九师联盟高三押题信息卷(二)数学试题 (解析版)
2024年新高考九省联考高三第二次模拟数学试题及答案
2024年高考第二次模拟考试高三数学(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合(){}{}ln 3,1A x y x Bx x ==−=≤−,则()A B =R ( )A .{}13x x −<≤B .{}1x x >− C .{1x x ≤−,或}3x >D .{}3x x >2.已知复数i z a b =+(a ∈R ,b ∈R 且a b ),且2z 为纯虚数,则zz=( ) A .1B .1−C .iD .i −3.已知向量()2,4a =−,()1,b t = ,若a 与b 共线,则向量a b + 在向量()0,1j = 上的投影向量为( )A . jB . j −C . 2jD . 2j −4. “1ab >”是“10b a>>”( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘,若每人至多被一家企业录用,每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用,则不同的录用情况种数是( ) A .60 B .114 C .278 D .3366.已知D :222210x y ax a +−−−=,点()3,0P −,若D 上总存在M ,N 两点使得PMN 为等边三角形,则a 的取值范围是( ) A . ()5,11,3 −−∪−+∞B . [)5,1,3−∞−∪+∞C . (][) ,21,−∞−∪+∞D . [)()2,11,−−−+∞7.已知ABC ∆中,60BAC ∠=°,2AB =,Q 是边BC 上的动点.若PA ⊥平面ABC ,PA =,且PQ与面ABC ,则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为( ) A . 4πB . 6πC . 8πD . 9π8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家.如图,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”.若长方形G 的四边均与椭圆22:164x y M +=相切,则下列说法错误的是( )A .椭圆MB .椭圆M 的蒙日圆方程为2210x y +=C .若G 为正方形,则G 的边长为D .长方形G 的面积的最大值为18二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得60分.9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ,过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点,则下列结论正确的是( ) A .MN 的最小值是6 B .若点5,22P,则MF MP +的最小值是4C .113MF NF+= D .若18MF NF ⋅=,则直线MN 的斜率为1± 10.已知双曲线()222:102x y E a a−=>的左、右焦点别为1F ,2F ,过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点,则( )A . 若E 的两条渐近线相互垂直,则a =B. 若E E 的实轴长为1C . 若1290F PF ∠=°,则124PF PF ⋅=D . 当a 变化时,1F PQ 周长的最小值为11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中,,E F 分别是棱,BC CD 的中点,则( ) A .11B D 与EF 是异面直线B .存在点P ,使得12A P PF =,且BC //平面1APBC .1A F 与平面1B EBD .点1B 到平面1A EF 的距离为45三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64,则二项展开式中系数最大的项为13.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线,则实数a 是__________.14. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点,则3AB CD +的最小值为________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对于任意的*n ∈N 都有321n n S a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)记数列{}n a 的前n 项中的最大值为n M ,最小值为n m ,令2n nn M m b +=,求数列{}n b 的前20项和20T .16.(15分)灯带是生活中常见的一种装饰材料,已知某款灯带的安全使用寿命为5年,灯带上照明的灯珠为易损配件,该灯珠的零售价为4元/只,但在购买灯带时可以以零售价五折的价格购买备用灯珠,该灯带销售老板为了给某顾客节省装饰及后期维护的支出,提供了150条这款灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的数据,数据如图所示.以这150条灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量的频率代替1条灯带更换的灯珠数量发生的概率,若该顾客买1盒此款灯带,每盒有2条灯带,记X 表示这1盒灯带在安全使用寿命内更换的灯珠数量,n 表示该顾客购买1盒灯带的同时购买的备用灯珠数量.(1)求X 的分布列;(2)若满足()0.6P X n ≥≤的n 的最小值为0n ,求0n ;(3)在灯带安全使用寿命期内,以购买替换灯珠所需总费用的期望值为依据,比较01nn =−与0n n =哪种方案更优.17.(15分)如图,在三棱柱111ABC A B C −中,直线1C B ⊥平面ABC,平面11AA C C ⊥平面11BB C C .(1)求证:1AC BB ⊥;(2)若12AC BC BC ===,在棱11A B 上是否存在一点P ,使二面角1P BC C −−?若存在,求111B PA B 的值;若不存在,请说明理由.18.(17分)已知函数()ln =−+f x x x a .(1)若直线(e 1)yx =−与函数()f x 的图象相切,求实数a 的值; (2)若函数()()g x xf x =有两个极值点1x 和2x ,且12x x <,证明:12121ln()x x x x +>+.(e 为自然对数的底数).19.(17分)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是已知动点M 与两定点Q,P 的距离之比()||0,1,||MQ MP λλλλ=>≠是一个常数,那么动点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆,圆心在直线PQ 上.已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆,其方程为224x y +=,定点分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点F 与右顶点A,且椭圆C 的离心率为1.2e = (1)求椭圆C 的标准方程;(2)如图,过右焦点F 斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于B ,D(点B 在x 轴上方),点S,T 是椭圆C 上异于B,D 的两点,SF 平分,BSD TF ∠平分.BTD ∠(1)求||||BF DF 的取值范围;(2)将点S 、F 、T 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点,若△SFT 外接圆的面积为818π,求直线l 的方程.2024年高考第二次模拟考试高三数学全解全析一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A .{13x x −<≤B .{1x x >− C.{1x x ≤−,或}3x >D .{3x x >【答案】B【分析】先化简集合,再利用集合的交并补运算求解即可, 【详解】由题意得{}3A x x =>,{}1B x x =≤−,又{}1B x x =>−R 则(){}1A B x x ∪=>−R ,故选:B.A .1B .1−C .iD .i −【答案】D【分析】利用复数的概念及四则运算法则运算即可求解.【详解】因为i z a b =+,所以()2222(i)2i z a b a b ab =+=−+,又因为2z 为纯虚数,所以2220a b ab −= ≠,即0a b =≠(舍)或0a b =−≠, 所以i z a a =−,所以i z a a =+, 所以2i 1i (1i)i i 1i (1i)(1i)z a a a a z −−−====−+++−. 故选:D3.已知向量()2,4a =−,()1,b t = ,若a 与b 共线,则向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为( )A. jB. j −C. 2jD. 2j −【答案】C 【解析】【分析】根据a 与b 共线,可得240t −−=,求得2t =−,再利用向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为()a b j jj j+⋅⋅ ,计算即可得解. 【详解】由向量()2,4a =−,()1,b t = ,若a与b共线,则240t −−=,所以2t =−,(1,2)a b +=−,所以向量a b +在向量()0,1j = 上的投影向量为: ()(1,2)(0,1)21a b j j j j j j+⋅−⋅⋅=⋅=, 故选:C4. “1ab >”是“10b a>>”( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】当0a >时,由1ab >,可得10b a>>, 当a<0时,由1ab >,得10b a<<; 所以“1ab >”不是“10b a>>”的充分条件. 因为01010a b ab a a>>>⇔− > ,所以1ab >, 所以“1ab >”是“10b a>>”的必要不充分条件. 故选:B.【点睛】本题考查不等式性质与充分、必要条件的判定,还考查了理解辨析问题的能力,属于基础题. 5.有甲、乙等五人到三家企业去应聘,若每人至多被一家企业录用,每家企业至少录用其中一人且甲、乙两人不能被同一家企业录用,则不同的录用情况种数是( ) A.60 B.114 C.278 D.336【答案】D【解析】命题意图 本题考查排列与组合的应用.录用3人,有 353360C A = 种情况;录用4 人,有 4232354333162C C A C A −=种情况;录用 5 人,有12323331345333333225)4(C C A C A (C A C A )11A −+−=种情况.所以共有336种.6.已知D :222210x y ax a +−−−=,点()3,0P −,若D 上总存在M ,N 两点使得PMN 为等边三角形,则a 的取值范围是( ) A. ()5,11,3 −−∪−+∞B. [)5,1,3−∞−∪+∞C. (][) ,21,−∞−∪+∞D. [)()2,11,−−−+∞【答案】B 【解析】【分析】D 的圆心坐标为(),0D a ,半径为1ra =+,要使D 上总存在M ,N 两点使得PMN 为等边三角形,则D 上存在一点M ,使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时,MPD ∠最大,故sin sin 30rMPD PD∠=≥°,由此可求解. 【详解】D 的标准方程为()()2221x a y a −+=+,圆心坐标为(),0D a ,半径为1ra =+.因为,PM PN MD ND ==,所以PMD PND ≅△△.所以30MPD NPD ∠=∠=°.要使D 上总存在M ,N 两点使得PMN 为等边三角形, 则D 上存在一点M ,使得30MPD ∠=°,当PM 与D 相切时,MPD ∠最大,此时30MPD ∠≥°,故1sin sin 302r MPDPD ∠=≥°=,即()1132a a +≥+,整理得23250a a +−≥,解得[)5,1,3a∈−∞−∪+∞.故选:B.7.已知ABC 中,60BAC ∠=°,2AB =,Q 是边BC 上的动点.若PA ⊥平面ABC ,PA =,且PQ与面ABC ,则三棱锥−P ABC 的外接球的表面积为( ) A. 4π B. 6πC. 8πD. 9π【答案】B 【解析】【分析】根据题意得PQ AQ 的最小值是1,即A 到BC 的距离为1,则∠ACB =90°,结合图形找出△ABC 的外接圆圆心与三棱锥−P ABC 外接球的球心,求出外接球的半径,再计算它的表面积. 【详解】三棱锥−P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,设直线PQ 与平面ABC 所成角为θ,∵sin θ,∴sin PA PQ θ==≤PQ ≥即PQ AQ 的最小值是1,即A 到BC 的距离为1, 直角三角形△ABQ 中,AB =2,所以∠BAQ =60°,又∠BAC =60°, 所以,A Q 重合,则∠ACB =90°, 则△ABC 的外接圆圆心M 为AB 的中点,又PA ⊥平面ABC ,从而外接球的球心O 为PB 的中点,外接球的半径R OB =,∴三棱锥−P ABC 的外接球的表面积224π4π6πS R ==×=.故选:B .8.加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家.如图,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相【分析】由椭圆标准方程求得,a b 后再求得c ,从而可得离心率,利用特殊的长方形(即边长与椭圆的轴平行)求得蒙日圆方程,从而可得长方形边长的关系,结合基本不等式得面积最大值,并得出长方形为正方形时的边长.【详解】由椭圆方程知a =2b =,则c ,离心率为e =A 正确;当长方形G 的边与椭圆的轴平行时,长方形的边长分别为4,因此蒙,圆方程为2210x y +=,B 正确; 设矩形的边长分别为,m n ,因此22402m n mn +=≥,即20mn ≤,当且仅当m n =时取等号,所以长方形G 的面积的最大值是20,此时该长方形G 为正方形,边长为C 正确,D 错误. 故选:D .二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知抛物线2:6C y x =的焦点为F ,过点F 的直线交C 于,M N 两个不同点,则下列结论正确的【分析】A ,根据12||=MN x x p ++结合基本不等式即可判断;B ,由抛物线定义知当,,P M A 三点共线时MF MP +;C ,D ,设直线方程,联立抛物线,应用韦达定理即可求解.【详解】对A ,设112212(,),(,),(,0)M x y N x y x x >, 因为这些MN 倾斜角不为0, 则设直线MN 的方程为32x ky =+,联立抛物线得2690y ky −−=, 则12126,9y y k y y +=⋅=−,所以()()221212121212399363,244k x x k y y k x x k y y y y ∴+=++=+=+++=, 则212||=3666MN x x k ++=+≥(当且仅当0k =时等号成立),A 正确; 对B ,如图MA ⊥抛物线准线,MF MP MA MP +=+要使其最小, 即,,P M A 三点共线时取得最小值,即53||422MF MP MA MP PA +=+==+=,B 正确; 对C ,由()121212311||||239||||||||324x x NF MF MF NF MF NF x x x x ++++===+++,C 错误; 对D ,1212123339()()()2224MF NF x x x x x x ⋅=+⋅+=+++2293993(63)(63)1842422k k =+++=++=,解得1k =±,D 正确故选:ABD.10.已知双曲线()222:102x y E a a −=>的左、右焦点别为1F ,2F ,过点2F 的直线l 与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点,则( ) A. 若E的两条渐近线相互垂直,则a =B. 若EE 的实轴长为1C. 若1290F PF ∠=°,则124PF PF ⋅= D. 当a 变化时,1F PQ周长的最小值为【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线的渐近线、离心率、定义、三角形的周长等知识对选项进行分析,从而确定正确答案.【详解】依题意,b =,A选项,若双曲线的两条渐近线相互垂直,所以1,ba b a===,故A 正确;B 选项,若E的离心率为c e a ==, 解得1a =,所以实轴长22a =,故B 错误;C 选项,若1290F PF ∠=°,则122221224PF PF a PF PF c −=+=, 整理得222121224448,4PF PF c a b PF PF ⋅=−==⋅=,故C 正确; D 选项,根据双曲线的定义可知,121222PF PF a QF QF a −=−= ,两式相加得11114,4PF QF PQ a PF QF a PQ +−=+=+, 所以1F PQ 周长为42a PQ +,当12PQ F F ⊥时,PQ 取得最小值224b a a=,所以8424a PQ a a +≥+≥, 当且仅当84a a=,即a = 所以1F PQ周长的最小值为D 正确. 故选:ACD11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中,,E F 分别是棱,BC CD 的中点,则( )【分析】A 选项,建立空间直角坐标系,根据112B D EF = 得到11B D 与EF 平行;B 选项,先求出242,,333P,得到平面1APB 的法向量()1,0,1m =− ,根据数量积为0得到BC m ⊥ ,得到BC //平面1APB ;C 选项,先求出1A F 与平面1B EB 所成角的正弦值,进而求出余弦值;D 选项,求出平面1A EF 的法向量,根据点到平面距离公式求出答案.【详解】A 选项,以A 作坐标原点,1,,AB AD AA 所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系,()()()()()()()1112,0,2,0,2,2,2,1,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0,2,2,0B D E F A B C ,则()()112,2,0,1,1,0B D EF =−=− ,由于112B D EF =,故11B D 与EF 平行,A 错误; B 选项,设(),,P x y z ,因为12A P PF =,所以()()2,,21,2,x y z x y z −−−−=,即224222x xy y z z =− =− −=−,解得242,,333x y z ===,故242,,333P , 设平面1APB 的法向量为(),,m a b c =,则()()()1242242,,,,0333333,,2,0,2220m AP a b c a b c mAB a b c a c ⋅=⋅=++=⋅=⋅=+= , 令1a =,则0,1b c ==−,则()1,0,1m =−, 因为()()0,2,01,0,10BC m ⋅=−= ,故BC m ⊥ ,BC //平面1APB , 故存在点P ,使得12A P PF =,且BC //平面1APB ,B 正确;C 选项,平面1B EB 的法向量为()1,0,0n =,故1A F 与平面1B EB则1A F 与平面1B EBC 正确;D 选项,设平面1A EF 的法向量为()1111,,n x y z =,则()()()()11111111111111,,2,1,2220,,1,1,00n A E x y z x y z n EF x y z x y ⋅⋅−+− ⋅=⋅−=−+= , 令11x =,则1131,2y z ==,故131,1,2n = , 则点1B 到平面1A EFD 错误.故选:BC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若二项式nx+的展开式中二项式系数之和为64,则二项展开式中系数最大的项为【答案】240 【解析】【详解】因为二项式nx+ 的展开式中二项式系数之和为64,所以264n =,得6n =,所以二项式为6x+,则二项式展开式的通项3662166C C 2r r r r r rr T x x −−+=, 令第1r +项的系数最大,则11661166C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r −−++ ≥ ≥ ,解得111433r ≤≤, 因为N r ∈,所以4r =,则二项展开式中系数最大的项为36444256C 2240T x −×==,所以填24013.若函数()sin f x ax x =+ 的图像上存在两条互相垂直的切线,则实数a 是__________.【答案】0 【解析】【详解】注意到,()cos f x a x =+′.若函数()f x 上存在两条切线垂直,则存在1x 、2x R ∈,使得()()()()12121cos cos 1f x f x a x a x ′′=−⇔++=−()21212cos cos cos cos 10a a x x x x ⇔+++⋅+=221212cos cos cos cos 1022x x x x a +−⇔++−=12cos cos 1,0x x a ⇔=−=±=.故答案为014. 若过点()0,1的直线l 自左往右交抛物线214y x =及圆()22114x y +−=于,,,A B C D 四点,则3AB CD +的最小值为________.【答案】2+ 【解析】【分析】根据抛物线的定义求得求出11,22A D AB y CD y =+=+,当l y ⊥轴时,则1D Ay y ==,可求3AB CD +的值;当直线方程为()1x n y =−时,代入抛物线方程,根据韦达定理结合基本不等式求得此时3AB CD +的最小值,即可得结论. 【详解】解:如图,其中抛物线214y x =的焦点坐标为()0,1F ,抛物线的准线方程为:1y =−,圆()22114x y +−=的半径12r =又抛物线的定义可得:1,1A D AF y DF y =+=+,又11,22A D AB AF BF y CD DF CF y =−=+=−=+,当l y ⊥轴时,则1A Dy y ==,所以113131622AB CD+=+++=; 当l 不垂直于y 轴时,设l 的方程为:()1x n y =−,代入抛物线方程得:()2222240n y n y n −++=, 所以2224,1A D A D n y y y y n++=⋅=。
2020届 九师联盟高三押题信息卷(二)数学(理)试题(解析版)
, .
