人教版初一数学下册平行线及判断
七年级数学下《平行线及其判定》笔记
七年级数学下《平行线及其判定》笔记
一、平行线的定义
平行线是指在同一平面内，两条直线没有交点，或者说两条直线之间的距离处处相等。
二、平行线的判定定理
1.同位角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线
平行。
2.内错角相等：当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线
平行。
3.同旁内角互补：当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（即角度和
为180°），则这两条直线平行。
三、应用实例
1.交通标志：在公路上，车道线通常都是平行的，这些线可以帮助驾驶员判断车
辆是否在正确的车道上行驶。
2.建筑设计：在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性，通常会使用平行线来构
建平行的梁和柱子。
3.机械制造：在机械制造中，为了确保机器的精确度，常常需要使用平行线来检
测和调整机器的部件。
四、注意事项
1.平行线必须在同一平面内定义。
2.平行线的判定定理必须同时满足，不能只满足其中一条。
3.在实际应用中，要结合具体情境判断两条线是否平行。
五、练习与巩固
1.判断题：给出一些线段的图片，判断它们是否平行。
2.选择题：给出一些关于平行线的描述，选择正确的判定定理。
3.应用题：结合实际问题，例如计算平行线的距离、判断两条线是否平行等。
人教版初一数学下册平行线的性质与判定
平行线的性质与判定复习课学习目标1、掌握平行线的性质与判定,会灵活应用平行线的性质与判定2、从实际问题入手研究数学问题的一般方法以及所采用的思考问题的方法3、在解决问题的过程中体验求索的科学精神以及严谨的科学态度，进一步激发学习需求学习重点掌握平行线的性质与判定方法学习难点灵活应用平行线的性质与判定教具学具PPT本节课预习作业题1、同一平面内两条直线的位置关系有:2、平行公理3、平行公里的推论4、平行线的性质：平行线的判定：（1）两直线平行，；（4），两直线平行；（2）两直线平行，；（5），两直线平行；（3）两直线平行，；（6），两直线平行。
5、在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是 ( )A．∠A+∠2=180° B. ∠A=∠3C. ∠1=∠4D. ∠1=∠A6、AD∥B C，∠A=130°，DB平分∠ABC，则∠ADB=________（说明：本节课预习作业题应在前一节导学案中体现出来）教学设计：教学环节教学活动过程思考与调整活动内容师生行为4321FED CBADCBA预习交流学生展示预习题的完成情况1、教师课前检查了解学生完成预习作业情况。
2、教师布置学生自学，明确内容和要求，进行方法指导。
4、对第5、6题中进行解题方法指导。
展例1、AB∥CD，BC∥DE，则∠B+∠D=____________例2、如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同,也就是拐弯前后的两条路互相平行,第一次拐的∠B=142 °, 第二次拐的∠C是多少度,为什么?例3、如果两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个的3倍小20°，则这两个角的度数分别是＿＿＿＿＿＿＿1、教师布置学生先自己独立完成例1、例2两道题，再小组间交流讨论，全班展示，同学纠错，教师总结。
例3分析：首先，我们应分析如果两个角的两边分别平行，那么这两个角有怎样的关系呢？结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
人教版七年级数学课件《平行线的判定》
B.①③
C.①④
D.③④
2.如图，下列条件中,能判断直线.l1//l2的是( B )
A.∠2=∠3
C.∠4+∠5=180°
B.∠1=∠3
D.∠2=∠4
达标检测
人教版数学七年级下册
3.如图，下列条件中，能判断直线l1//l2的是( C )
A.∠1=∠2
C.∠1+∠3=180°
B.∠1=∠5
D.∠3=∠5
得∠1=∠2(等量代换)，
内错角相等，两直线平行
所以_________(________________________)．
AE∥GF
针对练习
人教版数学七年级下册
已知如图所示，∠ = ∠，点、、在同一条直线上，
∠ = ∠ + ∠，且平分∠，试说明 ∥ 的理由．
复习回顾
人教版数学七年级下册
如何用直尺和三角板过直线AB外一点P做AB的平行线CD.
知识精讲
人教版数学七年级下册
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
起着什么样的作用？
知识精讲
人教版数学七年级下册
可以看出，画直线AB的平行线CD，实际上就是过点P画与∠2
在用直尺和三角尺画平行线的过程中，直尺和三角尺分别
4.如图，下列结论中正确的是( C)
A.若∠1=∠4，则m//c
B.若∠1=∠2，则a//b
C.若∠1+∠3=180，则n//c
D.若∠2+∠3=180°，则m//n
达标检测
人教版数学七年级下册
5.如图(1)，光线AB,CD被一个平面镜反射，此时
∥
CD
∠1=∠3,∠2=∠4，则AB // _____,BE_____DF.
七年级数学下册 5.3平行线的性质(八大题型)(解析版 )
七年级下册数学《第五章相交线与平行线》5.3平行线的性质平行线性质定理性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠4.(两直线平行，内错角相等)．性质定理3：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．几何语言表示：∵a∥b(已知)，∴∠1＋∠2＝180°(同旁内角互补，两直线平行)．平行线的判定与性质（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．（3）平行线的判定与性质的联系与区别：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．概念：判断一件事情的语句，叫做命题．【注意】（1）.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题.（2）.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.命题的组成每个命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．【注意】在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意.真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题；假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.【注意】判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可以作为继续推理论证的依据．【拓展】数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理.如直线公理：两点确定一条直线.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．【注意】（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等.（2）.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理.证明的一般步骤：①根据题意画出图形；②依据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；③经过分析，找出由已知条件推出结论的方法，或依据结论探寻所需要的条件，再由题设进行挖掘，寻求证明的途径；④书写证明过程.是（）A．40°B．50°C．60°D．70°【分析】由垂线可得∠ACB＝90°，从而可求得∠B的度数，再结合平行线的性质即可求∠BCD的度数．【解答】解：∵BC⊥AE，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝40°，∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠B＝40°．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解题技巧提炼两直线平行时，应联想到平行线的三个性质，由两条直线平行的位置关系得到两个相关角的数量关系，由角的关系求相应角的度数.【变式1-1】（2023秋•简阳市期末）如图，a∥b，∠1＝40°，∠2＝∠3，则∠4＝（）A．70°B．110°C．140°D．150°【分析】先根据a∥b，∠1＝40°得出∠2+∠3的度数，由平角的定义得出∠5的度数，再由∠2＝∠3得出∠2的度数，再得出∠2+∠5的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，∴∠2+∠3＝180°﹣40°＝140°，∴∠5＝180°﹣140°＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝70°，∴∠2+∠5＝70°+40°＝110°，∴∠4＝∠2+∠5＝110°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．【变式1-2】（2022春•五莲县期末）如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC＝70°，∠CDE＝130°，则∠BCD的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．35°【分析】由AB∥CF，∠ABC＝70°，易求∠BCF，又DE∥CF，∠CDE＝130°，那么易求∠DCF，于是∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF可求．【解答】解：∵AB∥CF，∠ABC＝70°，∴∠BCF＝∠ABC＝70°，又∵DE∥CF，∴∠DCF+∠CDE＝180°，∴∠DCF＝50°，∴∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF＝70°﹣50°＝20°．故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．【变式1-3】（2021秋•霍州市期末）如图，如果AB∥EF、EF∥CD，若∠1＝50°，则∠2+∠3的和是（）A．200°B．210°C．220°D．230°【分析】由平行线的性质可用∠2、∠3分别表示出∠BOE和∠COF，再由平角的定义可得出答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠2+∠BOE＝180°，∴∠BOE＝180°﹣∠2，同理可得∠COF＝180°﹣∠3，∵O在EF上，∴∠BOE+∠1+∠COF＝180°，∴180°﹣∠2+∠1+180°﹣∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°+∠1＝180°+50°＝230°，故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①同位角相等⇔两直线平行，②内错角相等⇔两直线平行，③同旁内角互补⇔两直线平行，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式1-4】（2022秋•安岳县期末）已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE，∴∠1＝∠3，又∵DC∥EF，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠1＝180°，又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°，综合所述：∠2的度数为40°或140°，故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．【变式1-5】（2022春•海淀区月考）如图，点C在∠MON的一边OM上，过点C的直线AB∥ON，CD 平分∠ACM．当∠DCM＝60°时，求∠O的度数．【分析】根据角平分线的定义，即可得到∠ACM的度数，进而得出∠OCB的度数，再依据平行线的性质，即可得到∠O的度数．【解答】解：∵CD平分∠ACM，∴∠ACM＝2∠DCM．∵∠DCM＝60°，∴∠ACM＝120°．∵直线AB与OM交于点C，∴∠OCB＝∠ACM＝120°（对顶角相等），∵AB∥ON，∴∠O+∠OCB＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠O＝60°．【点评】本题主要考查了角的计算，平行线的性质以及角平分线的定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2023秋•海门区期末）如图，直线CE，DF相交于点P，且CE∥OB，DF∥OA．（1）若∠AOB＝45°，求∠PDB的度数；（2）若∠CPD＝45°，求∠AOB的度数；（3）像（1）（2）中的∠AOB，∠CPD称四边形PCOD的一组“对角”，则该四边形的另一组对角相等吗？请说明理由．【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等即可求得答案；（2）根据两直线平行，同位角相等及两直线平行，内错角相等即可求得答案；（3）根据两直线平行，同旁内角互补即可证得结论．【解答】解：（1）∵DF∥OA，∠AOB＝45°，∴∠PDB＝∠AOB＝45°；（2）∵CE∥OB，∴∠CPD＝∠PDB，∵DF∥OA，∴∠PDB＝∠AOB，∴∠AOB＝∠CPD，∵∠CPD＝45°，∴∠AOB＝45°；（3）相等，理由如下：∵CE∥OB，DF∥OA，∴∠OCP+∠AOB＝180°，∠CPD+∠ODP＝180°，∵∠AOB＝∠CPD，∴∠OCP＝∠ODP．【点评】本题考查平行线性质，熟练掌握并利用平行线的性质是解题的关键．【变式1-7】（2021春•黄冈期中）如图，DB∥FG∥EC，A是FG上的一点，∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠CAD，求∠PAG的度数．【分析】根据平行线的性质，可以得到∠DAG和∠CAG度数，然后根据AP平分∠CAD，即可得到∠PAG 的度数．【解答】解：∵DB∥FG∥EC，∴∠BDA＝∠DAG，∠ACE＝∠CAG，∵∠ADB＝60°，∠ACE＝36°，∴∠DAG＝60°，∠CAG＝36°，∴∠DAC＝96°，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝48°，∴∠PAG＝12°．【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【变式1-8】（2023秋•原阳县校级期末）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC．BE垂直于CE，求证：CE平分∠BCD．【分析】过E作EF∥AB交BC于点F，根据平行线的性质可求得∠ABC+∠BCD＝180°，再结合垂线的定义可得∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°，再利用角平分线的定义可证明结论．【解答】证明：过E作EF∥AB交BC于点F，∴∠ABE＝∠FEB，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠DCE＝∠FEC，∵BE⊥CE，∴∠BEF+∠CEF＝∠ABE+∠DCE＝90°，∴∠EBC+∠ECB＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠DCE＝∠BCE，∴CE平分∠BCD．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，证明∠ABE+∠DCE＝90°，∠EBC+∠ECB＝90°是解题的关键．【例题2】已知，如图所示，四边形ABCD中，∠B＝90°，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∠1+∠2＝90°，试说明DA⊥AB．【分析】由角平分线的定义和条件可得∠ADC+∠BCD＝180°，可证明DA∥BC，再由平行线的性质可得到∠A＝90°，可证明DA⊥AB．【解答】证明：∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADC＝2∠1，∠BCD＝2∠2，∵∠1+∠2＝90°，∴∠ADC+∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴DA⊥AB．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．解题技巧提炼准确识别图形，理清图中各角度之间的关系是解题的关键，再综合角平分线的定义、对顶角的性质及邻补角的定义求解.【变式2-1】（2022春•龙岗区期末）已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．【分析】先根据垂直的定义得出∠BHF＝90°，再由∠1＝∠ACB得出DE∥BC，故可得出∠2＝∠BCD，根据∠2＝∠3得出∠3＝∠BCD，所以CD∥FH，由平行线的性质即可得出结论．【解答】证明：FH⊥AB（已知），∴∠BHF＝90°．∵∠1＝∠ACB（已知），∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），∴∠2＝∠BCD．（两直线平行，内错角相等）．∵∠2＝∠3（已知），∴∠3＝∠BCD（等量代换），∴CD∥FH（同位角相等，两直线平行），∴∠BDC＝∠BHF＝90°，（两直线平行，同位角相等）∴CD⊥AB．【点评】本题考查的是平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．【变式2-2】如图，已知DA⊥AB，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，且∠1+∠2＝90°，试说明BC⊥AB．【分析】过E作EF∥AD，交CD于F，求出∠FEC＝∠2＝∠BCE，根据平行线的判定推出BC∥EF，即可得出答案．【解答】解：过E作EF∥AD，交CD于F，则∠ADE＝∠DEF，∵DE平分∠ADC，∴∠1＝∠ADE，∴∠1＝∠DEF，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC＝90°，∴∠DEF+∠FEC＝90°，∴∠2＝∠FEC，∵CE平分∠DCB，∴∠2＝∠BCE，∴∠FEC＝∠BCE，∴BC∥EF，∴BC∥AD，∵DA⊥AB，∴BC⊥AB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线定义的应用，能正确作出辅助线，并综合运用定理进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•海淀区校级月考）如图，AD∥BE，∠B＝∠D，∠BAD的平分线交BC的延长线于点E，CF平分∠DCE．求证：CF⊥AE．【分析】由AD∥BE，∠B＝∠D，可推出∠B+∠BAD＝180°，∠B＝∠DCE，AB∥CD，再由角平分线定义可得：∠BAE=12∠BAD，∠FCG=12∠DCE，进而得出：∠CGF=12∠BAD，∠FCG=12∠B，可推出：∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，根据三角形内角和为180°，可得∠CFG＝90°，由垂直定义可证得结论．