三角形各种心的性质归纳
三角形五心的性质【超全总结】
资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习与交流重心的性质：（三条中线的交点）1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。
2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。
5. 以重心为起点，以三角形三定点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心的性质：（三条边的垂直平分线的交点）1、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
2、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
3、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
C1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
4、外心到三顶点的距离相等垂心的性质：（三条高的交点）1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。
2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。
（此直线称为三角形的欧拉线）3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。
4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
内心的性质：（三个内角的角平分线的交点）1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。
2、P为ΔABC所在空间中任意一点，点O是ΔABC内心的充要条件是：Po=(a×PA+b×PB+c×PC)/(a+b+c).3、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC4、(欧拉定理) ΔABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI2=R2-2Rr．5、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，O为内心，∠A、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.6、内心到三角形三边距离相等。
三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC的重心一般用字母O表示。
性质：1.外心到三顶点等距，即OA OB OC。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即OD BC,OE AC,OF AB.3. A 1BOC,B1AOC,C1AOB。
2 2 2二、三角形的内心定义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下性质：性质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半径．23. AEAF,BF BD,CD CE；AE BF CD三角形的周长的一半。
4. BIC1A,CIA1B，AIB1C。
90 90 902 2 2三、三角形的垂心定义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC的重心一般用字母H表示。
性质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AHBC,BHAC,CH AB。
2.△ABH的垂心为C，△BHC的垂心为A，△ACH的垂心为B。
四、三角形的“重心”：定义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC 的重心一般用字母G 表示。
性质：1. 顶点与重心G 的连线必平分对边。
2. 重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GA2GD,GB2GE,GC2GF3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．即x G x A x B xC,y Gy A y B yC .334.向量性质：（1）GAGB GC0 ；（2）PG 1(PAPB PC)，31S5.S BGC SCGASAGBABC 。
3五、三角形“四心”的向量形式：结论1：若点O 为 ABC 所在的平面内一点，满足OAOB OBOC OCOA ，则点O 为 ABC 的垂心。
(完整版)三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、三角形的外心定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
ABC ∆的重心一般用字母O 表示。
性 质：1.外心到三顶点等距，即OC OB OA ==。
2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边，即AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.AOB C AOC B BOC A ∠=∠∠=∠∠=∠21,21,21。
二、三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
ABC ∆的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质：性 质：1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2.三角形的面积＝⨯21三角形的周长⨯内切圆的半径． 3.CE CD BD BF AF AE ===,,；=++CD BF AE 三角形的周长的一半。
4.,2190A BIC ∠+=∠ B CIA ∠+=∠2190 ，C AIB ∠+=∠2190 。
三、三角形的垂心定 义：三角形三条高的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母H 表示。
性 质：1.顶点与垂心连线必垂直对边，即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。
2.△ABH 的垂心为C ，△BHC 的垂心为A ，△ACH 的垂心为B 。
四、三角形的“重心”：定 义：三角形三条中线的交点叫重心。
ABC ∆的重心一般用字母G 表示。
性 质：1.顶点与重心G 的连线必平分对边。
2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
即GF GC GE GB GD GA 2,2,2===3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3,3C B AG C B A G y y y y x x x x ++=++=. 4.向量性质：（1）0=++GC GB GA ；（2）)(31PC PB PA PG ++=，5.ABC AGB CGA BGC S S S S ∆∆∆∆===31。
三角形中心的性质
三角形中心的性质
三角形中心：仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一心，称做正三角形的中心。
1三角形的五心
(1)重心:三条中线的交点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍;重心分中线比为1：2;
(2)垂心：三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。
(3)内心：三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。
即内切圆的圆心，到三边距离相等。