若 存在极值,则 ,
又 .又 .
故选:C.
【点睛】
本题考查导数与极值,考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.
11.如图, 内接于圆 , 是圆 的直径, ,则三棱锥 体积的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据已知证明 平面 ,只要设 ,则 ,从而可得体积 ,利用基本不等式可得最大值.
19.如图,四边形 是边长为3的菱形, 平面 .
(1)求证: 平面 ;
(2)若 与平面 所成角为 ,求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由已知线面垂直得 ,结合菱形对角线垂直,可证得线面垂直;
(2)由已知知 两两互相垂直.以 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 如图所示,由已知线面垂直知 与平面 所成角为 ,这样可计算出 的长,写出各点坐标,求出平面的法向量,由法向量夹角可得二面角.
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
(1)求图中实数 的值;
(2)企业将不合格品全部销毁后,对合格品进行等级细分,质量指标值落在区间 内的定为一等品,每件售价240元;质量指标值落在区间 或 内的定为二等品,每件售价180元;其他的合格品定为三等品,每件售价120元,根据表1的数据,用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为 (单位:元),求 的分布列和数学期望.
21.已知函数 .
(1)若函数 的图象与 轴有且只有一个公共点,求实数 的取值范围;
(2)若 对任意 成立,求实数 的取值范围.
押题预测卷02-决胜2024年高考数学押题预测模拟卷(新高考九省联考题型)含答案
决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学(新高考九省联考题型)(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若(12i)(32i)2i z ---=+,则z =( )A 33i - B. 33i+ C. 33i-+ D. 33i--2.已知向量(2,0),(a b ==-r r,则a r 与()a b -r r 夹角的余弦值为( )A. B. 12-C.123. “直线1sin 102x y q +-=与cos 10x y q ++=平行”是“π4q =”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x -=++++++,则246a a a ++=( )A. 64B. 33C. 32D. 315.公元656年,唐代李淳风注《九章》时提到祖暅的“开立圆术”.祖暅在求球的体积时,使用一个原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是立体的高,意思是两个同高的立体,如在等高处的截面积相等,则体积相等.更详细点说就是,介于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等.上述原理在中国被称为“祖暅原理”.3D 打印技术发展至今,已经能够满足少量个性化的打印需求,现在用3D 打印技术打印了一个“睡美人城堡”.如图,其在高度为h 的水平截面的面积S 可以近似用函数()()2π9S h h =-,[]0,9h Î拟合,则该“睡美人城堡”的体积约为( )A. 27πB. 81πC. 108πD. 243π.6.在ABC V 中,内角,,A B C 的对边分别为a b c 、、,若()()()sin sin sin sin a c A C b A B +-=-,且c =2ba -的取值范围为( )A. ()1,2-B. ö÷øC. æççèD. (-7.已知正实数,,a b c 满足2131412,3,4a b c a b c a b c a b c+++=-=-=-,则,,a b c 的大小关系为( )A. c b a <<B. a b c<<C. a c b<< D. b a c<<8.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且12π3F PF Ð=,若椭圆的离心率为1e ,双曲线的离心率为2e ,则22122212313e e e e +++的最小值是( )二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是( )A. 数据6,2,3,4,5,7,8,9,1,10的第70百分位数是8.5B. 若随机变量()()2~2,10.68X N P x s>=,,则()230.18P x £<=C. 设A B ,为两个随机事件,()0P A >,若()()P BA PB =∣,则事件A 与事件B 相互独立D. 根据分类变量X 与Y 的成对样本数据,计算得到2 4.712=c ,依据0.05a =的卡方独立性检验()0.05 3.841=x ,可判断X 与Y 有关且该判断犯错误的概率不超过0.0510.若函数2222()2sin log sin 2cos log cos f x x x x x =×+×,则( )A. ()f x 的最小正周期为pB. ()f x 的图象关于直线4x p=对称C. ()f x 的最小值为1-D. ()f x 的单调递减区间为2,24k k p p p æö+ç÷èø,k ZÎ11.设函数()f x 的定义域为R ,()f x 为奇函数,(1)(1)f x f x +=-,(3)1f =,则( )A ()11f -= B. ()(4)f x f x =+C. ()(4)f x f x =-D.181()1k f k ==-å三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分..12.已知集合{}24A x x =-<<,122x B x ìü=>íýîþ,则A B =I ______________.13.已知A 为圆C :()22114x y +-=上动点,B 为圆E :()22134x y -+=上的动点,P 为直线12y x =上的动点,则PB PA -的最大值为______________.14.已知数列{}n a 的通项公式为122311,3+==++×××++n n n n a S a a a a a a n ,若对任意*N n Î,不等式()432n n S n l +<+恒成立,则实数l 的取值范围是______.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.甲、乙、丙三人进行投篮比赛,共比赛10场,规定每场比赛分数最高者获胜,三人得分(单位:分)情况统计如下:场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911(1)从上述10场比赛中随机选择一场,求甲获胜的概率;(2)在上述10场比赛中,从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场,设X 表示乙得分大于丙得分的场数,求X 的分布列和数学期望()E X ;(3)假设每场比赛获胜者唯一,且各场相互独立,用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛,设1Y 为甲获胜的场数,2Y 为乙获胜的场数,3Y 为丙获胜的场数,写出方差()1D Y ,()2D Y ,()3D Y 的大小关系.16.如图,在多面体ABCDEF 中,底面ABCD 为平行四边形,2,90AB AD ABD Ð===o ,矩形BDEF 所在平面与底面ABCD 垂直,M 为CE 的中点.的(1)求证:平面BDM P 平面AEF ;(2)若平面BDM 与平面BCF CE 与平面BDM 所成角的正弦值.17.已知函数()()ln 1f x x a x a =--ÎR .(1)若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线为x 轴,求a 的值;(2)讨论()f x 在区间(1,)+¥内极值点的个数;18.已知抛物线:22y x =,直线:4l y x =-,且点,B D 在抛物线上.(1)若点,A C 在直线l 上,且,,,A B C D 四点构成菱形ABCD ,求直线BD 的方程;(2)若点A 为抛物线和直线l 的交点(位于x 轴下方),点C 在直线l 上,且,,,A B C D 四点构成矩形ABCD ,求直线BD 的斜率.19.若无穷数列{}n a 的各项均为整数.且对于,,i j i j *"Î<N ,都存在k j >,使得k j i j i a a a a a =--,则称数列{}n a 满足性质P .(1)判断下列数列是否满足性质P ,并说明理由.①n a n =,1n =,2,3,…;②2n b n =+,1n =,2,3,….(2)若数列{}n a 满足性质P ,且11a =,求证:集合{}3∣n n a *Î=N 为无限集;(3)若周期数列{}n a 满足性质P ,请写出数列{}n a 的通项公式(不需要证明).决胜2024年高考数学押题预测卷02数 学(新高考九省联考题型)(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
2023届高三信息押题卷二全国卷数学
2023届高三信息押题卷二全国卷数学2023届高三信息押题卷二全国卷数学一、选择题1. 设函数f(x) = |2x + 3|,则f(-1) = _______。
2. 已知点A(3,4)和点B在x轴上,若直线AB的斜率为-2/3,则B的坐标为 _______。
3. 设集合A = {1,2,3,4,5},集合B = {3,4,5,6,7},则A∪B = _______。
4. 解方程log2(x - 4) - log2(x + 1) = 1,得x = _______。
5. 已知函数f(x) = e^x,g(x) = ln(x),则f(g(1)) = _______。
二、填空题1. 方程2x^2 - 5x + 2 = 0的两个解之和为 _______。
2. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5},集合B = {3, 4, 5, 6, 7},则A∩B =_______。
3. 解不等式2x - 3 > 5,得x > _______。
4. 已知a = log2(3),b = log3(4),c = log4(5),则a + b + c的值为_______。
5. 设函数f(x)满足f(x + 1) = 2f(x) + 1,且f(0) = 2,则f(3)的值为_______。
三、解析题1. 已知在ΔABC中,∠A = 30°,边BC = 5,边AC = 4√3。
求边AB的长度。
2. 在平面直角坐标系中,点A(4,1)关于y轴的对称点为B,点A关于x轴的对称点为C。
求三角形ABC的面积。
四、应用题某大学的计算机系今年共招收200名新生,其中男生占总人数的40%。
已知报到注册的学生中有25%是未满18周岁的,求报到注册的女生人数。
五、开放性题某商场原价销售一款产品为200元,现在进行促销活动,打7折。
但是根据市场调研,发现打9折销售会使销量提升40%,请分析哪种促销策略对商场的利润更有利,并给出相应的计算结果和分析。
2020届 九师联盟高三押题(二)信息卷数学(文)试题(解析版)
15.若 ,则 __________.
【答案】
【解析】由已知条件求得 的值,进而利用二倍角的正切公式求出 ,再利用二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值.
【详解】
, ,则 .
.
故答案为: .
【点睛】
本题考查三角求值,涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用,考查计算能力,属于中等题.
【详解】
抛物线 的焦点坐标为 ,直线 的方程为 ,
据 得 .设 ,
则 .
线段 垂直平分线方程为 ,令 ,则 ,所以 ,
所以 .
故答案为:1.
【点睛】
本题考查抛物线的焦点弦问题,根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.
三、解答题
17.已知在等比数列 中, .
(1)求数列 的通项公式;
(2)若 ,求数列 前 项的和.
本题考查古典概型概率的计算,一般利用列举法列举出基本事件,考查计算能力,属于基础题.
6.已知变量的几组取值如下表:
1
2
3
4
7
若 与 线性相关,且 ,则实数 ()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】求出 ,把坐标 代入方程可求得 .
【详解】
据题意,得 ,所以 ,所以 .
故选:B.
【点睛】
本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点 可计算参数值.
又当 时,令 ,
则 对任意的 恒成立,
所以,函数 在区间 上单调递增,则 ,
当 时, ,
所以只需要函数 在 上单调递增,
即当 时, 恒成立,即 ,解得 恒成立,所以 .
故选:C.