【解答】证明：∵AD∥BE，∴∠DCE＝∠D，∠B+∠BAD＝180°，∵∠B＝∠D，∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CD，∴∠CGF＝∠BAE，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=12∠BAD，∴∠CGF=12∠BAD，∵CF平分∠DCE，∴∠FCG=12∠DCE，∴∠FCG=12∠B，∴∠CGF+∠FCG=12（∠BAD+∠B）=12×180°＝90°，∴∠CFG＝180°﹣（∠CGF+∠FCG）＝180°﹣90°＝90°，∴CF⊥AE．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线定义，垂直定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平行线判定定理和性质定理．【例题3】（2023秋•深圳期末）太阳灶、卫星信号接收锅、探照灯及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC反射后沿着与PO平行的方向射出，已知图中∠ABO＝44°，∠BOC＝133°，则∠OCD的度数为（）A．88°B．89°C．90°D．91°【分析】依题意得AB∥OP∥CD，进而根据平行线的性质得∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，从而可求出∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝89°，进而可得∠OCD的度数．【解答】解：∵AB∥OP∥CD，∠ABO＝44°，∴∠BOP＝∠ABO＝44°，∠OCD＝∠POC，∵∠BOC＝133°，∴∠POC＝∠BOC﹣∠BOP＝133°﹣44°＝89°，∴∠OCD＝∠POC＝89°．故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．解题技巧提炼给出一个实际问题，联系平行线的性质解答实际问题，有时需要通过作辅助线构造平行线，同时还会综合运用平行线的判定和性质.【变式3-1】如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B 两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是千米．【分析】根据方位角的概念，图中给出的信息，再根据已知转向的角度求解．【解答】解：根据两直线平行，内错角相等，可得∠ABG＝48°，∵∠ABC＝180°﹣∠ABG﹣∠EBC＝180°﹣48°﹣42°＝90°，∴AB⊥BC，∴A地到公路BC的距离是AB＝8千米，故答案为：8．【点评】此题是方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．【变式3-2】（2022春•沧县期中）某学员在驾校练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向左拐45°，第二次向左拐45°C．第一次向左拐60°，第二次向右拐120°D．第一次向左拐53°，第二次向左拐127°【分析】根据平行线的性质分别判断得出即可．【解答】解：∵两次拐弯后，按原来的相反方向前进，∴两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补，故选：D．【点评】此题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补得出是解题关键．【变式3-3】如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有∠1＝∠2，∠3＝∠4，请解释进入潜望镜的光线l为什么和离开潜望镜的光线m是平行的？【分析】根据平行线的性质结合条件可得∠1＝∠2＝∠3＝∠4，可证得∠5＝∠6，可证明l∥m，据此填空即可．【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等），∵∠1＝∠2，∠3＝∠4（已知），∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4（等量代换），∴180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣∠3﹣∠4（平角定义），即：∠5＝∠6（等量代换），∴l∥m．【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．【变式3-4】（2023秋•市南区期末）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，靠背DM与支架OE平行，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，当前支架OE与后支架OF正好垂直，∠ODC＝32°时，人躺着最舒服，则此时扶手AB与靠背DM的夹角∠ANM＝．【分析】由AB∥CD可求得∠BOD的度数，再根据OE∥DM即可求出∠ANM的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∠ODC＝32°，∴∠BOD＝∠ODC＝32°．∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∴∠EOB＝90°+32°＝122°．∵OE∥DM，∠ANM＝∠EOB＝122°．故答案为：122°．【点评】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．【变式3-5】（2023秋•东莞市校级期末）如图为某椅子的侧面图，∠DEF＝120°．DE与地面平行，∠ABD＝50°，则∠ACB＝．【分析】根据平行得到∠ABD＝∠EDC＝50°，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠EDC＝50°，∵∠DEF＝∠EDC+∠DCE＝120°，∴∠DCE＝70°，∴∠ACB＝∠DCE＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【变式3-6】（2022•小店区校级开学）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是乎动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG＝150°，∠AGC＝80°，则∠DEF的度数为（）A．110°B．120°C．130°D．140°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFA，进而可求出∠EFM，再根据平行线的性质即可求得∠DEF．【解答】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAG＝180°，∴∠MFA＝180°﹣∠BAG＝180°﹣150°＝30°．∵CG∥EF，∴∠EFA＝∠AGC＝80°．∴∠EFM＝∠EFA﹣∠MFA＝80°﹣30°＝50°．∴∠DEF＝180°﹣∠EFM＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．【变式3-7】（2023春•岱岳区期末）如图，EF，MN分别表示两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，此时∠1＝∠2；光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，此时∠3＝∠4，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【分析】先根据MN∥EF得出∠2＝∠3，再由∠1＝∠2，∠3＝∠4可得出∠1＝∠2＝∠3＝∠4，故可得出∠1+∠2＝∠3+∠4，再由∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），故可得出∠ABC＝∠BCD，据此得出结论．【解答】解：AB∥CD．理由：∵MN∥EF，∴∠2＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴∠1+∠2＝∠3+∠4，∵∠ABC＝180°﹣（∠1+∠2），∠BCD＝180°﹣（∠3+∠4），∴∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．【例题4】（2022春•秦淮区校级月考）已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC＝30°，∠ACB ＝90°）按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1＝22°．则∠2的度数是（）A．38°B．45°C．52°D．58°【分析】根据已知易得∠DAC＝52°，然后利用平行线的性质即可解答．【解答】解：如图：∵∠1＝22°，∠BAC＝30°，∴∠DAC＝∠1+∠BAC＝52°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠DAC＝52°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-1】（2022秋•琼海期中）如图，将三角板的直角顶点按如图所示摆放在直尺的一边上，则下列结论不一定正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠2+∠3＝90°C．∠3+∠4＝180°D．∠1+∠2＝90°【分析】根据平行线的性质定理求解．【解答】解：∵两直线平行，同位角相等，∴∠1＝∠2，故选项A不符合题意；∠1+∠2不一定等于90°，故D符合题意；由题意可得：90°+∠2+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝90°，故选项B不符合题意；∵两直线平行，同旁内角互补，∴∠3+∠4＝180°，故选项C不符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质定理．【变式4-2】（2023秋•榆树市校级期末）把一副三角板按如图所示摆放，使FD∥BC，点E落在CB的延长线上，则∠BDE的大小为度．【分析】由题意可得∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，由平行线的性质可得∠BDF＝∠ABC＝60°，从而可求∠BDE的度数．【解答】解：由题意得：∠EDF＝45°，∠ABC＝60°，∵FD∥BC，∴∠BDF＝∠ABC＝60°，∴∠BDE＝∠BDF﹣∠EDF＝15°．故答案为：15．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【变式4-3】（2023秋•新野县期末）如图，直线m∥n，且分别与直线l交于A，B两点，把一块含60°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠2＝98°，则∠1＝．【分析】先根据平角的定义求出∠4的度数，再根据角平分线的性质即可得出答案．【解答】解：由已知可得，∠3＝30°，∵∠2＝98°，∴∠4＝180°﹣∠2﹣∠3＝52°，∵m∥n，∴∠1＝∠4＝52°．故答案为：52°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是牢记平行线的性质．【变式4-4】（2022•大渡口区校级模拟）将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若AC∥DE．则∠BAE的度数为（）A．85°B．75°C．65°D．55°【分析】由题意得∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，由平行线的性质可求得∠CAE＝120°，从而可求得∠CAD＝30°，则∠BAD＝15°，即可求∠BAE的度数．【解答】解：由题意得：∠E＝60°，∠DAE＝∠B＝90°，∠BAC＝45°，∵AC∥DE，∴∠E+∠CAE＝180°，∴∠CAE＝180°﹣∠E＝120°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°，∴∠BAE＝∠DAE﹣∠BAD＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．【变式4-5】（2022秋•绿园区校级期末）如图，AB∥CD，一副三角尺按如图所示放置，∠AEG＝20°，则∠HFD的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°【分析】将∠AEG，∠GEF的度数，代入∠AEF＝∠AEG+∠GEF中，可求出∠AEF的度数，由AB∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠DFE的度数，再结合∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH，即可求出∠HFD 的度数．【解答】解：∵∠AEG＝20°，∠GEF＝45°，∴∠AEF＝∠AEG+∠GEF＝20°+45°＝65°．∵AB∥CD，∴∠DFE＝∠AEF＝65°，∴∠HFD＝∠DFE﹣∠EFH＝65°﹣30°＝35°．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．【变式4-6】（2023秋•盐城期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠ECD＝90°，∠A＝45°，∠D＝60°．若AB∥DE，则∠ACD的度数为．【分析】过点C作CF∥AB，则有AB∥CF∥DE，从而可得∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，即可求∠ACD的度数．【解答】解：过点C作CF∥AB，如图，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠ACF＝∠A＝45°，∠DEF＝∠D＝60°，∴∠ACD＝∠ACF+∠DCF＝105°．故答案为：105°．【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．【例题5】如图所示，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝58°，则∠AEG的度数（）A．58°B．64°C．72°D．60°【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得∠GEF＝∠DEF＝58°，再由平角定义求出∠AEG即可．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠1＝58°，由折叠的性质得：∠GEF＝∠DEF＝58°，∴∠AEG＝180°﹣58°﹣58°＝64°；故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质、翻折变换的性质、长方形的性质以及平角定义；熟练掌握平行线的性质和翻折变换的性质是解题的关键．【变式5-1】（2022秋•陈仓区期末）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（）A．77°B．64°C．26°D．87°【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质，即可得出∠α的度数．【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，∴∠AEG＝∠BGD'＝26°，∴∠DEG＝180°﹣26°＝154°，由折叠可得，∠α=12∠DEG=12×154°＝77°，故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【变式5-2】（2023•台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若∠1＝20°，则∠2的度数为．【分析】利用平行线的性质和各角之间的关系即可求解．【解答】解：如图，标注三角形的三个顶点A、B、C．∠2＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB．∵图案是由一张等宽的纸条折成的，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．又∵纸条的长边平行，∴∠ABC＝∠1＝20°，∴∠2＝∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝180°﹣2∠1＝180°﹣2×20°＝140°．故答案为：140°．【点评】本题比较简单，主要考查了平行线的性质的运用．【变式5-3】（2022秋•昭阳区期中）如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，BC∥DE；若∠B＝50°，则∠BDF的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【分析】首先利用平行线的性质得出∠ADE＝50°，再利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF，从而求出∠BDF的度数．【解答】解：∵BC∥DE，若∠B＝50°，∴∠ADE＝50°，又∵△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，∴∠ADE＝∠EDF＝50°，∴∠BDF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，故选：C．【点评】此题主要考查了折叠问题与平行线的性质，利用折叠前后图形不发生任何变化，得出∠ADE＝∠EDF是解决问题的关键．【变式5-4】（2023秋•阳城县期末）将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1＝110°，则∠2＝．【分析】证明∠2＝∠4，再利用三角形的外角的性质解决问题．【解答】解：如图，∵a∥b，∴∠2＝∠5，由翻折变换的性质可知∠4＝∠5，∴∠4＝∠2，∵∠1＝∠2+∠4＝110°，∴∠2＝∠4＝55°，故答案为：55°．【点评】本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是理解翻折变换的性质，属于中考常考题型．【变式5-5】（2022•沭阳县模拟）已知长方形纸条ABCD，点E，G在AD边上，点F，H在BC边上．将纸条分别沿着EF，GH折叠，如图，当DC恰好落在EA'上时，∠1与∠2的数量关系是（）A．∠1+∠2＝135°B．∠2﹣∠1＝15°C．∠1+∠2＝90°D．2∠2﹣∠1＝90°【分析】根据折叠的性质和平角的定义解答即可．【解答】解：∵DC恰好落在EA'上，∴∠ED′G＝90°，∴∠D′EG+∠D′GE＝90°，∴∠A′EA+∠D′GD＝360°﹣90°＝270°，由折叠得，∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD，∴∠1+∠2＝135°，故选：A．【点评】本题考查折叠的性质和角平分线的定义，由折叠的性质得到∠1=12∠A′EA，∠2=12∠D′GD是解题关键．【变式5-6】如图，长方形ABCD中，沿折痕CE翻折△CDE得△CD′E，已知∠ECD′被BC分成的两个角相差18°，则图中∠1的度数为（）A．