(4)外心：是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。
是三角形的外接圆的圆心的简称，到三顶点距离相等。
(5)旁心：一条内角平分线与其它二外角平分线的交点(共有三个)，是三角形的旁切圆的圆心的简称。
2等边三角形的性质
(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。
(2)等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合。
(三线合一)
(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或角的平分线所在的直线。
(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边
三角形的中心。
(四心合一)
(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值。
(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。
三角形的五心
三角形的五心重心定义：三角形三条中线的交点叫做三角形重心。
性质：（1）设三角形重心为O，BC边中点为D，则有AO = 2 OD。
（2）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（3）重心坐标为三顶点坐标平均值。
（4）以三角形的重心将三角形支起，三角形会保持平衡。
外心定义：三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
性质：（1）外心到三顶点距离相等。
（2）过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心即三角形外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。
（3）三角形有且只有一个外接圆。
内心定义：三角形内心为三角形三条内角平分线的交点。
性质：（1）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）内切圆的圆心即是三角形内心。
（3）内心到三角形三边距离相等，这个三角形叫做圆的外切三角形。
（4）三角形有且只有一个内切圆。
垂心定义：三角形三边上的三条高线所在直线的交点，称为三角形垂心。
性质：（1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角的顶点；钝角三角形的垂心在三角形外.。
（2）三角形只有一个垂心。
旁心定义：（1）与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。
（2）三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，即三角形的旁心。
性质：（1）旁心到三角形一边及其他两边延长线的距离相等。
（2）三角形有三个旁切圆，三个旁心。
这三个旁心到三角形三条边的延长线的距离相等。
五心的性质：三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.详细性质垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。
三角形的五“心”及其性质
三角形的五“心”及其性质
三角形的五心是指三角形内部的五个特殊点，包括重心、外心、内心、垂心和旁心。
1. 重心：三角形三个顶点与其对边的中点连接所交于一点，这个点被
称为重心。
重心到三角形三边的距离相等，重心将三角形划分为三个
面积相等的小三角形。
2. 外心：三角形三个顶点的垂直平分线相交于一点，这个点被称为外心。
外心是三角形外接圆圆心，即三角形三个顶点与外心的连线的长
度相等。
3. 内心：三角形三个顶点的角平分线相交于一点，这个点被称为内心。
内心是三角形内切圆圆心，即三角形三条边与内心的连线的垂直距离
相等。
4. 垂心：三角形三个顶点的高的延长线相交于一点，这个点被称为垂心。
垂心是三角形三条高的交点，即垂心到三角形三个顶点所在的直
线距离相等。
5. 旁心：三角形的旁心有三个，分别对应三条边。
旁心是指三角形的
外切圆圆心，即三角形的一条边外边的一条角的角平分线与另外两条
边延长线的交点。
这些五心有一些重要的性质：
- 重心是三角形的重要重心之一，它将三角形分成三个面积相等的小三
角形。
- 外心是三角形外接圆圆心，外接圆的直径是三角形的边长，外心到三
个顶点的距离相等。
- 内心是三角形内切圆圆心，内接圆与三个边相切，内心到三个边的距
离相等。
- 垂心是三角形三条高的交点，垂心到三个顶点所在的直线距离相等。
- 旁心是三角形外切圆圆心，外切圆与三条边相切，旁心到相对应的边
的距离相等。
三角形各种心的性质归纳
三角形百般心的本量钻研之阳早格格创做一、前提知识三角形的心是指沉心、中心、垂心、旁心战界心．三角形的心是三角形的要害几许面．正在数教竞赛中，有闭三角形的心的几许问题是竞赛的热面问题，果此，咱们对付三角形的心的几许本量干综合归纳，对付有闭的道明要领妥协题本领干深进探讨．1．沉心：设G 是ABC ∆的沉心，AG 的延少线接BC 于D ，则，DC BD =)1(， （ 2）3:2:=AD AG ；（3）4222222BC AC AB AD -+=，（4）3ABCGBCS S ∆∆=．2.中心：设⊙O （R ）是ABC ∆的中接圆，BC OD ⊥于D 接⊙O 于E ，则 （1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2大概)180(20A ∠-； （3）DCBD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R RabcS ABC sin sin sin 24==∆（正弦定理） 3.内心：设ABC ∆的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延少线接中接圆于D ，则 （1）A BIC ∠+︒=∠2190;(2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(21221cot ；(3)DC DI DB ==；(4)2)(c b a r S ABC++=∆;4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ∆的中心，沉心，垂心，BC OD ⊥于D ，AH 的延少线接中接圆于1H ，则，（1）OD AH 2=；（2）H 取1H 闭于BC 成轴对付称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三面共线，且2:1:=GH OG ；5．旁心：设ABC ∆正在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 取AB 的延少线切于1P ，则，（1）A C BI ∠-=∠219001；（2）2211c b a A ctg r AP ++=∠=；（3）21c b a BP -+=；（4）21CB AI ∠=∠；（5）2)(1a c b r S ABC -+=∆6．三角形中内切圆、旁切圆战中圆半径的几个闭系 正在△ABC中，内切圆⊙O 分别取三边相切于面K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙aO 取BC 边切于面H ，且分别取AB 边战AC 那的延少线相切于面Q 、面P ．设三边BC 、CA 、AB分别为cb a ,,，CB A ∠∠∠,,分别为γβα,,，)(21c b a p ++=，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，M中接圆半径为R ，三角形里积为∆S ，则犹如下闭系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2）a p rpr a -=；（3）曲角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周少的一半；（4）))((1c p b p r r a --=；（5）cb a r r r r 1111--=；（6）2tan2tanγβ⋅=rr a7．