2023届高三信息押题卷(二)全国卷理科数学试题(含解析)
2023届高三信息押题卷(二)全国卷理科数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________2..C...某超市对一种商品受顾客的喜爱程度进行1001人,抽到喜爱该商品的男顾客的概率为不喜爱该商品合计10A.18B.6.古印度数学家婆什伽罗在《丽拉沃蒂》一书中提出如下问题:某人给一个人布施,初日施2子安贝(古印度货币单位)以一个月31天计算,记此人第n S nA .2B .9.已知函数()(3sin f x ω=正确的是( )A .()1π3sin 312f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B .3π342f ⎛⎫=⎪⎝⎭3A.1-B.1C.2D.314.甲、乙、丙、丁、戊五名同学利用寒假参加社区服务,分别从为老年人服务、社会保障服务、优抚对象服务、为残病人服务、安全防范服务等五个服务项目中选择一个报名,记事件A为“五名同学所选项目各不相同P A B=_________.务”,则()(1)若G为AE的中点,求证:(2)求二面角B EF D--的正弦值20.已知椭圆22221(x ya b a b+=>上的截距为1,且与椭圆交于(1)求椭圆的方程;()6参考答案:故选:C.6.D【分析】根据题意可得,数列将t分离出来,再结合基本不等式即可得到结果【详解】由题意可知,数列{【详解】的面积为4π,所以圆O 的半径222552OA =+,所以圆锥的高OA 在底面圆周上,所以AB AC =BC 的距离最大,即2OD =,此时由ABF △的重心为5(3-126y y +=-,直线AB 的斜率11AB y k x =12211AB AB y y k =+⋅-,中,由余弦定理得在ABC△中,由余弦定理得在BCD22BD CD+所以GE CF =,GE CF ∥,所以四边形CFEG 是平行四边形,所以CG FE ∥.因为FE ⊂平面DEF ,CG ⊄所以CG //平面DEF .因为AE //CF ,22AB AE CF ===所以()2,0,0B ,()0,2,0D ,(0,0,E 从而()2,2,1EF =- ,()0,2,1BF = ,设平面BEF 的法向量为(),,m x y z = 令2z =,得1y =-,2x =,即m =)。
2024年新高考数学押题试卷2(含解析答案)
2024年新高考数学押题试卷(二)注意事项:1.答卷前,考生务必要填涂答题卷上的有关项目.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改动、先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁,考试结束后,将答题卷交回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知i ⋅z =5-2i ,则z 在复平面内对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 2.设 的取值范围为()A ={x ∈-2<x <3},Z B ={x 4x -a ≥0},且A B ={12},则,a A .(0,1]C .(0,4B .(0,1)]D .(0,4) 3.为了了解小学生的体能情况,抽取了某小学四年级100名学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,绘制如下频率分布直方图.根据此图,下列结论中错误的是()A .x =0.015B .估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过125C .估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为119D .四年级学生一分钟跳绳超过125次以上优秀,则估计该小学四年级优秀率为35%ππ24.若α∈4⎫⎛-,- ⎪⎝⎭3π12,且cos 2α+cos 2⎛+2α⎫=- ⎪⎝,则tan α=(⎭)C .-B .-A .23D .-5.设,为双曲线C :的左、右焦点,Q 为双曲线右支上一点,点P (0,2).当1F 2F 2213xy -=1QF PQ+取最小值时,的值为( ) 2QFA B CD22+6.安排5名大学生到三家企业实习,每名大学生只去一家企业,每家企业至少安排1名大学生,则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为( )A .B .C .D .153103256257.对于数列,若存在正数,使得对一切正整数,都有,则称数列是有界的.若这样{}n a M n n a M ≤{}n a 的正数不存在,则称数列是无界的.记数列的前项和为,下列结论正确的是( ) M {}n a {}n a n n S A .若,则数列是无界的 B .若,则数列是有界的 1n a n={}n a sin n a n n ={}n a C .若,则数列是有界的D .若,则数列是有界的 ()1nn a =-{}n S 212n a n =+{}n S8.如图,中,,为的中点,将沿折叠成三棱锥ABC A 90BAC ∠=︒AB AC ==D BC ABC A AD ,则当该三棱锥体积最大时它的外接球的表面积为( )A BCD -A .B .C .D .π2π3π4π二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
九师联盟2018-2019学年高三押题信息卷数学(文科)试题(二)(带答案解析)
…………○…………装…………学校:___________姓名:__________…………○…………装…………九师联盟2018-2019学年高三押题信息卷 数学(文科)试题(二) 第I 卷(选择题) 一、单选题 1.若集合}{,33A x y B x x ===-≤≤,则A B =I ( ) A .[]3,2- B .{}23x x ≤≤ C .()2,3 D .{}32x x -≤< 2.若复数1212i z i +=-(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A .413i - B .1255i - C .413i + D .3455i -- 3.函数()sin x y x -=([),0x π∈-或(]0,x π∈)的图象大致是( ) A . B . C . D . 4.已知双曲线2222:1x y C m n -=的渐近线方程为y =,则双曲线C 的离心率为( )A .4BC .8D .2 5.已知张明在拼写单词“calendar ”时,对后三个字母的记忆有些模糊,他只记得由……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…23…………线………………线……11.如图,ABC ∆内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==,则三棱锥E ABC -体积的最大值为( )A .14B .13C .12D .23 12.已知函数()ln 2f x a x x =+,若()12x f x ax e +<+对任意()0,x ∈+∞成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(],2-∞ B .[)2,+∞ C .[)2,-+∞ D .[]2,0- 第II 卷(非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13.已知向量()1,1a =,()2,b m =r ,()//2a a b +r r r ,则实数m 的值为_________. 14.在正方体1111ABCD A B C D -中,,EF 分别为棱111,AA D A 的中点,则直线EF 与直线1A B 所成角的正切值为_________. 15.若sin 2cos αα=,则()22sin 22cos 2sin 4ααπα-=-__________. 16.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点,2MF NF b +=,若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ,则-a b 的值为_________. 三、解答题………装…………○请※※不※※要※※在※※装※※………装…………○17.已知在等比数列{}n a中,12341120,4,na aa a a>=-=.(1)求数列{}n a的通项公式;(2)若2211log lognn nba a+=⋅,求数列{}nb前n项的和.18.已知王明比较喜爱打篮球,近来,他为了提高自己的投篮水平,制定了一个夏季训练计划.班主任为了了解其训练效果,开始训练前,统计了王明6场比赛的得分,计算出得分数据的中位数为13分,平均得分为12分,得分数据的方差为48,训练结束后统计了6场比赛得分成绩茎叶图如下图:099124215(1)求王明训练结束后统计的6场比赛得分的中位数,平均得分以及方差;(2)若只从训练前后统计的各6场比赛得分数据分析,训练计划对王明投篮水平的提高是否有帮助?19.如图,在四棱锥P ABCD-中,底面四边形ABCD是菱形,PD AC⊥.(1)证明:AC PB⊥;(2)若2DP DA DB===,PB=P ABCD-的体积.20.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的右焦点为F,点P在椭圆C上,且点P到点F P到点F(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l交椭圆C于A、B两点,坐标原点O到直线l求AOB∆面积的最大值.21.已知函数()2ln f x x x =+. (1)若关于x 的方程()()1ln 0f x a x +-=有且只有一个实数根,求实数a 的取值范围; (2)若函数()()()211y f x m x x =-+>的图象总在函数()()211y m x x =->图象的下方,求实数m 的取值范围. 22.已知在平面直角坐标系xOy 中,直线2C 的参数方程为22x t y t =-⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为()cos cos 2ρθρθ=+. (1)求曲线1C 与直线2C 的直角坐标方程; (2)若曲线1C 与直线2C 交于,A B 两点,求AB 的值. 23.已知函数()224f x x x =-++. (1)解不等式()34f x x ≥-+; (2)若函数()f x 的最小值为(),0,0a m n a m n +=>>,求2020202010081008m n +++的最小值.参考答案1.A【解析】【分析】先确定集合A 中的元素,然后由交集定义求解.【详解】{{}{}2,33A x y x x B x x ===≤=-≤≤Q ,{}32x x ∴A⋂B =-≤≤. 故选:A .【点睛】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键.2.D【解析】【分析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式,即可得出复数z 的共轭复数.【详解】 ()()()212123434121212555i i i z i i i i ++-+====-+--+Q ,3455z i ∴=--. 故选:D.【点睛】本题考查共轭复数的计算,涉及复数除法运算法则的应用,考查计算能力,属于基础题. 3.A【解析】【分析】确定函数的奇偶性,排除两个选项,再求x π=时的函数值,再排除一个,得正确选项.【详解】分析知,函数()sin x y x -=([),0x π∈-或(]0,x π∈)为偶函数,所以图象关于y 轴对称,排除B ,C ,当x π=时,sin 0x x=,排除D ,【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等,研究特殊的函数的值、函数值的正负,以及函数值的变化趋势,排除错误选项,得正确结论.4.D【解析】【分析】求得n b a m =的值,然后利用双曲线的离心率公式e =C 的离心率. 【详解】由题意可知,n b a m==,所以双曲线C 的离心率2e ====. 故选:D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,在涉及到双曲线的渐近线时,利用公式e =计算较为方便,考查计算能力,属于基础题.5.A【解析】【分析】列举出所有的基本事件,并确定事件“张明拼写该单词错误”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率.【详解】据题意知,单词“calendar ”后三个字母张明排序有dra 、ard 、adr 、dar ,共4种情况,其中拼写错误的有一三种dra 、ard 、adr ,所以所求的概率34P =. 故选:A.本题考查古典概型概率的计算,一般利用列举法列举出基本事件,考查计算能力,属于基础题.6.B【解析】【分析】 求出,x y ,把坐标(,)x y 代入方程可求得a .【详解】据题意,得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=,所以1950.842a =⨯+,所以114a =. 故选:B .【点睛】 本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值. 7.C【解析】【分析】作出可行域,直线目标函数对应的直线l ,平移该直线可得最优解.【详解】作出可行域,如图由射线AB ,线段AC ,射线CD 围成的阴影部分(含边界),作直线:2340l x y -+=,平移直线l ,当l 过点(1,1)C 时,234z x y =-+取得最大值3. 故选:C .【点睛】本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形.8.B【解析】【分析】判断出简单命题p 、q 的真假,利用复合命题的真假可得出结论.【详解】令1a =,1b =-,则a b >,此时11a b<不成立,故p 是假命题;x R ∀∈,sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,此时sin cos x x ≤+≤又因为65≤≤,所以q 是真命题. 因此,q ⌝、p q ∨⌝、p q ∧⌝均为假命题,p q ⌝∧为真命题.故选:B.【点睛】本题考查复合命题真假的判断,考查推理能力,属于基础题.9.D【解析】【分析】模拟程序运行,观察变量值的变化,得出S 的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】234,1;1,2;,3;,4;4,532S i S i S i S i S i ===-=======;如此循环下去,当2020i =时,3;4,20212S S i ===,此时不满足2021i <,循环结束,输出S 的值是4. 故选:D . 【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论. 10.C 【解析】 【分析】求出导函数()f x ',由()0f x '=有不等的两实根,即>0∆可得不等关系,然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论. 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-Q ,()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值,则()2221404b ac ac -⨯⨯+->,222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<πQ . 故选:C . 【点睛】本题考查导数与极值,考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键. 11.B 【解析】 【分析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ,只要设AC x =,则)02BC x =<<,从而可得体积16E ABC V x -== 【详解】因为,//DC BE DC BE =,所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ,CA ⊂平面ABC ,所以DC ⊥平面ABC ,所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中,22AB EB ==,设AC x =,则)02BC x =<<,所以1122ABC S AC BC x ∆=⋅=以16E ABCV x -==又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭,当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭,即x =所以()max 13E ABC V -=. 故选:B . 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为x ,用建立体积V 与边长x 的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值. 12.C 【解析】 【分析】将所求不等式变形为()()1xf x f e+<,利用导数证明出1xex >+,由此可得出函数()y f x =在()1,+∞上单调递增,转化为()0f x '≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立,利用参变量分离法可求得实数a 的取值范围. 【详解】因为()ln 2f x a x x =+,所以()2xxf eax e =+,所以“()12xf x ax e +<+对任意()0,x ∈+∞成立”等价于“()()1xf x f e+<对任意()0,x ∈+∞成立”.又当0x >时,令()()11xxg x e x e x =-+=--,则()10xg x e '=->对任意的()0,x ∈+∞恒成立,所以,函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增,则()()00g x g >=, 当0x >时,11x e x >+>,所以只需要函数()y f x =在()1,+∞上单调递增, 即当1x >时,()0f x '≥恒成立,即20ax+≥,解得2a x ≥-恒成立,所以2a ≥-. 故选:C. 【点睛】本题考查利用函数不等式求解参数的取值范围,将问题转化为函数的单调性是解答的关键,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题. 13.2 【解析】 【分析】求出向量2a b +r r的坐标,利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式,即可解得实数m的值. 【详解】Q 向量()1,1a =r ,()2,b m =r ,则()25,21a b m +=+r r,()//2a a b +r r rQ ,()121510m ∴⨯+-⨯=,所以2m =.故答案为:2. 【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数,考查计算能力,属于基础题.14【解析】【分析】由中位线定理和正方体性质得1//EF BC ,从而作出异面直线所成的角,在三角形中计算可得. 【详解】如图,连接1AD ,1BC ,11A C ,∵,E F 分别为棱111,AA D A 的中点,∴1//EF AD , 又正方体中1111//,AB C D AB C D =,即11ABC D 是平行四边形,∴11//AD BC ,∴1//EF BC ,11A BC ∠(或其补角)就是直线EF 与直线1A B 所成角,11A BC ∆是等边三角形,∴11A BC ∠【点睛】本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角. 15.112【解析】 【分析】由已知条件求得tan α的值,进而利用二倍角的正切公式求出tan2α,再利用二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值. 【详解】sin 2cos αα=Q ,tan 2α∴=,则22tan 4tan 21tan 3ααα==--.()2222222sin 22cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22sin 4sin 42sin 2cos 22tan 2αααααααααααα----∴===π-2421341223⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.故答案为:112. 【点睛】本题考查三角求值,涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用,考查计算能力,属于中等题. 