高考数学第一轮总复习解不等式2

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高考数学一轮复习不等式选讲 2 证明不等式的基本方法课件理选修45

a
b)2
,开方即得
( c d)2
a b c d.
(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性
与充分性来证明.
【规范解答】(1)因为 (
【加固训练】 1.求证:a2+b2≥ab+a+b-1. 【证明】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1 = (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)
1 2
= 1 [(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 2
= 1 [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0. 所2以a2+b2≥ab+a+b-1.
第二节证明不等式的基本方法
【知识梳理】 1.比较法比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种.
名称
理论依据
作差比较法
a>b⇔_a_-_b_>0__ a<b⇔_a_-_b_<0__ a=b⇔_a_-_b_=0__
作商比较法
b>0,
a b
>1⇒a>b
b<0, a >1⇒a<b
定义
定理
性质等,经过一系列的_____、_____而得出命题成立,
推理论证这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由
因导果法.
顺推证法
3.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立的要证的结论
_________,直至所需条件为_________或_____________

高考数学一轮复习第7章不等式第2节一元二次不等式及其解法课件文

答案：{x|－3≤x≤1}
12/8/2021
第二十二页，共五十二页。
4．已知函数 f(x)＝x－2＋x22＋x，2xx，≥x0<，0，解不等式 f(x)>3.
解：由题意xx≥ 2＋02，x>3或x－<x02，＋2x>3，解得 x>1. 故原不等式的解集为{x|x>1}．
12/8/2021
第二十三页，共五十二页。
三、易错自纠 4．不等式－x2－3x＋4>0 的解集为________．(用区间表示) 解析：由－x2－3x＋4>0 可知，(x＋4)(x－1)<0，解得－4<x<1. 答案：(－4，1)
12/8/2021
第十四页，共五十二页。
5．设二次不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，则 ab 的值为________．解析：由不等式 ax2＋bx＋1>0 的解集为x－1<x<13，知 a<0 且 ax2＋bx＋1＝0 的两根为 x1＝－1，x2＝13，由根与系数的关系知－－113＋＝131a＝，－ba，所以 a＝－3，b＝－2，所以 ab＝6. 答案：6
12/8/2021
第五页，共五十二页。
2．三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
二次函数 y＝ax2＋bx ＋c(a>0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx 有两相异实根 x1，
＋c＝0 (a>0)的根
x2(x1<x2)
有两相等实根 x1＝x2 ＝－2ba
Δ<0 没有实数根
12/8/2021
第七章不等式
第二节一元(yī yuán)二次不等式及其解法

高考数学第一轮知识点总复习第二节一元二次不等式及其解法

解得0<x< 1 . 3
0
x
1,
12. (2009·南京模拟)已知不等式ax2 - 3x 6 4 的解集为{x|x<1或x>b}.
学后反思解不等式应用题，可分以下几步思考：（1）认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系; （2）引进数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化; （3）求解不等式; （4）还原实际问题.
举一反三
4.已知汽车从刹车到停车所滑行的距离（m）与时速（km/h）的平方及汽车总重量成正比例.设某辆卡车不装货物以时速50 km/h行驶时,从刹车到停车走了20 m.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面20 m处有障碍物,这时为了能在离障碍物5 m以外处停车,最大限制时速应是多少(结果只保留整数部分,设卡车司机发现障碍物到刹车需经过1 s)?
解（1）∵x∈R时，有 x2 ax 3- a 0恒成立，
则 a2 - 4(3 - a) 0,
即 a2 4a -12 0,-6 a 2.
(2)方法一：当x∈[-2,2]时，gx x2 ax 3 - a 0 ,分如下三种
情况讨论：
图1
图2
图3
①如图1，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有 a2 - 4(3 - a) 0 ,即-6≤a≤2.
x2
的解集为B，若
A
,B则实数a的取值范围是.
解析: ∵A={x|2<x≤3},B={x|x>a},又 A,∴a≤B2.
x2 1 x a 0
答案: (-∞,2］
11. 某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例为 0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x,已知年利润y=（出厂价-投入成本）×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内?

2.6 不等式的应用课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第二章不等式

A．[0，＋∞)∪(－∞，－4) B．[0，＋∞)
( A)
C．[－4，0]
D．[－4，＋∞)
【解析】由题意知，方程判别式 Δ＝a2＋4a≥0，得 a≥0 或 a≤－4，
故选 A.
2．满足函数 f(x)＝ x－1＋ 1－x的取值是( C )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．{1}
10．某工厂要建一个长方体无盖水池，容积为 1600 立方米，深为 4 米，已知池底每平方米的造价为 40 元，池壁每平方米的造价为 20 元，问怎样设计能使总造价最低？最低造价是多少？
(2)y＝225x＋720×x 180－360(x＞0) ≥2 225x×720×x 180－360＝2×15×360－360＝10 440. 当且仅当 225x＝723×x 180时，等号成立，解得 x＝24 或 x＝－24(舍去)．所以当 x＝24 时，ymin＝10 440. 答：当 x 为 24 米时，修建场地的总费用最小，最小总费用为 10 440 元．≥00，得xx≥ ≤11，即 x＝1，故选 C.
3．不等式 ax2＋5x＋b＞0 的解集为x|13＜x＜12，则 bx2＋ax－5＞0 的
解集是( C )
A．{x|2＜x＜3}
B．{x|1＜x＜6}
C．{x|－5＜x＜－1} D．{x|1＜x＜5}
【解析】由题意得 a＜0，利用根与系数的关系 x1＋x2＝－5a＝56⇒a＝－6，x1x2＝16＝ba⇒b＝－1，∴ bx2＋ax－5＞0，即－x2－6x－5＞0，化为 x2＋6x＋5＜0，解得－5＜x<－1，故选 C.
【融会贯通】某商品提价 10%后要恢复原价，应由现价降价( A )
A．9%

第2章不等式第1节不等关系与不等式课件高考数学一轮复习

【答案】必要且不充分
123
内容索引
3. (2023全国高三专题练习)若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________.
【分析】根据绝对值定义求|β|的范围，再根据不等式性质求出结果．
【解析】因为－4<β<2，所以0≤|β|<4，又1<α<3，所以2<2α<6，所以2<2α＋|β|<10.
(2) 由题意，知 f(－1)＝a－b， f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b. 设 m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，则mm＋－nn＝＝4－，2，解得mn＝＝31，，所以 f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．因为 1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，所以 5≤f(－2)≤10，故 f(－2)的取值范围是[5,10]．
活动二典型例题
题组一比较两个数(式)的大小 1 (1) 已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________；【解析】 M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－ 1)．因为a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－ 1)>0，即M－N>0，所以M>N. 【答案】 M>N
【答案】 ②④
内容索引
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略： (1) 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件； (2) 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p⇒q 和q⇒p是否成立，要注意特殊值法的应用； (3) 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．

浙江专用2021届高考数学一轮复习专题二不等式2.1不等式及其解法试题含解析

专题二不等式【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、不等式及其解法1.了解生活中的不等关系，会从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

1.考查内容:从近几年高考的情况看,本专题内容考查的重点是不等式的性质与解法,基本不等式及不等式的综合应用。

常与导数、函数零点等知识结合,常用到数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法.2.不等式是常考的内容，在选择题、填空题中，常考查不等式的性质、解法及应用基本不等式求最值；在解1。

