抛物线知识点与性质大全

抛物线与方程
【知识讲解】 1、定义
平面内，到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹（定点不在定直线上）.其中定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线.
【注】若定点在直线上，则轨迹为过该点垂直于直线的一条直线.
2、抛物线的方程及其简单性质
3、通径
过抛物线的焦点F 作直线⊥l x 轴，交抛物线22y px =于,A B 两点，弦长2=AB p ，此时的弦长称为通径，此为所有的焦点弦中最短的弦.
4、焦点弦的性质
（1）过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于()()1122,,,A x y B x y 两点，则
①12p AF x =+，22p BF x =+；②12x x ⋅=定值2
4
p ，12y y ⋅=定值2
p -；
③
11||||FA FB +=定值2p ；④()1221122
p x y x y y y +=-+. （2）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为θ（斜率为k ）的直线交抛物线于,A B （A 在B 上方）两点，则 ①1cos p A F θ=
-上；②1cos p B F θ=+下；③22
22s 1i 1n p k AB p θ⎛
⎫+ =⎪⎝⎭
=. （3）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线
l 的垂线，垂足分别为,P Q ，设AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则
①AN BN ⊥；②PF QF ⊥；③NF AB ⊥；
④PF AN ⊥；⑤QF BN ⊥；
⑥以AB 为直径的圆与准线相切，切点即为N ； ⑦以()AF BF 为直径的圆与y 轴相切；
⑧2
4PQ AF BF =； 2
4PQF APF BQF S S S ∆∆∆=⋅；
⑨2
32sin ABQP
p S θ
=四边形. （4）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作准线
l 的垂线，垂足分别为,P Q ，准线l 与x 轴交于H 点，O
①AHF BHF ∠=∠； ②,,A O Q 三点共线； ③,,B O P 三点共线；
（5）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物 线于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于E 点，则
1
2
EF AB =
. （6）过抛物线()220y px p =>的焦点F 作直线1l 交抛物线于,A B 两点，G 为准线上的一动点，且直线GA 、GF 、GB 的斜率均存在，则直线GA 、GF 、GB 的斜率成等差数列，即2GA GB GF k k k +=.
5、过点()(),00M m m >的直线交抛物线()220y px p =>于()()1122,,,A x y B x y 两点，则 ①12x x ⋅=定值2m ；②12y y ⋅=定值2pm -； ③2OA OB m p ⊥⇔=；④m p =时，
22
11
||||MA MB +=
定值21p . 6、设点是抛物线()220y px p =>的焦点，12,,,n P P P 是抛物线上的n 个不同的点，若
120n FP FP FP ++
+=，则12n FP FP FP np ++
+=.
【典型例题】
例1、已知动点M 的坐标满足方程3412x y +-，则动点M 的轨迹是（ ） A ．椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
【变式】已知动点M 的坐标满足方程3412x y =+-，则动点M 的轨迹是
（ ） A ．椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 直线
例2、点P 与点()20F ，
的距离比它到直线40x +=的距离小2，则P 的轨迹方程为_______.
【变式】动圆M 与定直线2y =相切且与定圆C :2
2
(3)1x y ++=相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为_______.
【变式2】到y 轴的距离比到点()2,0F 的距离小2的动点P 的轨迹方程为_______.
例3、抛物线24y x =的焦点坐标为_______.
【变式】1【2014上海】若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
195
x y +=的右焦点重合，则该抛
物线的准线方程为_______.
【变式2】抛物线C 恒过定点()0,2A ，C 的准线为轴，则C 的顶点M 的轨迹方程为_______.
例4、在抛物线24y x =上一点P ，使它到定点()2,2M 和焦点F 的距离之和最小，并求出距离之和的最小值.
【变式1】设P 是抛物线28y x =上的一个动点，则点P 到直线4360x y -+=与点P 到y 轴的距离之和的最小值为________.
【变式2】设P 是抛物线24y x =上的一个动点.
（1）求点P 到点()1,1A -的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值； （2）求点P 到直线220x y ++=的距离d 与点P 到抛物线焦点F 距离之和的最小值.
【变式3】已知FAB ∆，点F 的坐标为(1,0)，点A 、B 分别在图中抛物线24y x =及圆
22(1)4x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么FAB ∆的周长的取值范围
为 ．
例5、已知抛物线2
6y x =上存在三点,,A B C ，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点为F ，则
=FA FB FC ++_______.
【变式】已知抛物线2
6y x =的焦点为F ，若该抛物线上存在四点123P P P 、、、4P ，满足1234=0FP FP FP FP +++，则1234=FP FP FP FP +++_______.
例6、直线l 过()1,2A ，且与抛物线212y x =交于,M N 两点，且MA AN =，则直线l 的方程为_________;MN =_______.
例7、抛物线24y x =的焦点为F ,若过F 点的直线与抛物线相交于,M N 两点,若
4FM FN =-,则直线MN 的斜率为_______.
【变式】【2014新课标】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =, 则QF =_______.
例8、过抛物线x y 82
=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且1021=+x x ，
则=AB _____.
【变式1】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点()02,M y ，若点
M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =_____.
【变式2】过抛物线x y 82
=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且10AB =，
则ABO ∆重心的横坐标为_____.