16.1 【解析】 【分析】设()()1122,,,M x y N x y ,写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +,由抛物线定义得焦点弦长,求得b ,再写出MN 的垂直平分线方程,得a ,从而可得结论. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0,直线l 的方程为1y x =-,据214y x y x=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y , 则()12121216,4,11422MF NF x x y y b x x ++=+=∴==+++=.线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-,令0y =,则5x =,所以5a =, 所以1a b -=. 故答案为:1. 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.17.(1)12n n a +=(2)24nn +【解析】 【分析】(1)由基本量法,求出公比q 后可得通项公式;(2)求出n b ,用裂项相消法求和. 【详解】解:(1)设等比数列{}n a 的公比为()0q q > 又因为11241124,a a a a =-=,所以23112444q q q-= 解得1q =-(舍)或2q =所以11422n n n a -+=⨯=,即12n n a += (2)据(1)求解知,12n n a +=,所以2211log log n n n b a a +=⨯()()112n n =++1112n n =-++ 所以231...n n T b b b b =++++11111111...23344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122n =-+ 24nn =+ 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,考查裂项相消法求和.解题方法是基本量法.基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法,务必掌握. 18.(1)中位数为13分,平均得分为15分,方差为1093;(2)训练计划对王明投篮水平的提高有帮助. 【解析】 【分析】(1)由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练后统计的6场比赛得分的中位数、平均得分与方差;(2)根据训练前后的平均数、方差的对比可得出结论. 【详解】(1)训练后得分数据得中位数为1214132+=分,平均得分为9912142125156+++++=分,方差为()()()()()2222229152121514152115251510963s -⨯+-+-+-+-==; (2)据题设分析知,尽管训练后,中位数与训练前一样,但平均得分提高了,训练方差小于训练前方差,这说明训练后得分稳定性提高了,这是投篮水平提高的表现,故此训练计划对王明投篮水平的提高有帮助. 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的求法及应用,考查茎叶图的性质等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力,是基础题. 19.(1)证明见解析;(2)2. 【解析】 【分析】(1)由菱形的性质得出AC BD ⊥,结合PD AC ⊥,利用线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ,进而可得出AC PB ⊥;(2)由(1)知AC ⊥平面PBD ,计算出PBD ∆的面积和点C 到平面PBD 的距离h ,进而可得出2P ABCD C PBD V V --=四棱锥三棱锥,即可求得结果. 【详解】(1)Q 四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥, 又PD AC ⊥Q ,BD PD D =I ,AC ∴⊥平面PBD ,PB ⊂Q 平面PBD ,AC PB ∴⊥;(2)由(1)可知,得AC ⊥平面PBD ,2P ABCD A PBD C PBD C PBD V V V V ----∴=+=四棱锥三棱锥三棱锥三棱锥在PBD ∆中,2BD =,2PD =PB =由余弦定理得2221cos 22BD PD PB PDB BD PD +-∠==-⋅,则23PDB π∠=,112sin 22sin 223PBD S BD PD PDB π∆∴=⋅∠=⨯⨯⨯= 又AC ⊥平面PBD ,点C 到平面PBD的距离h ==12223P ABCD C PBD V V --⎛∴==⨯= ⎝四棱锥三棱锥.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,同时也考查了四棱锥体积的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.(1)2213x y +=;(2)2. 【解析】 【分析】(1)根据题意可得出关于a 、c 的方程组,求出这两个量的值,进而可得出b 的值,由此可得出椭圆C 的标准方程;(2)分两种情况讨论:①AB x ⊥轴,求得AB ;②直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y kx m =+,设点()11,A x y 、()22,B x y ,由直线AB 与圆相切得出()22314m k =+,再将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,利用韦达定理结合弦长公式可求得AB 的最大值,进而可求得AOB ∆面积的最大值. 【详解】(1)设椭圆C 的焦距为()20c c >,则max min PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩,解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b ∴==,因此,椭圆C 的标准方程为2213x y +=;(2)设()11,A x y 、()22,B x y . ①当AB x ⊥轴时,AB =②当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+=, ()22314m k ∴=+. 将y kx m =+代入椭圆方程整理,得()222316330k x kmx m +++-=,122631kmx x k ∴+=-+,()21223131m x x k -=+. ()()()()22222211212114AB k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=+⋅+-⎣⎦()()()()()()()()()222222222222222212112131319136131313131m k k m k k k m k k k k k ⎡⎤-++-++⎢⎥=+-==⎢⎥++++⎣⎦2422212123334196196k k k k k =+=+≤=++++,当且仅当3k =±时,等号成立. max 2AB ∴=,因此,AOB ∆面积的最大值为()max max12AOB S AB ∆=⨯=【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算,涉及韦达定理设而不求法以及基本不等式的应用,考查计算能力,属于中等题. 21.(1){}()20,e -+∞U ;(2)[]1,0-. 【解析】 【分析】(1)由()()1ln 0f x a x +-=得出2ln 0a x x +=,可得出21ln xa x -=,令()2ln x g x x=,将问题转化为直线1=-y a与函数()y g x =的图象只有一个交点,利用导数分析函数()y g x =的单调性和极值,利用数形结合思想可求得实数a 的取值范围;(2)由题意可知不等式()221ln 0mx m x x -++<对任意的1x >恒成立,令()()221ln h x mx m x x =-++,对实数m 进行分类讨论,分析函数()y h x =在区间()1,+∞上的单调性,结合()0h x <可求得实数m 的取值范围. 【详解】(1)令()()()221ln ln 1ln ln 0f x a x x x a x a x x +-=++-=+=,得21ln xa x-=, 设()2ln x g x x =,则直线1=-y a 与函数()y g x =的图象只有一个交点,函数()2ln x g x x=的定义域为()0,∞+,()312ln xg x x -'=,令()0g x '=,得x =所以,函数()y g x =在x =12ge =,如下图所示:由上图可知,当10a -<或112a e -=时,即当2a e =-或0a >时,直线1=-y a与函数()y g x =的图象只有一个交点,因此,实数a 的取值范围是{}()20,e -+∞U ;(2)令()()()()()2221121ln h x f x m x m x mx m x x =-+--=-++,根据题意知,当()1,x ∈+∞时,()0h x <恒成立.又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=. ①若0m ≤,()0h x '<对任意的1x >恒成立,此时,函数()y h x =在区间()1,+∞上单调递减,所以,()110h m =--≤,得1m ≥-,此时10m -≤≤; ②若102m <<,当112x m <<时,()0h x '<;当12x m>时,()0h x '>. 所以,函数()y h x =在区间11,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 当x →+∞时,()h x →+∞,不合乎题意; ③若12m ≥,对任意的1x >,()0h x '>,则函数()y h x =在区间()1,+∞上单调递增. 当x →+∞时,()h x →+∞,不合乎题意.综上,所求实数m 的取值范围是[]1,0-.【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,考查分类讨论思想以及数形结合思想的应用,属于中等题.22.(1)曲线1C 的直角坐标方程为22y x =;直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=(2)【解析】【分析】(1)由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程,消参法可化参数方程为普通方程;(2)联立两曲线方程,解方程组得两交点坐标,从而得两点间距离.【详解】解:(1)()cos cos 2ρθρθ+Q2cos 2cos ρρθθ∴=+222cos 2cos ρρθρθ∴=+2222x y x x ∴+=+∴曲线1C 的直角坐标方程为22y x =直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=(2)据242y x y x =-+⎧⎨=⎩解,得22x y =⎧⎨=⎩或84x y =⎧⎨=-⎩AB ∴==【点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查参数方程与普通方程的互化,属于基础题. 23.(1)12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭(2)4【解析】【分析】(1)用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式;(2)由(1)得()f x 的最小值为4,则由100810082020m n +++=,代换后用基本不等式可得最小值. 【详解】 解:(1)32,2()2246,2232,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩讨论:当2x <-时,3234x x --≥-+,即,24-≥此时无解; 当22x -≤≤时,11634,,222x x x x +≥-+≥-∴-≤≤; 当2x >时,13234,,23x x x x +≥-+≥-∴>.∴所求不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭ (2)分析知,函数()f x 的最小值为44a ∴=4m n a ∴+==2020202010081008100810081008100810081008m n m n m n m n ++++++∴+=+++++ 10081008210081008n m m n ++=++++24≥+=,当且仅当2m n ==时等号成立. 2020202010081008m n ∴+++的最小值为4. 【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查用基本不等式求最小值.解绝对值不等式的方法是分类讨论思想.。
2025届九师联盟高三9月联考数学试题(解析版)
高三数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知:0,31;:0,ln 0xp x q x x ∃<>∀>>,则( ) A. p 和q 均是真命题 B. p ¬和q 均是真命题 C. p 和q ¬均是真命题 D. p ¬和q ¬均是真命题【答案】D 【解析】【分析】取特殊验证即可得,p q .【详解】易知对任意0,31x x <<,即可得p 为假命题; 又因为1x =时,ln 0x =,即:0,ln 0q x x ∀>>为假命题; 所以p ¬和q ¬均是真命题. 故选:D2. 已知集合{}{}2,,340A a a B x x x ==−−≤∣,若A B A = ,则实数a 的取值范围是( )A. []1,1−B. ()1,0−C. []1,0−D. [)1,0−【答案】D 【解析】【分析】先化简集合,A B 及a 的满足的条件,再根据A B A = 列出不等式组求解即可. 【详解】由2340x x −−≤得14x −≤≤,由{},A a a =知a a ≠,所以0a <,{},A a a =−又A B A = ,则A B ⊆,所以1414a a −≤≤ −≤−≤,解得[]1,1∈−a ,故[)1,0a ∈−.故选:D.3. 为应对塑料袋带来的白色污染,我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场、超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋,并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效,推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率v 与时间t (月)满足函数关系式t v ab =(其中,a b 为大于零的常数).若经过2个月,这种环保塑料袋降解了20%,经过4个月,降解了60%,那么这种环保塑料袋要完全降解,至少需要经过( )(结果保留整数)(参考数据:lg30.48,lg50.70≈≈) A. 5个月 B. 6个月C. 7个月D. 8个月【答案】A 【解析】【分析】由题意可计算出a 、b 的值,再令1v =,代入所给函数关系式计算即可得. 【详解】由题意可得20.2ab =,42220.60.2ab ab b b ⋅,即有23b =,即b =,则115a =, 令1t ab =,即1115t⋅=,即2315t=,则3332lg 520.702log 152log 32log 5222 2.95lg 30.48t ×==+=+≈+≈+≈. 故这种环保塑料袋要完全降解,至少需要经过5个月. 故选:A .4. 函数()523log 11cos x f x x−+ =的图象大致是( )A. B.CD.【答案】B 【解析】【分析】运用函数奇偶性判断,再结合对数函数和特殊值判断即可.【详解】()55213log 13log 11cos cos x x x f x x x− − ++ ==定义域为()1,1−,关于原点对称. 且()()155113log 3log 11cos()cos()x x x x f x f x x x −+−−+ −==−−,则函数奇函数,排除CD. 5513log 3log 313112cos cos22f− == ,由于−3log 53<0,cos 12>0,则102f<,排除A. 故选:B.5. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数,()(),4x f x f x ∀∈−=R ,当[]2,0x ∈−时,()24f x x x =+,则()()()202320242025f f f ++=( ) A. 2− B. 0C. 6−D. 4−【答案】C 【解析】【分析】根据题意,推得()()4f x f x +=,得到()f x 是周期为4的函数,结合[]2,0x ∈−时,函数的解析式,求得()()()1,0,1f f f −的值,进而求得()()()202320242025f f f ++的值,得到答案. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数,()(),4x f x f x ∀∈−=R ,可得()()4()f x f x f x −==−,即()()4f x f x +=, 所以函数()f x 是以4为周期的周期函数, 可得()()()()()()202320242025101f f f f f f ++=−++,.为又因为当[]2,0x ∈−时,()24f x x x =+, 可得()()()113,00f f f −==−=,所以()()()2023202420256f f f ++=−. 故选:C.6. 已知0,0a b >>,且1a b +=,则11a b a b++ 的最小值为( ) A. 4 B. 5C.163D.254【答案】D 【解析】【分析】首先利用条件变形为22ab ab+−,再利用基本不等式求ab 的取值范围,再构造函数,利用函数的单调性,即可求解.【详解】221111b a a b a b ab ab a b a b ab ab ab + ++=+++=++ ,()22122a b abab ab abab ab+−=++=+−, 因为0,0a b >>,且1a b +=,所以21024a b ab + <≤=, 设10,4ab t =∈,()22g t t t =+−,函数()g t 在区间10,4单调递减,所以函数()g t 的最小值为12544g =. 故选:D7. 若函数())ln 3(01xxa f xb x a a =+−+>+且1,a b ≠为常数)在[],0c −(c 为常数)上有最小值5−,则()f x 在[]0,c 上( ) A. 有最大值12 B. 有最大值6 C. 有最小值5− D. 有最小值8−【答案】A 【解析】【分析】构造函数)1()ln 12x x a g x b x a =−++,证明函数为奇函数,利用奇函数的性质可得最大值,由7()()2f xg x =+得解.【详解】设)1()ln12x x a g x b x a =−+−+,0x x x −>−≥,所以()g x 定义域为R ,关于原点对称,)))1111()lnlnln121221xxx x x a a g x b x b x b x a a a −−−=−+=−−−=−−+++()g x =−,即()g x 为奇函数,且7()()2f xg x =+, 因为()f x 在[],0c −上有最小值5−,所以()g x 在[],0c −上有最小值717522−−=−, 由奇函数的对称性知,()g x 在[]0,c 上有最大值172, 所以()f x 在[]0,c 上有最大值1771222+=, 故选:A8. 若函数()22e 3,02,2e 2,22x x a x a xf x a x a x −+<< = +−≥在()0,∞+上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A. 2e ,e 2−B. e ,02 −C. 2e ,02 −D. e e ,22−【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数的单调性判断方法进行分析,在每一段上通过分离参数求最值得到a 的取值范围. 【详解】当02x <<时,()2=e 32xa f x x a −+,()=e 0x f x ax ′−≥, e x a x ≤,令()e x g x x =,()()22e 1e e xx x x x g x x x−−′==, 令()0g x ′>,可得12x <<,令()0g x ′<,可得01x <<,故()g x 在()0,1上单调递减,()1,2上单调递增,()()min 1e a g x g ≤==; 当2x ≥时,()2e 22xa f x x a =+−,()e 0xf x ax ′=+≥,e xa x≥−, 的令()e x h x x =−,()()22e 1e e 0xx x x x h x x x−−′=−=<, 故()h x 在[)2,+∞上单调递减,()()2maxe 22a h x h ≥==−,同时还需满足2222e 23e 2222a aa a −⋅+≤+⋅−,解得0a ≤. 