72°或48°B．72°或36°C．36°或54°D．72°或54°【分析】设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，分两种情况进行讨论：①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，分别根据∠BCD＝90°列式计算即可．【解答】解：如图，设∠FCD'＝α，则∠BCE＝α+18°或α﹣18°，①当∠BCE＝α+18°时，∠ECD'＝2α+18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α+18°+2α+18°＝90°，解得α＝18°，∴∠CFD'＝90°﹣18°＝72°＝∠1；②当∠BCE＝α﹣18°时，∠ECD'＝2α﹣18°＝∠DCE，∵∠BCD＝90°，∴α﹣18°+2α﹣18°＝90°，解得α＝42°，∴∠CFD'＝90°﹣42°＝48°＝∠1；综上所述，图中∠1的度数为72°或48°，故选：A．【点评】本题主要考查了折叠问题，解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．【例题6】（2023秋•仁寿县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF∥BC，EC⊥CF，∠EFC＝∠ACF，则下列结论：①AD⊥EF；②CE平分∠ACB；③∠FEC＝∠ACE；④AB∥CF．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质得到AD⊥EF，故①符合题意；∠CEF＝∠BCE，根据余角的性质得到∠CEF ＝∠ACE，故③符合题意；根据角平分线的定义得到CE平分∠ACB，故②符合题意；根据已知条件无法证明AB∥CF，故④不符合题意．【解答】解：∵AD⊥BC，EF∥BC，∴AD⊥EF，故①符合题意；∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠BCE，∵EC⊥CF，∴∠ECF＝90°，∴∠CEF+∠F＝∠ACE+∠ACF＝90°，∵∠EFC＝∠ACF，∴∠CEF＝∠ACE，故③符合题意；∴∠ACE＝∠BCE，∴CE平分∠ACB，故②符合题意；∵EC⊥CF，要使AB∥CF，则CE⊥AB，∵CE平分∠ACB，但AC不一定与BC相等，∴无法证明AB∥CF，故④不符合题意，故选：C．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．【变式6-1】（2023秋•浚县期末）如图a∥b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1＝∠2，则∠3＝∠4；②若∠1+∠4＝180°，则c∥d；③∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，正确的有（）A．①③④B．①②③C．①②④D．②③【分析】根据平行线的性质和判定逐一进行判断求解即可．【解答】解：①若∠1＝∠2，则a∥e∥b，则∠3＝∠4，故此说法正确；②若∠1+∠4＝180°，由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，则∠1＝∠5，则c∥d；故此说法正确；③由a∥b得到，∠5+∠4＝180°，由∠2+∠3+∠5+180°﹣∠1＝360°得，∠2+∠3+180°﹣∠4+180°﹣∠1＝360°，则∠4﹣∠2＝∠3﹣∠1，故此说法正确；④由③得，只有∠1+∠4＝∠2+∠3＝180°时，∠1+∠2+∠3+∠4＝360°．故此说法错误．故选：B．【点评】此题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．【变式6-2】（2022秋•南岗区校级期中）如图，AB∥CD∥EF，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2＝180°+∠3C．∠1+∠3＝180°+∠2D．∠2+∠3＝180°+∠1【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得∠2+∠BDC＝180°，再根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠CDE，而∠CDE＝∠1+∠BDC，整理可得∠2+∠3﹣∠1＝180°．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴∠2+∠BDC＝180°，∠3＝∠CDE，又∠BDC＝∠CDE﹣∠1，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．【点评】本题主要考查平行线的性质，从复杂图形中找出内错角，同旁内角是解题的关键．【变式6-3】（2023春•镇江期中）如图，AB∥CF，∠ACF＝80°，∠CAD＝20°，∠ADE＝120°．（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？说明理由；（2）若∠CED＝71°，求∠ACB的度数．【分析】（1）根据平行线的性质，得出∠BAC＝∠ACF＝80°，根据∠CAD＝20°，求出∠BAD＝60°，根据∠BAD+∠ADE＝180°，即可得出结论；（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠CED＝71°，根据三角形内角和定理求出∠ACB＝29°．【解答】解：（1）DE∥AB；理由如下：∵AB∥CF，∠ACF＝80°，∴∠BAC＝∠ACF＝80°，∵∠CAD＝20°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝60°，∵∠ADE＝120°，∴∠BAD+∠ADE＝60°+120°＝180°，∴DE∥AB．（2）DE∥AB，∠CED＝71°，∴∠B＝∠CED＝71°，∵∠BAC＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣71°﹣80°＝29°．【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定．【变式6-4】（2022春•舞阳县期末）如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB并交BD于H，且∠EHD+∠HBF＝180°．（1）若∠F＝30°，求∠ACB的度数；（2）若∠F＝∠G，求证：DG∥BF．【分析】（1）由对顶角相等、同旁内角互补，两直线平行判定BF∥EC，则同位角∠ACE＝∠F，再根据角平分线的性质即可求解；（2）结合已知条件，角平分线的定义，利用等量代换推知同位角∠BCE＝∠G，则易证DG∥BF．【解答】（1）解：∵∠EHD+∠HBF＝180°，∠EHD＝∠BHC，∴∠BHC+∠HBF＝180°，∴BF∥EC，∴∠ACE＝∠F＝30°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠ACE＝60°．故∠ACB的度数为60°；（2）证明：∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝∠ACE，∵∠ACE＝∠F，∠F＝∠G，∴∠BCE＝∠G，∴DG∥EC，又∵BF∥EC，∴DG∥BF．【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．【变式6-5】（2022春•温江区校级期中）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠D+∠AED＝180°，∠C＝∠EFG．。
人教版七年级下册数学课件第5章5.2.1平行线及其基本事实
精彩一题 17．问题：两条直线可以将平面分成几部分？
解：如图 a，两条直线平行时，它们将平面分成三部分； 如图 b，两条直线不平行时，它们将平面分成四部分．
【思路点拨】 根据三条直线的交点个数情况(0 个、1 个、2 个、 3 个)进行分类讨论．
精彩一题 根据上述内容，解答下面的问题． (1)上面问题的解题过程应用了__分__类____的数学思想(填“转 化”“分类”或“整体处理”)； (2)三条直线可以将平面分成几部分？ 解：如图所示．
【答案】A
课堂导练
4．如果线段 AB 与线段 CD 没有交点，则( C ) A．线段 AB 与线段 CD 一定平行 B．线段 AB 与线段 CD 一定不平行 C．线段 AB 与线段 CD 可能平行 D．以上说法都不正确
课堂导练 5．如图，将一张长方形纸对折三次，产生的折痕间的位置关系
是( C )
A．平行
B．垂直
C．平行和垂直 D．无法确定
课堂导练 6．如图，经过点 P 画一条直线使它与直线 l 平行．
画法：(1)一落：把三角尺的一边落在__直__线__l____上； (2)二____靠____：紧靠三角尺的另一边放一直尺 AB；
课堂导练
(3)三____移____：把三角尺沿直尺的边移到三角尺的第一边恰 好经过点 P 的位置；
经 (1)过直直线线l 外(2一)靠点，(3有)移且只(有4)画
D．不存在或者只有一条
提一示条： 直点线击与这条进直入线习平题行
【点拨】 当点 第一五条章 直线相与交这线条与直平线行平线行
(第1)1直课线时l 平(2行)靠线及(3其)移基本(事4)画实
P
在直线
AB
上时，这样的直线不存在；当点
新人教版七年级数学下册平行线及判定
③过一点可以而且只可以画一条直线与已知直线
平行。
(╳)
D 2、用符号“∥”表示图中平行四
C
边形的两组对边分别平行。
AB∥ CD，AD∥ BC。 A
B
巩固练习
下列说法正确的是（ D ）
A、在同一平面内，两条直线的位置关系有相交， 垂直，平行三种。
B、在同一平面内，不垂直的两直线必平行。 C、在同一平面内，不平行的两直线必垂直。 D、在同一平面内，不相交的两直线一定不垂直。
5.2 平行线及其判定 5.2.2 平行线的判定
平行线的画法
一放 二靠 三移 四画
从画图过程，三角板起到什么作用？
要判断直线a //b，你有办法了吗?
平行线的判定定理1: 两条直线被第三条直线所截， 如果同位角相等，那么两直线 平行。简单地说： 同位角相等，两直线平行。 如图： ∵ ∠1=∠2（已知）
C
相交的两
Hale Waihona Puke 条直线。 abB
直线AB平行
AB D
CD 于直线CD
a b 直线a平行
于直线b
平面内的两条直线除平行 外还有什么位置关系？
同一平面内的两条不重 合的直线的位置关系只有两种：
相交或平行
课内练习
1、判断下列说法是否正确，并说明理由。
①不相交的两条直线是平行线。
(╳)
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线。(╳)
E
A
B
4
C
7
D
F
两条直线被第三条直线所截， 如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单地说:同旁内角互补,两直线平行.
判定两条直线平行的方法
文字叙述
符号语言
七年级数学下册 5.2平行线及其判定(十大题型)(解析版 )
七级下册数学《第五章相交线与平行线》5.2平行线及其判定平行线及其表示方法★1、平行线定义：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．记作：AB∥CD；记作：a∥b；读作：直线AB平行于直线CD．读作：直线a平行于直线b．【注意】1、在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行．(重合的直线视为一条直线)2、.线段或射线平行是指它们所在的直线平行．平行线的画法◆过直线外一点画已知直线的平行线的方法：一“落”把三角尺一边落在已知直线上；二“靠”把直尺紧靠三角尺的另一边；三“移”沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点；四“画”沿三角尺过已知点的边画直线．【注意】1．经过直线上一点不能作已知直线的平行线．2．画线段或射线的平行线是指画它们所在直线的平行线．3．借助三角尺画平行线时，必须保持紧靠，否则画出的直线不平行.平行公理及其推论★1、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.★2、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.也就是说：如图，如果b∥a，c∥a，那么b∥c.几何语言：∵b∥a，c∥a，∴b∥c.【注意】1、平行公理的推论中，三条直线可以不在同一个平面内．2、平行公理中强调“直线外一点”，因为若点在直线上，不可能有平行线；“有且只有”强调这样的直线是存在的，也是唯一的．平行线的判定方法★1、平行线的判定：判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠3(已知)，∴a∥b(同位角相等，两直线平行)．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．几何语言表示：∵∠2＝∠4(已知)，∴a∥b.(内错角相等，两直线平行)．判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表示：∵∠1＋∠2＝180°(已知)，∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．★2、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线垂直．几何语言表示：直线a，b，c在同一平面内，∵a⊥c，b⊥c，∴a∥b．【注意】三条直线在“同一平面内”是前提，没有这个条件结论不一定成立.★3、判定两直线平行的方法（1）平行线的定义；（2）平行公理的推论（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）；（3利用同位角相等说明两直线平行；（4）利用内错角相等说明两直线平行；（5）利用同旁内角互补说明两直线平行；（6）同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行.【例题1】（2023秋•埇桥区期中）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直B．垂直或平行C．平行或相交D．相交或垂直或平行【分析】根据两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线，可得答案．【解答】解：在同一平面内，两条直线有一个交点，两条直线相交；在同一平面内，两条直线没有交点，两条直线平行，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行线，两条直线有一个交点的直线是相交线，没有交点的直线是平行线．解题技巧提炼解题的关键是准确把握平行线的概念，牢记平行线的三个条件：①在同一平面内；②不相交；③都是直线，通过与定义进行对比来进行判断.【变式1-1】如图所示，能相交的是，平行的是．（填序号）【分析】根据平行线、相交线的定义，逐项进行判断，即可正确得出结果．【解答】解：①中一条直线，一条射线，不可相交，也不会平行；②中一条直线，一条线段，不可相交，也不会平行；③中一条直线，一条线段，可相交；④中都是线段，不可延长，不可相交，也不平行，⑤中都是直线，延长后不相交，是平行．故答案为：③，⑤．【点评】本题考查平行线和相交线，解题的关键是掌握直线可以沿两个方向延伸，射线可以沿一个方向延伸，线段不能延伸．【变式1-2】下列说法正确的是（）A．同一平面内，如果两条直线不平行，那么它们互相垂直B．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相垂直C．同一平面内，如果两条直线不相交，那么它们互相平行D．同一平面内，如果两条直线不垂直，那么它们互相平行【分析】根据平行线的判定及垂直、相交的定义判断求解即可．【解答】解：在同一平面内，如果两条直线不平行，那么这两条直线相交，故A不符合题意；在同一平面内，两条直线不相交，那么这两条直线平行，故B不符合题意；同一平面内，如果两条直线不相交，那么这两条直线平行，故C符合题意；同一平面内，如果两条直线不垂直，它们不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定、垂直、相交等知识，熟练掌握有关定理、定义是解题的关键．【变式1-3】（2022春•莱芜区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两条不相交的直线叫做平行线B．一条直线的平行线有且只有一条C．在同一平面内，若直线a∥b，a∥c，则b∥cD．若两条线段不相交，则它们互相平行【分析】根据平行线的定义、性质、判定方法判断，排除错误答案．【解答】解：A、平行线的定义：在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线．故错误；B、过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．一条直线的平行线有无数条，故错误；C、在同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行．故正确；D、根据平行线的定义知是错误的．故选：C．【点评】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键．【变式1-4】（2022秋•乌鲁木齐期末）如图，在长方体AB CD-EFGH中，与棱EF异面且与平面EFGH 平行的棱是．【分析】与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．【解答】解：与棱EF异面且与平面EFGH平行的棱是：棱AD和棱BC．故答案为：棱AD和棱BC．【点评】本题主要考查了平行线与立体图形，熟练掌握平行线与立体图形的特征进行求解是解决本题的关键．【变式1-5】（2022春•沙河市期末）观察如图所示的长方体，与棱AB平行的棱有几条（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据长方体即平行线的性质解答．【解答】解：图中与AB平行的棱有：EF、CD、GH．共有3条．故选：B．【点评】本题考查了平行线的定义、长方体的性质．一个长方形的两条对边平行．【变式1-6】在同一平面内，直线l1与l2满足下列关系，写出其对应的位置关系：（1）若l1与l2没有公共点，则l1和l2；（2）若l1与l2只有一个公共点，则l1和l2；（3）若l1与l2有两个公共点，则l1和l2．【分析】（1）结合平行线的定义进行解答即可；（2）结合相交的定义进行解答即可；（3）结合重合的定义进行解答即可．【解答】解：（1）由于l1和l2没有公共点，所以l1和l2平行；（2）由于l1和l2有且只有一个公共点，所以l1和l2相交；（3）由于l1和l2有两个公共点，所以l1和l2重合；故答案为：（1）平行；（2）相交；（3）重合．【点评】本题侧重考查两直线的位置关系，掌握平行定义是解题关键．【变式1-7】（2022春•赵县月考）在同一平面内，直线a，b相交于P，若a∥c，则b与c的位置关系是．【分析】根据同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．解答即可．【解答】解：因为a∥c，直线a，b相交，所以直线b与c也有交点；故答案为：相交．【点评】本题主要考查了平行线和相交线，同一平面内，一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条直线也相交．【例题2】（2022春•梁山县期中）若a、b、c是同一平面内三条不重合的直线，则它们的交点可以有（）A．1个或2个或3个B．