2018届四川省德阳市高三二诊考试理科数学试题Word版含答案

2018届四川省德阳市高三二诊考试
理科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 为虚数单位，实数x ，y 满足(2)x i i y i +=-，则x yi -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5
2.已知集合2{|40}A x N x x =∈-<，集合2{|20}B x x x a =++=，若{1,2,3,3}A B =-，则A B =
（ ）
A ．{1}
B ．{2}
C ．{3}
D ．φ
3.函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向右平移
6
π
个单位后所得的图象关于原点对称，则ϕ可以是（ ） A ．6π B ．3π C ．4
π D ．23π
4.为弘扬我国优秀的传统文化，市教育局对全市所有中小学生进行了“成语”听写测试，经过大数据分析，发现本次听写测试成绩服从正态分布(78,16)N .试根据正态分布的相关知识估计测试成绩不小于90的学生所占的百分比为（ ）
A ．0.13%
B ．1.3%
C ．3%
D ．3.3% 参考数据：若2(,)X
N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，
(33)0.9974P X μσμσ-<<+=.
5.如图所示的三视图表示的几何体的体积为
32
3
，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．12π
B ．24π
C ．36π
D ．48π
6.《九章算术》是我国古代一部数学名著，某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图，其中(,)MOD m n 表示m 除以n 的余数，例如(7,3)1MOD =.若输入m 的值为8时，则输出i 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 7.已知235log log log 0x y z ==<，则
2x 、3y
、5
z 的大小排序为（ ） A ．
235x y z << B ．325
y x z << C ．
523z x y << D ．532z y x
<< 8.平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点
A ，平面//α平面1A BD ，平面α平面ABCD l =，则直
线l 与直线1CD 所成的角为（ ）
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
9.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，其一条渐近线被圆22()4(0)x m y m -+=>截得
的线段长为22，则实数m 的值为（ ）
A ．3
B ．1
C ．2
D ．2
10.已知函数31
()sin 31
x x
f x x x -=+++，若[2,1]x ∃∈-，使得2()()0f x x f x k ++-<成立，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(1,)-+∞
B ．(3,)+∞
C ．(0,)+∞
D ．(,1)-∞-
11.如图，过抛物线2
4y x =的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于A 、
B 、
C 点，令
1AF BF
λ=，
2BC BF
λ=，则当3
π
α=
时，12λλ+的值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
12.已知A 、B 是函数2,()
()(2),()
x a e x a f x f a x x a -⎧-≥=⎨-<⎩（其中常数0a >）图象上的两个动点，点(,0)P a ，若
PA PB ⋅的最小值为0，则函数()f x 的最大值为（ ）
A ．21e -
B ．1e -
C ．2
e e - D ．e
e
- 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13.已知实数x ，y 满足条件2
300
x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则3x y +的最大值为 ．
14.1n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是 ．
15.如图，在三角形OPQ 中，M 、N 分别是边OP 、OQ 的中点，点R 在直线MN 上，且
OR xOP yOQ =+(,)x y R ∈，则代数式221
2
x y x y +--+
的最小值为 ．
16.已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c 且6a =，4sin 5sin B C =，有以下四个命题：
①ABC ∆的面积的最大值为40；
②满足条件的ABC ∆不可能是直角三角形；
③当2A C =时，ABC ∆的周长为15；
④当2A C =时，若O 为ABC ∆的内心，则AOB ∆的面积为7. 其中正确命题有 （填写出所有正确命题的番号）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a λ+=+（λ为常数）. （1）试探究数列{}n a λ+是否为等比数列，并求n a ； （2）当1λ=时，求数列{()}n n a λ+的前n 项和n T .
18.第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：
收看时间（单位：小时）
[0,1)
[1,2)
[2,3)
[3,4)
[4,5)
[5,6)
收看人数
14
30
16
28
20
12
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22⨯列联表：
男 女 合计 体育达人 40 非体育达人 30 合计
并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；
（2）在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：
20()P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为2的菱形，60DAB ∠=，90ADP ∠=，面
ADP ⊥面ABCD ，点F 为棱PD 的中点.
（1）在棱AB 上是否存在一点E ，使得//AF 面PCE ，并说明理由； （2）当二面角D FC B --的余弦值为
1
4
时，求直线PB 与平面ABCD 所成的角. 20.已知长度为32的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，设动点P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；
（2）过点(4,0)且斜率不为零的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，在x 轴上是否存在定点T ，使得直线MT
与NT 的斜率之积为常数.若存在，求出定点T 的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由. 21.已知函数2()ln f x a x =+且()f x a x ≤. （1）求实数a 的值； （2）令()
()xf x g x x a
=
-在(,)a +∞上的最小值为m ，求证：6()7f m <<. 请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：22x t
y t
=+⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线C ：2sin ρθ=.
（1）求直线l 的极坐标方程及曲线C 的直角坐标方程； （2） 记射线0,02πθαρα⎛⎫
=≥<<
⎪⎝
⎭
与直线l 和曲线C 的交点分别为点M 和点N （异于点O ）
，求ON OM
的最大值.
23.已知函数()1f x x =-.
（1）解关于x 的不等式2
()1f x x ≥-；
（2）若关于x 的不等式2()1f x a x x <-++的解集非空，求实数a 的取值范围.。