综上,a 的取值范围是2e ,02−.故选:C.二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知实数a b c d ,,,满足0a b c d <<<<,则( ) A. a d b c +<+ B. 2222a d b c > C. a d b c −<− D.a cb d> 【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意,结合不等式的基本性质,以及作差比较法,逐项判定,即可求解.【详解】对于A 中,例如:4,1,1,5a b c d =−=−==,满足0a b c d <<<<, 但a d b c +>+,所以A 不正确;对于B 中,由2222()()ad bc a d c b b ad c −=+−, 因为0a b c d <<<<,可得0,0ad bc ad bc +<−<,所以2222()()0a a d b c d bc ad bc =+−>−,所以2222a d b c >,所以B 正确; 对于C 中,由,a b c d <<,根据不等式的性质,可得a c b d +<+, 所以a d b c −<−,所以C 正确;对于D 中,因为0a b c d <<<<,可得0,0bd ad bc <−<,则0ac ad bcb d bd−−=>,所以a c b d >,所以D 正确.故选:BCD.10. 已知函数()2241,0,32,0,x x x x f x x − −−+≤= −+> 关于x 的方程()(()20f x m f x −++=,下列命题正确的是( )A. 若23m <<,则方程恰有4个不同的解B. 若12m <<,则方程恰有5个不同的解C.若方程恰有2个不同的解,则3m >或m = D. 若方程恰有3个不同的解,则1m ≤ 【答案】BC 【解析】【分析】由()(()20fx m f x −++=得()f x m =或()f x =,画出()f x 的图象,数形结合即可求解在不同条件下m 的取值范围.【详解】因为()(()20fx m f x −++=,所以()[][()0f x m f x −−=,所以()f x m =或()f x = ()f x 的图象如图所示,由图可知()f x 与y =有两个交点.对于A ,若23m <<且m =,则方程恰有2个不同的解,故A 错误;对于B ,若12m <<,则()f x 与y m =有3个不同的交点,此时方程恰有5个不同的解,故B 正确; 对于C ,若方程恰有2个不同的解,当()f x 与y m =没有交点时满足题意,此时3m >;当()f x =2个不同的解,此时m =,故若方程恰有2个不同的解,则3m >或m =,故C 正确;对于D ,若方程恰有3个不同的解,则1m ≤,则()f x 与y m =有1个交点,此时3m =或1m <,故D错误. 故选:BC.11. 已知函数()ln 2(0xf x a x x x a −++>且()1),a f x ≠′是()f x 的导函数,则下列命题错误的是( )A. 若e a =,则()f x ′是增函数B. 若e a =,则()f x 是增函数C. 若()f x 有极大值,则1a >D. 若()f x 有极大值,则01a << 【答案】ACD 【解析】【分析】求出导函数,利用切线放缩结论判断导函数符号,从而判断B ,对导函数求导,利用特例法判断A 选项错误,分类讨论研究函数的单调性,根据极大值的概念判断CD. 【详解】若e a =,()e ln 2xf x x x x =−++,则()e ln xf x x =′−,当0x >时,e 11ln x x x x ≥+>−≥,则ff ′(xx )>0,所以()f x 是增函数,故选项B 正确; 记()()e ln x m x f x x ==−′,则()1e x m x x=′−,易知()1e xm x x =′−在(0,+∞)上单调递增,又1202m =−<′,所以当102x <<时,()1e 0xm x x =′−<, 所以ff ′(xx )在10,2上单调递减,故选项A 错误; ()ln ln x f x a a x ′=−,令ff ′(xx )>0得()ln e ln ln x a x a x x >,令()ln g x x x =,则()()ln ex ag g x >,且()1ln g x x =′+,当10,e x∈时,()0g x ′<,函数()g x 单调递减,当1,e x ∞ ∈+时,()0g x ′>,函数()g x 单调递增,所以()min 11e eg x g ==−,当0x >且0x →时,()0g x →,当x →+∞时,()g x ∞→+, 又()10g =,()g x 的大致图象如图:当1a >时,ln ln 0,e 1x a x a >>,()()ln e10x ag g >=, 若01x <≤,则()0g x ≤,显然有()()ln ex ag g x >,所以ff ′(xx )>0,()f x 单调递增,若1x >,又函数()g x 在(1,+∞)上单调递增,所以ln e x a x >,即ln ln xa x>, 令()()ln 1x h x x x =>,则()21ln xh x x−′=, 当1e x <<时,ℎ′(xx )>0,所以ℎ(xx )单调递增,当e x >时,ℎ′(xx )<0,所以ℎ(xx )单调递减,所以()()max 1e eh x h ==, 当x →+∞时,()0h x →,又当1x =时,ln101=,ℎ(xx )的大致图象如图:若1ln ea ≥即1e e a ≥,则ff ′(xx )≥0恒成立,()f x 单调递增,()f x 无极值点; 若1ln e a <即1e 1e a <<,存121x e x <<<,使得1212ln ln ln x x a x x ==, 当11x x <<时,ln ln xa x>,ff ′(xx )>0,()f x 单调递增, 当12x x x <<时,ln ln xa x<,ff ′(xx )<0,()f x 单调递减, 所以()1f x 是()f x 的极大值.在综上,当1e 1e a <<时,()f x 有极大值;当1ee a ≥时,()f x无极值;当01a <<,当0x >且0x →时,()f x ∞′→+, 当x →+∞时,()f x ∞′→−,ff ′(xx )必存在一个零点,且这个零点附近的左侧ff ′(xx )>0,右侧ff ′(xx )<0,该零点即为极大值点,综上所述,()f x 有极大值的充要条件为01a <<或1e 1e a <<,故CD 错误. 故选:ACD【点睛】方法点睛:判断函数()f x 的极值点个数:可通过函数的单调性也就是ff ′(xx )的取值正负来判断,若ff ′(xx )的取值正负不易直接判断,可先通过判断ff ″(xx )的正负来确定ff ′(xx )的单调性,由此来确定ff ′(xx )的取值正负三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知幂函数()2bf x ax c =+−的图象经过点(2,8),则a b c ++=__________. 【答案】6 【解析】【分析】根据幂函数定义可得1,2a c ==,代入点(2,8),即可得3b =,即可得结果. 【详解】因为()2bf x ax c =+−为幂函数, 则120a c =−=,可得12a c = = ,即()bf x x =, 又因为()f x 的图象经过点(2,8),则28b =,可得3b =, 所以1326a b c ++=++=. 故答案为:6.13. 已知定义在R 上的函数()f x 满足:()()()(),,0,x y f xy f x f y f x ∀∈+=R 在[)0,+∞上单调递减,()11f −=,则满足()1f x <的x 的取值范围为__________. 【答案】()1,1− 【解析】【分析】令1y =−,可得()()f x f x =−−,可知函数()f x 为奇函数,由奇函数性质分析可知()f x 在定义域R 内单调递减,根据函数单调性和奇偶性分析求解.【详解】因为()()(),,0x y f xy f x f y ∀∈+=R ,且()11f −=, 令1y =−,可得()()()10f x f x f −+−=, 则()()0f x f x −+=,即()()f x f x =−−, 可知函数()f x 为定义在R 上的奇函数,且()f x 在[)0,+∞上单调递减,可知()f x 在(],0−∞上单调递减, 所以()f x 在定义域R 内单调递减, 又因为()1f x <,即()11f x −<<, 由奇函数性质可得:()()()11f f x f <<-,由单调性可得11x −<<,所以满足()1f x <的x 的取值范围为()1,1−. 故答案为:()1,1−.14. 已知定义域均为D 的函数()(),f x g x ,若()(),x D f x ax b g x ∀∈≥+≥,则称直线y ax b =+为曲线()y f x =和()y g x =的隔离直线.若()()()()22ln 31,441f x x x x x x g x x x x =+−−≥=−+−≥,则曲线()y f x =和()y g x =的隔离直线的方程为__________.【答案】23y x =− 【解析】【分析】由题意可确定两曲线有公共点()1,1−,即可得设该隔离直线的方程为()11y k x =−−,则有[)1,x ∞∀∈+,()()()11f x k x g x ≥−−≥,借助[)()()1,,11x k x g x ∞∀∈+−−≥参变分离计算可得2k ≥,再借助[)1,x ∞∀∈+,()()11f x k x ≥−−,可得()2ln 10k x x k x−−++−≥在[)1,+∞上恒成立,构造相应函数后借助导数对其单调性分类讨论即可得解.【详解】由()111031f =+−−=−,()11441g =−+−=−, 故曲线yy =ff (xx )和yy =gg (xx )的隔离直线过点()1,1−, 设该隔离直线的方程为()11y k x =−−,则有()21144k x x x −−≥−+−,显然xx =1不等式恒成立,当xx >1时,2143k x x x ≥−+−−在(1,+∞)上恒成立,即()()21343311x x x x k x x x −−−−+−≥==−−−,即2k ≥,亦有()211ln 3k x x x x x −−≤+−−,即()2ln 10k x x k x−−++−≥在[)1,+∞上恒成立, 令()()2ln 1k h x x x k x −=−++−,[)1,x ∞∈+,则()()2222121x x k k h x x x x−−−−=−−=′,令()220x x k −−−=,则x由2k ≥,故0x≤,舍去,1>,即2k >时,当x ∈ 时,ℎ′(xx )<0,当x ∞∈+时,ℎ′(xx )>0,则ℎ(xx )在 上单调递减,在∞ + 上单调递增, 即()min 10h x h h =<=,不符合要求,故舍去;1=,即2k =时,有()0h x ′≥在[)1,x ∞∈+上恒成立,则ℎ(xx )在[)1,+∞上单调递增,故()()10h x h ≥=,符合要求. 综上所述,2k =,即()21123y x x =−−=−.故答案为:23y x =−. 【点睛】关键点点睛:本题关键点在于由先确定隔离直线过点()1,1−,从而设出该隔离直线的方程()11y k x =−−,结合题意得到[)1,x ∞∀∈+,()()()11f x k x g x ≥−−≥,计算即可得解. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知1a >,函数()()13,log 2x a f x a x g x x x −=+−=+−.(1)若()()001f x g x ==−,求0x 的值;(2)若12,x x 分别为ff (xx ),gg (xx )的零点,求12x x +的值. 【答案】(1)01x =(2)123x x +=【解析】【分析】(1)根据两函数值相等利用对数与指数运算的互化解方程即可得01x =; (2)由零点定义代入函数表达式,再由对数函数单调性可知112x a x −=,即可得123x x +=. 【小问1详解】由()01g x =−可得()000log 21a g x x x =+−=−,即00log 1a x x =−, 所以010x ax −=,又()01f x =−,所以01031x a x −+−=−,因此0012x a x −=−; 因为001011x x a a a −−==,即()0021x x −=, 解得01x =; 【小问2详解】因为12,x x 分别为()(),f x g x 的零点,所以11130x a x −+−=, 即1111l 20og x x a aa −−+−=,也即()110x g a −=, 又因为1a >,所以()log 2a g x x x =+−在()0,∞+上单调递增, 由()20g x =可得112x a x −=,与11130x ax −+−=联立可得2130x x +−=。
2025届九师联盟高考数学考前最后一卷预测卷含解析
2025届九师联盟高考数学考前最后一卷预测卷请考生注意:1.请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数有三个不同的零点 (其中),则 的值为( )A .B .C .D .2.若x ,y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩且z ax y =+的最大值为26a +,则a 的取值范围是( )A .[1,)-+∞B .(,1]-∞-C .(1,)-+∞D .(,1)-∞-3.已知函数()cos sin 2f x x x =,下列结论不正确的是( ) A .()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B .()y f x =既是奇函数,又是周期函数C .()y f x =的图像关于直线2x π=对称D .()y f x =的最大值是324.台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动,也叫桌球(中国粤港澳地区的叫法)、撞球(中国地区的叫法)控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术,一次台球技术表演节目中,在台球桌上,画出如图正方形ABCD ,在点E ,F 处各放一个目标球,表演者先将母球放在点A 处,通过击打母球,使其依次撞击点E ,F 处的目标球,最后停在点C 处,若AE =50cm .EF =40cm .FC =30cm ,∠AEF =∠CFE =60°,则该正方形的边长为( )A .2cmB .2cmC .50cmD .6cm5.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为( ) A .20B .24C .25D .266.设x ∈R ,则“327x <”是“||3x <”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件7.已知数列{}n a 满足:11,a =13,21,n n n n n a a a a a ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数,则6a =( )A .16B .25C .28D .338.20世纪产生了著名的“31x +”猜想:任给一个正整数x ,如果x 是偶数,就将它减半;如果x 是奇数,则将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图,若输入正整数m 的值为40,则输出的n 的值是( )A .8B .9C .10D .119.一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合,如果圆锥的表面积与半球的表面积相等,那么这个圆锥轴截面底角的大小是( ) A .15︒B .30︒C .45︒D .60︒10.已知向量(,1)a m =,(1,2)b =-,若(2)a b b -⊥,则a 与b 夹角的余弦值为( ) A .213B 213C .613D 61311.若()f x 是定义域为R 的奇函数,且()()2f x f x +=-,则A .()f x 的值域为RB .()f x 为周期函数,且6为其一个周期C .()f x 的图像关于2x =对称D .函数()f x 的零点有无穷多个12.某公园新购进3盆锦紫苏、2盆虞美人、1盆郁金香,6盆盆栽,现将这6盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共( )种 A .96B .120C .48D .72二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
河南省郑州市九师联盟2023届高三考前预测押题理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 设函数是函数的导函数,,则使得成立的的取值范围是( )A.B.C.D.2. 若函数且在区间内单调递增,则的取值范围是( )A.B.C.D.3. 已知向量和不共线,向量,,,若、、三点共线,则( )A .3B .2C .1D.4.已知函数(,,)的部分图象如图所示,且.将图象上所有点的横坐标缩小为原来的,再向上平移一个单位长度,得到的图像;若,,,则的最大值为()A .B.C.D.5. 若,,则A.B.C.D.6. 不等式的解集是( )A.B.C.D.7. 已知函数,则的最大值为( )A.B.C.D.8. 在复平面内,复数对应的点为,则( )A .2B .1C.D.9. 在底面边长为2、高为4的正四棱柱中,为棱上一点,且分别为线段上的动点,为底面的中心,为线段的中点,则下列命题正确的是()A .与共面B .三棱锥的体积为河南省郑州市九师联盟2023届高三考前预测押题理科数学试题(2)河南省郑州市九师联盟2023届高三考前预测押题理科数学试题(2)三、填空题四、解答题C.的最小值为D .当时,过三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为10. 第七次全国人口普查登记于2020年11与1日零点开始,这是在中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查,为完善人口发展战略和政策体系,促进入口长期均衡发展,推动经济高质量发展提供科学准确的统计信息支持如图为2012年至2018年我国出生人口数(单位:万)和出生率(‰)统计图,则下列说法正确的是()A .2016年较2015年出生人口数和出生率均有明显提升B .2012年到2016年出生人口数逐年递增C .2012年至2018年出生人口数增长幅度最大的年份为2016年D .2013年至2015年平均出生率低于2016年至2018年平均出生率11. 已知函数,则( )A.有两个极值点B.有两个零点C .点是曲线的对称中心D .过点可作曲线的两条切线12. 等差数列与的前项和分别为与,且,则( )A .当时,B.C.D.13. 设、为椭圆的左、右焦点,经过的直线交椭圆于、两点,若的面积为的等边三角形,则椭圆的方程为______________.14.已知四边形,且,点为线段,上一点,且,则__________,过作∥交于点,则__________.15. 已知是球的内接三棱锥,则球的表面积为_______________________.16. 如图,在三棱锥中,平面ABC ,,,,D ,E ,F 分别为BC ,PA ,AB的中点.(1)证明:平面平面DEF ;(2)求二面角的余弦值.17. 的内角的对边分别为,已知,且的面积.(1)求C;(2)若内一点满足,,求.18. 如图,在四棱锥中,平面平面,,,是边长为2的等边三角形,是以为斜边的等腰直角三角形.(1)证明:平面平面.(2)求二面角的余弦值.19. 我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2()表示,但在实际测量时,声音的强度水平常用L1表示,它们满足以下公式:(单位为分贝,,其中,是人们平均能听到的最小强度,是听觉的开端).回答下列问题.(1)树叶沙沙声的强度是,耳语的强度是,恬静的无线电广播的强度是,试分别求出它们的强度水平;(2)某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下,试求声音强度I的范围为多少?20. 已知函数:(1)讨论函数的单调性;(2)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,是否存在实数m使得对于任意的,函数在区间上总不是单调函数若存在,求m的取值范围;否则,说明理由;(3)求证:.21. 已知圆.(Ⅰ)写出圆C的圆心坐标及半径长;(Ⅱ)已知圆C与x轴相交于A、B两点,试问在圆C上是否存在点P,使的面积等于?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.。
河南省郑州市九师联盟2023届高三考前预测押题理科数学试题(含答案解析)
【详解】由 (z i)(1 i)
2
可得 z
2 1i
i
2(1 i) (1 i)(1 i)
i 1 i
i 1
2i
,
所以 | z | 12 22 5
故选:D 2.C 【分析】先求出集合 A, B ,再根据交集的定义即可得解.