不等式的性质及不等式的解法难度较小，对于含有参数的一元二次不等式的求解要学会分类讨论（特别是二次项系数、判别式符号均不确定的问题)。

2.对于利用基本不等式求最值的问题，要学会配凑方法,将之表示成“和定"或“积定"的形式,对于多次使用基本不等式求最值的问题,要保证每次的等号均能同时取到.3。

对于不等式恒成立问题,不能停留在具体的求解方法（比如分离参数法等）上，而是将较难的、生疏的问题经过分析、转化为基本的研究函数单调性的问题，积累具体分析、转化的经验.二、基本不等式与不等式的综合了解基本不等式的证明过程,会用基本不等式解决简单的最大(小）应用值问题。

答题中,常与导数结合研究与函数相关的大小关系.【真题探秘】§2.1不等式及其解法基础篇固本夯基【基础集训】考点一不等式的性质1。

若a〉b>0,c〈d〈0，则一定有（)A.ac >bdB。

ac〈bdC.ad>bcD。

ad〈bc答案D2.已知实数a=ln22，b=ln33,c=ln55，则a ，b,c 的大小关系是( )A 。

a<b<c B.c 〈a<b C.c<b 〈a D 。

b<a<c 答案 B3。

若a 〈0,b<0，则p=b 2a+a 2b与q=a+b 的大小关系为 .答案 p≤q考点二不等式的解法4.不等式x 2+2x —3≥0的解集为（）A.{x ｜x≤—3或x≥1} B 。

2025届高考数学一轮复习-重难专攻(二)不等式的证明问题课件

1
∴h（x）≥h（1）＝e＋，
e
e
②若a＞0，则当0＜x＜时，f'（x）＞0；当x＞时，f'（x）＜0.

故f（x）在
e
0,

上单调递增，在
e
, +∞

上单调递减.
（2）当a＝e时，证明：xf（x）－ex＋2ex≤0.
e
解：（2）证明：因为x＞0，所以只需证f（x）≤ －2e，

当a＝e时，由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单
进行证明.常见的放缩公式如下：（1）ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；
（2）ln x≤x－1，当且仅当x＝1时取等号.
⁠
2
已知函数f（x）＝aln（x－1）＋，其中a为正实数.证明：当x＞2时，f
−1
（x）＜ex＋（a－1）x－2a.
证明：设h（x）＝ln
1
x－（x－1），则h'（x）＝－1，令h'（x）＝0，得x＝1.当
e
｜解题技法｜
【注意】同时为0与不能同时为0的不等式的区别
若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函
数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的.
⁠
已知函数f（x）＝eln x－ax（a∈R）.
（1）讨论＝－a（x＞0），
①若a≤0，则f'（x）＞0，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，
1
∴g（x）≤g（e）＝＋1.
e
e
1
e (−1)
设h（x）＝＋（x＞0），则h'（x）＝ 2 （x＞0），

高考数学一轮总复习练习不等式的解法 (2)

1．(2019·台州质检)已知关于x 的不等式ax 2－x ＋c <0的解集为{}x |－1<x <2，则a ＋c 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．32．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( ) A ．(－4,1) B ．(－1,4) C ．(1,4)D ．(0,4)3．如果方程x 2＋(m －1)x ＋m 2－2＝0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(－2，2) B ．(－2,0) C ．(－2,1)D ．(0,1)4．已知p ：－12<a <1，q ：对任意的x ∈[－1,1]，x 2－ax －2<0，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．若不等式ax 2＋2x ＋c <0的解集是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则不等式cx 2＋2x ＋a ≤0的解集是( ) A.⎣⎡⎦⎤－12，13 B.⎣⎡⎦⎤－13，12 C ．[－2,3]D ．[－3,2]6．若不等式ax －b >0的解集为(－∞，1)，则关于x 的不等式bx ＋3ax －5>0的解集为( )A ．(－5,3)B ．(－∞，－5)∪(3，＋∞)C ．(－3,5)D ．(－∞，－3)∪(5，＋∞)7．(2020·浙江省五校联考)已知关于x 的不等式ax 2－2x ＋3a <0在(0,2]上有解，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，33 B.⎝⎛⎭⎫－∞，47 C.⎝⎛⎭⎫33，＋∞D.⎝⎛⎭⎫47，＋∞8．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,1]C ．[0,1)D ．(0,1)9．关于x 的不等式x 2－2kx ＋k 2＋k －1>0的解集为{x |x ≠a ，x ∈R }，则实数a ＝________. 10．若x ∈[－1,1]时，关于x 的不等式x 3－1≤ax 2＋2ax －a 2恒成立，则实数a 的取值范围是________．11．(2019·嘉兴模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，那么不等式x ＋(x ＋1)·f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤ 2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤ 2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤ 2－1}12．设a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，则(a －1)2＋(b －1)2的最小值是( )A ．－494B ．18C ．8D ．－613．定义：区间[a ，b ]，(a ，b ]，(a ，b )，[a ，b )的长度均为b －a ，若不等式1x －1＋2x －2≥54的解集是互不相交区间的并集，则该不等式的解集中所有区间的长度之和为( ) A.512 B.125 C.2095D.520920914．定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝))232,0,1,1,1,2,2x x x x x -⎧-∈⎡⎣⎪⎪⎨⎛⎫⎪-∈⎡ ⎪⎣⎪⎝⎭⎩若当x ∈[－4，－2)时，不等式f (x )≥m 24－m ＋12恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．[1,3]C ．[1,4]D ．[2,4]15．已知二次函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6(规定：闭区间[a ，b ]的长度为b －a )，则实数m 的值是________．16．(2020·浙江省浙南名校联盟联考)已知等比数列{a n }的公比为q ，关于x 的不等式a 2x 2－(a 1＋a 3)x ＋a 2>0有下列说法：①当q >1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，1q ，(q ，＋∞)； ②当0<q <1时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫q ，1q ； ③当a 1>0时，存在公比q ，使得不等式解集为∅； ④存在公比q ，使得不等式解集为R . 上述说法正确的序号是________．答案精析1．A 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8．D 9.1 10.⎣⎡⎦⎤0，34 11.C 12．C [因为a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2－2mx ＋m ＋6＝0的两个实根，所以由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2m ，ab ＝m ＋6，且Δ＝4(m 2－m －6)≥0，所以y ＝(a －1)2＋(b －1)2＝(a ＋b )2－2ab －2(a ＋b )＋2＝4m 2－6m －10 ＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494，且m ≥3或m ≤－2. 由二次函数的性质知，当m ＝3时，函数y ＝4⎝⎛⎭⎫m －342－494取得最小值为8. 即(a －1)2＋(b －1)2的最小值为8.] 13．B [不等式1x －1＋2x －2≥54，即4(x －2)＋8(x －1)－5(x －1)(x －2)4(x －1)(x －2)≥0，化简可得5x 2－27x ＋264(x －1)(x －2)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x 2－27x ＋26≤0，(x －1)(x －2)>0 或⎩⎪⎨⎪⎧5x 2－27x ＋26≥0，(x －1)(x －2)<0，方程5x 2－27x ＋26＝0有两个根x 1＝27－20910或x 2＝27＋20910，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤1，27－20910∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2，27＋20910，其解集区间的长度为⎝⎛⎭⎪⎫27＋20910－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27－20910－1＝275－3＝125.]14．B [因为当x ∈[－4，－2)时，不等式f (x )≥m 24－m ＋12恒成立，所以f (x )min ≥m 24－m ＋12，当x ∈[－4，－2)，x ＋4∈[0,2)时，f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)＝⎩⎪⎨⎪⎧14[(x ＋4)2－(x ＋4)]，x ＋4∈[0，1)，－14×34212x +-⎛⎫ ⎪⎝⎭，x ＋4∈[1，2)，当x ＋4∈[0,1)时，f (x )＝14[(x ＋4)2－(x ＋4)]≥－14×14＝－116，当x ＋4∈[1,2)时， f (x )＝－14×34212x +-⎛⎫⎪⎝⎭≥－14，因此当x ∈[－4，－2)时，f (x )min ＝－14≥m 24－m ＋12，所以实数m 的取值范围是1≤m ≤3.] 15．－5解析根据题意－x 2＋2x ＋3≥m 的解集为[a ，b ]，则x ＝a 和x ＝b 是方程－x 2＋2x ＋3＝m 即x 2－2x ＋m －3＝0的两根，则a ＋b ＝2，ab ＝m －3，不等式f (x )≥m 的解集的区间长度为6，即b －a ＝6，则有(a ＋b )2－4ab ＝4－4(m －3)＝36，解得m ＝－5. 16．③解析由题意a 1＝a 2q ，a 3＝a 2q ，不等式a 2x 2－(a 1＋a 3)x ＋a 2>0变为 a 2⎣⎡⎦⎤x 2－⎝⎛⎭⎫1q ＋q x ＋1>0，即a 2(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q >0，若a 2>0，则(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q >0，当q >1或－1<q <0时解为x <1q 或x >q ，当0<q <1或q <－1时，解为x <q 或x >1q ，当q ＝±1时，解为x ≠q ；若a 2<0，则(x －q )⎝⎛⎭⎫x －1q <0，当q >1或－1<q <0时，解为1q <x <q ，当0<q <1或q <－1时，解为q <x <1q，当q ＝±1时，不等式无解．对照①，②，③，④，只有③正确．。