界心如果三角形一边上的一面战那边对付的顶面把三角形的周界分隔为二条等少的合线，那么便称那一面为三角形的周界中面．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任性二边之战大于第三边，可知三角形任一边上的周界中面必介于那边二端面之间．三角形的顶面取其对付边的周界中面的连线，喊三角形的周界中线（偶尔也称周界中线天圆曲线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线接于一面．定义：称三角形的周界中线的接面为三角形的界心．二、例题分解例1．设△ABC的中接圆O 的半径为R ，内心为I ，︒=∠60B ，C A ∠<∠，A ∠的中角仄分线接圆O 于E ，道明：（1）AE IO =；（2）R IC IA IO R )31(2+<++<．【道明】（1）延少BI 接中接圆于M ，连结Am OM OA ,,，易知︒=∠=∠60B AOM ，故△AOM为正三角形，∴CMAM OA OM ===．易证MAI MIA ∠=∠，∴MI MA =．共理，MI MC =，即C I O A ,,,正在以M 为圆心，R 为半径的圆上，设AI 的延少线接⌒BC 于F ，则AF 、AE 分别为A ∠的内、中角仄分线，︒=∠90EAF ，即EF为⊙O 的曲径，∴AOE OFI OAI∠=∠=∠21．又正在⊙M 中，OMI OAI ∠=∠21，∴OMI AOE ∠=∠，但是⊙M 取⊙O 为等圆，故OI AE =．（2）对接FC ，共上易证FC IF =，又︒=∠=∠60ABC IFC ，∴△IFC 为等边三角形，IF IC =∵)60(21)(212121︒-∠=∠-∠=∠=∠=∠C AMO AMI OMI AOEAFE ，记AFE ∠为θ ∴AFAE AF IA AE IC IA IO +=++=++)cos (sin 2cos 2sin 2θθθθ+=+=R R R由C A ∠<∠知，︒<∠<︒12060C ，从而有︒<∠<︒602130C ，即︒<︒+∠<︒75152145C∴︒<++<︒75sin 2245sin 22R IC IA IO R ，又46275sin +=︒，故R IC IA IO R )31(2+<++<．例2．钝角△ABC的中心为O ，线段BC OA ,的中面分别为M 、N ．，OMN ABC ∠=∠4OMNACB ∠=∠6．供OMN ∠．【解】设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，θ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOC ；θ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MON 即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON2121=== ∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ， 又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN例3．如图I O ,分别为△ABC 的中心战内心，AD 是BC 边上的下.I 正在线段OD供证：△ABC 的中接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径.道明（1）记b CA a BC c AB ===,,，设AI 的延少线接△ABC 的中接圆O 于K ，则OK 是圆O 的半径，记为R ，果为OK ⊥BC ，所以OK ∥AD ，从而 C B RB c IKAI sin sin 2sin == (1)ABI∠=2B IBC =∠，CBK ∠=2ACAK=∠，∠AKB =∠C ACB ∠=， ∠2A BAK =，所以2sin 212sin 21B A BI BK B BI AB S S IK AI KBIABI+⋅⋅⋅⋅⋅==∆∆2sin 2sin2sin 22cos 2sin 2sin sin 2cos 2sin A C B C B A C C B BK AB =⋅=⋅=（2）由（1）、（2）得2sin2sin 2sin2sin sin 2A CB C B =，所以12cos 2cos 2sin 4=CB A设△ABC的BC 边上的旁切圆半径为a r ，则)(21sin 21a c b r S A bc a ABC -+==∆.所以AC B C B A R a c b A bc r a sin sin sin sin sin sin 2sin -+⋅=-+=2cos2sin 22cos 2sin 2sin sin sin 2C B C B C B C B CB A R ++--+=R C B A R C B C B C B A R ==⋅+=2cos 2cos 2sin 42sin2sin 22sin sin sin sin ，即△ABC 的中接半径等于BC 边上的旁切圆半径.道明（2）记b CA a BC c AB ===,,，△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ，△ABC的BC 边上的下为a h ，设AI 接BC 于P ，接中接圆于K ，连BK ，OK ⊥BC ，R OK =，c b ab PC +=，IK BK =，△AKB ∽△ACP ，又由AD ⊥BC ，知OK ∥AD ，有IK AI OK AD =，即BKAK IK AK OK OK AD ==+,但是△AKB ∽△ACP ，有a cb cb ab b PC AC BK AK +=+==，代进上式，得ac b R R h a +=+，a ABC a r ac b S a c b ah R =-+=-+=∆2 即△ABC 的中接半径等于BC 边上的旁切圆半径. 道明（3）b CA a BC c AB ===,,，△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ，△ABC 的中接半径R ，做1II ⊥BC 于1I ，1OO ⊥BC 于1O .∵∠OAC =ABC ∠902∠1800-=-AOCBAD ∠= ∴=DAI ∠OAI ∠，∴111O I DIIO DI AO AD ==.2221111cb bc a a BI BO O I -=-+-=-=， ∴ac b S a c b a AD AO R a a c b AO AD ABC -+=-+⋅==-+=∆2, 又)(21a cb r S a ABC-+=∆，∴a ar ac b a c b r R =-+-+=)(. 道明（4）记b CA a BC c AB ===,,，设AI 的延少线接△ABC 的中接圆O 于K ，对接OK BC 于1O ，则OK ⊥BC ，做1II ⊥BC 于1I ，则AD ∥1II ∥OK ，由O I D ,,三面共线，B C D I 1 O 1∴OKADIO DI O I DI ==111，∵B c bc a BD BI DI cos 211⋅--+=-=a a c b c b a c b a b c a 2))((22222-+-=-+--+=2221111cb bc a a BI BO O I -=-+-=-=，∴R AD aa cb =-+， 故a c b Sa cb a AD R ABC -+=-+⋅=∆2，又)(21a c b r S a ABC-+=∆，∴a ar ac b a c b r R =-+-+=)(. 道明（5）连AI 并延少接△ABC 的中接圆O 于K ，设O '旁切圆圆心，则O '正在AK 的延少线上，连OK ，过O '做M O '⊥BC 于M .连OM ，MK ，BI ，CI ，B O '，C O '，则OK ，M O '分别为中接圆半径及旁切圆半径.又O C I B ',,,四面共圆.CK IK BK ==，设K 为O BIC '的中接圆的圆心，即K O IK '=.又P O IP PC BP PK AP '⋅=⋅=⋅，∴APPO IPPK '=，又AD ∥M O '，∴DPMPAP P O IPPK='=，∴MK ∥ID ，∠PMK =∠IDP ，而O I D ,,共线，OK ⊥BC ，MO '⊥BC ，∴OK ∥M O '，故∠IOK =∠O KM '，∠OKI =∠K O M '，KO IK'=，∴O MK OIK '∆≅∆，故OK =M O '，即a r R =例4．