【详解】 A x x2 2x 3 0 x 3 x 1 ,
力(单位:MPa),K 为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商提供),S 为保护对象
的保护面积,W 为保护对象的设计喷雾强度(单位:L/min·m2),水雾喷头的布置应使
水雾直接喷射和完全覆盖保护对象,如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾
喷头的工作压力 P 为 0.35MPa,水雾喷头的流量系数 K 为 24.96,保护对象的保护面积
附:参考数据 6 xi yi 1750 ,回归直线方程 y a bx 中 b 和 a 的最小二乘法的估计公式 i 1
n
分别为: b
xi yi nx y
i 1
n xi2 nx2
, $a
y $bx .
i 1
19.在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中,E 为棱 CC1 上一点,AB CE 2 ,AA1 3 ,D 为棱 BB1
试卷第 3页,共 5页
传费用的比为 ,若 10 ,称这次宣传策划是高效的;否则为非高效的.从这 6 家卖场 中随机抽取 3 家. ①若抽取的 3 家中含有宣传策划高效的卖场,求抽取的 3 家中恰有一家是宣传策划高效 的概率;
②若抽取的 3 家卖场中宣传策划高效的有 X 家,求 X 的分布列和数学期望.
S 为 14m2,保护对象的设计喷雾强度 W 为 20L/min·m2 时,保护对象的水雾喷头的数量
河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题 (2)
一、单选题二、多选题1. 函数的图象与函数的图象所有交点的横坐标之和等于( )A .6B .5C .4D .32. 定义一种新运算:,已知函数,若函数恰有两个零点,则的取值范围为A.B.C.D.3. 复数为虚数单位)实部与虚部的和为A.B.C.D.4.已知函数的定义域为,且为与中较大的数,恒成立,则a 的取值范围为( )A.B.C.D.5. 如图,F 1,F 2分别是双曲线C:(a ,b >0)的左右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|=|F 1F 2|,则C的离心率是A.B.C.D.6. 欧拉公式(为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,根据欧拉公式可知,表示的复数的虚部为( )A.B.C.D.7. “ ”是“函数为偶函数”的( )条件A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要8.若动点在曲线上,则动点到直线的距离的最小值为( )A.B.C.D.9. 已知,则函数的图象可能是( )河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题 (2)河南省郑州市九师联盟2023届高三考前押题卷文科数学试题 (2)三、填空题A.B.C.D.10. 根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位:)绘制如下折线图,那么下列叙述正确的是()A .5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关B .9号的最高气温与最低气温的差值最大C.最高气温的众数为D .5号到15号的最低气温的极差比最高气温的极差大11. 在三棱锥中,已知,棱AC ,BC ,AD 的中点分别是E ,F ,G ,,则( )A .过点的平面截三棱锥所得截面是菱形B.平面平面C .异面直线互相垂直D.三棱锥外接球的半径为12. 如图所示,点是函数(,)图象的最高点,、是图象与轴的交点,若,且,则()A.B.C.D.13. 使函数的值域为的一个a 的值为________.14. 已知抛物线焦点为,直线过焦点且与抛物线交于两点,为抛物线准线上一点且,连接交四、解答题轴于点,过作于点,若,则__________.15. 过点引曲线:的两条切线,这两条切线与轴分别交于两点,若,则__________.16.数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.17. 在中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知,.(1)求A ;(2)若的面积为,求的值.18. 某学校组织竞赛,有A ,B ,C 三类问题可供选择,其中A 问题答对可得5分,答错0分,B 问题答对只可得3分,但答错只有2分,C 问题答对得4分,答错0分,现小明与小红参加此竞赛,小红答对3种问题的概率均为0.5,小明答对A ,B ,C 问题的概率分别为0.3,0.7,0.5.(1)小红一共参与回答了3题,且该题分为为、和这类题,记X 为小红的累计得分,求X 的分布列;(2)小明也参与回答了3道问题,3道问题可以是同一类,也可以不是同一类,记Y 为小明的累计得分,求该如何分配问题,使得E [Y ]最大.19. 已知点A (-1,0),B (1,-1)和抛物线.,O 为坐标原点,过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ,直线MB 交抛物线C 于另一点Q ,如图.(1)证明: 为定值;(2)若△POM 的面积为,求向量与的夹角;(3)证明直线PQ 恒过一个定点.20.将多项式分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围;(2)实数范围;(3)复数范围.21. 某超市举办购物抽奖的促销活动,规定每位顾客购物满100元,可参与一次抽奖,抽奖规则满足抽奖要求的顾客从有编号为1、2、3、4的四个小球(除数字不同外,其他完全相同)的抽奖箱中取球,每次取出一个小球记下球上的数字后放回,连续取两次,若取出的两个小球的数字之和为8,则中特等奖:取出的两个小球的数字之和为7,则中一等奖;取出的两个球的数字之和为6,则中二等奖;取出的两个小球的数字之和为5,则中三等奖,其他情况不中奖.(1)求某顾客抽奖一次,中二等奖的概率;(2)求某顾客抽奖一次,中奖的概率.。
2025届河南省部分重点高中高三九师联盟模拟预测数学试题
2025届河南省部分重点高中高三九师联盟模拟预测数学试题一、单选题1.已知:0,31;:0,ln 0x p x q x x ∃<>∀>>,则( ) A .p 和q 均是真命题 B .p ⌝和q 均是真命题 C .p 和q ⌝均是真命题D .p ⌝和q ⌝均是真命题2.已知集合{}{}2,,340A a a B x x x ==--≤∣,若A B A =I ,则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .()1,0-C .[]1,0-D .[)1,0-3.为应对塑料袋带来的白色污染,我国于2008年6月1日起开始实施的“限塑令”明确规定商场、超市和集贸市场不得提供免费塑料购物袋,并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料购物袋.“限塑令”实施后取得了一定的成效,推动了环保塑料袋产业的发展.环保塑料袋以易降解为主要特点.已知某种环保塑料袋的降解率v 与时间t (月)满足函数关系式t v ab =(其中,a b 为大于零的常数).若经过2个月,这种环保塑料袋降解了20%,经过4个月,降解了60%,那么这种环保塑料袋要完全降解,至少需要经过( )(结果保留整数)(参考数据:lg30.48,lg50.70≈≈) A .5个月B .6个月C .7个月D .8个月4.函数()523log 11cos x f x x⎛⎫- ⎪+⎝⎭=的图象大致是( ) A . B .C .D .5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,()(),4x f x f x ∀∈-=R ,当[]2,0x ∈-时,()24f x x x =+,则()()()202320242025f f f ++=( )A .2-B .0C .6-D .4-6.已知0,0a b >>,且1a b +=,则11a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为( )A .4B .5C .163D .2547.若函数())ln3(01xx a f x b x a a =++>+且1,a b ≠为常数)在[],0c -(c 为常数)上有最小值5-,则()f x 在[]0,c 上( ) A .有最大值12 B .有最大值6 C .有最小值5-D .有最小值8-8.若函数()22e 3,02,2e 2,22x x a x a xf x a x a x ⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩在()0,∞+上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A .2e ,e 2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .e ,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .2e ,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .e e ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、多选题9.已知实数a b c d ,,,满足0a b c d <<<<,则( ) A .a d b c +<+ B .2222a d b c > C .a d b c -<-D .a cb d> 10.已知函数()2241,0,32,0,x x x x f x x -⎧--+≤=⎨-+>⎩关于x 的方程()(()20f x m f x -++=,下列命题正确的是( )A .若23m <<,则方程恰有4个不同的解B .若12m <<,则方程恰有5个不同的解C .若方程恰有2个不同的解,则3m >或m =D .若方程恰有3个不同的解,则1m ≤11.已知函数()ln 2(0xf x a x x x a =-++>且()1),a f x ≠'是()f x 的导函数,则下列命题错误的是( )A .若e a =,则()f x '是增函数B .若e a =,则()f x 是增函数C .若()f x 有极大值,则1a >D .若()f x 有极大值,则01a <<三、填空题12.已知幂函数()2bf x ax c =+-的图象经过点(2,8),则a b c ++=.13.已知定义在R 上的函数()f x 满足:()()()(),,0,x y f xy f x f y f x ∀∈+=R 在[)0,+∞上单调递减,()11f -=,则满足()1f x <的x 的取值范围为.14.已知定义域均为D 的函数()(),f x g x ,若()(),x D f x ax b g x ∀∈≥+≥,则称直线y ax b =+为曲线()y f x =和()y g x =的隔离直线.若()()()()22ln 31,441f x x x x x x g x x x x =+--≥=-+-≥,则曲线()y f x =和()y g x =的隔离直线的方程为.四、解答题15.已知1a >,函数()()13,log 2x a f x a x g x x x -=+-=+-.(1)若()()001f x g x ==-,求0x 的值;(2)若12,x x 分别为f x ,g x 的零点,求12x x +的值.16.已知函数()()()22ln 1f x ax a x x a =-+++∈R .(1)当1a =时,求()f x 的极值; (2)若()12,0,x x ∀∈+∞,当12x x ≠时,()()12122f x f x x x ->--恒成立,求a 的取值范围.17.设0a >且1a ≠,函数()()()()()log 1,log 2a a f x x g x x t t =-=+∈R . (1)当1t =时,求不等式()()2f x g x ≤的解集;(2)若函数()()222f x h x atx t =+++在区间(]1,3上有零点,求t 的取值范围.18.已知函数()()31ln 222f x ax x x a x=--+∈R . (1)若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线230y +=平行,求()f x 的单调区间; (2)当1x ≥时,()0f x ≥,求a 的取值范围.五、单选题19.已知函数()f x 的定义域和值域分别为,A B ,若函数()g x 满足:(i )()g x 的定义域为B ;(ii )()g x 的值域为A ;(iii )()()()(),,,x B x f g x x A x g f x ∀∈=∀∈=,则称()g x 与()f x 具有N 关系.(1)若()2xf x =,判断下列两个函数是否与()f x 具有N 关系,并说明理由;①22log y x =;②2log y x =.(2)若()g x 与()f x 具有N 关系,证明:函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线y x =对称;(3)已知函数()()e ,xF xG x =与()F x 具有N 关系,令()()()1f x F x G x =-.①判断函数()f x 的单调性; ②证明:()2112,eef x x x x +∀>>+-.。
2019届九师联盟高三押题(二)信息卷数学(文)试题(解析版)
2019届九师联盟高三押题(二)信息卷数学(文)试题一、单选题1.若集合}{}{2,33A x y x B x x ==-=-≤≤,则A B =I ( )A .[]3,2-B .{}23x x ≤≤ C .()2,3 D .{}32x x -≤<【答案】A【解析】先确定集合A 中的元素,然后由交集定义求解. 【详解】{}{}{}22,33A x y x x x B x x ==-=≤=-≤≤Q ,{}32x x ∴A⋂B =-≤≤.故选:A . 【点睛】本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键. 2.若复数1212iz i+=-(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为( ) A .413i -B .1255i - C .413i +D .3455i -- 【答案】D【解析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式,即可得出复数z 的共轭复数. 【详解】()()()212123434121212555i ii z i i i i ++-+====-+--+Q ,3455z i ∴=--. 故选:D. 【点睛】本题考查共轭复数的计算,涉及复数除法运算法则的应用,考查计算能力,属于基础题. 3.函数()sin x y x-=([),0x π∈-或(]0,x π∈)的图象大致是( ) A . B .C .D .【答案】A【解析】确定函数的奇偶性,排除两个选项,再求x π=时的函数值,再排除一个,得正确选项. 【详解】 分析知,函数()sin x y x-=([),0x π∈-或(]0,x π∈)为偶函数,所以图象关于y 轴对称,排除B ,C , 当x π=时,sin 0xx=,排除D , 故选:A . 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等,研究特殊的函数的值、函数值的正负,以及函数值的变化趋势,排除错误选项,得正确结论.4.已知双曲线2222:1x y C m n-=的渐近线方程为3y x =,则双曲线C 的离心率为( ) A .4 B 2C .8D .2【答案】D【解析】求得n b a m =的值,然后利用双曲线的离心率公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线C 的离心率. 【详解】由题意可知,3nb a m==,所以双曲线C 的离心率2e ====. 故选:D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算,在涉及到双曲线的渐近线时,利用公式e =计算较为方便,考查计算能力,属于基础题.5.已知张明在拼写单词“calendar ”时,对后三个字母的记忆有些模糊,他只记得由“d ”、“a ”、“r ”三个字母组成,且字母“r ”只能在最后两个位置中的某一个位置上,则“张明拼写该单词错误”的概率为( ) A .34B .14C .56D .23【答案】A【解析】列举出所有的基本事件,并确定事件“张明拼写该单词错误”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可得出所求事件的概率. 【详解】据题意知,单词“calendar ”后三个字母张明排序有dra 、ard 、adr 、dar ,共4种情况,其中拼写错误的有一三种dra 、ard 、adr ,所以所求的概率34P =. 故选:A. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算,一般利用列举法列举出基本事件,考查计算能力,属于基础题.6.已知变量的几组取值如下表:若y 与x 线性相关,且ˆ0.8yx a =+,则实数a =( ) A .74B .114C .94D .134【答案】B【解析】求出,x y ,把坐标(,)x y 代入方程可求得a .【详解】 据题意,得()()151191234, 2.4 4.3 5.374244x y =+++==+++=,所以1950.842a =⨯+,所以114a =. 故选:B . 【点睛】本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点(,)x y 可计算参数值.7.