高考数学一轮总复习 2不等式证明的基本方法课件(选修4-5)

放缩法等．
A
9
对点自测
知识点一
基本不等式
1.若 0<a<b<1，则 a＋b,2 ab，a2＋b2,2ab 中最大的一个是 ________．
A
10
解析 ∵a＋b>2 ab，a2＋b2>2ab. 又(a2＋b2)－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)． ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)＋b(b－1)<0. ∴a2＋b2<a＋b.
由平均不等式可得a13＋b13＋c13≥3 3 a13·b13·c13，即a13＋b13＋c13≥a3bc. 所以a13＋b13＋c13＋abc≥a3bc＋abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3.
所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
A
16
R 热点命题·深度剖析
研考点知规律通法悟道
答案 a＋b
A
11
2．已知 x，y∈R，且 xy＝1，则1＋1x1＋1y的最小值为 ________．
解析 1＋1x1＋1y≥1＋ 1xy2＝4. 答案 4
A
12
知识点二
柯西不等式
3.已知 x，y，z 为正数，且 x＋y＋z＝1，则 x2＋y2＋z2 的最小
值是__________．
解析 x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)×13≥(1·x＋1·y＋ 1·z)2×13＝13.
A
19
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相违背等等，但推导出的矛盾必须是明显的．

