高考数学总复习 第2章 第12节 导数的综合应用课件 理(新版)苏教版必修1

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1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为优化问 题．
2．利用导数研究函数的单调性和最(极)值等离不开方程与不 等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立求参 数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进 行研究．
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[答案] 9
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3．(2014·苏州模拟)函数 y＝1x ＋2ln x 的单调递减区间为 ________．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)，由 y＝1x＋2ln x 得 y′＝－ x12＋2x＝2xx－2 1≤0(x>0)解得 0<x≤12.即单调递减区间为0，12.
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(2)由题设 g(x)＝f′(x)－3x＝1x－xm2－3x(x>0)，
令 g(x)＝0，得 m＝－13x3＋x(x>0)．
设 φ(x)＝－13x3＋x(x>0)，
则 φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，
当 x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
[解析] (1)正确． (2)最优解可能出现在区间内，不一定非得在界点处，(2)错误． (3)最小值可能在界点处取得，不一定是极小值，(3)错误． (4)由图象特征知(4)正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
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[答案] (4，＋∞)
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考向 1 导数在方程(函数零点)中的应用 【典例 1】 (2014·陕西高考)设函数 f(x)＝ln x＋mx ，m∈R. (1)当 m＝e(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数 g(x)＝f′(x)－3x零点的个数； (3)若对任意 b>a>0，fbb－－faa<1 恒成立，求 m 的取值范围．
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固
基
础
·
自
主
落
实
第十二节 导数的综合应用
提 知 能
· 典 例 探 究
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启 智 慧 · 高 考 研 析
课 后 限 时 自 测
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内容
要求 AB C
利用导数研究函数的
考纲传真
√
单调性与极值最值
导数在实际问题中应 √
用
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2．(教材习题改编)已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与 年产量 x(单位：万件)的函数关系式为 y＝－13x3＋81x－234，则使 该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．
[解析] y′＝－x2＋81，y′＝0 时 x＝9，当 0<x<9 时，y′>0 即原函数为增函数，当 x>9 时，y′<0 即原函数为减函数，所以 x ＝9 时利润最大．
当 x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1 是 φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此 x＝1 也是
φ(x)的最大值点，
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∴φ(x)的最大值为 φ(1)＝23.
又 φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图象(如图)，可知
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理科数学（江苏专版） 3．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
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1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误
的打“×”)
(1)实际问题中函数定义域要由实际问题的意义和函数解析式
共同确定．( )
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[解] (1)由题设，当 m＝e 时，f(x)＝ln x＋ex， 则 f′(x)＝x－x2 e， ∴当 x∈(0，e)，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减， 当 x∈(e，＋∞)，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增， ∴当 x＝e 时，f(x)取得极小值．f(e)＝ln e＋ee＝2， ∴f(x)的极小值为 2.
(2) 若 实 际 问 题 中 函 数 定 义 域 是 开 区 间 ， 则 不 存 在 最 优
解．( )
(3)函数 f(x)只有一个极小值点，则函数 f(x)的极小值也是最小
值．( )
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(4)函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴最多有 3 个交点， 最少有一个交点．( )
[答案] 0，12
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4．(2014·南京盐城高三数学二模数学试卷)表面积为 12π 的圆 柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________．
[解析] 因为 12π＝2πrh＋2πr2，rh＋r2＝6，所以 V＝πr2h＝πr(6 －r2)，0<r< 6.由 V′＝π(6－3r2)＝0 得 r＝ 2.当 0<r< 2时，V′>0， 当 2<r< 6时，V′<0，所以当 r＝ 2时，V 取极大值，也是最大 值，此时 h＝2 2.r∶h＝1∶2.
[答案] 1∶2
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5．设函数 f(x)＝－x3＋3x＋2，若不等式 f(3＋2sin θ)<m 对任意 θ 恒成立，则实数 m 的取值范围为________．
[解析] 由 3＋2sin θ∈[1,5]，从而只需 m>f(x)max，x∈[1,5]， f′(x)＝－3x2＋3，令 f′(x)＝0，x＝±1， 当 x∈[1,5]时，f′(x)≤0 恒成立，即 f(x)在[1,5]上为减函数， f(x)max＝f(1)＝4，故实数 m 的范围为(4，＋∞)．
①当 m>23时，函数 g(x)无零点；
②当 m＝23时，函数 g(x)有且只有一个零点；
③当 0<m<23时，函数 g(x)有两个零点；