若实数,x y 满足不等式组121210x y x y x y +≥-⎧⎪-≤-⎨⎪--≤⎩,则234x y -+的最大值为( )A .1-B .2-C .3D .2【答案】C【解析】作出可行域,直线目标函数对应的直线l ,平移该直线可得最优解. 【详解】作出可行域,如图由射线AB ,线段AC ,射线CD 围成的阴影部分(含边界),作直线:2340l x y -+=,平移直线l ,当l 过点(1,1)C 时,234z x y =-+取得最大值3. 故选:C .【点睛】本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形.8.已知命题:p a ∀、b R ∈,a b >,则11a b <;命题:q x R ∃∈,使得6sin cos 5x x +=,则下列为真命题的是( ) A .q ⌝ B .p q ⌝∧C .p q ∨⌝D .p q ∧⌝【答案】B【解析】判断出简单命题p 、q 的真假,利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】令1a =,1b =-,则a b >,此时11a b<不成立,故p 是假命题; x R ∀∈,sin cos 2sin 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,此时2sin cos 2x x -≤+≤.又因为6225-≤≤,所以q 是真命题. 因此,q ⌝、p q ∨⌝、p q ∧⌝均为假命题,p q ⌝∧为真命题. 故选:B. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断,考查推理能力,属于基础题. 9.若执行如图所示的程序框图,则输出S 的值是( )A .1-B .23C .32D .4【答案】D【解析】模拟程序运行,观察变量值的变化,得出S 的变化以4为周期出现,由此可得结论. 【详解】234,1;1,2;,3;,4;4,532S i S i S i S i S i ===-=======;如此循环下去,当2020i =时,3;4,20212S S i ===,此时不满足2021i <,循环结束,输出S 的值是4.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.10.已知在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值,则角B 的取值范围是( )A .0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C .,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D .,6π⎛⎫π⎪⎝⎭【答案】C【解析】求出导函数()f x ',由()0f x '=有不等的两实根,即>0∆可得不等关系,然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论. 【详解】()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-Q ,()2221()4f x x bx a c ac '∴=+++-.若()f x 存在极值,则()2221404b ac ac -⨯⨯+->,222a c b ac ∴+-<又2221cos ,cos 22a cb B B ac +-=∴<.又()0,,3B B π∈π∴<<πQ .故选:C . 【点睛】本题考查导数与极值,考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键. 11.如图,ABC ∆内接于圆O ,AB 是圆O 的直径,,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==,则三棱锥E ABC -体积的最大值为( )A .14B .13C .12D .23【解析】根据已知证明BE ⊥平面ABC ,只要设AC x =,则)02BC x =<<,从而可得体积16E ABC V x -==利用基本不等式可得最大值. 【详解】因为,//DC BE DC BE =,所以四边形DCBE 为平行四边形.又因为,,,DC CB DC CA CB CA C CB ⊥⊥⋂=⊂平面ABC ,CA ⊂平面ABC ,所以DC ⊥平面ABC ,所以BE ⊥平面ABC .在直角三角形ABE 中,22AB EB ==,设AC x =,则)02BC x =<<,所以1122ABC S AC BC x ∆=⋅=以16E ABCV x -==又因为()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭,当且仅当()22222442x x x x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭,即x =时等号成立,所以()max 13E ABC V -=. 故选:B . 【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为x ,用建立体积V 与边长x 的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值.12.已知函数()ln 2f x a x x =+,若()12xf x ax e +<+对任意()0,x ∈+∞成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(],2-∞ B .[)2,+∞C .[)2,-+∞D .[]2,0-【答案】C【解析】将所求不等式变形为()()1xf x f e+<,利用导数证明出1xex >+,由此可得出函数()y f x =在()1,+∞上单调递增,转化为()0f x '≥对任意的()1,x ∈+∞恒成立,利用参变量分离法可求得实数a 的取值范围.因为()ln 2f x a x x =+,所以()2xxf eax e =+,所以“()12xf x ax e +<+对任意()0,x ∈+∞成立”等价于“()()1xf x f e+<对任意()0,x ∈+∞成立”.又当0x >时,令()()11xxg x e x e x =-+=--,则()10xg x e '=->对任意的()0,x ∈+∞恒成立,所以,函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增,则()()00g x g >=, 当0x >时,11x e x >+>,所以只需要函数()y f x =在()1,+∞上单调递增, 即当1x >时,()0f x '≥恒成立,即20ax+≥,解得2a x ≥-恒成立,所以2a ≥-. 故选:C. 【点睛】本题考查利用函数不等式求解参数的取值范围,将问题转化为函数的单调性是解答的关键,考查分析问题与解决问题的能力,属于中等题.二、填空题13.已知向量()1,1a =r ,()2,b m =r,()//2a a b +r r r ,则实数m 的值为_________.【答案】2【解析】求出向量2a b +r r的坐标,利用共线向量的坐标表示可得出关于m 的等式,即可解得实数m 的值. 【详解】Q 向量()1,1a =r ,()2,b m =r ,则()25,21a b m +=+r r,()//2a a b +r r rQ ,()121510m ∴⨯+-⨯=,所以2m =.故答案为:2. 【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数,考查计算能力,属于基础题.14.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别为棱111,AA D A 的中点,则直线EF 与直线1A B 所成角的正切值为_________. 【答案】3【解析】由中位线定理和正方体性质得1//EF BC ,从而作出异面直线所成的角,在三角形中计算可得. 【详解】如图,连接1AD ,1BC ,11A C ,∵,E F 分别为棱111,AA D A 的中点,∴1//EF AD , 又正方体中1111//,AB C D AB C D =,即11ABC D 是平行四边形,∴11//AD BC ,∴1//EF BC ,11A BC ∠(或其补角)就是直线EF 与直线1A B 所成角,11A BC ∆是等边三角形,∴11A BC ∠=60°,其正切值为3. 故答案为:3.【点睛】本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角.15.若sin 2cos αα=,则()22sin 22cos 2sin 4ααπα-=-__________. 【答案】112【解析】由已知条件求得tan α的值,进而利用二倍角的正切公式求出tan2α,再利用二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值. 【详解】sin 2cos αα=Q ,tan 2α∴=,则22tan 4tan 21tan 3ααα==--. ()2222222sin 22cos 2sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22sin 4sin 42sin 2cos 22tan 2αααααααααααα----∴===π-2421341223⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭.故答案为:112. 【点睛】本题考查三角求值,涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用,考查计算能力,属于中等题.16.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于,M N 两点,2MF NFb +=,若线段MN 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标为a ,则-a b 的值为_________. 【答案】1【解析】设()()1122,,,M x y N x y ,写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得12x x +,由抛物线定义得焦点弦长,求得b ,再写出MN 的垂直平分线方程,得a ,从而可得结论. 【详解】抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0,直线l 的方程为1y x =-,据214y x y x=-⎧⎨=⎩得2610x x -+=.设()()1122,,,M x y N x y , 则()12121216,4,11422MF NF x x y y b x x ++=+=∴==+++=.线段MN 垂直平分线方程为()213y x -=-⨯-,令0y =,则5x =,所以5a =, 所以1a b -=. 故答案为:1. 【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.三、解答题17.已知在等比数列{}n a 中,12341120,4,n a a a a a >=-=.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若2211log log n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 前n 项的和.【答案】(1)12n n a +=(2)24nn +【解析】(1)由基本量法,求出公比q 后可得通项公式; (2)求出n b ,用裂项相消法求和. 【详解】解:(1)设等比数列{}n a 的公比为()0q q > 又因为11241124,a a a a =-=,所以23112444q q q-= 解得1q =-(舍)或2q =所以11422n n n a -+=⨯=,即12n n a += (2)据(1)求解知,12n n a +=,所以2211log log n n n b a a +=⨯()()112n n =++1112n n =-++ 所以231...n n T b b b b =++++11111111...23344512n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1122n =-+ 24nn =+ 【点睛】本题考查求等比数列的通项公式,考查裂项相消法求和.解题方法是基本量法.基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法,务必掌握.18.已知王明比较喜爱打篮球,近来,他为了提高自己的投篮水平,制定了一个夏季训练计划.班主任为了了解其训练效果,开始训练前,统计了王明6场比赛的得分,计算出得分数据的中位数为13分,平均得分为12分,得分数据的方差为48,训练结束后统计了6场比赛得分成绩茎叶图如下图:099124215(1)求王明训练结束后统计的6场比赛得分的中位数,平均得分以及方差; (2)若只从训练前后统计的各6场比赛得分数据分析,训练计划对王明投篮水平的提高是否有帮助?【答案】(1)中位数为13分,平均得分为15分,方差为1093;(2)训练计划对王明投篮水平的提高有帮助.【解析】(1)由茎叶图能计算该篮球运动员执行训练后统计的6场比赛得分的中位数、平均得分与方差;(2)根据训练前后的平均数、方差的对比可得出结论. 【详解】(1)训练后得分数据得中位数为1214132+=分,平均得分为9912142125156+++++=分,方差为()()()()()2222229152121514152115251510963s -⨯+-+-+-+-==;(2)据题设分析知,尽管训练后,中位数与训练前一样,但平均得分提高了,训练方差小于训练前方差,这说明训练后得分稳定性提高了,这是投篮水平提高的表现,故此训练计划对王明投篮水平的提高有帮助. 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的求法及应用,考查茎叶图的性质等基础知识,考查运算求解能力、数据处理能力,是基础题.19.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面四边形ABCD 是菱形,PD AC ⊥.(1)证明:AC PB ⊥;(2)若2DP DA DB ===,23PB =,求四棱锥P ABCD -的体积. 【答案】(1)证明见解析;(2)2.【解析】(1)由菱形的性质得出AC BD ⊥,结合PD AC ⊥,利用线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面PBD ,进而可得出AC PB ⊥;(2)由(1)知AC ⊥平面PBD ,计算出PBD ∆的面积和点C 到平面PBD 的距离h ,进而可得出2P ABCD C PBD V V --=四棱锥三棱锥,即可求得结果. 【详解】(1)Q 四边形ABCD 是菱形,AC BD ∴⊥, 又PD AC ⊥Q ,BD PD D =I ,AC ∴⊥平面PBD ,PB ⊂Q 平面PBD ,AC PB ∴⊥;(2)由(1)可知,得AC ⊥平面PBD ,2P ABCD A PBD C PBD C PBD V V V V ----∴=+=四棱锥三棱锥三棱锥三棱锥在PBD ∆中,2BD =,2PD =3PB =由余弦定理得2221cos 22BD PD PB PDB BD PD +-∠==-⋅,则23PDB π∠=, 112sin 22sin 3223PBD S BD PD PDB π∆∴=⋅∠=⨯⨯⨯= 又AC ⊥平面PBD ,点C 到平面PBD 的距离222232h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭1223323P ABCD C PBD V V --⎛∴==⨯= ⎝四棱锥三棱锥.【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直,同时也考查了四棱锥体积的计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点P 在椭圆C 上,且点P 到点F+P 到点F(1)求椭圆C 的标准方程;(2)若直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,坐标原点O 到直线l求AOB ∆面积的最大值.【答案】(1)2213x y +=;(2【解析】(1)根据题意可得出关于a 、c 的方程组,求出这两个量的值,进而可得出b 的值,由此可得出椭圆C 的标准方程;(2)分两种情况讨论:①AB x ⊥轴,求得AB ;②直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y kx m =+,设点()11,A x y 、()22,B x y ,由直线AB 与圆相切得出()22314m k =+,再将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立,利用韦达定理结合弦长公式可求得AB 的最大值,进而可求得AOB ∆面积的最大值. 【详解】(1)设椭圆C 的焦距为()20c c >,则max min PF a c PF a c ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩,解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b ∴==,因此,椭圆C 的标准方程为2213x y +=;(2)设()11,A x y 、()22,B x y . ①当AB x ⊥轴时,AB =②当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y kx m =+2=, ()22314m k ∴=+. 