2023年新高考数学一轮复习讲义精讲精练第2讲不等式含详解

第2讲不等式的性质及其解法学校____________ 姓名____________ 班级____________一、知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔a ＋c >b ＋c ； ②可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；③传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； ④对称性：a >b ⇔b <a . (2)不等式的推论①移项法则：a ＋b >c ⇔a >c －b ；②同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； ③同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； ④可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n >1)； ⑤可开方性：a >b >0⇒a >b . 3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 4.三个“二次”间的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅5.1212的解集是(x 1，x 2)，不等式12)＞0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).6.分式不等式及其解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 二、考点和典型例题1、不等式的性质【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知0a b c d >>>>，且a d b c +=+，则以下不正确的是（）A ．a c b d +>+B ．ac bd >C ．ad bc <D ．a cb d>【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．22a b >B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤B ．2a b +≥C ．1a b ->D ．3a b -<【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a ，b ，c 满足c <a 0B ．c （b -a ）<0C ．22cb ab <D ．ab ac >【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设a b c <<，且0a b c ++=，则（） A ．2ab b .【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >2，求证：(1)2≤； (2)22216a b ≤+<.【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数()12f x x x =---． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知0a >，0b >，且221a b +=，不等式()2211422f x a b ≤+恒成立，求实数x 的取值范围．【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 不等式的综合应用【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2330-++<x m x m 的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为（） A ．[)2,1--B ．()3,4C ．(]5,6D ．(]6,7【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2430mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为_______.【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“x R ∃∈，2290x mx ++<”为假命题，则实数m 的取值范围是___________.【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数2()2f x x ax =-+-，[1,3]x ∈ （1）若()0f x <恒成立，求a 的范围．（2）求()f x 的最小值()g a ．第2讲不等式的性质及其解法学校____________ 姓名____________ 班级____________一、知识梳理1.两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b >0⇔a >b ，a －b ＝0⇔a ＝b ，a －b <0⇔a b ⇔a ＋c >b ＋c ； ②可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ； a >b ，c <0⇒ac <bc ；③传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ； ④对称性：a >b ⇔b <a . (2)不等式的推论①移项法则：a ＋b >c ⇔a >c －b ；②同向不等式相加：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； ③同向不等式相乘：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； ④可乘方性：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n >1)； ⑤可开方性：a >b >0⇒a >b . 3.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集(2)|ax ＋①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想. 4.三个“二次”间的关系判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图像一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)的解集 {x |x ＞x 2或x ＜x 1}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2aRax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)的解集{x |x 1＜x ＜x 2}∅ ∅5.1212的解集是(x 1，x 2)，不等式12)＞0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).6.分式不等式及其解法 (1)f （x ）g （x ）>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0). (2)f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 三、考点和典型例题3、不等式的性质【典例1-1】（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（文））已知0a b c d >>>>，且a d b c +=+，则以下不正确的是（）A ．a c b d +>+B ．ac bd >C ．ad bc <D ．a cb d>【答案】D 【详解】0a b >>，0c d a c b d >>⇒+>+，ac bd >，故A ，B 正确；()()220a d b c a d b c ->->⇒->-，即()()2244a d ad b c bc ad bc +->+-⇒<，故C 正确；对ad bc <两边同除bd 得a cb d<，故D 错误. 故选：D.【典例1-2】（2022·安徽黄山·二模（文））设实数a 、b 满足a b >，则下列不等式一定成立的是（） A ．22a b > B ．11b b a a +<+ C ．22ac bc > D ．332a b -+>【答案】D 【详解】对于A ：当2a =，4b =-时不成立，故A 错误；对于B ：当12a =-，1b =-，所以2ba =，101b a +=+，即11b b a a +>+，故C 错误；对于C ：当0c 时不成立，故C 错误；对于D ：因为a b >，所以330a b >>，又30b ->，所以33332b a b b --≥+>+=（等号成立的条件是0b =），故D 正确. 故选：D.【典例1-3】（2022·重庆八中模拟预测）（多选）已知0a >，0b >，且3ab a b ++=，则下列不等关系成立的是（） A ．1ab ≤ B ．2a b +≥ C ．1a b -> D ．3a b -<【答案】ABD 【详解】对于A ，由3ab a b ++= ，a b +≥ ，当且仅当a b = 时等号成立，3ab ∴+≤ ，)310≤ ，1ab ∴≤ ，当且仅当1a b == 时等号成立，故A 正确；对于B ，由3ab a b ++=，得()()4114,11a b b a ++=∴+=+ ，由基本不等式得)44(1)(1)21212211a b a b a a a +=+++-=++-≥-=++ ，当且仅当a=b =1时成立；故B 正确；对于C ，若1,1,a b == 满足3ab a b ++=，01a b -=＜，故C 错误；对于D ，∵3ab a b ++=，∴3ab a b a b =+++＞，由B 的结论得23a b ≤+＜，()()()()222949439a b a b ab a b a b --=+--=+--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2421730a b a b a b a b =+++-=+++-＜，()29,3a b a b ∴--＜＜，故D 正确；故选：ABD.【典例1-4】（2022·广东汕头·二模）（多选）已知a ，b ，c 满足c <a 0 B ．c （b -a ）<0 C ．22cb ab < D ．ab ac >【答案】BCD 【详解】解：因为a ，b ，c 满足c <a >->->，所以ac （a -c ）<0 ，c （b -a ）<0，22cb ab <，ab ac >，故选：BCD【典例1-5】（2022·福建三明·模拟预测）（多选）设a b c <<，且0a b c ++=，则（） A ．2ab b ，所以ac bc <，故B 正确，因为0<<a c ，所以11a c<，故C 正确，因为a b <，所以a b ->-，所以0c a c b ->->，所以1c ac b->-，故D 错误，故选：BC4、不等式的解法【典例2-1】（2021·重庆市涪陵高级中学校高三阶段练习）已知{}{}2|430,||1|1A x x x B x x =-+≤=-≤(1)求集合A 和B ； (2)求A ∪B ，A ∩B ，【答案】(1){}13A x x =≤≤；{}02B x x ≤≤ (2){}03A B x x ⋃=≤≤；{}12A B x x ⋂=≤≤ 【解析】 (1)解：解不等式2430x x -+≤得13x ≤≤，所以{}13A x x =≤≤，解不等式|1|1x -≤得02x ≤≤，所以{}02B x x ≤≤； (2)解：{}03A B x x ⋃=≤≤，{}12A B x x ⋂=≤≤.【典例2-2】（2021·全国·高三专题练习）已知常数a ∈R ，解关于x 的不等式2212x ax a ->. 【详解】∵2212x ax a ->，22120x ax a ∴-->，即(4)(3)0x a x a +->，令(4)(3)0x a x a +-=，解得14ax =-，23a x =， ①当0a >时43a a -<，解集为4a xx ⎧<-⎨⎩∣或3a x ⎫>⎬⎭； ②当0a =时，20x >，解集为{xx R ∈∣且0}x ≠； ③当0a <时，43a a ->，解集为3a xx ⎧<⎨⎩∣或4a x ⎫>-⎬⎭. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为4a xx ⎧<-⎨⎩∣或3a x ⎫>⎬⎭；当a =0时，不等式的解集为{xx R ∈∣且0}x ≠；当a <0时，不等式的解集为3a xx ⎧<⎨⎩∣或4a x ⎫>-⎬⎭. 【典例2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >2，求证：(1)2≤； (2)22216a b ≤+<. 【解析】(1)2，且0,0a b >>，所以20≥>，当且仅当1a b ==时，取“=”，所以01<，所以2==． (2)由2222()2,4a b a b ab a b +=+-+=--所以221642216a b ab ab ab +=--=-222(16)164)162(416ab =--=-=-，01ab <，所以344≤<，所以29(416≤<，所以218232≤<（，所以22216a b ≤+<．【典例2-4】（2022·安徽·芜湖一中三模（文））已知函数()12f x x x =---． (1)求函数()f x 的值域；(2)已知0a >，0b >，且221a b +=，不等式()2211422f x a b ≤+恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1)[]1,1-(2)74⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】 (1)解：当2x ≥时，()()()12=12=1f x x x x x =------；当1x ≤时，()()()12=12=1f x x x x x =-----+--；当12x <<时，()()()12=12=23f x x x x x x =----+--，所以 ()()1,1f x ∈-，综上函数()f x 的值域为[]1,1- (2)因为221a b +=，()22222222111112222222b a a =b a b a b ⎛⎫+⨯+++≥+ ⎪⎝⎭+，当且仅当222222=b a a b ，即=a b 时等号成立，要使不等式()2211422f x a b ≤+恒成立，只需()42f x ≤，即()12f x ≤恒成立，由（1）知当2x ≥时，()()()12=12=1f x x x x x =------不合题意；当1x ≤时，()()()112=122f x x x x x =-----+-≤恒成立；当12x <<时，()()()112=12=232f x x x x x x =----+--≤，解得714x <≤，综上74x ≤，所以x 的取值范围为74⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.【典例2-5】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数.(1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c ++≥++. 【解析】(1)因为24a a +24=322a a a ++≥=，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a +的最小值为3. (2)因为2bc ac c a b +≥，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥，所以三式相加得22()bc ac ab a b c a b c ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac ab a b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 5、不等式的综合应用【典例3-1】（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（文））若函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >恒成立，则实数k 的取值范围为（）A ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(),0-∞D ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【详解】由题意，函数243y kx kx =++对任意x ∈R 有0y >（1）当0k =时，30y =>成立；（2）当0k ≠时，函数为二次函数，若满足对任意x ∈R 有0y >，则2030161204k k k k >⎧∴<<⎨∆=-<⎩综上：30,4k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：A 【典例3-2】（2022·全国·高三专题练习）若关于x 的不等式()2330-++<x m x m 的解集中恰有3个正整数，则实数m 的取值范围为（）A ．[)2,1--B ．()3,4C ．(]5,6D ．(]6,7【答案】D【详解】因为不等式()2330-++<x m x m 的解集中恰有3个正整数，即不等式()()30x x m --<的解集中恰有3个正整数，所以3m >，所以不等式的解集为()3,m所以这三个正整数为4,5,6，所以67m <≤，即67a <≤故选：D【典例3-3】（2022·浙江·高三专题练习）若不等式2430mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为_______. 【答案】3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【详解】当m =0时不等式为30-<,显然对于任意实数x 恒成立；当m ≠0时，不等式2430mx mx +-<对任意实数x 恒成立等价于,解得304m -<<, 所以m 的取值范围是3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦, 故答案为：3,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【典例3-4】（2021·福建省南平市高级中学高三阶段练习）命题“x R ∃∈，2290x mx ++<”为假命题，则实数m 的取值范围是___________. 【答案】62,62⎡-⎣【详解】若原命题为假命题，则其否定“x R ∀∈，2290x mx ++≥”为真命题，这等价于2720m =-≤，解得6262m -≤≤故答案为：62,62⎡-⎣.【典例3-5】（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（理））已知函数2()2f x x ax =-+-，[1,3]x ∈ （1）若()0f x <恒成立，求a 的范围．（2）求()f x 的最小值()g a ．【答案】（1）22a <（2）3114()34a a g a a a -≤⎧=⎨->⎩．【详解】解：（1）220x ax -+-<，22ax x <+，[1,3]x ∈，22x a x+∴<， 22222x x x x +=+，当且仅当[1,3]x =时成立，∴2min2x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ a ∴<（2）当22a ≤即4a ≤时，min ()(3)311f x f a ==-；当22a >即4a >时，min ()(1)3f x f a ==-，综上，3114()34a a g a a a -≤⎧=⎨->⎩．。