设M 是△ABC 的AB 边上做一内面，r r r ,,21分别是△AMC、△BMC、△ABC的内切圆半径；q q q ,,21分别是那些三角形正在ACM ∠、BCM ∠、ACB ∠内的旁切圆半径．试证：qr q r q r =⋅2211． 【道明】设δγβα=∠=∠=∠=∠AMC BCA ABC CAB ,,,又设△ABC的内切圆的圆心为R ，且取AB 切于P （如图），于是2π=∠=∠BPR APR ，从而有：)2cot2(cot2cot 2cot βαβα+=+=r r r AB由于三角形的角的内、中仄分线互相笔曲，果而类似天有：)2tan2(tan2tan2tanβαβα+=+=q q q ABK从而有：2tan 2tan 2cot2cot 2tan2tan βαβαβα=++=qr ；类似的论断对付于△AMC战△BMC也创造，故有2tan 2tan 11δα=q r 战2tan 2tan 22δπβ-=q r ，以上式子相乘即可得论断：qrq r q r =⋅2211．例5．设I 为△ABC的内心，其△ABC内切圆切三边BC 、CA 战AB 于面K 、L 、M ，过面B 仄止于MK 的曲线分别接曲线LM 战IK 于面R 战S ．供证：RIS ∠为钝角．【道明】为了证RIS ∠为钝角．由余弦定理，只消证0cos 2222>∠⋅=-+RIS SI RI RS SI RI ．为此咱们去估计222RS SI RI -+.由MK∥RS ，思量△BMR及△BSK，于是)(21C LMKMRB ∠-=∠=∠π．共理：)(21A AML RMB ∠-=∠=∠π，而)(21)(21B A C RMB MRB MBR ∠-=∠+∠=∠-∠-=∠ππ，共理：)(21A LKM KSB ∠-=∠=∠π )(21C LKC SKB ∠-=∠=∠π， )(21B KSB ∠-=∠π由正弦定理，有，MRBBMRMB BR ∠=∠sin sin ，BKSBSKSB BK ∠=∠sin sin ，果此BS BK C A BMBR =∠∠=2cos2cos . 又MKBI ⊥，所以RS BI⊥．又AB MI ⊥，所以思量曲角△IRB ，△ISB ，△BIM 有注意到BMBK=，果此2BM BS BR =⋅．所以，0)(2])()[(2222222>=-=-+IM BM BI RS SI RI底下计划界心的二个本量．例6．设F E D ,,分别为△ABC的AB CA BC ,,边上的周界中面，R 、r 分别为△ABC的中接圆战内切圆半径，则（1）Rr S S ABCDEF2=∆∆；（2）ABC DEF S S ∆∆≤41．【道明】设a BC =，b CA =，c AB =，c b a p ++=2，则由题设条件易知，⎪⎩⎪⎨⎧-==-==-==a p BF CE b p AF CD cp AE BD 由三角形里积比的本量，有，bcc p b p AB AC AF AE S S ABCAEF ))((--=⋅⋅=∆∆ 共理有：ca a p c p S S ABCBFD))((--=∆∆；abb p a p S S ABC CDE ))((--=∆∆从而：)(1ABCCDE ABC BFD ABC AEF ABC DEF S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆++-=]))(())(())(([1ab b p a p ca a p c p bc c p b p --+--+---= 把三角形恒等式224r Rr p ca bc ab ++=++战pRr abc 2=代进并整治，得，RrS S ABC DEF 2=∆∆． 由欧推没有等式r R 2≥，得，ABC DEFS S ∆∆≤41． 三、锻炼题1．已知H 是ABC ∆的垂心，且BCAH=，试供A ∠的度数．2．F E D ,,分别为ABC ∆的边AB CA BC ,,上的面，且A FDE ∠=∠，B DEF ∠=∠，又设△AEF、△BDF、△CED 均为钝角三角形，其垂心依次为321,,H H H ，供证：（1）E FH DH H 132∠=∠；（2）DEF H H H ∆≅∆321． 3．已知⊙O 内切于ABC ∆的中接圆⊙O '，而且取AC AB ,分别相切于Q P ,．道明ABC ∆的内心I仄分PQ ．4．已知ABC ∆中，下AD 正在其里里，过△ABD 、△ACD 的内心21,I I 引曲线分别接AC AB ,于F E ,．（1）若︒=∠90BAC ，则AF AE =；（2）若AF AE =，则︒=∠90BAC 也创造吗？若创造，请道明；若没有创造，请道明缘由，并指出没有创造的情形．5．已知ABC∆的内切圆⊙I取BC边切于D，DE是⊙I的曲径，AE的延少线接BC 于F，供证：CFBD=．6．正在等腰ABCAC=，O是它的中心，I是它的内心，面D正在BC边∆中，BC上，使得OD取BI笔曲，道明：曲线ID取AC仄止．――――――――――――――――――――三角形五心定理三角形的沉心，中心，垂心，内心战旁心称之为三角形的五心.三角形五心定理是指三角形沉心定理，中心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称.一、三角形沉心定理三角形的三条边的中线接于一面.该面喊干三角形的沉心.三中线接于一面可用燕尾定理道明，格中简朴.（沉心本是一个物理观念，对付于等薄度的品量匀称的三角形薄片，其沉心恰为此三角形三条中线的接面，沉心果而得名） .沉心的本量：1、沉心到顶面的距离取沉心到对付边中面的距离之比为2︰1.2、沉心战三角形任性二个顶面组成的3个三角形里积相等.即沉心到三条边的距离取三条边少成反比.3、沉心到三角形3个顶面距离的仄圆战最小.4、仄里曲角坐标系中，沉心的坐标是顶面坐目标算术仄衡数，即（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3.燕尾定理：果此图类似燕尾而得名，是一个闭于三角形的定理（如图△ABC，D、E、F为BC、CA、AB 上的中面，谦脚AD、BE、CF 接于共一面O）.S△ABC中，S△AOB：S△AOC=S△BDO：S△CDO=BD：CD；共理，S△AOC：S△BOC=S△AFO：S△BFO=AF：BF；S△BOC：S△BOA=S△CEO：S△AEO=EC：AE.二、三角形中心定理：三角形中接圆的圆心，喊干三角形的中心. 中心的本量有：1、三角形的三条边的笔曲仄分线接于一面，该面即为该三角形中心.2、若O是△ABC的中心，则∠BOC=2∠A（∠A为钝角大概曲角）大概∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）.3、当三角形为钝角三角形时，中心正在三角形里里；当三角形为钝角三角形时，中心正在三角形中部；当三角形为曲角三角形时，中心正在斜边上，取斜边的中面沉合.4、估计中心的坐标应先估计下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶面连背其余二个顶面背量的面乘.c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3.中心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c ).5、中心到三顶面的距离相等中心公式：三、三角形垂心定理：三角形的三条下（天圆曲线）接于一面，该面喊干三角形的垂心. 垂心的本量：1、三角形三个顶面，三个垂脚，垂心那7个面不妨得到6个四面圆.2、三角形中心O、沉心G战垂心H三面共线，且OG:GH=1:2.（此线称为三角形的欧推线（Euler line））3、垂心到三角形一顶面距离为此三角形中心到此顶面对付边距离的2倍.4、垂心分每条下线的二部分乘积相等.定理道明: 已知：ΔABC中，AD、BE是二条下，AD、BE接于面O，对接CO并延少接AB于面F ，供证：CF⊥AB道明：对接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四面共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB ,果此，垂心定理创造！垂心坐标公式：四、三角形内心定理：三角形内切圆的圆心，喊干三角形的内心. 内心的本量：1、三角形的三条内角仄分线接于一面.