将y kx m =+代入椭圆方程整理,得()222316330k x kmx m +++-=,122631kmx x k ∴+=-+,()21223131m x x k -=+. ()()()()22222211212114AB k x x k x x x x ⎡⎤∴=+-=+⋅+-⎣⎦()()()()()()()()()222222222222222212112131319136131313131m k k m k k k m k k k k k ⎡⎤-++-++⎢⎥=+-==⎢⎥++++⎣⎦2422212123334196196k k k k k =+=+≤=++++,当且仅当k =±时,等号成立. max 2AB ∴=,因此,AOB ∆面积的最大值为()maxmax 12AOB S AB ∆=⨯=【点睛】本题考查椭圆方程的求解,同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算,涉及韦达定理设而不求法以及基本不等式的应用,考查计算能力,属于中等题. 21.已知函数()2ln f x x x =+.(1)若关于x 的方程()()1ln 0f x a x +-=有且只有一个实数根,求实数a 的取值范围;(2)若函数()()()211y f x m x x =-+>的图象总在函数()()211y m x x =->图象的下方,求实数m 的取值范围.【答案】(1){}()20,e -+∞U ;(2)[]1,0-.【解析】(1)由()()1ln 0f x a x +-=得出2ln 0a x x +=,可得出21ln xa x-=,令()2ln x g x x=,将问题转化为直线1=-y a 与函数()y g x =的图象只有一个交点,利用导数分析函数()y g x =的单调性和极值,利用数形结合思想可求得实数a 的取值范围; (2)由题意可知不等式()221ln 0mx m x x -++<对任意的1x >恒成立,令()()221ln h x mx m x x =-++,对实数m 进行分类讨论,分析函数()y h x =在区间()1,+∞上的单调性,结合()0h x <可求得实数m 的取值范围.【详解】(1)令()()()221ln ln 1ln ln 0f x a x x x a x a x x +-=++-=+=,得21ln x a x-=, 设()2ln x g x x=,则直线1=-y a 与函数()y g x =的图象只有一个交点, 函数()2ln x g x x=的定义域为()0,∞+,()312ln xg x x -'=,令()0g x '=,得x e =,列表如下:x()0,ee(),e +∞()g x ' +-()g xZ极大值]所以,函数()y g x =在x e =处取得极大值,即()12ge e=,如下图所示:由上图可知,当10a -<或112a e -=时,即当2a e =-或0a >时,直线1=-y a与函数()y g x =的图象只有一个交点,因此,实数a 的取值范围是{}()20,e -+∞U ;(2)令()()()()()2221121ln h x f x m x m x mx m x x =-+--=-++,根据题意知,当()1,x ∈+∞时,()0h x <恒成立. 又()()()()1211221x mx h x mx m x x--'=-++=. ①若0m ≤,()0h x '<对任意的1x >恒成立,此时,函数()y h x =在区间()1,+∞上单调递减,所以,()110h m =--≤,得1m ≥-,此时10m -≤≤;②若102m <<,当112x m <<时,()0h x '<;当12x m>时,()0h x '>. 所以,函数()y h x =在区间11,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在区间1,2m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.当x →+∞时,()h x →+∞,不合乎题意; ③若12m ≥,对任意的1x >,()0h x '>,则函数()y h x =在区间()1,+∞上单调递增. 当x →+∞时,()h x →+∞,不合乎题意. 综上,所求实数m 的取值范围是[]1,0-. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,考查分类讨论思想以及数形结合思想的应用,属于中等题.22.已知在平面直角坐标系xOy 中,直线2C 的参数方程为22x t y t =-⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为()cos cos 2ρθρθ=+. (1)求曲线1C 与直线2C 的直角坐标方程;(2)若曲线1C 与直线2C 交于,A B 两点,求AB 的值.【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为22y x =;直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=(2)【解析】(1)由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程,消参法可化参数方程为普通方程;(2)联立两曲线方程,解方程组得两交点坐标,从而得两点间距离. 【详解】解:(1)()cos cos 2ρθρθ+Q2cos 2cos ρρθθ∴=+ 222cos 2cos ρρθρθ∴=+ 2222x y x x ∴+=+∴曲线1C 的直角坐标方程为22y x =直线2C 的直角坐标方程为40x y +-=(2)据242y x y x =-+⎧⎨=⎩解,得22x y =⎧⎨=⎩或84x y =⎧⎨=-⎩AB ∴==【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查参数方程与普通方程的互化,属于基础题. 23.已知函数()224f x x x =-++. (1)解不等式()34f x x ≥-+;(2)若函数()f x 的最小值为(),0,0a m n a m n +=>>,求2020202010081008m n +++的最小值.【答案】(1)12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭(2)4【解析】(1)用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式;(2)由(1)得()f x 的最小值为4,则由100810082020m n +++=,代换后用基本不等式可得最小值. 【详解】解:(1)32,2()2246,2232,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪+>⎩讨论:当2x <-时,3234x x --≥-+,即,24-≥此时无解; 当22x -≤≤时,11634,,222x x x x +≥-+≥-∴-≤≤; 当2x >时,13234,,23x x x x +≥-+≥-∴>.∴所求不等式的解集为12x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭(2)分析知,函数()f x 的最小值为44a ∴=4m n a ∴+==2020202010081008100810081008100810081008m n m n m n m n ++++++∴+=+++++ 10081008210081008n m m n ++=++++24≥+=,当且仅当2m n ==时等号成立.2020202010081008m n ∴+++的最小值为4.【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查用基本不等式求最小值.解绝对值不等式的方法是分类讨论思想.。
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作出可行域,如图由射线 ,线段 ,射线 围成的阴影部分(含边界),作直线 ,平移直线 ,当 过点 时, 取得最大值3.
故选:C.
【点睛】
本题考查简单的线性规划问题,解题关键是作出可行域,本题要注意可行域不是一个封闭图形.
7.已知 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 ()
A. B.2C.3D.
【答案】D
【解析】由复数的综合运算求出 ,再写出其共轭复数,然后由模的定义计算模.
【详解】
, .
故选:D.
【点睛】
本题考查复数的运算,考查共轭复数与模的定义,属于基础题.
3.函数 ( 或 )的图象大致是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】确定函数的奇偶性,排除两个选项,再求 时的函数值,再排除一个,得正
一、单选题
1.若集合 ,则 ()
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】先确定集合 中的元素,然后由交集定义求解.
【详解】
, .
故选:A.
【点睛】
本题考查求集合的交集运算,掌握交集定义是解题关键.
2.若复数 ( 为虚数单位),则 的共轭复数的模为()
A. B.4C.2D.
【答案】
【解析】由二倍角公式降幂,再由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式,结合正弦函数性质可求得值域.
【详解】
,
,则 ,
.
故答案为: .
【点睛】
本题考查三角恒等变换(二倍角公式、两角和的正弦公式),考查正弦函数的的单调性和最值.求解三角函数的性质的性质一般都需要用三角恒等变换化函数为一个角的一个三角函数形式,然后结合正弦函数的性质得出结论.
【详解】
解:(1)据题意,得
所以
(2)据表1分析知,从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为 .
随机变量 的所有取值为240,300,360,420,480.
随机变量 的分布列为
240
300
360
420
480
所以 (元)
【点睛】
本题考查频率分布直方图,频数分布表,考查随机变量的概率分布列和数学期望,解题时掌握性质:频率分布直方图中所有频率和为1.本题考查学生的数据处理能力,属于中档题.
【详解】
, .
若 存在极值,则 ,
又 .又 .
故选:C.
【点睛】
本题考查导数与极值,考查余弦定理.掌握极值存在的条件是解题关键.
11.如图, 内接于圆 , 是圆 的直径, ,则三棱锥 体积的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据已知证明 平面 ,只要设 ,则 ,从而可得体积 ,利用基本不等式可得最大值.
【详解】
由题意得 , . , .
, ,
.
故答案为: .
【点睛】
本题考查求向量的模,掌握数量积的定义与运算律是解题基础.本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积的运算.
14.在正方体 中, 分别为棱 的中点,则直线 与直线 所成角的正切值为_________.
【答案】
【解析】由中位线定理和正方体性质得 ,从而作出异面直线所成的角,在三角形中计算可得.
【答案】B
【解析】求出 ,把坐标 代入方程可求得 .
【详解】
据题意,得 ,所以 ,所以 .
故选:B.
【点睛】
本题考查线性回归直线方程,由性质线性回归直线一定过中心点 可计算参数值.
6.若实数 满足不等式组 ,则 的最大值为()
A. B. C.3D.2
【答案】C
【解析】作出可行域,直线目标函数对应的直线 ,平移该直线可得最优解.
因为 平面 ,所以 为平面 的一个法向量,且
所以 ,
.
所以二面角 的正弦值为 .
【点睛】
本题考查线面垂直的判定定理和性质定理,考查用向量法求二面角.立体几何中求空间角常常是建立空间直角坐标系,用空间向量法求空间角,这样可减少思维量,把问题转化为计算.
20.已知在平面直角坐标系 中,椭圆 的焦点为 为椭圆 上任意一点,且 .
12.已知 分别为双曲线 的左、右焦点,过 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点,若 ,则双曲线 的离心率为()
A. B.4C.2D.
【答案】A
【解析】由已知得 , ,由已知比值得 ,再利用双曲线的定义可用 表示出 , ,用勾股定理得出 的等式,从而得离心率.
【详解】
.又 , 可令 ,则 .设 ,得 ,即 ,解得 ,∴ , ,
【详解】
证明:(1)因为 平面 , 平面 ,所以 .
因为四边形 是菱形,所以 .
又因为 , 平面 , 平面 ,
所以 平面 .
解:(2)据题设知, 两两互相垂直.以 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 如图所示,
因为 与平面 所成角为 ,即 ,所以
又 ,所以 ,
所以
所以
设平面 的一个法向量 ,则 令 ,则 .
由 得 , , , 该双曲线的离心率 .
故选:A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率,解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系,利用双曲线的定义把双曲线上的点 到焦点的距离都用 表示出来,从而再由勾股定理建立 的关系.
二、填空题
13.已知向量 , ,则 ______.
【答案】
【解析】求出 ,然后由模的平方转化为向量的平方,利用数量积的运算计算.
【详解】
;如此循环下去,当 时, ,此时不满足 ,循环结束,输出 的值是4.
故选:D.
【点睛】
本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.
9.已知下列命题:
①“ ”的否定是“ ”;
②已知 为两个命题,若“ ”为假命题,则“ ”为真命题;
③“ ”是“ ”的充分不必要条件;
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若直线 交椭圆 于 两点,且满足 ( 分别为直线 的斜率),求 的面积为 时直线 的方程.
【答案】(1) (2) 或
【解析】(1)根据椭圆定义求得 ,得椭圆方程;
(2)设 ,由 得 ,应用韦达定理得 ,代入已知条件 可得 ,再由椭圆中弦长公式求得弦长 ,原点 到直线 的距离 ,得三角形面积,从而可求得 ,得直线方程.
21.已知函数 .
(1)若函数 的图象与 轴有且只有一个公共点,求实数 的取值范围;
(2)若 对任意 成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)详见解析
【解析】(1)由频率分布直方图中所有频率(小矩形面积)之和为1可计算出 值;
(2)由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为 .,选2件产品,支付的费用 的所有取值为240,300,360,420,480,由相互独立事件的概率公式分别计算出概率,得概率分布列,由公式计算出期望.
“若 ,则 且 ”是假命题,则它的逆否命题为假命题,错误.
故选:B.
【点睛】
本题考查命题真假判断,掌握四种命题的关系,复合命题的真假判断,充分必要条件等概念是解题基础.
10.已知在 中,角 的对边分别为 ,若函数 存在极值,则角 的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】求出导函数 ,由 有不等的两实根,即 可得不等关系,然后由余弦定理可及余弦函数性质可得结论.
【详解】
如图,连接 , , ,∵ 分别为棱 的中点,∴ ,
又正方体中 ,即 是平行四边形,∴ ,∴ , (或其补角)就是直线 与直线 所成角, 是等边三角形,∴ =60°,其正切值为 .
故答案为: .
【点睛】
本题考查异面直线所成的角,解题关键是根据定义作出异面直线所成的角.
15.函数 在区间 上的值域为______.
【详解】
分析知,函数 ( 或 )为偶函数,所以图象关于 轴对称,排除B,C,
当 时, ,排除D,
故选:A.
【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象,解题时可通过研究函数的性质,如奇偶性、单调性、对称性等,研究特殊的函数的值、函数值的正负,以及函数值的变化趋势,排除错误选项,得正确结论.
4.若 的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数 的值为()
【答案】(1) (2)
【解析】(1)由基本量法,求出公比 后可得通项公式;
(2)求出 ,用裂项相消法求和.
【详解】
解:(1)设等比数列 的公比为
又因为 ,所以
解得 (舍)或
所以 ,即
(2)据(1)求解知, ,
所以
所以
【点睛】
本题考查求等比数列的通项公式,考查裂项相消法求和.解题方法是基本量法.基本量法是解决等差数列和等比数列的基本方法,务必掌握.
19.如图,四边形 是边长为3的菱形, 平面 .
(1)求证: 平面 ;
(2)若 与平面 所成角为 ,求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)由已知线面垂直得 ,结合菱形对角线垂直,可证得线面垂直;
(2)由已知知 两两互相垂直.以 分别为 轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系 如图所示,由已知线面垂直知 与平面 所成角为 ,这样可计算出 的长,写出各点坐标,求出平面的法向量,由法向量夹角可得二面角.
④“若 ,则 且 ”的逆否命题为真命题.
其中真命题的序号为()
A.③④B.①②C.①③D.②④
【答案】B
【解析】由命题的否定,复合命题的真假,充分必要条件,四种命题的关系对每个命题进行判断.
【详解】
“ ”的否定是“ ”,正确;
已知为两个命题,若“ ”为假命题,则“ ”为真命题,正确;
“ ”是“ ”的必要不充分条件,错误;
【详解】
因为 ,所以四边形 为平行四边形.又因为 平面 , 平面 ,