高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明习题课件

S<a＋a b＋a＋b b＋c＋c d＋c＋d d＝2，]若 x1，x2，x3∈(0，＋∞)，则 3
个数xx12，xx23，xx31的值(
)
A．至多有一个不大于 1
B．至少有一个不大于 1
C．都大于 1
D．都小于 1
解析故选 B.
解法一：设 x1≤x2≤x3，则xx12≤1，xx23≤1，xx31≥1.
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
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4．已知 a，b∈R，a2＋b2＝4，则 3a＋2b 的取值范围是____[－__2___1_3_，__2__1_3_]___．
解析根据柯西不等式 (ac ＋ bd)2≤(a2 ＋ b2)·(c2 ＋ d2) ，可得 (3a ＋ 2b)2≤(a2 ＋ b2)·(32＋22) ∴－2 13≤3a＋2b≤2 13. 3a＋2b∈[－2 13，2 13]．
[B 级能力达标]

2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第二章不等式第一节不等式性质与基本不等式

(5)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac_＞__bc； a＞b，c＜0⇒ac_＜__bc； (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac_＞__bd； (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an__＞_bn(n≥1，n∈N)； (8)开方法则：a＞b＞0⇒ n a _＞__ n b (n≥2，n∈N).
a＋b 3．基本不等式 ab ≤ 2 【1】 (1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0.
y－9
y－9
y－9
y－9
以 y－9＞0，
所以 y－9＋y－9 9 ≥2 （y－9）·y－9 9 ＝6. 当且仅当 y－9＝ 9 ，即 y＝12 时等号成立，此时 x＝4，所以当 x＝4，y＝12
y－9
时，x＋y 取得最小值 16.
方法三：(配凑法)由1x ＋9y ＝1，得 y＋9x＝xy，所以(x－1)(y－9)＝9.所以 x＋y＝10＋(x－1)＋
A．若 a＞b，则a1 ＜1b
B．若 a＞b，则 ac2≥bc2
C．若 a＞0＞b，则 a2＜－ab
D．若 c＞a＞b＞0，则 a ＞ b c－a c－b
【解析】选 BD.A.根据 a＞b，取 a＝1，b＝－1，则1a ＜1b 不成立，故 A 错误；
B．因为 a＞b，所以由不等式的基本性质知 ac2≥bc2 成立，故 B 正确；
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过_添__项__、___拆__项____等方法凑成_和__ 为定值或_积___为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实
质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
2．常数代换法求最值的步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
m＋n＝3
3α－β＝(m＋n)α＋(n－m)β.所以

2025年高考数学一轮复习-2.3.1-一元二次不等式的解法【课件】

是 {x|x<－2，或x>3}
，不等式 x2－x－6<0
的解集是 {x|－2<x<3}
．
解析：相应的一元二次方程 x2－x－6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2 ＋4×6＝25>0，故函数图象与 x 轴有两个交点．
由 x2－x－6＝0，得 x1＝－2，x2＝3，故交点横坐标分别为－2,3. 故不等式 x2－x－6>0 的解集为{x|x<－2，或 x>3}．不等式 x2－x－6<0 的解集为{x|－2<x<3}．
[解] (1)∵Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0，
∴x2－3x＋5>0 的解集为 R.
(2)原不等式可化为 6x2＋x－2≤0，
∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，
∴方程 6x2＋x－2＝0 有两个不同实根，
即 x1＝－23，x2＝12，
∴原不等式的解集为x－23≤x≤12
.
(3)原不等式可化为 4x2－4x＋1≤0，
典例讲解破题型
类型一不含参数的一元二次不等式的解法
[例 1] 求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－3x＋5>0； (2)－6x2－x＋2≥0； (3)－4x2≥1－4x； (4)2x2－4x＋7<0. [思路分析] 先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集．
[答一答] 1．不等式 ax2＋2x－3>0 一定表示一个一元二次不等式吗？
提示：不一定．当 a≠0 时表示一个一元二次不等式．当 a ＝0 时表示一个一元一次不等式．
2．一元二次不等式有哪些常见的形式？
提示：任意一个一元二次不等式，总可以化为以下四种形式中的一种：

高考数学一轮复习不等式选讲第2节不等式的证明教师

第二节不等式的证明———————————————————————————————— [考纲传真] 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．1．基本不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b 为正数，则a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．2．不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法．②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b，则x 与y 的大小关系是( )A ．x ＞yB ．x ＜yC ．x ≥yD ．x ≤yA [x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b＝a －b ＋b －a ab ＝a －b ab －1ab. 由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0，所以a －bab －1ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .]3．(教材改编)已知a ≥b ＞0，M ＝2a 3－b 3，N ＝2ab 2－a 2b ，则M ，N 的大小关系为________．M ≥N [2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，故2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .]4．已知a ＞0，b ＞0且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．4 [由题意得，a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．]5．已知x ＞0，y ＞0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . [证明] 因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0,1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，8分故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .10分已知a ＞0，b ＞0，求证：ab ＋ba≥a ＋b .[证明] 法一：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝a －ba －bab＝a ＋ba －b2ab≥0，∴a b ＋ba≥a ＋b .10分法二：由于a b ＋ba a ＋b＝a a ＋b bab a ＋b＝a ＋ba －ab ＋b ab a ＋b ＝a ＋b ab －1≥2abab－1＝1.8分又a ＞0，b ＞0，ab ＞0，∴a b ＋ba≥a ＋b .10分 [规律方法] 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过程；在法二中，利用不等式的性质，把证明a ＞b 转化为证明a b＞1(b ＞0)．2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．提醒：在使用作商比较法时，要注意说明分母的符号． [变式训练1] (2017·莆田模拟)设a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b ). 【导学号：31222447】 [证明] 因为a 2＋b 2－ab (a ＋b ) ＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12－b 12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－b 32.6分因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b32同号，所以(a 12－b 12)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－b 32≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b ).10分设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：【导学号：31222448】(1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.[证明] (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.5分(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，则a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.10分 [规律方法] 1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论)，它的常见书面表达式是“∵，∴”或“⇒”．2．综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．[变式训练2] (2017·石家庄调研)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|. (1)求f (x )的最小值m ；(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.[解] (1)当x ＜－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ＞3；2分当－1≤x ＜2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)；当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ≥6. 综上，f (x )的最小值m ＝3.5分(2)证明：a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，因为b 2a ＋c 2b ＋a 2c＋(a ＋b ＋c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ＋c ≥2⎝⎛⎭⎪⎫b 2a·a ＋c 2b·b ＋a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c ).8分 (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取“＝”)所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c≥3.10分(2015·全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[证明](1)∵a，b，c，d为正数，且a＋b＝c＋d，欲证a＋b＞c＋d，只需证明(a＋b)2＞(c＋d)2，也就是证明a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd，只需证明ab＞cd，即证ab＞cd.由于ab＞cd，因此a＋b＞c＋d.5分(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2，即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.由(1)，得a＋b>c＋d.8分②若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋b＋2ab>c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab>cd.于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|<|c－d|.综上，a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件.10分[规律方法] 1.本题将不等式证明与充要条件的判定渗透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方来证明．2．当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．3．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件[变式训练3] 已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a.[证明] 要证b2－ac＜3a，只需证b2－ac＜3a2.∵a＋b＋c＝0，只需证b2＋a(a＋b)＜3a2，只需证2a2－ab－b2＞0，4分只需证(a－b)(2a＋b)＞0，只需证(a－b)(a－c)＞0.∵a＞b＞c，∴a－b＞0，a－c＞0，∴(a－b)(a－c)＞0显然成立，故原不等式成立.10分[思想与方法]1．比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法关键在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0)．2．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(结论)．(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．3．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒B n⇒B(已知)．(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．[易错与防范]1．使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件．2．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立．课时分层训练(七十) 不等式的证明1．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. [解] (1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.4分(2)证明：法一：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，且p ，q ，r 大于0， ∴(p ＋q ＋r )2＝9.又易知p 2＋q 2＋r 2≥pq ＋pr ＋qr .8分故9＝(p ＋q ＋r )2＝p 2＋q 2＋r 2＋2pq ＋2pr ＋2qr ≤3(p 2＋q 2＋r 2)，因此，p 2＋q 2＋r 2≥3.10分法二：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，故p 2＋q 2＋r 2≥3.10分2．(2015·湖南高考)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明：(1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a >0，b >0，得ab ＝1.2分(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.5分 (2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0，得0<a <1；同理，00，b >0，且1a ＋1b＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．[解] (1)由ab ＝1a ＋1b≥2ab，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立.2分故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.5分(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26·ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.10分4．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|.(1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab .【导学号：31222449】 [解] (1)∵f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，当且仅当0≤x ≤1时取等号，∴f (x )＝|x |＋|x －1|的最小值为1.3分要使f (x )≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤1，∴0≤m ≤2，则m 的最大值M ＝2.5分(2)证明：由(1)知，a 2＋b 2＝2，由a 2＋b 2≥2ab ，知ab ≤1.①又a ＋b ≥2ab ，则(a ＋b )ab ≥2ab .8分由①知，ab ≤1.故a ＋b ≥2ab .10分5．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1.求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 【导学号：31222450】[解] (1)因为f (x )＝k －|x －3|，所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，2分由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]．因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]．因此k ＝1.5分(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，因为a ，b ，c 为正实数．所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b3c ＋3c2b≥3＋2a 2b ·2b a ＋2a 3c ·3ca ＋22b 3c ·3c2b ＝9.8分当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.10分6．(2017·福州质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )．[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；2分②当－1＜x ＜－12时，原不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.5分(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |，6分所以，要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，8分即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.10分。

