非寿险第七讲

Buhlmann －Straub 模型的推广

假定 {|;1,,}j X j n Θ= 是独立随机变量，

(|)()j E X μΘ=Θ，

var(|)()()/j j X w v m Θ=Θ+Θ， 求1n X +的信度估计 由于

()[(|)][()]j j E X E E X E μμ=Θ=Θ=

var()[var(|)]var[(|)] [()()/]var[()] /j j j j j X E X E X E w v m w v m a

μ=Θ+Θ=Θ+Θ+Θ=++ 对于i j ≠，cov(,)i j X X a =，将上式代入方程（3）和（8）得到

01

n

j j μααμ

==+∑

（3） 1

(/)n

j i i j a a w v m αα==++∑

（8） 由（3）有

01

1/n

j j ααμ==-∑

由（8）有 0(1/)(/), 1,,

i i a a w v m i n αμα=-++=

因此，

0//i i a w v m αμ

α=

+

将i 相加得到，

01

1

1/n

n

j

j j j j

m a v wm

αααμμ

====-+∑∑

因此

0*

1

11

1n

j

j j

a

am v wm

μ

αμ

μ

==

=

++

+∑

其中*

1n

j j j

m m v wm ==+∑

，于是

*

1

1j

j j am v wm am

α=

++

信度估计为

**111n j j j j

m X a

am am v wm μ

=++++∑ 若令

**1am z am =+，*11n

j j j j

m X X m v wm ==+∑， 信度估计等于

(1)zX z μ+-

注：当m j －>∞时，*n

m w

→

， **/11/am an w z am an w

=→++

例：设{|;1,,}j X j n Θ= 是独立随机变量，(|)()j E X μΘ=Θ，

var()()()/j w v m Θ=Θ+Θ，且var[()]/a b m μΘ=+，其中1n j j m m ==∑，求1n X +信度估计。 解：由上例知，

()[(|)][()]j j E X E E X E μμ=Θ=Θ=

var()[var(|)]var[(|)] [()()/]var[()] //j j j j j X E X E X E w v m w v m a b m

μ=Θ+Θ=Θ+Θ+Θ=+++ 对于i j ≠，

2

22

cov(,)[(|)] [()] /i j i j X X E E X X E a b m

μμμ=Θ-=Θ-=+ 使用与上例同样的计算方法，就可以得到信度因子

*

*

(/)1(/)a b m m z a b m m

+=++ 信度保费为(1)zX z μ+-，其中X 和m*的定义如同上例。

经验贝叶斯参数估计

问题的提出：当我们对结构函数()πθ和条件分布|(|)i X i f x θΘ不是很清楚时，如何去计算a, v, 和μ。

分三种情况讨论

（1） 非参数估计：结构函数()πθ和条件分布|(|)i X i f x θΘ未知 （2） 半参数估计：结构函数()πθ未知，但条件分布|(|)i X i f x θΘ形式已知

（3） 参数估计：结构函数()πθ、条件分布|(|)i X i f x θΘ形式已知，但参数未知

下面我们将讨论（1）和（2）两种情况。

记号和假设 （1）损失

假设有r 个投保人，

ij X 表示第i 个投保人，第j 年的每风险单位的损失

12(,,...,)'i i i i in X X X X =，表示第i 个投保人的损失，i n 表示i 个投保人的投保人数

12(,,...,)r X X X =X ，表示全部投保人的损失，r 表示投保人的个数。

（2）风险参数

i Θ表示第i 个投保人的风险参数，取值于1,...,r θθ，

1,...,r ΘΘ独立同分布

()i πθ，1,...,i r =表示风险参数i Θ的分布

给定i Θ，,1,...,ij i X j n =是相互独立的，分布为|(|)ij X i i f x θΘ

（3）风险单位数

ij m 表示第i 个投保人第j 年的风险单位数，一般约定为1

1

i

n i ij j m m ==∑，第i 个投保人的风险单位数总和

1

r

i i m m ==∑，所有投保人的风险单位数的总和

（4）平均损失

1

1i

n i ij ij j i X m X m ==∑表示第i 个投保人的每风险单位的平均损失

111

11i

n r r i i ij ij i i j X m X m X m m =====∑∑∑每风险单位的平均损失