第三章数值积分

§2 插值型的求积公式与N关ew键to是nf-(Cx)otes 公式
近似计算 I
b
f ( x)dx
a
b
a Pn (x)dx
思 路
利用插值多项式
Pn ( x)
f ( x)则积分易算。
在[a,
b]上取
a
n
x0
<
x1
插值型积分公式 <…I<nxtnerpbo，la做tofry的qnu次ad插ra值tu多re
第三章 数值积分(Numerical Integration)
§1 引言
一、数值求积的基本思想
积分
I
b
a
f
( x)dx
只要找到被积函数
f
(x)原函数F(x)，便有
牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
实际困难：大量的被积函数（ sin x , sin x2 等）, 找不到用初等函 x
~ fk
≤δ(k=0,1,
n
n
…,n), 就有 | Ak f ( xk ) Ak fˆk | e, 则称求积公式是稳定的.
k 0
k 0
定理3 若求积公式(1．3)中系数Ak＞0 (k＝0，1，…，n)， 则此求积公式是稳定的．
定理3表明，只要求积系数Ak＞0 (k＝0,1,…,n)，就能保证 计算的稳定性．
a
Ak f ( xk )
k 0
(1.3)
式中 xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称为伴随节点 xk 的
权．权Ak 仅仅与节点xk 的选取有关，而不依赖于被积函数 f(x)的
具体形式．
使积分公式具有通用性
这类数值积分方法通常称作机械求积， 其特点是将积分求
值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿——莱布尼兹公式
需要寻求原函数的困难．
二、代数精度的概念
数值求积方法是近似方法，为要保证精度，我们自然希望求积 公式能对“尽可能多”的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精 度的概念．
定义 1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地成
立，但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m次
代数精度．
一般地，欲使求积公式
f(0)
+
9h 4
f(2h)
由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度; 而当f(x)=x3 时,公式的左边= 841h4, 右边=18h4, 公式的左边右边,说明 此公式对 f(x)=x3不能准确成立.因此,公式只具有2次代数
精度.
三、求积公式的收敛性与稳定性
定义2
在求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk ) 中，若
k0
n
b
lim
n h0
k0
Ak
f
( xk
பைடு நூலகம்
)
a
f ( x)dx
其中 h max( 1 i n 由于计算
xi xi1 )，则称求积公式是收敛的．
f (xk)可能有误差,实际得到 ~fk ,即 f ( xk
)
~fk
k
.
定义3
对任给 e ＞0，若
0，只要
f (xk )
求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.
解: 令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有
解之得
3h=A0+ A1+ A2
9 2
h2=0
+
A1h+
A22h
9h3=0 + A1h2+ A24h2
A0=
3 4
h,
A1=0,
A2=
9 4
h.
故求积公式的形式为
30hf(x)dx
3h 4
数表示的原函数；另外, f (x)是（测量或数值计算出的）一张数
据表时，牛顿—莱布尼兹公式也不能直接运用。
积分中值定理：在[a, b]内存在一点 ，有
b f ( x)dx (b a) f() a
成立。 就是说, 底为b-a 而高为f()的矩形面积恰
等于所求曲边梯形的面积 .
问题 在于点ζ的具体位置一般是不知道的，因而 难以准确算出 f()的值．我们将f ()称为区间[a, b]上的平均高度．这样,只要对
a[ f (x) Ln (x)]dx a Rn (x)dx
b a
f (n1) ( x ) (n 1)!
n k 0
(x
xk ) dx
如果求积公式是插值型的, 按余项式, 对于次数≤ n的多项式 f (x)，
其余项R[ f ] 等于0，因而这时求积公式至少具有n次代数精度．
n
定理1：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
项式 Ln ( x) f ( xk )lk ( x，) 即得到
k0
b
n
b
f ( x)dx
a
f ( xk ) a lk ( x)dx
Ak
k 0
误差 R[ f ]
b
n
f (x)dx a
Ak f (xk )
k 0
b
Ak a
dx ( x x j )
jk ( xk x j )
b
b
由节点 决定， 与 f (x) 无关。
b
a
f ( x)dx
n
Ak
f ( xk )
具有m次代数
k0
精度，只要令它对于f (x) = 1，x，…，xm 都能准确成立，这就要求
Ak b a ;
Ak
xk
1 2
(b2
a2)
;
Ak xkm
1 (bm1 m1
am1 )
.
梯形公式
例1：
b f ( x)dx b a[ f (a) f (b)]
k0
b
该公式为插值型（即：Ak a lk ( x)dx）
a
2
考察其代数精度。
解：逐次检查公式是否精确成立
f(x)
代入
P0
=
1：
b
1
a
dx
b
a
=
ba 2
[1
1]
f(b)
代入 P1
=x
： bx dx a
b2 a2 2
=
ba 2
[a
b]
f(a) a
b
代入
P2
=
x2
：b a
x2dx
b3 a3 3
ba 2
[a 2
b2 ]
代数精度 = 1
例2 试构造形如 30hf(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值
平均高度f()提供一种算法,相应地便获得一种数值求积方法．
如果用两端点的“高度”f(a)与f(b)的算术平均作为平均高度f
()
的近似值，这样导出的T求积b公 a式[ f:(a) f (b)] 2
(1.1)
便是我而们如所果熟改悉用的区梯间形中公点式c(traapezboid的al“ru高le度). ”f (c)近似地取代平 2
均高度f ()，则又可导出所谓中矩形公式(今后简称矩形公式)：
R (b a) f a b 2
(1.2)
更一般地，我们可以在区间[a，b]上适当选取某些节点 xk ， 然后用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值，这样构造出的 求积公式具有下列形式
b
n
f ( x)dx