2023年高考数学一轮考点复习第一章集合、常用逻辑用语、不等式第2讲充分条件与必要条件

第一章集合、常用逻辑用语、不等式
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[解析] (4)当 α＝β＝π2时，tan α、tan β 都无意义．因此不能推出 tan α ＝tan β，当 tan α＝tan β 时，α＝β＋kπ，k∈Z，不一定 α＝β，因此是既不充分也不必要条件．
(5)在△ABC 中，由 A>B，则 a>b，由正弦定理 sin A>sin B，反之也成立．
p 是 q 的__充__分__不__必__要___条件
p⇒q 且 q p
p 是 q 的__必__要__不__充__分___条件
p q 且 q⇒p
p 是 q 的__充__要___条件
p⇔q
p 是 q 的__既__不__充__分__也__不__必__要___条件
p q且q p
第一章集合、常用逻辑用语、不等式
第一章集合、常用逻辑用语、不等式
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题组一走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”) (1)p是q的充分不必要条件等价于q是p的必要不充分条件．( √ ) (2)已知集合A，B，则(A∪B)⊆(A∩B)的充要条件是A＝B.( √ ) (3)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．( √ ) (4)“α＝β”是“tan α＝tan β”的充分不必要条件．( × ) (5)在△ABC中，A>B是sin A>sin B的充要条件．( √ )
第一章集合、常用逻辑用语、不等式
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[解析] 解法一：由 sin x＝1，得 x＝2kπ＋π2(k∈Z)，则 cos2kπ＋π2＝ cos π2＝0，故充分性成立；又由 cos x＝0，得 x＝kπ＋π2(k∈Z)，而 sinkπ＋π2 ＝1 或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选 A.

2023年新高考数学一轮复习2-1 不等式的性质及常见不等式解法(知识点讲解)解析版

专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1．结合集合，考查不等式的概念、性质，结合作差法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2．结合函数的图象，考查不等式的解法，凸显直观想象、数学运算的核心素养．【知识点展示】（一）不等式的性质1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．*(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．4．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．5．求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时．一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．6.不等式性质(1)对称性：a>b⇔b<a.(2)传递性：a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc.(5)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d.(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n∈N，n≥2)．(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n∈N，n≥2)．（二）不等式的解法1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．*2．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式.f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0. f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 3．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集．4．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．（三）绝对值不等式1．绝对值不等式的解法（1）形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．（2）形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式①绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集②|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)．2. 绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．（四）几条常用结论1．倒数性质的几个必备结论(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b. (2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则(1)b a b －m a －m(b －m >0)． (2)a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．【常考题型剖析】题型一用不等式表示不等关系例1. （2010·浙江·高考真题（文））某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______【答案】20【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,所以x min =20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．题型二：比较数或式子的大小例2.（2022·全国·模拟预测（理））已知10a b a >>>，则下列结论正确的是（） A ．1a b b a -⎛⎫> ⎪⎝⎭ B ．log log a a b ba b < C ．log log a b b a a b < D ．11b a a b-<- 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合指数函数、对数函数的单调性、作差法比较大小等知识，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】因为10a b a>>>，所以1a >，对于A ：01b a <<，0a b ->，所以01a b b b a a -<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎝⎭=⎭，故A 错误；对于B ：1a b>，所以log a b y x =在(0,)+∞上为增函数，又a b >，所以log log a a b b a b>，故B 错误；对于C ：log log log log log a b a a a b a b b b b a b a ab -=+=，因为1a b>，1ab >，所以log log 10a a b b ab =>，所以log log a b b a a b >，故C 错误；对于D ：11111()ab b a b a a b a b b a ab -⎛⎫⎛⎫---=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0a b ->，1ab >，所以111()0ab b a a b a b ab -⎛⎫⎛⎫---=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11b a a b -<-，故D 正确. 故选：D例3.比较大小：(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小；(2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0，∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)．(2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a. 【领悟技法】1.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型三：不等式性质及其应用例4.（2022·上海·高考真题）已知a b c d >>>，下列选项中正确的是（）A ．a d b c +>+B ．a c b d +>+C ．ad bc >D ．ac bd >【答案】B【解析】【分析】用不等式的基本性质得解.【详解】3210>>>，但3021+=+，3021⨯<⨯，A 、C 错a b c d >>>，,a c b d ∴>>，所以a c b d +>+.B 正确.30212>>->-，但()()30122⨯-<⨯-，D 错.故选:B.例5.（2014·四川·高考真题（文））若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c< 【答案】D【解析】【详解】本题主要考查不等关系．已知0,0a b c d >><<,所以110d c->->，所以a b d c ->-，故a b d c <．故选D 例6.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数a ，b 满足43a a b <，则下列选项中一定成立的有（） A ．22a b >或0b a >>，逐一分析四个选项，即可得答案.【详解】因为43a a b <，所以3()0a a b -<，所以300a a b ⎧<⎨->⎩或300a ab ⎧>⎨-<⎩，所以0a b >>或0b a >>，所以22b a >，故A 正确；若0a b >>，则33a b >，故B 错误；若0a b >>，则0a b ->，所以1a b e ->，故C 错误；因为0a b >>或0b a >>，所以01a b <<，所以ln 0a b ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：AD【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例．2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围．(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定．题型四：不等式的解法例7．（2020·全国·高考真题（理））设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B.例8.（广东高考真题（理））不等式的解集为 . 【答案】.【解析】令，则，(][),32,-∞-⋃+∞()12f x x x =-++()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>（1）当时，由得，解得，此时有；（2）当时，，此时不等式无解；（3）当时，由得，解得，此时有；综上所述，不等式的解集为. 例9．（2019·天津·高考真题（文））设x ∈R ，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为__________. 【答案】2(1,)3- 【解析】【分析】通过因式分解，解不等式．【详解】2320x x +-<，即(1)(32)0x x +-<，即213x -<<，故x 的取值范围是2(1,)3-．例10.（2022·上海·高考真题）不等式10x x-<的解集为_____________.【答案】{}01x x << 【解析】【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.【详解】10100x x x x -<⎧-<⇒⎨>⎩或100x x ->⎧⎨<⎩，解第一个不等式组，得01x <<，第二个不等式组的解集为空集. 故答案为：{}01x x <<【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．2x <-()5f x ≥215x --≥3x ≤-3x ≤-21x -≤≤()3f x =1x >()5f x ≥215x +≥2x ≥2x ≥(][),32,-∞-⋃+∞(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．(3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【易错警示】忽视二次项系数的符号致误3.形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解．题型五：绝对值不等式的应用例11.（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知,x y R ∈，则“1x <且2y <”是“3x y +<”的（）条件． A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】判断充分性可利用绝对值三角不等式，由3x y +<1,2x y <<可以举反例【详解】解：充分性：若1,2x y <<，则3x y x y +≤+<，充分性得证；必要性：若3x y +<，取2x =，0.5y =满足条件，但不能得出1,2x y <<，故为非必要条件；综上所述，“1,2x y <<”是“3x y +<”的充分不必要条件，故选：A ．例12．（2022·浙江·高考真题）已知,a b ∈R ，若对任意,|||4||25|0x a x b x x ∈-+---≥R ，则（） A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤ C ．1,3a b ≥≥ D ．1,3a b ≥≤【答案】D【解析】【分析】将问题转换为|||25||4|a x b x x -≥---，再结合画图求解．【详解】由题意有：对任意的x ∈R ，有|||25||4|a x b x x -≥---恒成立．设()||f x a x b =-，()51,2525439,421,4x x g x x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=---=-<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，即()f x 的图像恒在()g x 的上方（可重合），如下图所示：由图可知，3a ≥，13b ≤≤，或13a ≤<，3143b a≤≤-≤，故选：D ．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f (x )＝|x ＋a |＋|x ＋b |和f (x )＝|x ＋a |－|x ＋b |的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值.(3)利用绝对值的几何意义.。

