2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学、栟茶中学等四校高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省南通市如东高级中学、栟茶中学等四校高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知2(2),(1)(3)M a a N a a =-=+-，则,M N 的大小关系是（ ） A ．M N > B ．M N ≥C ．M N <D ．M N ≤【答案】A【解析】通过作差得到M N -，根据判别式∆和开口方向可知0M N ->，从而得到结果. 【详解】()()()2221323M N a a a a a a -=--+-=-+ 4120∆=-< 2230a a ∴-+>，即M N >本题正确选项：A 【点睛】本题考查作差法判断大小问题，关键是通过作差得到二次函数，根据判别式和开口方向得到符号.2．抛物线28y x =-的焦点坐标是（） A ．()0,2- B ．()2,0-C ．10,32⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标. 【详解】因为28y x =-可化为218=-x y ， 所以128=-p ，且焦点在y 轴负半轴，因此焦点坐标为10,32⎛⎫- ⎪⎝⎭故选C 【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题，熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型.3．（浙江省教育绿色评价联盟2018届5月）已知函数()f x x R ∈，，则 “()f x 的最大值为1”是“()1f x ≤恒成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】分析：根据“()f x 的最大值为1”与“()1f x ≤恒成立”的因果关系可得结果. 详解：因为由()f x 的最大值为1，一定可得()1f x ≤恒成立，反之，由()1f x ≤恒成立，不一定得到()f x 的最大值为1，（最大值小于1也有()1f x ≤恒成立），∴“()f x 的最大值为1”是“()1f x ≤恒成立”的充分不必要条件，故选A.点睛： 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 4．设a b 、是实数，且23a b +=，则24a b +的最小值是（ ）A ．6B ．C ．D ．8【答案】B【解析】直接用均值不等式24a b +≥ 【详解】由题24a b +≥==，当24a b =时取最小值B ．【点睛】本题主要考查均值不等式a b +≥，以及指数运用m nm n a a a +⋅=．5．已知方程22112x y m m -=+-表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >-B ．2m >C ．1m <-或2m >D ．12m -<<【答案】C【解析】双曲线的焦点可能在x 轴，也可能在y 轴上，分别写出两种情况下的双曲线的标准方程，22112x y m m -=+-或22121y x m m -=---，可得10,20,m m +>⎧⎨->⎩或20,10,m m ->⎧⎨-->⎩，解不等式可得答案. 【详解】当双曲线的焦点在x 轴上，双曲线方程22112x y m m -=+-，则10,20,m m +>⎧⎨->⎩解得：2m >； 当双曲线的焦点在y 轴上，双曲线方程22112x y m m -=+-22121y x m m ⇔-=---，所以20,10,m m ->⎧⎨-->⎩解得：1m <-；故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识.610=的化简结果为（ ）A ．2212516x y += B ．2212516y x +=C ．221259x y +=D ．221259y x +=【答案】D【解析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点(),x y 到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的,,a b c 得到结果. 【详解】10=，所以其几何意义是动点(),x y 到点()0,4-和点()0,4的距离之和等于10，符合椭圆的定义. 点()0,4-和点()0,4是椭圆的两个焦点.因此可得椭圆标准方程()222210y x a b a b+=>>，其中210a =，所以5a =4c =，所以3b ==所以曲线方程的化简结果为221259y x +=.故选D 项. 【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.7．已知椭圆 22:186x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，点P 为椭圆C 上不同于,A B两点的动点，若直线PA 斜率的取值范围是[1]2，，则直线PB 斜率的取值范围是( ) A ．[]21﹣，﹣ B ．33,24⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，-D ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】设()00,P x y ，则20206183==84PA PB x k k x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅--，再由直线PA 斜率的取值范围得出直线PB 斜率的取值范围． 【详解】由题意得()(),A B -，设()00,P x y ，则2200186x y +=，其中0x ≠±所以202022006183==884PA PBx y k k x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅==--- ， 又因为直线PA 斜率的取值范围是[1]2，，所以直线PB 斜率的取值范围是33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查椭圆中直线斜率的取值范围，解题的关键是设()00,P x y ，表示出2020618=8PA PB x k k x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅-，属于一般题．8．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A【解析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b-=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴b a ==双曲线的渐近线方程为：x y x ==,故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ） A ．12B．2CD．3【答案】B【解析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大， 设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩， 解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“222+=勾股弦”.设F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，直线3y x =交椭圆于A 、B 两点，若AF ，BF 恰好是Rt ABF V 的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为( )A ．31B ．32C ．312D ．12【答案】A【解析】设2F 是椭圆C 的右焦点，先证明四边形2AFBF 是矩形，再分析得到232AF AF c c a +=+=，进一步化简即得此椭圆的离心率.【详解】如图，设2F 是椭圆C 的右焦点，因为线段AB 与2FF 被点O 互相平分，且AF BF ⊥，所以四边形2AFBF 是矩形.又3AB k =，∴260AOF ∠=︒，∴2AOF ∆是等边三角形， 由22FF c =，∴2AF c =，3AF c =，∴232AF AF c c a +=+=，所以3131c e a ===-+. 故选A【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单几何性质，考查椭圆离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.二、填空题11．命题“1x ∃>，220x ->”的否定是______． 【答案】1x ∀>，220x -≤【解析】把结论中“＞”改为“≤”，同时把“存在”改为“对任意”． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“1x ∃>，220x ->”的否定是：“1x ∀>，220x -≤”．故答案为1x ∀>，220x -≤． 【点睛】命题的否定只要把命题中的结论改为相反的结论，同时题中的存在量词与相应的全称量词互换即得，注意与否命题的区别.12．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22143x y -=的焦点到渐近线的距离是______________.【解析】由双曲线方程可得焦点坐标和渐近线方程,再由点到直线的距离可得. 【详解】由双曲线22143x y -=可得224,3a b ==,所以222437c a b =+=+=,所以c =所以焦点坐标为(, 又渐近线方程为:by x a=±,20y ±=,所以焦点0)20y +=的距离为=故答案为【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,点到直线的距离,属于基础题.13．13．若椭圆2215x y m+=的离心率5e =，则m =________.【答案】3或253【解析】试题分析：当焦点在x 轴时2225105,53525m a b m c m m -==∴=-∴=∴=，同理可知当焦点在y 轴时253m =，所以m 的值为253或3 【考点】椭圆性质14．点()1,2A 在椭圆221259x y +=内，F 是右焦点，P 是椭圆上动点，则54PA PF+的最小值是_________ . 【答案】214【解析】据椭圆的第二定义得到45PF c d a ==，其中d 表示P 点到准线的距离即为PD ，故54PA PF +=PA+d ，当且仅当P ，A 和D 三点共线时，值最小。