该面即为三角形的内心.2、曲角三角形的内心到边的距离等于二曲角边的战减去斜边的好的二分之一.3、P为ΔABC天圆空间中任性一面，面0是ΔABC内心的充要条件是：背量P0=(a×背量PA+b×背量PB+c×背量PC)/(a+b+c).4、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶面，延少AO 接BC边于N，则有AO:ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC):BC5、面O是仄里ABC上任性一面，面I是△ABC内心的充要条件是：a(背量OA)+b(背量OB)+c(背量OC)=背量0．6、、(欧推定理)⊿ABC中，R战r分别为中接圆为战内切圆的半径，O 战I分别为其中心战内心，则OI^2=R^2-2Rr．7、（内角仄分线分三边少度闭系）：△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角仄分线分别接BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.8、内心到三角形三边距离相等.三角形内心坐标公式：五、三角形旁心定理三角形的旁切圆（取三角形的一边战其余二边的延少线相切的圆）的圆心，喊干三角形的旁心.旁心的本量：1、三角形一内角仄分线战其余二顶面处的中角仄分线接于一面，该面即为三角形的旁心.2、每个三角形皆有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.如图，面M便是△ABC的一个旁心.三角形任性二角的中角仄分线战第三个角的内角仄分线的接面.一个三角形有三个旁心，而且一定正在三角形中.附：三角形的核心：惟有正三角形才有核心，那时沉心，内心，中心，垂心，四心合一.有闭三角形五心的诗歌三角形五心歌（沉中垂内旁）三角形有五颗心，沉中垂内战旁心，五心本量很要害，严肃掌握莫记混．沉心三条中线定相接，接面位子实偶巧，接面命名为“沉心”，沉心本量要明白，沉心分隔中线段，数段之比听分晓；少短之比二比一，机动使用掌握佳．中心三角形有六元素，三个内角有三边．做三边的中垂线，三线相接共一面．此面定义为中心，用它可做中接圆．内心中心莫记混，内切中接是闭键．垂心三角形上做三下，三下必于垂心接．下线分隔三角形，出现曲角三对付整，曲角三角形有十二，形成六对付相似形，四面共圆图中有，小心分解可找浑.内心三角对付应三顶面，角角皆有仄分线，三线相接定共面，喊干“内心”有基础；面至三边均等距，可做三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如许定义该天然．五心本量别记混，干起题去实是佳.五心的本量三角形的五心有许多要害本量，它们之间也有很稀切的通联，如：（1）三角形的沉心取三顶面的连线所形成的三个三角形里积相等；（2）三角形的中心到三顶面的距离相等；（3）三角形的垂心取三顶面那四面中，任一面是其余三面所形成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂脚三角形的内心；大概者道，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的中心是它的中面三角形的垂心；（7）三角形的沉心也是它的中面三角形的沉心；（8）三角形的中面三角形的中心也是其垂脚三角形的中心．（9）三角形的任一顶面到垂心的距离，等于中心到对付边的距离的二倍.底下是更为仔细的本量：1、垂心三角形三边上的下的接面称为三角形的垂心.三角形垂心有下列有趣的本量：设△ABC的三条下为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂脚,垂心为H.本量1 垂心H闭于三边的对付称面，均正在△ABC的中接圆上.本量2 △ABC中,有六组四面共圆，有三组(每组四个)相似的曲角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF.本量3 H、A、B、C四面中任一面是其余三面为顶面的三角形的垂心(并称那样的四面为一垂心组).本量4 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH的中接圆是等圆.本量5 正在非曲角三角形中,过H的曲线接AB、AC天圆曲线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC.本量6 三角形任一顶面到垂心的距离，等于中心到对付边的距离的2倍.本量7 设O，H分别为△ABC的中心战垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA.本量8 钝角三角形的垂心到三顶面的距离之战等于其内切圆取中接圆半径之战的2倍.本量9 钝角三角形的垂心是垂脚三角形的内心；钝角三角形的内接三角形(顶面正在本三角形的边上)中，以垂脚三角形的周少最短.2、内心三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心，即三角形三个角仄分线的接面.内心有下列柔好的本量：本量1 设I为△ABC的内心,则I为其内心的充要条件是：到△ABC三边的距离相等.本量2 设I为△ABC的内心，则∠BIC=90°+12∠A，类似天另有二式；反之亦然.本量3 设I为△ABC内一面，AI天圆曲线接△ABC的中接圆于D.I为△ABC内心的充要条件是ID=DB=DC.本量4 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，I正在BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F；内切圆半径为r，令p= (1/2)(a+b+c)，则(1)S△ABC=pr；(2)r=2S△ABC/a+b+c ；(3)AE=AF=p-a,BD=BF=p-b,CE=CD=p-c；(4)abcr=p·AI·BI·CI.本量5 三角形一内角仄分线取其中接圆的接面到另二顶面的距离取到内心的距离相等；反之，若I为△ABC的∠A仄分线AD(D正在△ABC的中接圆上)上的面，且DI=DB，则I为△ABC的内心.本量6 设I为△ABC的内心，BC=a，AC=b，AB=c，∠A的仄分线接BC于K,接△ABC的中接圆于D，则AI/KI =AD/DI =DI/DK = (b+c)/a.3、中心三角形的中接圆的圆心简称三角形的中心.即三角形三边中垂线的接面.中心犹如下一系列柔好本量：本量1三角形的中心到三顶面的距离相等，反之亦然.本量 2 设O为△ABC的中心，则∠BOC=2∠A，大概∠BOC=360°-2∠A(另有二式).本量3 设三角形的三条边少，中接圆的半径、里积分别为a、b、c,R、S△，则R=abc/4S△.本量4 过△ABC的中心O任做背去线取边AB、AC(大概延少线)分别相接于P、Q二面，则AB/AP ·sin2B+ AC/AQ·sin2C=sin2A+sin2B+sin2C.本量5 钝角三角形的中心到三边的距离之战等于其内切圆取中接圆半径之战.4、沉心本量1 设G为△ABC的沉心，△ABC内的面Q正在边BC、CA、AB 边上的射影分别为D、E、F，则当Q取G沉适时QD·QE·QF最大；反之亦然.本量2 设G为△ABC的沉心，AG、BG、CG的延少线接△ABC的三边于D、E、F,则S△AGF=S△BGD=S△CGE；反之亦然.本量 3 设G为△ABC的沉心，则S△ABG=S△BCG=S△ACG= (1/3)S△ABC；反之亦然.5、旁心1、三角形一内角仄分线战其余二顶面处的中角仄分线接于一面，该面即为三角形的旁心.2、每个三角形皆有三个旁心.3、旁心到三边的距离相等.。
完整版初中几何三角形五心及定理性质
初中几何三角形五心定律及性质三角形的重心，外心,垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。
三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称重心定理三角形的三条边的中线交于一点。
该点叫做三角形的重心。
三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。
