线方程为 如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数 ，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流 的流函数与势函数的推导如下。 点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。 对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函 数，记作 ，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、 对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数 若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有
流体力学第八章绕流运动
流体⼒学第⼋章绕流运动第⼋章绕流运动⼀、应⽤背景1、问题的⼴泛存在性：在⾃然界和⼯程实际中，存在着⼤量的流体绕物体的流动问题（绕流问题），如：飞机在空⽓中的飞⾏、河⽔流过桥墩、⼤型建筑物周围的空⽓流动、植物护岸（消浪，船⾏波），粉尘颗粒在空⽓中的飞扬和沉降，⽔处理中固体颗粒污染物在⽔中的运动。
（⼀种：流体运动；另外⼀种：物体运动），我们研究，将坐标系固结于物体上，将物体看成静⽌的，讨论流体相对于物体的运动。
2、问题的复杂性上⼀章的内容中可以看出，流体⼒学的问题可以归结为求解在⼀定边界条件和初始条件下偏微分⽅程组的求解。
但描述液体运动的⽅程式⾮常复杂的：⼀⽅⾯，是⽅程的⾮线性性质，造成⽅程求解的困难；另⼀⽅⾯，复杂的边界条件和初始条件都给求解流体⼒学造成了很多⿇烦。
迄今为⽌，只有很少数的问题得到了解决。
平⾯泊萧叶流动，圆管coutte流动等等。
⽽我们所要解决的绕流问题正是有着⾮常复杂的边界条件。
3、问题的简化及其合理性流体⼒学对此的简化则是，简化原⽅程，建⽴研究理想液体的势流理论。
实际液体满⾜势流运动的条件：粘性不占主导地位，或者粘性还没有开始起作⽤。
正例：远离边界层的流体绕流运动、地下⽔运动、波浪运动、物体落⼊静⽌⽔体中，⽔的运动规律研究。
反例：研究阻⼒规律、能量损失、内能转换等等。
圆柱绕流（经典之⼀）半⽆限长平板绕流（经典之⼆）分成两个区域：⼀个区域是远离边界的地⽅，此区域剪切作⽤不明显，⽽且流体惯性⼒的影响远远⼤于粘性⼒的影响（理想液体）（引导n-s⽅程）；另⼀个是靠近边界的地⽅（附⾯层，粘性底层），此区域有很强烈的剪切作⽤，粘性⼒的影响超强，据现代流体⼒学的研究表明，此区域是产⽣湍流的重要区域，有强烈的剪切涡结构，但此区域只有⾮常薄的厚度。
此区域对绕流物体的阻⼒、能量耗损、扩散、传热传质都产⽣重要影响。
4、本章的主要研究内容（1）外部：理想液体，（简化⽅法，求解⽅式）、（2）内部：附⾯层理论，（简化⽅法，求解⽅式，求解内容，现象描述）（3）两者的衔接。
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
旋转运动
注：此关系也称为亥姆霍兹(Helmholtz)速度分解定理， 该定理可简述为： 在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分，与O点相同的平 移速度（移运）；绕O点转动在A点引起的速度（旋转运动）；由于变形 （包括线变形和角变形）在A点引起的速度（变形运动）。
二、物理意义（以平面流动进行分析） 1.平移运动 向左移动 向上移动
（a）
单位时间通过ABCD面流出的流体质量 ：
dx v x v x dydz x 2
（b）
则在x方向单位时间内通过微元体表面的净通量为（b）-（a），即
v x dxdydz x
（c1）
第八章
理想流体的有旋流动和无旋流动
同理可得 y和 方向单位时间通过微元体表面的净通量分别为:
第八章
理想流体的有旋流动和无旋流动
第八章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动
本章内容：在许多工程实际问题中，流动参数不仅 在流动方向上发生变化，而且在垂直于流动方向的 横截面上也要发生变化。要研究此类问题，就要用 多维流的分析方法。本章主要讨论理想流体多维流 动的基本规律，为解决工程实际中类似的问题提供 理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定 必要的基础。
vx dx 1 vx v y dy 1 vx vz dz vFx vx [ ( ) ( ) ] x 2 2 y x 2 2 z x 2
移动 线变形运动
角变形运动
1 vx v y dy 1 vx vz dz [ ( ) ( ) ] 2 y x 2 2 z x 2
dV dxdydz dxdydz t CV t CV t
（d）
第八章
理想流体的有旋流动和无旋流动
08章b 理想流体的有旋和无旋流动
2rb
涡束内部的速度分布为:
vr 0
p
v v r
(r rb ) （8-28）
1 2 ( x 2 y 2 ) C 2 1 2 r 2 C 2 1 2 v C 2
r 在与环流区交界处， rb , p pb , v vb rb ，代入上式，得积分 2 2 C pb vb p vb 常数：
2 0
r
外围区的流动
流速分布
r0 u u0 r
y y x x u x u r0u0 2 , u y u r0u0 2 r r r r
u y
y Γ0
C
u x 外围区是无旋流动 z 0 x y
绕任一 r r0 的圆周（任意 包住 r r0 的封闭曲线也可） 的速度环量都等于Γ0
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
vds
第六节 速度环量 斯托克斯定理
代入，得：
规定沿封闭周线绕行的正方向为逆时针方向，即 封闭周线所包围的面积总在前进方向的左侧；被包围 面积的法线的正方向应与绕行的正方向形成右手螺旋 系统。
第六节 速度环量 斯托克斯定理
等压面是旋转抛物面，如果存在自由面，
自由面是旋转抛物面，如图。
（２） 自由涡旋
简称自由涡，其流线也是同心圆。但
速度变化关系式为： 即与半径成反比。 。（C为常数），