0个或1个或2个或3个C．1个或2个D．以上都不对【分析】根据平行线的定义，相交线的定义，可得答案．【解答】解：当三条直线互相平行，交点是个0；当两条直线平行，与第三条直线相交，交点是2个；当三条直线两两相交交于同一点，交点个数是1个；当三条直线两两相交且不交于同一点，交点个数是3个；故选：B．【点评】本题考查了平行线，分类讨论是解题关键．解题技巧提炼用分类讨论的思想根据平面内两条直线的位置关系去讨论求解.【变式2-1】在同一平面内，两条不重合直线的位置关系可能是（）A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．平行、垂直或相交【分析】同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交．【解答】解：平面内的直线有平行或相交两种位置关系．故选：C．【点评】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．【变式2-2】在同一平面内有三条直线，如果使其中有且只有两条直线平行，那么这三条直线有且只有个交点．【分析】根据同一平面内直线的位置关系得到第三条直线与另两平行直线相交，再根据直线平行和直线相交的定义即可得到交点的个数．【解答】解：∵在同一平面内有三条直线，如果其中有两条且只有两条相互平行，∴第三条直线与另两平行直线相交，∴它们共有2个交点．故答案为2．【点评】本题考查了直线平行的定义：没有公共点的两条直线是平行直线．也考查了同一平面内两直线的位置关系有：平行，相交．【变式2-3】平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有条平行线．【分析】根据同一平面内两条直线的位置关系有两种：相交或平行，及一条直线的平行线有无数条，由四条直线相互平行，其交点为0个开始分析，然后依次变为三条直线相互平行、两条直线相互平行即可求解．【解答】解：若四条直线相互平行，则没有交点；若四条直线中有三条直线相互平行，则此时恰好有三个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条不平行，则此时有三个交点或五个交点；若四条直线中有两条直线相互平行，另两条也平行，但它们之间相互不平行，则此时有四个交点；若四条直线中没有平行线，则此时的交点是一个或四个或六个．综上可知，平面内四条直线共有三个交点，则这四条直线中最多有三条平行线．故答案是：三．【点评】本题考查了平行线，题目没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都是平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出答案．【变式2-4】平面上不重合的四条直线，可能产生交点的个数为个．【分析】从平行线的角度考虑，先考虑四条直线都平行，再考虑三条、两条直至都不平行，作出草图即可看出．【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点；（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点；（3）当两两直线平行时，有4个交点；（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点；（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点；（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点；（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点．故答案为：0，1，3，4，5，6．【点评】本题没有明确平面上四条不重合直线的位置关系，需要运用分类讨论思想，从四条直线都平行线，然后数量上依次递减，直至都不平行，这样可以做到不重不漏，准确找出所有答案；本题对学生要求较高．【例题3】如图，直线a，点B，点C．（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及推论进行解答．【解答】解：（1）如图，过直线a外的一点画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行；（2）过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行．理由如下：如图，∵b∥a，c∥a，∴c∥b．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思）；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式3-1】如图中完成下列各题．（1）用直尺在网格中完成：①画出直线AB的一条平行线；②经过C点画直线垂直于CD．（2）用符号表示上面①、②中的平行、垂直关系．【分析】（1）根据AB所在直线，利用AB所在直角三角形得出EF，以及MD⊥CD即可；（2）根据图形得出EF，MD⊥CD，标出字母即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）EF∥AB，MC⊥CD．【点评】此题考查了基本作图以及直角三角形的性质，利用直角三角形的性质得出平行线以及垂线是解答此题的关键．【变式3-2】如图，已知直线a和直线a外一点A．（1）完成下列画图：过点A画AB⊥a，垂足为点B，画AC∥a；（2）过点A你能画几条直线和a垂直？为什么？过点A你能画几条直线和a平行？为什么？（3）说出直线AC与直线AB的位置关系．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，过点A可以画一条直线和a平行．（3）结论：AC⊥AB．【解答】解：（1）直线AB、AC如图所示；（2）过点A有一条直线和直线a垂直，理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线垂直．过点A可以画一条直线和a平行．理由：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．（3）结论：AC⊥AB．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式3-3】作图题：（只保留作图痕迹）如图，在方格纸中，有两条线段AB、BC．利用方格纸完成以下操作：（1）过点A作BC的平行线；（2）过点C作AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；（3）过点B作AB的垂线．【分析】（1）A所在的横线就是满足条件的直线；（2）在直线AD上到A得等于BC的点D，则直线CD即为所求；（3）取AE上D右边的点F，过B，F的直线即为所求．【解答】解：如图，（1）A所在的横线就是满足条件的直线，即AE就是所求；（2）在直线AE上，到A距离是5个格长的点就是D，则CD就是所求与AB平行的直线；（3）取AE上D右边的点F，过B，F作直线，就是所求．【点评】本题考查复杂作图、垂线、平行线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，【变式3-4】（2022秋•内乡县期末）如图所示，在∠AOB内有一点P．（1）过P画l1∥OA；（2）过P画l2∥OB；（3）用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的大小有怎样关系？【分析】用两个三角板，根据同位角相等，两直线平行来画平行线，然后用量角器量一量l1与l2相交的角与∠O的关系为：相等或互补．【解答】解：（1）（2）如图所示，（3）l1与l2夹角有两个：∠1，∠2；∠1＝∠O，∠2+∠O＝180°，所以l1和l2的夹角与∠O相等或互补．【点评】注意∠2与∠O是互补关系，容易漏掉．【例题4】（2022•寻乌县模拟）下面推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行“进行分析，得出正确答案．【解答】解：A、a、c都和b平行，应该推出的是a∥c，而非c∥d，故错误；B、没有两条直线都和第三条直线平行，推不出平行，故错误；C、b、c都和a平行，可推出是b∥c，故正确；D、a、c与不同的直线平行，无法推出两者也平行．故选：C．【点评】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．【变式4-1】（2022春•丛台区校级期中）如图，过点A画直线l的平行线，能画（）A．两条以上B．2条C．1条D．0条【分析】经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【解答】解：因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．所以如图，过点A画直线l的平行线，能画1条．故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论．平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．【变式4-2】（2023春•萨尔图区期中）下面说法正确的个数为（）（1）在同一平面内，过直线外一点有一条直线与已知直线平行；（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（3）两角之和为180°，这两个角一定邻补角；（4）同一平面内不平行的两条直线一定相交．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行即可判断（1）；在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直即可判断（2）；举出反例即可判断（3）；根据在同一平面内，两直线的位置关系是平行或相交，即可判断（4）．【解答】解：在同一平面内，过直线外一点有一条直线和已知直线平行，故（1）正确；只有在同一平面内，过一点有且只有一条直线和已知直线垂直，故（2）错误；如图：∠ABC=∠DEF=90°，且∠ABC+∠DEF=180°，但是两角不是邻补角，故（3）错误；同一平面内不平行的两条直线一定相交正确，因为不特别指出时，一般认为，两条直线重合就是同一条直线，所以所提出的命题是正确的，故（4）正确．即正确的个数是2个．故选：B．【点评】本题考查了平行公理和推论，邻补角，垂线，平行线等知识点，此题比较典型，但是一道比较容易出错的题目．【变式4-3】（2023春•泸县校级期中）下列说法正确的是（）A．经过一点有一条直线与已知直线平行B．经过一点有无数条直线与已知直线平行C．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．【解答】解：根据平行线公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断只有D选项正确．【点评】本题考查了平行公理，要熟练掌握．【变式4-4】（2023春•新民市期中）已知a∥b，c∥d，若由此得出b∥d，则直线a和c应满足的位置关系是（）A．在同一个平面内B．不相交C．平行或重合D．不在同一个平面内【分析】根据平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．【解答】解：当a∥c时，a∥b，c∥d，得b∥d；当a、c重合时，a∥b，c∥d，得b∥d，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了平行公理及推论，利用了平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行．【变式4-5】（2022春•和平区校级月考）下列语句正确的有（）个①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行②过一点有且只有一条直线和已知直线平行③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b④若直线a∥b，b∥c，则c∥a．A．4B．3C．2D．1【分析】根据同一平面内，任意两条直线的位置关系是相交、平行；过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可．【解答】解：①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，说法错误，应为根据同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行；②过一点有且只有一条直线和已知直线平行，说法错误，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；③过两条直线a，b外一点P，画直线c，使c∥a，且c∥b，说法错误；④若直线a∥b，b∥c，则c∥a，说法正确；【点评】此题主要考查了平行线，关键是掌握平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行；推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．【变式4-6】（2022春•大荔县期末）如图，已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由是．【分析】利用平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，进而得出答案．【解答】解：已知OM∥a，ON∥a，所以点O、M、N三点共线的理由：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．【点评】此题主要考查了平行公理，正确掌握平行公理是解题关键．【变式4-7】（2022春•海阳市期末）若P，Q是直线AB外不重合的两点，则下列说法不正确的是（）A．直线PQ可能与直线AB垂直B．直线PQ可能与直线AB平行C．过点P的直线一定与直线AB相交D．过点Q只能画出一条直线与直线AB平行【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行以及两直线的位置关系即可回答．【解答】解：PQ与直线AB可能平行，也可能垂直，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故A、B、D均正确，故C错误；故选：C．【点评】本题考查了平行线、相交线、垂线的性质，掌握相关定义和性质是解题的关键．【变式4-8】如图所示，将一张长方形纸对折三次，则产生的折痕与折痕间的位置关系是（）A．平行B．垂直C．平行或垂直D．无法确定【分析】根据平行公理和垂直的定义解答．【解答】解：∵长方形对边平行，∴根据平行公理，前两次折痕互相平行，∵第三次折叠，是把平角折成两个相等的角，∴是90°，与前两次折痕垂直．∴折痕与折痕之间平行或垂直．故选：C．【点评】本题利用平行公理和垂直定义求解，需要熟练掌握．【例题5】（2022春•昭阳区校级月考）如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1＝50°，则当∠2＝时，a∥b．【分析】由直角三角板的性质可知∠3＝180°﹣∠1﹣90°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，得出a∥b即可．【解答】解：当∠2＝40°时，a∥b；理由如下：如图所示：∵∠1＝50°，∴∠3＝180°﹣90°﹣50°＝40°，当∠2＝40°时，∠2＝∠3，∴a∥b．故答案为：40°．【点评】本题考查了平行线的判定方法、平角的定义；熟记同位角相等，两直线平行是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春•洞头区期中）如图，在下列给出的条件中，能判定DF∥BC的是（）A．∠B＝∠3B．∠1＝∠4C．∠1＝∠B D．∠B+∠2＝180°【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∵∠B=∠3，∴AB∥EF，故A不符合题意；∵∠1=∠4，∴AB∥EF，故B不符合题意；∵∠1=∠B，∴DF∥BC，故C符合题意；∵∠B+∠2=180°，∴AB∥EF，故D不符合题意；故选：C．【点评】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-2】（2023秋•淮阳区校级期末）如图，木条a，b，c在同一平面内，经测量∠1＝115°，要使木条a∥b，则∠2的度数应为（）A．65°B．75°C．115°D．165°【分析】根据邻补角互补和平行线的判定定理求解即可．【解答】解：∠2的度数应为65°．证明：如图，∵∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣115°＝65°，∵∠2＝65°，∴∠2＝∠3，∴a∥b．故选：A．【点评】本题考查邻补角互补，平行线的判定．熟练掌握平行线的判定定理是解题关键．【变式5-3】（2023秋•泾阳县期末）如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，已知∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD．【分析】根据对顶角相等得出∠1＝∠AGH，进而根据∠2＝∠AGH，即可得证．【解答】解：∵∠1＝∠AGH，∠1＝∠2＝70°，∴∠2＝∠AGH，∴AB∥CD．【点评】本题考查了对顶角相等，同位角相等两直线平行，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．【变式5-4】（2023秋•泰和县期末）如图，CE平分∠ACD，若∠1＝30°，∠2＝60°，求证：AB∥CD．【分析】根据平行线的判定，依据角平分线的定义即可解决问题．【解答】证明：∵CE平分∠ACD，∠1＝30°，∴∠ACD＝2∠1＝60°（角平分线定义），∵∠2＝60°，（已知），∴∠2＝∠ACD（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．【点评】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式5-5】（2023春•樟树市期中）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．【分析】根据CF平分∠DCE以及∠DCE＝90°即可得出∠FCE＝45°，再根据三角形ABC为等腰直角三角形，即可得出∠ABC＝∠FCE＝45°，利用“同位角相等，两直线平行”即可证出结论．【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，∴∠FCE=12∠DCE＝45°．∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠FCE，∴CF∥AB．【点评】本题考查了平行线的判定，解题的关键是找出∠ABC＝∠FCE＝45°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等（或互补）的角的关键．【变式5-6】（2023秋•靖边县期末）如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，且CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．【分析】根据角平分线的定义结合对顶角得到∠ECD＝∠ACB，则可证明∠B＝∠ECD，根据平行线的判定即可证明AB∥CE．【解答】证明：因为CD平分∠ECF，所以∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）．因为∠ACB＝∠FCD（对顶角相等），所以∠ECD＝∠ACB（等量代换）．因为∠B＝∠ACB，。