(重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名)重心的性质：1＞重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2 : 1o2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形而积相等。
即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。
3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为((X1+X2+X3) /3, (Y1+Y2+Y3) /3)。
5、以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。
外心定理页6共页4第三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。
1为锐角或直角）或A是AABC的外心，则ZBOC=2Z （ZA2、若O Z 为钝角）。
A （ZAZBOC=360°当三角形为钝角三角形时，外心在三角形内部；、当三角形为锐角三角形时，3外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
、外心到三顶点的距离相等5垂心定理2图图1三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。
页6共贞2第垂心的性质：6个四点圆。
1＞三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到。
（此直：2三点共线，且OG : GH=1＞重心2、三角形外心OG和垂心H Euler line））线称为三角形的欧拉线（倍。
、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的32、垂心分每条高线的两部分乘积相等。
4推论：）o （图1ABC三边的高的垂足，贝'J Z1 = Z2 ＞1.若D、E F分别是△（图1） 2.三角形的垂心是其垂足三角形的内心。
三角形五心及其性质
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形垂心的性质设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外. 2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△A BC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且A H•HD=BH•HE=CH•HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△AB C，△ABH，△BC H，△ACH的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则 AB/AP•tanB+AC/A Q•tanC=tan A+tanB+tan C。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。
10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。
11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
12、西姆松定理（西姆松线）：从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。
13、设锐角△ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*P A*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。
垂心的向径定义设点H为锐角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，则h=(ta nA a +tanB b +tanC c)/(tanA+ta nB+tanC).垂心坐标的解析解：设三个顶点的坐标分别为(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那么垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。
三角形各种心的性质归纳
1三角形各种心的性质研究三角形各种心的性质研究一、基础知识一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨．巧做深入探讨．1．重心：设G 是ABC D 的重心，AG 的延长线交BC 于D ，则，DC BD =)1(， （ 2）3:2:=AD AG ；（3）4222222BC AC AB AD -+=，（4）3ABC GBC S S D D =．2.外心：设⊙O （R ）是ABC D 的外接圆，BC OD ^于D 交⊙O 于E ，则，则（1）R OC OB OA ===；（2）A BOC Ð=Ð2或)180(20A Ð-；（3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R R abc S ABC sin sin sin 24==D （正弦定理）（正弦定理）3.内心：设ABC D 的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延长线交外接圆于D ，则 （1）A BIC Ð+°=Ð2190;(2)a c b a ac b A r AP -++=-+=Ð=)(21221cot ；(3)DC DI DB ==；(4)2)(cb a r S ABC ++=D ;4.垂心：设H G O ,,分别是ABC D 的外心，重心，垂心，BC OD ^于D ，AH 的延长线交外接圆于1H ，则，（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线，且2:1:=GH OG ；5．旁心：设ABC D 在A Ð内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ，则，（1）A C BI Ð-=Ð219001；（2）2211c b a A ctg r AP ++=Ð=；（3）21c b a BP -+=；（4）21C B AI Ð=Ð；（5）2)(1a c b r S ABC -+=D 6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△ABC 中，内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ，且分别与AB边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,，C B A ÐÐÐ,,分别为g b a ,,，)(21c b a p ++=，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，外接圆半径为R ，三角形面积为D S ，则有如下关系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2）a p rp rpr r a -=；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1c p b p rr a --=；（5）c b a r r r r 1111--=；（6）2tan2tang b×=r r a7．界心．界心 如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．边两端点之间．三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点．．三角形的周界中线交于一点．定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心．定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心．二、例题分析二、例题分析 例1．