虽然流线是圆，但它是无旋运动，流
体微团并未旋转。 根据伯努利定理，沿流线，在自由涡
中，各条流线H均相等。所以流场中的压
力分布关系式为： 因而在自由涡中，当我们向中心移动
2、亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）： 正压性的理想流体在有势的质量力作 用下，涡管永远保持为由相同流体质点组 成的涡管。
第八章理想流体有旋流动和无旋流动演示文稿
第二十页，共146页。
oxy坐标面内，t时刻矩形ABCD的运动
vy
v y y
y
vx
v x y
y
y
vy vx x
v
y
v y x
x
v y y
y
vx
v x x
x
v x y
v x x
dx
vx
x
dx
dydzdt
x
(vx
)dxdydzdt
第八页，共146页。
vx
v x t
dx 2
dx t 2
在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的净通量分别为：
y
(
v
y
)dxdydzdt
z
(
vz
)dxdydzdt
在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
vx
vy
第三十一页，共146页。
亥姆霍兹速度分解定理
在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2）绕该点的旋转运动； （3）含有线变形和角变形的变形运动。
1
2
1
2
v y x
v x y
t
旋转角速度
z
1
2
v y x
v x y
单位时间二直角边旋转角速度代数和的平均值
第二十九页，共146页。
x
1
2
vz y
v y z
y
1
2
v x z
vz x
z
流体力学教案第8章边界层理论
第八章 边界层理论§8—1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。
对层流而言，单位面积摩擦力的大小yud d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场,摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。
速度梯度yud d 大,粘性力也大,此时的流场称为粘性流场。
若速度梯度yud d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。
对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。
则N-S 方程可由欧拉方程代替,从而使问题大为简化。
Vlv l lV v A y u V l tVl t u mρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。
由vVl==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力〉〉粘性力，所以可略去粘性力。
但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。
所以，在这一薄层中，两者均不能略去。
这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现.a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度,这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。
b ．整个流场分为两部分 层外,0=∂∂yu,粘性忽略，无旋流动。
层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动.c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。
d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。
由于在边界层内，流体在物体表面法线方向（即yu∂∂)速度梯度很大,所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。
所以，即使对于粘度很大的流体,粘性力也很小,故可忽略不计，所以可认为，边图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层界层外的流动是无旋的势流.边界层的基本特征有: (1)1<<Lδ⇒薄层性质,其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。
(2） 层内yu∂∂很大， 边界层内存在层流和紊流两种流态。
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vx t
dx 2
dx t 2
在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的净通量分别为：
y
(
v
y
)dxdydzdt
z
(
vz
)dxdydzdt
在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
v
x
vy
vz
dxdydzdt
x
y
z
开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为
vndA
CS
( x, y, z, t dt) dt t
在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt
t
t
t
CV
dV
dxdydzdt
v
x
vy
vz
dxdydzdt
0
t
x
y
z
vx vy vz 0
t
t
定常
0 t
vx vy vz 0
x
y
z
v div v 0
不可压缩定常 const
vx vy vz 0 x y z
v divv 0
物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零， 也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