2022年高考数学第一轮复习-第2章不等式专练2 基本不等式(1) (1)

第二章专练2—基本不等式（1）一、单选题1．已知实数3x >，则943x x +-的最小值是( ) A ．24B ．12C ．6D ．32．若正数x ，y 满足220x y xy +-=，则2x y +的最小值为( ) A ．9B ．8C ．5D ．43．当1x >时，2()4xf x x =+的最大值为( ) A ．14B ．12C ．1D ．24．已知102a <<，则14212a a+-的最小值是( ) A ．6B ．8C ．4D ．95．已知0a >，0b >且31a b +=，则28a b +的最小值为( )A ．B ．C ．6D ．86．设x ，y 均为正实数，且33122x y+=++，则x y +的最小值为( ) A ．8B ．16C ．9D ．67．设实数x 满足0x >，函数4231y x x =+++的最小值为( )A ．1B ．2C ．1D ．68．若正数x ，y 满足21y x+=，则2x y+的最小值为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8二、多选题9．已知0a >，0b >，1a b +=，则下列等式不可能成立的是( ) A ．221a b +=B ．1ab =C ．212a b +=D ．2212a b -=10．已知0a >，0b >，231a b +=，下列结论正确的是( ) A ．22a b +的最小值为112B ．2424log log a b +的最大值为1-C ．11ab+的最小值为 D ．48a b +的最小值为11．下列函数中，最小值是4的函数有( ) A ．224()f x x x=+ B ．4()cos (0)cos 2f x x x x π=+< C ．2()f x =D ．4()33x x f x =+12．已知实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，下列结论中正确的是( ) A ．4b B ．28a b + C ．111a b+>D ．274ab三、填空题13．已知0a >，0b >且25a b +=，则21ab a b++的最小值为． 14．已知正实数x ，y 满足1x y +=，则2y x xy+的最小值为． 15．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141a b ++的最小值为． 16．若正实数x ，y 满足114x xy y ++=，则11x x y++的最小值为．四、解答题17．（Ⅰ）若a ，0b >，且3ab a b =++，求ab 的最小值；（Ⅱ）若a ，0b >，且ab a b =+，求4a b +的最小值． 18．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为(1,3)-，求a ，b 的值；（2）若当f （1）2=，且0a >，1b >-，求41a b ab a+++的最小值．第二章专练2—基本不等式（1）答案1．解：3x >，30x ∴->，9944(3)121224(2433x x x x +=-+++=--，当且仅当94123x x -=-时，取得最小值24．故选：A ．2．解：由220x y xy +-=，得22x y xy +=，所以1112y x+=，所以112(2)1(2)()2224222x y x x y x y y x y x y +⋅=+⋅+=+++，当且仅当22x y y x=时取等号，故选：D ． 3．解：因为1x >，故2111()44442x f x x x x x===++⋅，当且仅当4x x=，即2x =时取等号，故2()4x f x x =+的最大值为14．故选：A ．4．解：因为102a <<，所以20a >，120a ->，14141281()[2(12)]145292122122122a a a a a a a a a a --+=++-=++++---，当且仅当128212a aa a-=-，即16a =时取等号，所以14212a a+-的最小值是9．故选：D ．5．解：因为0a >，0b >且31a b +=，则28228a b a b +⋅=，当且仅当132a b ==即12a =，16b =时取等号，故选：A ．6．解：因为x ，y 均为正实数且33122x y+=++，则3322[(2)(2)]()22x y x y x y +++=++++++， 223(2)3(22)1222y x x y++=+++=++，所以8x y +，当4x y ==时取等号．故选：A ．7．解：0x >，10x ∴+>，4442323(1)33(1)123(1)11111y x x x x x x x ∴=++=++-+=++-+=+++，当且仅当43(1)1x x +=+，即23103x =->时等号成立， ∴函数4231y x x =+++的最小值为431-．故选：A ．8．解：0x >，0y >，∴2224()()224248x y x xy y x y xy+=++=++++=，当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时，等号成立，∴2()8min x y+=．故选：D ．9．解：选项A ：因为1a b +=，所以222()21a b a b ab +=++=，则22121a b ab +=-<，(0,0)a b >>，故A 不成立；选项B ：因为2a b ab +，所以21()24a b ab +=，当且仅当a b =时取等号，此时ab 的最大值为14，故B不成立；选项C ：因为22213311()2442a b a a a +=-+=-+>，当且仅当12a =时取等号，故C 不成立；选项D ：若221()()2a b a b a b a b -=+-=-=，又1a b +=，所以解得31,44a b ==，显然满足条件，故D 成立，故选：ABC ．10．解：0a >，0b >，231a b +=，1203ab -∴=>，故102a <<，故22222121341()39a a a ab a --++=+=，当213a =时，上式取得最小值113，A 错误；因为12326a b ab =+，当且仅当1232a b ==，即14a =，16b =时取等号，解得，124ab， 242424log log log 1a b ab +=-，即最大值1-，B 正确；112323325526a b a b b aa b a b a b+++=+=+++，当且仅当32b a a b =时取等号，此时取得最小值5+C 错误；48248a b a b +⋅=当且仅当23a b =且231a b +=，即14a =，16b =时取等号，此时取得最小值D 正确．故选：BD ．11．解：:()A f x 的定义域为{|0}x x ≠，20x >，222244()24f x x x x x ∴=+⋅，当且仅当224x x =即x ± ()f x ∴的最小值为4．A ∴正确．:02B x π<，0cos 1x ∴<，4()cos 2cos 4cos f x x x x ∴=+⋅，当且仅当4cos cos x x= 即cos 2x =时取等号． cos (0x ∈，1]，∴等号取不到，()f x ∴最小值不能为4．B ∴不正确． :()C f x 的定义域为R ，2()244x f x ===，当且仅当即x =时取等号，()f x ∴的最小值为4．C ∴正确． :()D f x 的定义域为R ，30x >，44()323433x x xx f x ∴=+⋅，当且仅当433x x = 即23log x =时取等号， ()f x ∴的最小值为4．D ∴正确．综上所述：故答案为A ，C ，D ．故选：ACD ．12．解：实数a ，b 满足20(1)a ab b a -+=>，A ．2211111122(1)241111a a b a a a a a a a-+===++=-++-=----，当且仅当2a =时取等号，因此正确；11.2213(1)423(1)4411B a b a a a a a a +=+++=-++-=--，当且仅当1a =+取等号，因此不正确；C．1a >，∴1(0,1)a∈，2221111121(1)11a abaaaaa-+=+=-+=--+<，因此不正确；D ．2311a a ab a a a =⋅=--，令3()1x f x x =-，(1)x >．2232()2()(1)x x f x x -'=-，可得32x =时，函数()f x 取得极小值，即最小值．33()3272()32412f ==-，27()4f x ∴，即274ab ，因此正确．故选：AD ．13．解：0a >，0b >，且25a b +=，则212552b a ab ab ab ababab ab ab+++=+=+⋅ 当且仅当5ab ab=时取等号，故21ab ab ++的最小值为．故答案为：．14．解：正实数x ，y 满足1x y +=，1y x ∴=-，(0,1)x ∈，∴21212311(1)(1)(1)y x x x xy x x x x x x x x --+=+=-++=-+---，令3(2,3)t x =-∈，则22111111546(3)(2)655()5y t t xxyt tt t t t+=-+=-+=-+-+-+++----+-+-，当且仅当t 时取“=”，故答案为：4+15．解：因为22221a b +=，所以2222(1)3a b ++=，则22222214114()[22(1)]131a b a b a b+=+++++，222212281(10)(106313b a a b +=+++=+，当且仅当22222281b a a b+=+且22221a b +=，即0b =，212a =时取等号，则22141a b ++的最小值6．故答案为：6． 16．解：由114x xy y ++=可得：11414x x y x x+-=-=, 所以(1)41x x y x +=-, 则11141(1)x x x xy x x x -++=+++ 14155(1)1(1)11x x x x x x x x x ++-=+=+=++-+++2(1)11x +=, 当且仅当511x x +=+,即1x =时取等号，此时11x xy++的最小值为1,故答案为：1．17．解：()I a ，0b >，323ab a b ab =+++，当且仅当a b =时取等号， 3ab ，所以9ab ，即ab 的最小值9，()II a ，0b >，且ab a b =+，∴111a b+=， 1144(4)()5529b a b a b a b a b a b a +=++=+++⋅，当且仅当4b aa b=且111a b +=，即32a =，3b =时取等号，此时4a b +取得最小值9．18．解：（1）由不等式()0f x >的解集为(1,3)-可得：2(2)3ax b x +-+的两根为1-，3且0a <，由根与系数的关系可得：213313b aa -⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩．可得1a =-，4b =，（2）若f （1）232a b =+-+=，则1a b +=，0a >，10b +>，∴1[(1)]12a b ++=， ∴41141141149[(1)]()[5]121212a b b a a b ab a a b a b a b +++=+=+++=++++++，当且仅23a =，13b =时式中等号成立，∴41a b ab a +++的最小值为92．。