设△ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，°=Ð60B ，C A Ð<Ð，A Ð的外角平分线交圆O 于E ，OB AC IM FE证明：（1）AE IO =；（2）R IC IA IO R )31(2+<++<．【证明】（1）延长BI 交外接圆于M ，连结Am OM OA ,,，易知°=Ð=Ð60B AOM ，故△AOM 为正三角形，为正三角形，∴CM AM OA OM ===．易证MAI MIA Ð=Ð，∴MI MA =． 同理，MI MC =，即C I O A ,,,在以M 为圆心，R 为半径的圆上，为半径的圆上，设AI 的延长线交⌒BC 于F ，则AF 、AE 分别为A Ð的内、外角平分线，°=Ð90EAF ，即EF 为⊙O 的直径，∴AOE OFI OAI Ð=Ð=Ð21．又在⊙M 中，OMI OAI Ð=Ð21，∴OMI AOE Ð=Ð，但⊙M 与⊙O 为等圆，故OI AE =．（2）连接FC ，同上易证FC IF =，又°=Ð=Ð60ABC IFC ，∴△IFC 为等边三角形，IF IC = ∵)60(21)(212121°-Ð=Ð-Ð=Ð=Ð=ÐC AMO AMI OMI AOE AFE ，记AFE Ð为q∴AF AE AF IA AE IC IA IO +=++=++)cos (sin 2cos 2sin 2q q q q +=+=R R R)152sin(22)45sin(22°+=°+=CR R q由C A Ð<Ð知，°<Ð<°12060C ，从而有°<Ð<°602130C ，即°<°+Ð<°75152145C∴°<++<°75sin 2245sin 22R IC IA IO R ，又46275sin +=°，故R IC IA IO R )31(2+<++<． 例2．锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ．，OMN ABC Ð=Ð4OMN ACB Ð=Ð6．求OMN Ð．【解】设q =ÐOMN ，则q 4=ÐABC ，q 6=ÐACB ，q 10180)(180-°=Ð+Ð-°=ÐACB ABC BAC又q 1018021-°=Ð=Ð=ÐBAC BOC NOC ；q 82=Ð=Ð=ÐABC AOC MOC从而qq q 2180)10180(8-°=-°+=ÐMONOMN OMN MON ONM Ð==+-°-°=Ð+Ð-°=Ðq q q )2180(180)(180即OMN D 为等腰三角形，OC OA OM ON 2121=== ∵°=Ð90ONC ，∴°=Ð60NOC ，又∵q 10180-°=ÐNOC ，∴°==Ð12q OMN 例3．如图I O ,分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高。
三角形五心及其性质
三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形垂心的性质设△ABC的三条高为AD、BE、CF，其中D、E、F为垂足，垂心为H，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；3、垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。
4、△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH•HD=BH•HE=CH•HF。
5、H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
6、△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。
7、在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP•tanB+AC/AQ•tanC=tanA+tanB+tanC。
8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。
三角形重心已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。
求证：F为AB中点。
证明：根据燕尾定理，S△AOB=S△AOC，又S△AOB=S△BOC，∴S△AOC=S△BOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，命题得证。
重心的几条性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
(完整版)三角形“四心”定义与性质
三角形“四心”定义与性质所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。
当三角形是正三角形时, 四心重合为一点，统称为三角形的中心。
一、 三角形的外心定义：三角形三条中垂线的交点叫外心，即外接圆圆心。
MBC 的重心一般用字母O 表示。
性质：1. 外心到三顶点等距，即Q4 = OB = OC 。
2. 外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一 边，即OD 丄BCQE 丄AC,OF 丄A3.3. ZA = -ZBOC^B = -ZAOC,ZC = -ZAOB 02 2 2二、 三角形的内心定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。
AABC 的内心一 般用字母/表示，它具有如下性质：性质：1. 内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。
2. 三角形的面积=丄＞＜三角形的周长x 内切圆的半径. 23. AE=AF 、BF = BD 、CD = CE ；AE+BF+CD =三角形的周长的一半。
4. ZB/C = 9(T + 1zA ZC/A = 9(T+丄ZB, ZAIB = W +-ZC o 2 2 2三、 三角形的垂心 定 义：三角形三条髙的交点叫重心。
AABC 的重心一般用字母H 表示。
性质：1. 顶点与垂心连线必垂直对边，即 丄 BC 、BH 丄 AC,CH 丄 AB.2. A ABH 的垂心为C, ABHC 的 垂心为A ♦ △ ACH 的垂心为B °D A四.三角形的“重心I定义：三角形三条中线的交点叫重心。
A4BC的重心一般用字母G表示。
性质：1.顶点与重心G的连线必平分对边。
2. 重心左理：三角形重心与顶点的距藹等于它与对边中点的距离的2倍。
即GA = 2GD、GB = 2GE. GC = 2GF3. 重心的坐标是三顶点坐标的平均值.即/愛严佻=心严.4•向量性质：(1) GA + GB + GC =0^(2) ~PG = ^(PA+~PB+PC),S乌GC= S」CGA = $A4GB = §^AABC °五、三角形“四心”的向虽形式：结论1：若点0为AABC所在的平而内一点，满足刃•胡=亦•况=龙•刃则点0为AABC的垂心。
三角形的各种心
三角形共有五心：
内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
性质：到三边距离相等。
外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。
性质：到三个顶点距离相等。
重心：三条中线的交点。
性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
垂心：三条高所在直线的交点。
性质：此点分每条高线的两部分乘积
旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
性质：到三边的距离相等。
6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心到三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心，或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。
三角形各个心的定义及性质
三角形的重心是三角形三条中线的交点。
三角形的重心的性质1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：〔Z1+Z2+Z3〕/35.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。