人教版七年级数学下册第五章《平行线的性质1
2、问题探索 问当下题直图2线）A，B前与面C所D不发平现行的时式（子如都
不成立。这说明只有AB∥CD 时，前面的式子才能成立．
如果改变AB和CD的 位置关系，即直线AB 与CD不平行，那么你 刚才发现的结论
还成立吗？请同学们 动手画出图形，并用 量角器量一量各角的 大小，验证一下你的 A 结论．
教学内容
平行线的性质
教学目标
1、知识目标：使学生理解平行线的性质，能初步运用平行 线的性质进行有关计算．
2、能力目标：通过本节课的教学，培养学生的概括能力和 “观察－猜想－证明”的科学探索方法，培养学生的辩证思 维能力和逻辑思维能力．
3、情感目标：培养学生的主体意识，向学生渗透讨论的数 学思想，培养学生思维的灵活性和广阔性．
还有一些说不出名字的角， 如 ∠1与 ∠6等，书上没有 定义．
E
A
41 32
B
C
8ห้องสมุดไป่ตู้ 76
D
F
∠1= ∠5， ∠ 2=∠6， ∠ 3=∠7， ∠4= ∠8；
∠2= ∠8， ∠3=∠5， ∠ 1=∠7， ∠4=∠6；
∠2+ ∠5=180°， ∠3+ ∠8=180°， ∠1+ ∠6=180°， ∠4+ ∠7=180°；
问题4
（1）具有相等关系的两个 角，有的是同位角，有的 是内错角，如∠1与 ∠5等
（都1是）同具位有角相； 等∠2关与系∠的8等 两都角是内有错怎角样。的还位有置一些关说 系回不∠呢答出7，名？）∠字（4的与请角∠甲，6组等如．同∠学1与 （（22））互具有补互的补两关角系又的有两个 怎角样，的有位的是置同关旁系内呢角？，如 （∠请2与乙∠组5同等都学是回同答旁）内角；
第4课时 平行线的判定与平移-七年级数学下册同步考点知识清单+例题讲解+课后练习(人教版)(原卷版)
第4课时——平行线的判定与平移知识点一：判定的判定：1.同位角判定：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成。
2.内错角判定：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
简单说成。
3.同旁内角判定：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成。
4.平行公理判定：平行于同一直线的两直线平行。
5.垂直判定：垂直于同一直线的两直线平行。
【类型一：判定条件的确定】1．如图，点E在BC的延长线上，下列条件不能判定AB∥CD的是（）第1题第2题A．∠2＝∠4B．∠B＝∠5C．∠5＝∠D D．∠D+∠DAB＝180°2．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中不能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠2B．∠3+∠4＝180°C．∠3＝∠4D．∠2＝∠33．如图，∠1和∠2分别为直线l 3与直线l 1和l 2相交所成角．如果∠1＝62°，那么添加下列哪个条件后，可判定l 1∥l 2（ ）第3题 第4题A ．∠2＝118°B ．∠4＝128°C ．∠3＝28°D ．∠5＝28°4．如图，下列推理中，正确的是（ ）A ．因为∠1＝∠3，所以AB ∥CDB ．因为∠1＝∠3，所以AE ∥CFC ．因为∠2＝∠4，所以AB ∥CDD ．因为∠2＝∠4，所以AE ∥CF5．如图，下列说法中，正确的是（ ）A ．若∠3＝∠8，则AB ∥CDB ．若∠1＝∠5，则AB ∥CDC ．若∠DAB +∠ABC ＝180°，则AB ∥CDD ．若∠2＝∠6，则AB ∥CD 【类型二：平行线的证明】6．如图，点G 在CD 上，已知∠BAG +∠AGD ＝180°，EA 平分∠BAG ，FG 平分∠AGC ，请说明AE ∥GF 的理由．解：因为∠BAG +∠AGD ＝180°（ ），∠AGC +∠AGD ＝180°（ ），所以∠BAG ＝∠AGC （ ）．因为EA 平分∠BAG ，所以∠1＝21 （ ）． 因为FG 平分∠AGC ， 所以∠2＝21 ， 得∠1＝∠2（ ），所以AE ∥GF （ ）．7．〖我阅读〗“推理”是数学的一种基本思想，包括归纳推理和演绎推理．演绎推理是一种从一般到特殊的推理，它借助于一些公认的基本事实及由此推导得到的结论，通过推断，说明最后结论的正确．〖我会做〗填空（理由或数学式）已知：如图，∠1＝∠E，∠B＝∠D．求证：AB∥CD．证明：∵∠1＝∠E（）∴（）∴+∠2＝180°（）∵∠B＝∴+＝180°∴AB∥CD（）8．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B，∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD．请填空．证明：∵AF⊥CE（已知）∴∠AOE＝90°（）又∵∠1＝∠B（）∴（）∴∠AFB＝∠AOE（）∴∠AFB＝90°（）又∵∠AFC+∠AFB+∠2＝（平角的定义）∴∠AFC+∠2＝（）°又∵∠A+∠2＝90°（已知）∴∠A＝∠AFC（）∴（内错角相等，两直线平行）9．完成下列推理过程：如图，已知∠A＝∠EDF，∠C＝∠F，求证：BC∥EF．10．如图，点E、F分别是AB、CD上的点，连接BD、AD、EC、BF，AD分别交CE、BF于点G、H，若∠DHF＝∠AGE，∠ABF＝∠C，求证：AB∥CD．11．如图，直线EF分别交直线AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF交CD于点G．若∠1+2∠2＝180°，求证：AB∥CD．【类型三：平行线的判定与性质】12．如图，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠C＝74°，∠AED＝2∠3，则∠CEF的度数为．13．如图，已知∠1＝∠BDC，∠2+∠3＝180°．（1）求证：AD∥CE；（2）若DA平分∠BDC，DA⊥FE于点A，∠F AB＝55°，求∠ABD的度数．14．如图，已知点D是△ABC中BC边上的一点，DE⊥AC于点E，∠AGF＝∠ABC，∠1+∠2＝180°．求证：DE∥BF；15．如图，点B，C在线段AD的异侧，点E，F分别是线段AB，CD上的点，已知∠1＝∠2，∠3＝∠C．（1）求证：AB∥CD；（2）若∠2+∠4＝180°，求证：∠BFC+∠C＝180°；（3）在（2）的条件下，若∠BFC﹣30°＝2∠1，求∠B的度数．知识点二：平移：1.平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的，叫做平移变换，简称。
2024年七年级数学下册专题5.1 平行线的判定【九大题型】(举一反三)(人教版)(原卷版)
专题5.1 平行线的判定【九大题型】【人教版】【题型1 对顶角的识别及其性质】 (1)【题型2 平行、垂直】 (2)【题型3 平行公理及其推论】 (4)【题型4 同位角相等，两直线平行】 (5)【题型5 内错角相等，两直线平行】 (6)【题型6 同旁内角互补，两直线平行】 (7)【题型7 平行线的判定方法的综合运用】 (8)【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】 (9)【题型9 平行线判定的实际应用】 (11)【题型1 对顶角的识别及其性质】【例1】（2022·内蒙古呼伦贝尔·七年级期中）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A．B．C．D．【变式1-1】（2022·广东·揭西县阳夏华侨中学七年级期末）已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠EOC＝2∠COB．5(1)图中的对顶角有 对，它们是 ．(2)图中互补的角有 对，它们是 ．(3)求∠EOD的度数．【变式1-2】（2021·山东·济南市钢城区实验学校期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE ⊥CD，OF平分∠AOD，若∠AOD=50°.求∠EOF的度数.【变式1-3】（2022·辽宁·鞍山市第二中学七年级阶段练习）直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．(1)若∠AOC=76°，∠BOF=______度．(2)若∠BOF=36°，∠AOC的度数是多少？【题型2 平行、垂直】【例2】（2022·福建·厦门双十中学海沧附属学校七年级期末）如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）A．点A到直线l2的距离等于4B．点C到直线l1的距离等于4C．点C到AB的距离等于4D．点B到AC的距离等于3【变式2-1】（2022·广西·钦州市第四中学七年级阶段练习）下列说法正确的是（）A．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b∥c，则a∥cB．在同一平面内，a，b，c是直线，且a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．在同一平面内，a，b，c是直线，且a∥b,b⊥c，则a∥cD．在同一平面内，a，b，c是直线，且，a∥b,b∥c则a⊥c【变式2-2】（2022·吉林·公主岭市陶家中学七年级阶段练习）如图，因为AB⊥l，BC⊥l，B 为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直C．垂直同一条直线的两条直线平行D．垂线段最短【变式2-3】（2022·江苏·九年级）如图，点A、点B是直线l上两点，AB＝10，点M在直线l外，MB＝6，MA＝8，∠AMB＝90°，若点P为直线l上一动点，连接MP，则线段MP 的最小值是____．直线平行.）【题型3 平行公理及其推论】【例3】（2022·江西上饶·七年级期中）同一平面内的四条直线若满足a⊥b，b⊥c，c⊥d，则下列式子成立的是（）A．a∥d B．b⊥d C．a⊥d D．b∥c【变式3-1】（2022·河南漯河·七年级期末）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（）A．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期中）下列命题：①内错角相等；②两个锐角的和是钝角；③a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a//b，b// c ，则a// c ；④a ， b ， c 是同一平面内的三条直线，若a ⊥b ， b ⊥c ，则a ⊥c ；其中真命题的个数是（）A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【变式3-3】（2022·四川·甘孜藏族自治州教育局七年级期末）如图，AB∥CD，如果∠1=∠2，那么EF与AB平行吗？说说你的理由．解：因为∠1=∠2，所以____________∥___________．（）又因为AB∥CD，所以AB∥EF．（）【题型4 同位角相等，两直线平行】【例4】（2022·甘肃·陇南育才学校七年级期末）如图，AB⊥MN，垂足为B，CD⊥MN，垂足为D，∠1＝∠2．在下面括号中填上理由．因为AB⊥MN，CD⊥MN，所以∠ABM＝∠CDM＝90°．又因为∠1＝∠2( )，所以∠ABM―∠1＝∠CDM―∠2( )，即∠EBM＝∠FDM．所以EB∥FD( )【变式4-1】（2022·湖北·蕲春县向桥乡白水中学七年级阶段练习）如图，过直线外一点画已知直线的平行线的方法叫“推平行线”法，其依据是______．【变式4-2】（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3．请说明线段BE与DF的位置关系？为什么？【变式4-3】（2022·北京东城·七年级期末）如图，直线l与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1是它的补角的3倍，∠1―∠2=90°．判断AB与CD的位置关系，并说明理由．【题型5 内错角相等，两直线平行】【例5】（2022·山东·曲阜九巨龙学校七年级阶段练习）如图，点A在直线DE上，AB⊥AC 于A，∠1与∠C互余，DE和BC平行吗？若平行，请说明理由．【变式5-1】（2022·北京市房山区燕山教委八年级期中）如图，已知∠1=75°，∠2=35°，∠3=40°，求证：a∥b．【变式5-2】（2022·福建·莆田第二十五中学八年级阶段练习）如图，CF是△ABC外角∠ACM的平分线，∠ACB=40°，∠A=70°，求证：AB∥CF.【变式5-3】（2022·辽宁·阜新市第十中学七年级期中）如图，AB∥DE，∠1=∠ACB，∠CAB= 1∠BAD，试说明AD∥BC．2【题型6 同旁内角互补，两直线平行】【例6】（2022·河北衡水·七年级阶段练习）已知：∠A=∠C=120°，∠AEF=∠CEF=60°，求证：AB∥CD．【变式6-1】（2022·西藏昂仁县中学七年级期中）如图，∠CAD＝20°，∠B＝70°，AB⊥AC，求证：AD∥BC．【变式6-2】（2022·甘肃·平凉市第七中学七年级期中）如图，∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC.(1) ∠DAB+∠B等于多少度？(2)AD与BC平行吗？请说明理由．【变式6-3】（2022·北京市第五中学分校七年级期末）如图，已知点E在BC上，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，点M，G在AB上，GF交BD于点H，∠BMD+∠ABC＝180°，∠1＝∠2，求证：MD∥GF．下面是小颖同学的思考过程，请补全证明过程并在括号内填上证明依据．证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠BDC＝90°，∠EFC＝90°（① ）．∴∠BDC＝∠EFC（等量代换）．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠CBD（② ）．∵∠1＝∠2（已知）．∴∠1＝∠CBD（等量代换）．∴③ （内错角相等，两直线平行）．∵∠BMD+∠ABC＝180°（已知），∴MD∥BC（④ ）．∴MD∥GF（⑤ ）．【题型7 平行线的判定方法的综合运用】【例7】（2022·广西贺州·七年级期末）如图，有下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠4=180°；③∠5+∠6=180°；④∠2=∠3．其中，能判断直线a∥b的有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式7-1】（2022·浙江台州·七年级期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不能判断两条直轨是否平行()A．∠1B．∠3C．∠4D．∠5【变式7-2】（2022·山西临汾·七年级期末）在下列图形中，已知∠1=∠2，一定能推导出l1∥l2的是（）A．B．C．D．【变式7-3】（2022·山东日照·七年级期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DE∥BC 的是（）A．∠1=∠2B．∠3=∠4C．∠5=∠CD．∠B+∠BDE=180°【题型8 角平分线与平行线的判定综合运用】【例8】（2022·吉林·大安市乐胜乡中学校七年级阶段练习）如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADF+∠AFD=90°，点E、F分别在DC、AB上，且BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，判断BE、DF是否平行，并说明理由．【变式8-1】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期末）将下列证明过程补充完整：已知：如图，点E在AB上，且CE平分∠ACD，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．证明：∵CE平分∠ACD（已知），∴∠2＝∠ （ ）．∵∠1＝∠2（已知），∴∠1＝∠ （ ）．∴AB∥CD（ ）．【变式8-2】（2022·辽宁沈阳·七年级期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的证明过程补充完整如图，直线MN分别与直线AC、DG交于点B、F，且∠1＝∠2．∠ABF的角平分线BE交直线DG于点E，∠BFG的角平分线FC交直线AC于点C．求证：BE∥CF．证明：∵∠1＝∠2（已知）∠ABF＝∠1（对顶角相等）∠BFG＝∠2（____________）∴∠ABF＝______（等量代换）∵BE平分∠ABF（已知）______（____________）∴∠EBF=12∵FC平分∠BFG（已知）______（____________）∴∠CFB=12∴∠EBF＝______∴BE∥CF（____________）【变式8-3】（2022·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD=180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．解：因为∠BAG+∠AGD=180°(已知)，∠AGC+∠AGD=180°(______)，所以∠BAG=∠AGC(______)．因为EA平分∠BAG，∠BAG(______)．所以∠1=12因为FG平分∠AGC，______，所以∠2=12得∠1=∠2(等量代换)，所以______(______)．【题型9 平行线判定的实际应用】【例9】（2022·全国·七年级课时练习）如图，若将木条a绕点O旋转后使其与木条b平行，则旋转的最小角度为( )A．65°B．85°C．95°D．115°【变式9-1】（2022·河南·郑州外国语学校经开校区七年级阶段练习）如图所示的四种沿AB 进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a，b互相平行的是（ ）A．如图1，展开后测得∠1=∠2B．如图2，展开后测得∠1=∠2且∠3=∠4 C．如图3，测得∠1=∠2D．在图4中，展开后测得∠1+∠2=180°【变式9-2】（2022·全国·七年级）一辆汽车在广阔的草原上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，那么这两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向右拐40°，第二次向右拐140°．B．第一次向右拐40°，第二次向左拐40°．C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140°．D．第一次向右拐140°，第二次向左拐40°．【变式9-3】（2022·江苏·南京外国语学校七年级期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，∠1=70°,∠2=100°，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．。
平行线的判定 课件2022-2023学年 人教版七年级数学下册
复习回顾
1.平行线的定义
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.
2.画平行线的方法：
已知点P是直线a外一点，画出经过点P且直线a平行的直线的作图过程.
P
•
一落
二靠
三移
四画
a
根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这
两条直线平行.