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同步练习g3.1004解不等式2
1．若x ∈R ，则(1－|x |)(1+x )>0的充要条件是
（A ）|x |<1 （B ）x <－1或－1<x <1 （C ）|x |>1 （D ）x <－1 2
．不等式|x －2|的解集是
（A ）{x | 0<x <2} （B ）{x | 0≤x ≤2} （C ）{x | 1≤x ≤2} （D ）{x | 1<x <2} 3．若|x －a |<
2
h , |y －b |<
2
h ，则不等式一定成立的是
（A ）|x +y －a －b |<2
h , |x －y +a －b |<2
h （B ）|x +y －a －b |<h , |x －y +a －b |<h
（C ）|x +y +a +b |<h , |x －y －a +b |<h （D ）|x +y －a －b |<h , |x －y －a +b |<h 4．不等式3≤|5－2x |<9的解集是
（A ）(－∞, －2)∪(7, +∞) （B ）[1, 4] （C ）[－2, 1]∪[4, 7] （D ）(－2, 1]∪[4, 7) 5
．不等式x +a (a >0)的解集为（A ）{x | －
2
a <x <a } （B ）{x | x >0或x <－5
4
a }
(C ）{x | －a ≤x <－5
4a 或0≤x <a } （D ）{x | 0<x ≤a } 6
．不等式的解集为
（A ）(2, 4)∪(20, +∞) （B ）(－∞, 4)∪(20, +∞) （C ）(－∞, －5)∪(20, +∞) （D ）(20, +∞)
7．当x ∈(1, 2)1x -a x 恒成立，则a 的取值范围是（A ）(0, 1) （B ）(1, 2) （C ）(1, 2] （D ）[2, +∞) 8
．若不等式ax +23
的解集为(4, b )，则a , b 的值分别为
（A ）36,
8
1 （B ）
8
1, 36 （C ）4
1, 9 （D ）9,
4
1
9．不等式(x －
≥0的解集为
（A ）{x | x >1} （B ）{x | x ≥1} （C ）{x | x ≥1或x =－2} （D ）{x | x ≥－2且x ≠1} 10
2
<1的解集是
（A ）(1, 5) （B ）(
2
1, 2) （C ）(1, 2) （D ）(
2
1, 5)
11．不等式log 2|x －3|<1的解集是 . 12．不等式|x 2－x |<2
1
x 的解集是 .
13．不等式(x 3－
0的解集为 .
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14．不等式|x 2
|<|2
|+|x 2－2|的解集是 .
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11. . 12. .
13. . 14. . 14. 解不等式：|x 2－4x +3|>x 2－4|x |+3.
15.解不等式：22228)log (28)x x x x -++-+≥12.
16.若不等式ax x x >-24的解集是（0，2），求参数a 的值.
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同步练习g3.1004解不等式2
1—10、BCDDD DBBCA 11、{|153}.x x <<≠且 12、13{|
}.22x x <<
13、{|121}.x x x ≤≤=-或 14、{|3,7}x x x >≠
15、{|130}.x x x <<<或 16、{|24}.x x x ≤-≥或 17、a =1.。