【变式3】过抛物线x y 82
=的焦点作弦AB ，点()11,A x y 、()22,B x y ，且128y y +=，
则=AB _____.
例9、抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()2a a p ≥，求弦中点M 到y 轴的最短距离.
【变式】抛物线()220y px p =>的动弦AB 长为()02a a p <<，求弦中点M 到y 轴的最短距离.
例10、若抛物线2:1C y ax =-上存在关于直线20x y -=对称两点A 和B ，求实数a 的取值范围.
例11、【2014四川】已知F 是抛物线2
y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是____.
例12、已知抛物线()220y px p =>，过定点(),0p 作两条互相垂直的直线12l l 、,1l 与抛物线交于,P Q 两点，2l 与抛物线交于,M N 两点，设1l 的斜率为k ，若已知弦PQ 的中垂线在y 轴上的截距为
32p p
k k
+，则弦MN 的中垂线在y 轴上的截距为__________.
例13、设M 为抛物线2:4(0)C x py p =>准线上的任意一点，过点M 作曲线C 的两条切线，设切点为,A B .直线AB 是否过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.
例14、过抛物线()220y px p =>的焦点F 作相互垂直的两条直线12,l l ,抛物线与1l 交于点
12,,P P 与2l 交于点12,Q Q ．证明：无论如何取直线12,l l ,都有
1212
11
PP Q Q +
为一常数.
例15、抛物线()2
:20C y px p =>的焦点恰是椭圆
22143
x y +=的一个焦点，过点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线与抛物线C 交于点,A B . （1）求抛物线C 的方程；
（2）O 是坐标原点，求AOB ∆的面积的最小值； （3）O 是坐标原点，证明：OA OB ⋅为定值.
【变式1】已知定点(2,0)F ，直线:2l x =-，点P 为坐标平面上的动点，过点P 作直线l 的
垂线，垂足为点Q ，且FQ PF PQ ⊥+（）．设动点P 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）过点F 的直线1l 与曲线C 有两个不同的交点A 、B ，求证：
111
||||2
AF BF +=； （3）记OA 与OB 的夹角为θ（O 为坐标原点，A 、B 为（2）中的两点），求cos θ的取值范围．
11()22,B x y ，且OA OB ⊥.
（1）证明21y y ⋅和12x x ⋅均为定值； （2）证明直线l 恒过定点P ； （3）求AB 的中点M 的轨迹方程；
（4）过原点作AB 的垂线，垂足为N ，求N 的轨迹方程.
（5）对于C 上除原点外的任意一定点()00,Q x y ，若仍有PA PB ⊥，请问是否还有直线l 恒过定点，若是，请求出定点'P ；若否，请说明理由.
【变式3】设抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，经过点F 的动直线交抛物线C 于点
11(,)A x y ，22(,)B x y 且124y y =-.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若()
2OE OA OB =+(O 为坐标原点)，且点E 在抛物线C 上，求直线倾斜角. （3）若点M 是抛物线C 的准线上的一点，直线,,MF MA MB 的斜率分别为012,,k k k .求证： 当0k 为定值时，12k k +也为定值.
例16、在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F 的距离比它到y 轴的距离多1，记点M 的轨迹为C .
（1）求轨迹为C 的方程
（2）设斜率为k 的直线过定点()2,1P -，求直线与轨迹C 恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时k 的相应取值范围.
11（1）当直线过点(),0M p 时，证明21y y ⋅为定值；
（2）如果直线过点(),0M p ，过点M 再作一条与直线垂直的直线l '交抛物线C 于两个不同点D 、E ．设线段AB 的中点为P ，线段DE 的中点为Q ，记线段PQ 的中点为N ．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N 到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．
例18、动圆C 过定点F ,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.设圆心C 的轨迹Γ的
程为()0,=y x F （1）求()0,=y x F ；
（2）曲线Γ上的一定点()00,y x P (0y ≠0) ，方向向量()p y d -=,0的直线（不过P 点）与曲线Γ交与A 、B 两点，设直线PA 与PB 的斜率分别为PA k ，PB k ，计算PB PA k k +；
（3）曲线Γ上的两个定点()000,y x P 、⎪⎭
⎫ ⎝
⎛'
'000,y x Q ，分别过点00,Q P 作倾斜角互补的两条
直线N Q M P 00,分别与曲线Γ交于N M ,两点，求证直线MN 的斜率为定值.
例19、已知抛物线()2:20C y px p =>和:M 228120x y x +-+=，过抛物线C 上一点()()000,0P x y y ≥作两条直线与M 相切与,A B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为
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. (1)求抛物线C 的方程；
(2)当P 点坐标为()2,2时，求直线AB 的方程；
(3)设切线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，且1212
k k ⋅=，求点()00,P x y 的坐标.
例20、过抛物线()220y px p =>的对称轴上一点()(),00A a a >的直线与抛物线交于,M N 两点，自,M N 向直线:l x a =-作垂线，垂足分别为1M 、1N . （1）当2
p
a =
时，求证：11AM AN ⊥; （2）记1AMM ∆、11AM N ∆、1ANN ∆的面积分别为123,,S S S ，是否存在实数λ，使得对任意的，都有2213S S S λ=成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。