但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直
课堂练习
3．如图,下列判断正确的是( D )．
A．若∠１＋∠２＝180°,则 //
B．若∠２＝∠３,则 //
C．若∠１＋∠２＋∠３＝180°,则 //
D．若∠２＋∠４＝180°,则 //
课堂练习
4. 在一次数学活动课上，老师让同学们用两个大小、形状都相同的
三角板画平行线AB ， CD ， 贝贝、晶晶、欢欢三位同学的做法如
行？根据是什么？
新知讲解
利用同旁内角互补判定两条直线平行
平行线的判定方法3:
两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条
直线平行.
简单可以说成：同旁内角互补，两条直线平行
几何语言：
∵∠1+∠2=180° (已知)
∴a//b (同旁内角互补，两直线平行）
c
3
b
1
2
a
练一练
如图，BE 平分 ∠ABC,CE 平分 ∠DCB,∠１＋ ∠２＝９０°,能
AB//CE ． 请完成下列推理过程：
证明：∵CD 平分∠ECF
∴∠ECD= ∠FCD (
角平分线的定义
∵∠ACB=∠FCD( 对顶角相等
∴∠ECD=∠ACB( 等量代换
人教版数学七年级下册5.3.1平行线的判定(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平行线相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用直尺和量角器来验证平行线的判定方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“平行线的判定”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两条直线永远不会相交的情况？”比如，铁轨或者教室的黑板边缘。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平行线的奥秘。
人教版数学七年级下册5.3.1平行线的判定（教案）
一、教学内容Biblioteka 本节课选自《人教版数学七年级下册》第五章第三节第一部分“5.3.1平行线的判定”。教学内容主要包括以下两点：
1.掌握平行线的定义：在同一平面内，两条直线不相交，且在平面内没有任何其他直线与这两条直线同时相交，则这两条直线互相平行。
2.学会平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
举例解释：在讲解平行线的判定方法时，可以通过具体图形展示同位角、内错角、同旁内角的概念，并通过实际例题让学生练习如何使用这些方法。
2.教学难点
-理解“同一平面”的概念：学生需要理解为什么要在同一平面内讨论直线是否平行，不同平面内的直线是否有平行的可能性。
-判定方法的适用条件：学生需要明确在什么情况下可以使用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补这些判定方法，以及这些方法之间的关系。
人教版数学第5章平行线的性质与判定及辅助线模型
平行线判定和性质以及四大模型汇总第一部分平行线的判定判定方法l：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简称：同位角相等，两直线平行．判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简称：内错角相等，两直线平行，判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行，如上图：若已知∠1=∠2，则AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；若已知∠1=∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；若已知∠1+ ∠4= 180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．另有平行公理推论也能证明两直线平行：平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．第二部分平行线的性质性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简称：两直线平行，内错角相等性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补第三部分平行线的四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.第四部分平行线的四大模型证明（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.第五部分平行线的四大模型的应用案例1如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．2如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．3如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .4如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．5如图所示，AB ∥CD ，∠E =37°，∠C = 20°，则∠EAB 的度数为 ．6 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .7如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.8如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =n 1∠ABF ，∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.9如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .10如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.11如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．12如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°133如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .14如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .15 已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．16已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.17如图(l )，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n ，∠B 1、∠B 2…∠B n -1之间的 关系．(2)如图(2)，己知MA 1∥NA 4，探索∠A 1、∠A 2、∠A 3、∠A 4，∠B 1、∠B 2之间的关系． (3)如图(3)，已知MA 1∥NA n ，探索∠A 1、∠A 2、…、∠A n 之间的关系．如图所示，两直线AB ∥CD 平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．18如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPBQ∠∠是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPBQ∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．第六部分 平行线的四大模型实战演练1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).A . 180°B . 270°C . 360°D . 450° 2 若AB ∥CD ，∠CDF =32∠CDE ，∠ABF =32∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．A ．2:1B ．3:1C ．4:3D ．3:23.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．5． 6． 7．8．如阁所示，AB∥CD，∠l=l l0°，∠2=120°，则∠α= .9．如图所示，AB∥DF，∠D =116°，∠DCB=93°，则∠B= .10．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b.∠1=50°，∠2 =60°，则∠3的度数为 .11．如图，AB∥CD，EP⊥FP, 已知∠1=30°，∠2=20°．则∠F的度数为．9.如图，若AB∥CD，∠BEF=70°，求∠B+∠F+∠C的度数.10．已知，直线AB∥CD．(1)如图l，∠A、∠C、∠AEC之间有什么关系？请说明理由；（2）如图2，∠AEF、∠EFC、∠FCD之间有什么关系？请说明理由；(3)如图3，∠A、∠E、∠F、∠G、∠H、∠O、∠C之间的关是.第七部分平行线的性质和判定综合应用1．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD ＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°2．如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，AE∥BF，∠1＝110°，∠2＝130°，求∠3的度数为（）4．如图，∠B+∠C＝180°，∠A＝50°，∠D＝40°，则∠AED＝．5．如图，如果∠C＝70°，∠B＝135°，∠D＝110°，那么∠1+∠2＝6．如图，AB∥CD，求∠1+∠2+∠3+∠4＝7．如图，AB∥CD，试找出∠B、∠C、∠BEC三者之间的数量关系．8．如图，三角形ABC中，点E为BC上一点（1）作图：过点E作EM∥AC交AB于M，过点E作EN∥AB交AC于N；（2）求∠A+∠B+∠C的度数，写出推理过程．9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．10．如图，AC∥BD．（1）作图，过点B作BM∥AP交AC于M；（2）求证：∠PBD﹣∠P AC＝∠P．11．如图，AB∥CD，∠B＝∠C，求证：BE∥CF．12．如图①，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图①中的橡皮筋拉成下列各图②③的形状，请问∠A、∠B、∠C之间的数量关系?。
人教版七年级下册数学《平行线及其判定》期末复习讲义(含知识点和习题)
第五章《相交线与平行线》期末复习讲义5.2平行线及其判定【知识回顾】一．平行线1.定义：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线2.要点剖析（1）：平行线的特征：在同一平面内；是直线；没有公共点。
（2）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种，重合的直线视为一条直线。
（3）平行线是指的两条直线的位置关系，两条射线或线段平行，是指的它们所在的直线平行。
二．平行线的画法1.“一落”把三角尺的一边落在已知直线上2.“二靠”用直尺紧靠三角尺的另一边3.“三推”把三角尺沿着直尺推到三角尺的一边刚好过已知点的位置4.“四画”沿三角尺过已知点的边画直线三．平行公理及其推论1.平行公理：经过直线外一点，_________一条直线与这条直线平行2.平行公理的推论：如果两条直线都与_________直线平行，那么这两条直线也互相平行四．平行线的判定1.同位角相等，两直线_________2.内错角相等，两直线_________3.同旁内角互补，两直线___________4.在同一平面内，垂直于_______________的两条直线互相平行题型拓展题型1 平行公理及其推论的应用例1：1．如图，取一张长方形的硬纸板ABCD，将硬纸板ABCD对折使CD与AB重合，EF 为折痕．把长方形ABEF平放在桌面上，另一个面CDEF无论怎么改变位置，总有CD∥AB存在，你知道为什么吗？例2：2．如图，取一张长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，把ABNM平摊在桌面上，另一个面CDMN不论怎样改变位置，总有MN∥∥．因此∥．题型2 综合运用各种判定方法判定两条直线平行例1：3．如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？例2：4．阅读下面的推理过程，在括号内填上推理的依据，如图：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知）所以∠1＝∠4，（）所以a∥c．（）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（）所以∠2+∠6＝180°，（）所以a∥b．（）所以b∥c．（）题型3 平行线判定的开放探究题例1：5．如图，∠A＝60°，∠1＝60°，∠2＝120°，猜想图中哪些直线平行，并证明．例2：6．如图，直线a，b被c所截，∠1＝50°，若要a∥b，则需增加条件（填图中某角的度数）；依据是．题型4 平行线的判定在实际生活中的应用例1：7．如图所示，给你两块同样的三角板和一根直尺（直尺比桌子长），请你设计一个方案，检验桌子的相对边缘线是否平行？例2：8．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知道∠2是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直线是否平行？为什么？课后提高训练9．下列说法错误的是（）A．平行于同一条直线的两直线平行B．两直线平行，同旁内角互补C．对顶角相等D．同位角相等10．如图，下面哪个条件不能判断AC∥EF的是（）A．∠1＝∠2B．∠4＝∠C C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠C＝180°11．如图，平面内有五条直线l1、l2、l3、l4、l5，根据所标角度，下列说法正确的是（）A．l1∥l2B．l2∥l3C．l1∥l3D．l4∥l512．如图，在下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠4B．∠BAD＝∠BCDC．∠BAD+∠ADC＝180°D．∠2＝∠313．如图所示，下列推理正确的是（）A．∵∠1＝∠4（已知）∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）B．∵∠2＝∠3（已知）∴AE∥DF（内错角相等，两直线平行）C．∵∠1＝∠3（已知）∴AB∥DF（内错角相等，两直线平行）D．∵∠2＝∠2（已知）∴AE∥DC（内错角相等，两直线平行）14．下列说法中正确的个数为（）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直②两条直线被第三条直线所截，同位角相等③经过两点有一条直线，并且只有一条直线④在同一平面内，不重合的两条直线不是平行就是相交A．1个B．2个C．3个D．4个15．如图，下列能判定AB∥CD的条件有（填序号）①∠B+∠BCD＝180°；②∠2＝∠3；③∠1＝∠4；④∠B＝∠5；⑤∠D＝∠5．16．如图，要使BE∥DF，需补充一个条件，你认为这个条件应该是（填一个条件即可）．17．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点C、D重合，若固三角板定ABC，改变三角板AED的位置（其中A点位置始终不变），当∠CAD＝时，ED∥AC．18．如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4＝∠7；②∠2＝∠5；③∠2+∠3＝180°；④∠2＝∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是．19．已知：∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，求证：AB∥CD．20．如图，若∠1＝42°，∠2＝53°，∠3＝85°，则直线l1与l2平行吗？判断并说明理由．21．如图，已知CD⊥AD于点D，DA⊥AB于点A，∠1＝∠2，试说明DF∥AE．解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（）．同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（）．即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（）．所以DF∥AE（）．22．完成下列证明过程，并在括号内填上依据．如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证AB∥CD．证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（），∴∠2＝∠4（等量代换），∴（）．∴∠3＝∠C（）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（）．参考答案与解析1.解：∵四边形FECD是矩形，∴CD∥EF；又∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥EF，∴CD∥AB．2.解：∵长方形的硬纸片ABCD对折，MN是折痕，∴MN∥AB，MN∥CD，即MN∥AB∥CD，∴AB∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）．故各空依次填AB、CD、AB、CD．3.解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．4.解：因为∠1+∠2＝180°，∠2+∠4＝180°（已知），所以∠1＝∠4，（同角的补角相等）所以a∥c．（内错角相等，两直线平行）又因为∠2+∠3＝180°（已知）∠3＝∠6（对顶角相等）所以∠2+∠6＝180°，（等量代换）所以a∥b．（同旁内角互补，两直线平行）所以b∥c．（平行于同一条直线的两条直线平行）．故答案为：同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；对顶角相等；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．5.解：如图，∵∠A＝60°，∠1＝60°，∴∠A＝∠1，∴DE∥AC．又∵∠A＝60°，∠2＝120°，∴∠A+∠2＝180°，∴EF∥AB．6.解：∵∠3＝50°，1＝50°，∴∠1＝∠3，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠3＝50°；同位角相等；两直线平行．7.解：（1）将直尺放在桌面上，使其与桌面一组对边相交；（2）将三角板一边贴近直尺，斜边贴近桌面边缘；（3）使另一个三角形同样方法放置，如果相符合说明对边平行，原理如图所示，若∠1＝∠2则a∥b，再检查另一组对边是否平行．8.解：①通过度量∠3的度数，若满足∠2+∠3＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论；②通过度量∠4的度数，若满足∠2＝∠4，根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论；③通过度量∠5的度数，若满足∠2＝∠5，根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论．9. D10.C11.D12.C13.B14.B15.解：选项①中∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），所以正确；选项②中，∵∠2＝∠3，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；选项③中，∵∠1＝∠4，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），所以正确；选项④中，∵∠B＝∠5，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），所以正确；选项⑤中，∠D＝∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），所以错误；故答案为：①③④．16.解：添加条件为：∠D＝∠COE．理由如下：∵∠D＝∠COE，∴BE∥DE（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠D＝∠COE（答案不唯一）．17.解：如图所示：当ED∥AC时，∠CAD＝∠D＝30°；如图所示，当ED∥AC时，∠E＝∠EAC＝60°，∴∠CAD＝60°+90°＝150°；故答案为：30°或150°．18.解：当∠4＝∠7时，a∥b，故①正确；当∠2＝∠5时，无法证明a∥b，故②错误；当∠2+∠3＝180°时，无法证明a∥b，故③错误；当∠2＝∠7时，a∥b，故④正确；故答案为：①④．19.证明：∵∠A＝∠C＝120°，∠AEF＝∠CEF＝60°，∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，∴AB∥EF，CD∥EF，∴AB∥CD．20.解：直线l1与l2平行，理由：∵∠1＝∠4，∠2＝∠5，∠1＝42°，∠2＝53°，∴∠4＝42°，∠5＝53°，又∵∠3＝85°，∴∠3+∠5＝85°+53°＝138°，∴∠3+∠5+∠4＝138°+42°＝180°，∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）．21.解：因为CD⊥AD（已知），所以∠CDA＝90°（垂直的定义），同理∠DAB＝90°．所以∠CDA＝∠DAB＝90°（等量代换），即∠1+∠3＝∠2+∠4＝90°．因为∠1＝∠2（已知），所以∠3＝∠4（等式的性质1），所以DF∥AE（内错角相等，两直线平行）．22.证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠4（对顶角相等），∴∠2＝∠4（等量代换），∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）．∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）．又∵∠B＝∠C（已知），∴∠3＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．故答案为：对顶角相等；CE∥BF；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．。