在流场中取出微元六面体ABCDEFG
微元六面体中心点上流体质点的速度
为vx、vy、vz 密度为ρ
vx
v x x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx
v x x
dx 2
vx
v x x
dx 2
dx x 2
dx x 2
vx
vx x
dx 2
dx x 2
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质 量为：
vx y
y
1 2
vx z
vz x
z
vMx
vx
v x x
x
1
2
v y x
v x y
y
1
2
v x z
vz x
z
1
2
v y x
v x y
x
dx 2
v
x
vx x
dx 2
dydzdt
dt时间通过右面流出的流体质量为：
vx
v x t
dx 2
dx t 2
x
dx 2
v
x
vx x
dx 2
dydzdt
则dt时间内沿x轴通过微元体表面的质量净通
量为
vx x
dx
vx
x
dx
dydzdt
x
(vx
)dxdydzdt
vx
x
v x y
y
v x z
z
vMx
vx
vx x
x
1 2
vx y
y
1 2
vx y
y
1 2
vx z
z
1 2
vx z
z
1 vy y 1 vy y 1 vz z 1 vz
2 x
2 x
2 x 2 x
vMx
vx
vx x
x
1 2
v y x
vx y
y
1 2
vx z
vz x
z
1 2
v y x
v Mx
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
z
v My
vy
v y x
x
v y y
y
vz z
z
v Mz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
v Mx
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
z
v My
vy
v y x
x
v y y
y
vz z
z
v Mz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
vMx
vx
v x x
流动 均匀等速流绕过圆柱体有环流
的平面流动
第一节 微分形式的连续方程
当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定 律。
对于一定的控制体，必须满足
t
CV
dV
CS
vndA
0
它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的
变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。
直角坐标系中微分形式的连续性方程
vA(x, y, z) vx ( x, y, z)i vy ( x, y, z) j vz ( x, y, z)k
顶点M速度为
vM ( x x, y y, z z) vx ( x x, y y, z z)i vy(x x, y y, z z) j vz ( x x, y y, z z)k
(v sin )
1 r sin
(v )
0
定常
1 r2
(vrr2 ) r
1 r sin
(v sin )
1 r sin
(v
)
0
不可压缩定常
vr 1 v 1 v 2vr v cot 0
r r r sin r
r
【例】已知不可压缩流体运动速度v在x，y两个轴方向的分 量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0处，有vz=0。试求z轴方 向的速度分量vz。
第二节 流体微团运动分解
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。
流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而 且还会发生变形运动。
一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运 动。ຫໍສະໝຸດ 在流场中任取一微元平行六面体
边长分别为dx、dy、dz。
t瞬时A点的速度为
第八章理想流体有旋流动和无 旋流动演示文稿
（优选）第八章理想流体有旋 流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且 在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。
要研究此类问题，就要用多维流动的分析方法。
本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似 的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的 基础。
t x
y
z
v div v 0
t
t
——可压缩流体非定常三维流动的连续性方程
连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体 表面上的净通量。
它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。
vx vy vz 0
t x
y
z
v div v 0
本章内容
微分形式的连续方程 流体微团运动分解 理想流体运动方程 定解条件 理想流体运动微分方程的积分 涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量 斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理
平面涡流 速度势 流函数 流网 几种简单的平面势流 简单平面势流的叠加 均匀等速流绕过圆柱体的平面
柱坐标系中微分形式的连续性方程
t
1 r
r
(r vr
)
1 r
( v
)
z
(vz
)
0
定常
1 r
r
(r vr
)
1 r
( v
)
z
(vz
)
0
不可压缩定常
vr 1 v vz vr 0 r r z r
球坐标系中微分形式的连续性方程
t
1 r2
(vrr2 ) r
1 r sin