(人教版)七年级数学寒假精品课 第03讲 平行线及其判定-【寒假自学课】解析版
第03讲平行线及其判定【学习目标】1.掌握平行线的概念及表示方法.2.掌握平行公理及其推论，并能够灵活应用.3.会画已知直线的平行线.4.经历探索两直线平行的三种判定方法.5.掌握直线平行的三种判定方法，并能够灵活应用.【基础知识】1.平行线的定义及表示：(1)定义：在同一平面内内，不相交的两条直线.(2)表示：平行用“∥”符号表示，读作“平行于”.2.同一平面内，两条直线的位置关系：(1)平行(2)相交3.利用直尺和三角尺画平行线：一“落”、二“靠”、三“移”、四“画”.【注意】平行线的画法四字诀一“落”：三角板的一边落在已知直线上；二“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；三“移”：沿直尺移动三角板，直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点；四“画”：沿三角板过已知点的边画直线.4.平行公理及推论：(1)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a，c∥a，那么b∥c. 【注意】平行公理(1)“有且只有”强调直线的存在性和唯一性.(2)前提条件“经过直线外一点”，若点在直线上，不可能有平行线.【概念辨析】(1)不相交的两条直线是平行线.(×)(2)若线段AB与CD没有交点，则AB∥CD.(×)(3)若a∥b，b∥c，则a与c不相交.(√)5.平行线的判定方法1：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠1=∠5(或者∠2=∠6，∠4=∠8，∠3=∠7)，∴AB∥CD.平行线的判定方法2：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2=∠8(或者∠3=∠5)，∴AB∥CD.平行线的判定方法3：(1)文字表述：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角互补，两直线平行.(2)几何语言：∵∠2+∠5=180°(或者∠3+∠8=180°)，∴AB∥CD.6.平行线的其他判定方法：(1)在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行.(2)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【概念辨析】(1)同旁内角相等，两直线平行.(×)(2)两条直线都与第三条直线垂直，这两条直线互相平行.(×)【注意】判定两直线平行的方法方法一：平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线就是平行线.方法二：平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.方法三：同位角相等，两直线平行.方法四：内错角相等，两直线平行.方法五：同旁内角互补，两直线平行.方法六：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.【考点剖析】考点一：平行线及其画法例1．根据下列要求画图.(1)如图(1)所示，过点A画MN∥BC.(2)如图(2)所示，过点C画CE∥DA，交AB于点E，过点C画CF∥DB，与AB的延长线交于点F. 【答案】如图所示：考点二：平行公理及其推论例2．如图，直线a，点B，点C.(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行吗？【分析】根据平行公理及其推论解答.【详解】(1)如图，过直线a外的一点B画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行.(2)过点C画直线a的平行线，它与过点B的平行线平行.理由如下：如图，因为b∥a，c∥a，所以c∥b.考点三：平行线的判定例3．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是()A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠1=∠4D.∠3=∠4【答案】D.【分析】根据平行线的判定条件进行判断即可.【详解】由同位角相等，两直线平行可知A可以判定直线a与b平行；由同角的补角相等，结合同位角相等，两直线平行可知B可以判定直线a与b平行；由对顶角相等，结合同位角相等，两直线平行可知C可以判定直线a与b平行；∠3与∠4是对顶角，与直线a与b平行无关.例4已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．(1)如果∠2＝∠3，那么____________．(____________，____________)(2)如果∠2＝∠5，那么____________．(____________，____________)(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．(____________，____________)(4)如果∠5＝∠3，那么____________．(____________，____________)【答案】（1）EF∥DG，内错角相等，两直线平行；（2）AB∥EF，同位角相等，两直线平行；（3）AD∥BC，同旁内角互补，两直线平行；（4）AB∥DG，内错角相等，两直线平行；考点四：平行线判定的应用例5．我们知道，光线从空气射入水中会发生折射现象，光线从水中射入空气中，同样会发生折射现象.如图是光线从空气中射入水中，再从水中射入空气中的示意图.由于折射率相同，因此已知∠1=∠4，∠2=∠3.请你用所学知识来判断c与d是否平行？并说明理由.【答案】平行，理由如下：如图，∵∠1+∠5=∠4+∠6(邻补角的定义)，∠1=∠4(已知)，∴∠5=∠6(等角的补角相等)，∵∠2=∠3(已知)，∴∠2+∠5=∠3+∠6(等式的性质)，∴c∥d(内错角相等，两直线平行).【真题演练】一、单选题1．下列说法正确的个数是（）．（1）两条直线不相交就平行；（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点； （3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行； （4）平行于同一直线的两条直线互相平行； （5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直． A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】B 【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可； （2），根据平行线的定义进行判断即可；（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可． 【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误； (2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； (4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确； (5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误， 所以只有（4）一项正确， 故选：B ． 【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键． 2．下列说法正确的是（ ）A ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则//a cB ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥C ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，b c ⊥，则//a cD ．在同一平面内，a ，b ，c 是直线，且//a b ，//b c ，则a c ⊥ 【答案】A 【分析】根据平行线的判定判断即可．解：A 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故正确； B 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ，故错误； C 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ，故错误； D 、在同一平面内，a 、b 、c 是直线，如果a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ，故错误； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查的是平行线的判定，平行公理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图所示，给出了过直线l 外一点P 作已知直线l 的平行线的方法，其依据是（ ）．A ．同位角相等，两直线平行．B ．内错角相等，两直线平行．C ．同旁内角互补，两直线平行．D ．以上都不对．【答案】A 【分析】由作图可得同位角相等，根据平行线的判定可作答． 【详解】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以依据为：同位角相等，两直线平行． 故选：A ． 【点睛】本题考查的是作平行线，熟知过直线外一点，作已知直线的平行线的方法和平行线的判定定理是解答此题的关键．4．如图所示，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断//AB CD 的是（ ）A ．34∠=∠B ．12∠=∠C ．D DCE ∠=∠ D ．180D ACD ∠+∠=︒【分析】根据平行线的判定判断即可； 【详解】当34∠=∠时，BDAC ，故A 不符合题意；当12∠=∠时，//AB CD ，故B 符合题意； 当D DCE ∠=∠时，BDAE ，故C 不符合题意；当180D ACD ∠+∠=︒时，BD AE ，故D 不符合题意；故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，准确分析判断是解题的关键．5．如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD ，使其拐角∠ABC ＝150°，∠BCD ＝30°，则（ ）A ．AB //BC B ．BC //CD C ．AB //DC D ．AB 与CD 相交【答案】C 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵∠ABC ＝150°，∠BCD ＝30° ∴AB //DC ． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键． 6．如图，下列能判定//AB CD 的条件有（ ）个．（1）180B BCD ∠+∠=︒；（2）12∠=∠；（3）34∠=∠；（4）5B ∠=∠．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．【详解】解：当∠B+∠BCD=180°，AB∥CD，符合题意；当∠1=∠2时，AD∥BC，不符合题意；当∠3=∠4时，AB∥CD，符合题意；当∠B=∠5时，AB∥CD，符合题意．综上，符合题意的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．二、填空题7．同一平面内，两条相交直线不可能与第三条直线都平行，这是因为________________．【答案】平行公理的推论【分析】根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，进行求解即可．【详解】解：由平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，可以知道同一平面内，两条相交直线不可能与第三条直线都平行，故答案为：平行公理的推论．【点睛】本题主要考查了平行公理的推论，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．根据图完成下列填空（括号内填写定理或公理）（1）14∠=∠（已知）∴__//____（__________________________________） （2）ABC ∠+∠_____180=︒（已知）//AB CD ∴（________________________） （3）∠_____=∠__（已知） //AD BC ∴（______________________________） （4）5∠=∠____（已知） //AB CD ∴（_______________________________）【答案】AB CD 内错角相等，两直线平行 BCD 同旁内角互补，两直线平行 3 2 内错角相等，两直线平行 ABC 同位角相等，两直线平行 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行得出即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行得出即可； （3）根据内错角相等，两直线平行得出即可； （4）根据同位角相等，两直线平行得出即可． 【详解】解：（1）14∠=∠（已知），//AB CD ∴（内错角相等，两直线平行），（2）ABC ∠+∠BCD 180=︒（已知），//AB CD ∴（同旁内角互补，两直线平行），（3）∠3=∠2（已知），//AD BC ∴（内错角相等，两直线平行）（4）5∠=∠ABC （已知），//AB CD ∴（同位角相等，两直线平行），故答案为：AB ；CD ；内错角相等，两直线平行；BCD ；同旁内角互补，两直线平行；3；2；内错角相等，两直线平行；ABC ；同位角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，能正确运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行． 9．两条直线平行的条件（除平行线定义和平行公理推论外）：（1）两条直线被第三条直线所截，如果______________，那么____________．这个判定方法2可简述为：____________，____________．几何语言表述为：如图，∠_______=∠________ //AB CD ∴（2）两条直线被第三条直线所截，如果_______________，那么_____________．这个判定方法3可简述为：___________，_________________．几何语言表述为：∠______ +∠______180=︒ //AB CD ∴【答案】内错角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 2 8 同旁内角互补 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 2 5【分析】（1）根据“内错角相等，两直线平行”回答即可；（2）根据“同旁内角互补，两直线平行”回答即可．【详解】解：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．这个判定方法2可简述为：内错角相等，两直线平行．几何语言表述为：如图，∵∠2=∠8，∴AB //CD ；（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．这个判定方法3可简述为：同旁内角互补，两直线平行．几何语言表述为：∵∠2+∠5=180°，∴AB //CD ． 故答案为：内错角相等；两直线平行；内错角相等；两直线平行；2；8；同旁内角互补；两直线平行；同旁内角互补；两直线平行；2；5．【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握“内错角相等，两直线平行”以及“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．10．如图，AC 平分∠DAB ，∠1＝∠2，试说明AB ∥CD .证明：∵AC 平分∠DAB ( )，∴∠1＝∠____( )，又∵∠1＝∠2( )，∴∠2＝∠____( )，∴AB ∥____( )．【答案】已知 3 角平分线的定义 已知 3 等量代换 CD 内错角相等，两直线平行【解析】【分析】根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可.【详解】证明：∵AC 平分∠DAB ( 已 知 )，∴∠1＝∠ 3 (角平分线的定义)，又∵∠1＝∠2( 已 知 )，∴∠2＝∠ 3 (等量代换)，∴AB ∥CD (内错角相等，两直线平行)．【点睛】本题主要考察平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键.三、解答题11．已知：如图，点D ，E 分别在AB 和AC 上，CD 平分ACB ∠，40DCB ∠=︒，80AED ∠=︒．求证：DE BC ∥．【答案】证明见解析．【分析】根据角平分线定义可求224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒，然后利用等量代换可得BCE AED ∠=∠，再利用平行线判定定理同位角相等，两直线平行可得//DE BC ．【详解】证明：∵CD 平分ACB ∠（已知），∴224080BCE DCB ∠=∠=⨯︒=︒（角平分线的定义）．∵80AED ∠=︒（已知），∴BCE AED ∠=∠（等量代换）．∴//DE BC （同位角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查角平分线定义，平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【过关检测】一、单选题1．三条直线a b c 、、，若 / / , / /a c b c ，则a 与b 的位置关系是( )A ．a b ⊥B ．a / / bC ．a b ⊥或a / / bD ．无法确定【答案】B【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”进行分析，得出正确答案．【详解】解：由于直线a 、b 都与直线c 平行，依据平行公理的推论，可推出a ∥b ．故选B ．【点睛】本题考查的重点是平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 2．若直线a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 的依据是( )A ．平行公理B ．等量代换C ．等式的性质D ．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】D【详解】因为直线a ∥b ,b ∥c ,所以a ∥c 的依据是平行于同一条直线的两条直线互相平行,故选D.3．下列说法中正确的个数有( )①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②在同一平面内不重合的两条直线有平行、相交和垂直三种位置关系；③直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】分别根据直线的位置关系、点到直线的距离、平行线的判定方法即可解答.【详解】解：两直线平行内错角相等，故①错误；在同一平面内不重合的两条直线有平行和相交两种位置关系，故②错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故③正确；在同一平面内，根据同位角相等两直线平行可知④正确；故选B ．【点睛】本题考查了平行线定理、两直线位置关系和点到直线的距离等知识，熟练掌握定理并灵活运用是解题的关键.4．如图，1,2,,8∠∠∠是两条直线,a b 被直线c 所截后形成的八个角，则能够判定直线//a b 的是（ ）A ．34180∠+∠=B ．18180∠+∠=C ．57180∠+∠=D ．26180∠+∠=【答案】B【分析】 根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】A. ∠3+∠4=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；B. ∵∠1=∠3,∠1+∠8=180°,∴∠3+∠8=180°,∴a ∥b ，故本选项正确；C. ∠5+∠7=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误；D. ∠2+∠6=180°不能判定任何直线平行，故本选项错误．故选B.【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握其判定定理.5．如图所示，下列推理中，错误的是（ ）A ．∵12∠=∠（已知），∴12l l //（同位角相等，两直线平行）B ．∵45180︒∠+∠=（已知），∴12l l //（同旁内角互补，两直线平行）C ．∵42∠=∠（已知），∴34//l l （内错角相等，两直线平行）D ．∵14∠=∠（已知），∴12l l //（内对角相等，两直线平行）【答案】D【解析】【分析】根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】A. ∵12∠=∠（已知），∴12l l //（同位角相等，两直线平行），正确；B. ∵45180︒∠+∠=（已知），∴12l l //（同旁内角互补，两直线平行），正确；C. ∵42∠=∠（已知），∴34//l l （内错角相等，两直线平行），正确；D. ∵∠1与∠4不具备特殊位置关系，∴由14∠=∠不能判断12l l //，故不正确；故选D.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.6．如图，不能说明AB//CD 的有（ ）①∠DAC=∠BCA ；②∠BAD=∠CDE ；③∠DAB+∠ABC=180°；④∠DAB=∠DCBA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】选项①∠DAC 和∠BCA 属于内错角，选项②∠BAD 和∠CDE 属于同位角，选项③∠DAB 和∠ABC 属于同旁内角，根据两直线平行的三大定理进行判断，选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．【详解】选项①∵∠DAC=∠BCA ∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）；选项②∵∠BAD=∠CDE ∴AB ∥CD （同位角相等，两直线平行）；选项③∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）；选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．故选C ．【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理：（一）同位角相等，两直线平行；（二）内错角相等，两直线平行；（三）同旁内角互补，两直线平行．找准两个角是同位角，内错角还是同旁内角，然后再进行判断．7．如图，下列条件中，不能判定//AD BC 的是( )A ．12∠=∠B ．180BAD ADC ︒∠+∠= C ．34∠=∠D ．180ADC DCB ︒∠+∠=【答案】B【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果．【详解】A. ∠1=∠2,AD ∥BC(同位角相等,两直线平行)，此选项不符合题意；B. ∠BAD+∠ABC=180°,AB ∥DC(同旁内角互补,两直线平行)，但此选项符合题意；C. ∠3=∠4,AD ∥BC(内错角相等,两直线平行)，此选项不符合题意；D. ∵∠ADC+∠DCB=180°，∴AD ∥BC,(同旁内角互补,两直线平行)此选项不符合题意；故选B.【点睛】此题考查平行线的判定，解题关键在于掌握判定定理.8．如图所示，AE 平分BAC ∠，CE 平分ACD ∠，不能判定//AB CD 的条件是（ ）A ．12∠=∠B ．1290︒∠+∠=C ．3490︒∠+∠=D ．2390︒∠+∠=【答案】A【解析】【分析】 根据平行线的判定方法逐项分析即可.【详解】∵AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，21,22BAC ACD ∴∠=∠∠=∠.若∠1=∠2，则BAC ACD ∠=∠，不能判定//AB CD ，故A 符合题意；若∠1＋∠2＝90°，则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故B 不符合题意；若∠3＋∠4＝90°；则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故C 不符合题意；若∠2＋∠3＝90°．则2(12)180BAC ACD ︒∠+∠=∠+∠=，∴AB ∥CD ，故D 不符合题意；故选A.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.二、填空题9．如图所示，直线,a b 被直线l 所截，158︒∠=，当2∠=________时，直线//a b ．【答案】58°【解析】【分析】根据∠3与∠1相等时，a 与b 平行解答即可.【详解】当2∠=58°时，直线//a b ．∵∠2=∠3，2∠=58°，∴∠3=58°. ∵158︒∠=，∴∠1=∠3，∴//a b .故答案为58°.【点睛】本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.10．如图，E 在AD 的延长线上，下列四个条件：①∠3=∠4；②∠C +∠ABC =180°；③∠A=∠CDE ；④∠1=∠2，其中能判定AB ∥CD 的是________．（填序号）【答案】②③④【分析】根据平行线的判定定理，逐一判断，即可得到答案．【详解】∠=∠，∵34BC AD，∴//∴①不符合题意；∵∠C+∠ABC=180°，∴AB∥CD；∴②符合题意；∵∠A=∠CDE，∴AB∥CD；∴③符合题意；∵∠1=∠2，∴AB∥CD．故答案为：②③④．【点睛】本题主要考查平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．11．如图所示，若12∠=∠，则______//________，根据是_____________．∠=∠，则___//__，根据是_______________________________．若13【答案】AB CE 内错角相等，两直线平行 AC DE 内错角相等，两直线平行【分析】根据内错角相等两直线平行解题．【详解】解：若12∠=∠，则AB // CE ，根据是内错角相等两直线平行；若13∠=∠，则AC //DE ，根据是内错角相等两直线平行，故答案为：AB ，CE ，内错角相等，两直线平行，AC ，DE ，内错角相等，两直线平行．【点睛】本题考查平行线的判断：内错角相等，两直线平行，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12．已知：如图，直线AB 、CD 被直线GH 所截，1112,268∠=︒∠=︒，求证： AB // CD . 完成下面的证明：证明：∵AB 被直线GH 所截，1112,∠=︒∴1∠=∠ 112,︒＝ ∵268∠=︒∴13∠+∠=∴ // （ ）（填推理的依据）.【答案】见解析.【分析】先根据对顶角相等求得∠3的度数，进而得到∠2+∠3=180°，即可判定AB ∥CD ．【详解】证明：∵AB 被直线GH 所截，∠1=112°，∴∠1=∠3=112°∵∠2=68°，∴∠2+∠3=180°，∴AB ∥CD ，（同旁内角互补，两直线平行）故答案为∠3，180°，AB ，CD ，同旁内角互补，两直线平行．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 13．已知：如图，在三角形ABC 中，CD AB ⊥于点D ，连接DE ，当1290∠+∠=时，求证：DE //BC ． 证明：∵CD AB ⊥（已知），∴90ADC ∠=︒（垂直的定义）．∴1∠+________90=︒，∵1290∠+∠=︒（已知），∴________2=∠（依据1：________），∴//DE BC （依据2：________）．【答案】EDC ∠；EDC ∠；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行【分析】根据垂直的定义及平行线的判定定理即可填空．【详解】∵CD AB ⊥（已知），∴90ADC ∠=︒（垂直的定义）．∴1∠+EDC ∠90=︒，∵1290∠+∠=︒（已知），∴EDC ∠2=∠（同角的余角相等），∴//DE BC （内错角相等，两直线平行）．故答案为：EDC ∠；EDC ∠；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记 “内错角相等，两直线平行”是解题的关键．三、解答题14．如图，直线AB ，CD 被直线EF 所截，∠1=∠2，求证：AB ∥CD;【答案】证明见解析【分析】根据对顶角的性质以及平行线的判定方法进行证明即可.【详解】解： ∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AB ∥CD ．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质以及平行线的判定定理，熟练掌握对顶角相等与判定线段平行的判定定理是解题的关键.15．已知：如图，1C ∠=∠，2∠和D ∠互余，1∠和D ∠互余，求证：//AB CD ．【答案】证明见详解【分析】根据题意先由∠1和∠D 互余，∠2和∠D 互余，得到∠1=∠2，再由已知∠C=∠1，所以得∠C=∠2，从而证得AB ∥CD ．【详解】解：证明：∵∠1和∠D 互余，∠2和∠D 互余，∴∠1=∠2，∵∠C=∠1，∴∠C=∠2，∴AB ∥CD ．【点睛】本题考查的知识点是平行线的判定，解题的关键是利用内错角相等两直线平行进行求证． 16．填写理由：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，4BAE ∠=∠，试说明//AD BE ．解：∵∠1=∠2（已知）∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠（______）即BAF ∠=∠______∵∠3=∠4，4BAE ∠=∠（已知）∴∠3=∠______（______）∴∠3=∠______∴//AD BE （______）【答案】见解析【分析】由∠1=∠2易得BAF ∠=DAC ∠，由等量代换可得∠3=∠DAC ，再根据内错角相等判定//AD BE ．【详解】∵∠1=∠2（已知）∴12CAF CAF ∠+∠=∠+∠（等式的性质）即BAF ∠=∠ DAC∵∠3=∠4，4BAE ∠=∠（已知）∴∠3=∠BAE （等量代换）∴∠3=∠DAC∴//AD BE （内错角相等，两直线平行）【点睛】本题考查平行线的判定，灵活运用等量代换得到内错角相等是解题的关键．。
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课题 5.2.1平行线授课人
教学目标知识技能
1.理解平行线的
意义，了解同一平面
内两条直线的位置
关系；
2．理解并掌握平行
公理及其推论的内
容；
3．会根据几何语句
画图，会用直尺和三
角板画平行线.
数学思考
能从模型的操
作及实际生活中抽
象出平行线的概念.问题解决
能过一点画出
已知直线的平行线.情感态度
通过对几何模
型的操作，培养学生
的直觉思维和创造
性思维，使学生获得
成就感.
教学
重点
探索和掌握平行公理及其推论.
教学
难点
对平行公理的理解.
授课
类型
新授课课时教具三线相交模型
教学活动
教学
步骤
师生活动设计意图
活动一：创设情境导入新课
【课堂引入】
(多媒体展示)
如图5－2－4，观察生活中的图
片．
图5－2－4
思考：图中的游泳池中的分道
通过生活中常见的
情景引入新课，激发
学生的学习兴趣.
线、铁轨、操场上跑道中的分道
线会不会出现交点？在位置上
给人怎样的感觉？
(续表)
活动二：实践探究交流新知
【探究1】探究平行线的特点
平行线的特点：(1)在同一平面且不相交；(2)直线．
定义：在同一平面内不相交的两条直线叫平行线．
如图5－2－5所示的两条直线a，b互相平行，记作“a∥b”，
读作a平行于b.
图5－2－5
问题：
(1)平行线应该满足哪些条件？(同一平面内、不相交(即无交
点))
(2)同一平面内两条直线有哪些位置关系？(平行与相交)
【探究2】平行线的画法
先由学生思考，然后教师归纳并示范平行线的画法．
画法：一放二靠三推四画．(如图5－2－6)
图5－2－6
学生自己练习试一试．
【探究3】平行线的基本事实
学生在了解平行线画法的基础上，继续练习：
过已知点P作已知直线l的平行线．
图5－2－7
提问：经过点P可以画多少条直线与已知直线l平行？
师生总结平行线的基本事实：经过直线外一点，有且只有一
条直线与这条直线平行．
注意：正确理解“有且只有”的含义，它包含两层意思：
“有”表明存在与已知直线平行的直线；“只有”表明与已
知直线平行的直线是唯一的．
【探究4】平行线基本事实推论
在【探究3】的基础上，另找一点B，继续让学生自己画出与
直线l平行的直线．
1.通过对平行
线画法的讲解，
培养学生分析
问题、动手动脑
的能力，在独立
练习中体会手
脑结合的乐趣．
2．以画平行线
为线索，循序渐
进，一步一步让
学生自己归纳
出平行线的基
本事实及推论.
图5－2－8
提问：在这三条直线中，任意两条直线的关系是什么样的？
师生共同得出一个基本事实：
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相
平行．
(续表)
活动三：开放训练体现应用【应用举例】
例1如图5－2－9，已知直线a和点B，C.
(1)过点B画直线a的平行线，能画几条？
(2)过点C画直线a的平行线，它与(1)中所作的直线平行吗？
图5－2－9
图5－2－10
解：(1)如图5－2－10，过直线a外的一点B画直线a的平
行线，有且只有一条直线与直线a平行．
(2)如图，过点C画直线a的平行线，它与(1)中所作的直线
平行．理由如下：
∵b∥a，c∥a，
∴c∥b.
利用新知解决
问题，根据相关
性质进行推理.
【拓展提升】
例2在同一平面内三条直线会有怎样的位置关系和交点
个数？
解：(1)如图①，三条直线互相平行，此时交点个数为0；
知识的综合
与拓展提高应
(2)如图②，三条直线相交于一点，此时交点个数为1；
(3)如图③，三条直线两两相交且不交于一点，此时交点的个数是3；
(4)如图④，其中两条直线平行，都与第三条直线相交，此时交点个数是2.
图5－2－11 考能力，培养学生大胆尝试、勇于探索的精神，提高学生的思维能力.
活动四：课堂总结反思【当堂训练】
一、填空题
1．在同一平面内，两条直线的位置关系有__相交和平行__
两种．
2．两条直线相交，交点的个数是__1__，两条直线平行，交
点的个数是__0__．
二、判断题
1．如果一条直线与两条平行线中的一条直线平行，那么它
与另一条直线也互相平行．(√)
2．过一点有且只有一条直线平行于已知直线．(×)
课后作业：
课本第15页习题5.2第3题；第16页习题5.2第8，9题；
第17页第11题.
通过练习
进一步巩固所
学平行线的概
念及性质.
(续表)
活动四：课堂总结反思
【板书设计】
5．2.1平行线
通过知识框图
浓缩本节知识，易于
学生理解.
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节从学生熟悉的、常见的身边事物出发引入平行线的
概念，亲切自然、能充分调动学生学习的积极性．
②[讲授效果反思]
通过本节教学，学生理解了平面中两直线的位置关系，
回顾反思，找出
差距与不足，形成知
识及数学体系，更进
a
C
B
基本掌握平行公理及其推论，为后继学习打下基础． ③[师生互动反思]
学生是学习的主体，教师在学生学习过程中起主导作用．本节课教师引导学生发现身边的平行现象，然后让学生归纳两直线平行的概念．归纳平行公理的推论时对学生的学习过程进行了进一步的深入指导． ④[习题反思] 好题题号
__________________________________________ 错题题号
__________________________________________
一步提升教师教学能力.
一、自学范围（12页练习） 二、自学目标： 1、了解平行线的概念、平面内两条直线相交和平行的两种位置关系, 知道平行公理以及平行公理的推论.
2.会用符号语言表示平行公理推论, 会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线.
三、自学重点：
平行公理也及平行公理的推论 四、自学过程：
1、自学12页思考，体会在平面内两条直线能存在几种位置关系？
2、根据课本填空：在同一平面内，如果存在一条直线a 与直线b 不相交的位置，这时直线a 与直线b 互相 ，记作：
3、举出生活中平行的例子。
4、在同一平面内，不重合的两条直线有几种位置关系？动手画一画。
5、自学13页上方的思考：（该怎样经过一点画已知直线的平行线呢）（提示：参考一下13页下面的思考）
用三角尺和直尺分别过B 点和C 点作直线a 的平行线b 和c 。
（1）过点B 能作 条 （2）过点C 能作 条
6、平行公理：经过直线外一点，有且只有 条直线与这条直线平行。
7、在上面的作图中，b ∥a c ∥a,那b 与c 平行吗？
推论：如果两条直线都与第三直线平行，那么这两条直线也互相平行。
（想一想为什么）
五、学效测试：
8、12页练习
9、在同一平面内,两条不重合直线的位置关系可能是( )
A.平行或相交
B.垂直或相交;
C.垂直或平行
D.平行、垂直或相交
10.下列说法正确的是( )
A.经过一点有一条直线与已知直线平行
B.经过一点有无数条直线与已知直线平行
C.经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D.经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
11.在同一平面内有三条直线,若其中有两条且只有两条直线平行,则它们交点的个数为
( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
12.下列说法正确的有( )
①不相交的两条直线是平行线;②在同一平面内,两条直线的位置关系有两种;
③若线段AB与CD没有交点,则AB∥CD;④若a∥b,b∥c,则a与c不相交.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个。