6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
三角形的内心的性质1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r3.r=2S/(a+b+c)△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 △=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径)三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。
三角形的外心的性质1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。
3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合4.OA=OB=OC=R5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA△ABC=abc/4R三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。
三角形的垂心的性质1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。
三角形五心定律—搜狗百科
三角形五心定律—搜狗百科
三角形五心定律三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。
外心的性质：
1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。
2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。
3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。
4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。
c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三顶点的距离相等。
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三角形各种心的性质归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII三角形各种心的性质研究一、基础知识三角形的心是指重心、外心、垂心、旁心和界心．三角形的心是三角形的重要几何点．在数学竞赛中，有关三角形的心的几何问题是竞赛的热点问题，因此，我们对三角形的心的几何性质做概括归纳，对有关的证明方法和解题技巧做深入探讨．1．重心：设G 是ABC ∆的重心，AG 的延长线交BC 于D ，则，DC BD =)1(， （ 2）3:2:=AD AG ；（3）4222222BC AC AB AD -+=，（4）3ABC GBC S S ∆∆=．2.外心：设⊙O （R ）是ABC ∆的外接圆，BC OD ⊥于D 交⊙O 于E ，则 （1）R OC OB OA ===；（2）A BOC ∠=∠2或)180(20A ∠-；（3）DC BD =⌒BE =⌒EC ；（4）C B A R RabcS ABC sin sin sin 24==∆（正弦定理）3.内心：设ABC ∆的内心圆⊙I （)r 切边AB 于P ，AI 的延长线交外接圆于D ，则 （1）A BIC ∠+︒=∠2190; (2)a c b a a c b A r AP -++=-+=∠=)(21221cot ；(3)DC DI DB ==；(4)2)(c b a r S ABC ++=∆;4.垂心：设H G O ,,分别是ABC ∆的外心，重心，垂心，BC OD ⊥于D ，AH 的延长线交外接圆于1H ，则，（1）OD AH 2=；（2）H 与1H 关于BC 成轴对称；（3）⊙=BCH ⊙ABC ；（4）,,,H G O 三点共线，且2:1:=GH OG ；5．旁心：设ABC ∆在A ∠内的旁切圆⊙1I （)1r 与AB 的延长线切于1P ，则，（1）A C BI ∠-=∠219001；（2）2211c b a A ctg r AP ++=∠=；（3）21c b a BP -+=；（4）21CB AI ∠=∠；（5）2)(1a c b r S ABC -+=∆6．三角形中内切圆、旁切圆和外圆半径的几个关系在△ABC 中，内切圆⊙O 分别与三边相切于点K M ,L ，BC 边上的帝切圆⊙a O 与BC 边切于点H ，且分别与AB 边和AC 这的延长线相切于点Q 、点P ．设三边BC 、CA 、AB 分别为c b a ,,，C B A ∠∠∠,,分别为γβα,,，)(21c b a p ++=，内切圆半径为r ，旁切圆半径分别为c b a r r r ,,，外接圆半径为R ，三角形面积为∆S ，则有如下关系式：（1）p AP =，a p AK -=，c b LH -=；（2）ap rpr a -=；（3）直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半；（4）))((1c p b p rr a --=；（5）c b a r r r r 1111--=；（6）2tan2tanγβ⋅=r r aM7．界心如果三角形一边上的一点和这边对的顶点把三角形的周界分割为两条等长的折线，那么就称这一点为三角形的周界中点．其中三角形的周界是指由三角形的三边所组成的围．由于三角形的任意两边之和大于第三边，可知三角形任一边上的周界中点必介于这边两端点之间．三角形的顶点与其对边的周界中点的连线，叫三角形的周界中线（有时也称周界中线所在直线为三角形的周界中线）．三角形的周界中线交于一点．定义：称三角形的周界中线的交点为三角形的界心． 二、例题分析例1．设△ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I ，︒=∠60B ，C A ∠<∠，A ∠的外角平分线交圆O 于E ，证明：（1）AE IO =；（2）R IC IA IO R )31(2+<++<．【证明】（1）延长BI 交外接圆于M ，连结Am OM OA ,,，易知︒=∠=∠60B AOM ，故△AOM 为正三角形，∴CM AM OA OM ===．易证MAI MIA ∠=∠，∴MI MA =． 同理，MI MC =，即C I O A ,,,在以M 为圆心，R 为半径的圆上，设AI 的延长线交⌒BC 于F ，则AF 、AE 分别为A ∠的内、外角平分线，︒=∠90EAF ，即EF 为⊙O 的直径，∴AOE OFI OAI ∠=∠=∠21． 又在⊙M 中，OMI OAI ∠=∠21，∴OMI AOE ∠=∠，但⊙M 与⊙O 为等圆，故OI AE =． （2）连接FC ，同上易证FC IF =，又︒=∠=∠60ABC IFC ，∴△IFC 为等边三角形，IF IC = ∵)60(21)(212121︒-∠=∠-∠=∠=∠=∠C AMO AMI OMI AOE AFE ，记AFE ∠为θ ∴AF AE AF IA AE IC IA IO +=++=++)cos (sin 2cos 2sin 2θθθθ+=+=R R R)152sin(22)45sin(22︒+=︒+=CR R θ 由C A ∠<∠知，︒<∠<︒12060C ，从而有︒<∠<︒602130C ，即︒<︒+∠<︒75152145C∴︒<++<︒75sin 2245sin 22R IC IA IO R ，又46275sin +=︒， 故R IC IA IO R )31(2+<++<．例2．锐角△ABC 的外心为O ，线段BC OA ,的中点分别为M 、N ．，OMN ABC ∠=∠4OMN ACB ∠=∠6．求OMN ∠．【解】设θ=∠OMN ，则θ4=∠ABC ，θ6=∠ACB ，θ10180)(180-︒=∠+∠-︒=∠ACB ABC BAC又θ1018021-︒=∠=∠=∠BAC BOC NOC ；θ82=∠=∠=∠ABC AOC MOC从而θθθ2180)10180(8-︒=-︒+=∠MONOMN OMN MON ONM ∠==+-︒-︒=∠+∠-︒=∠θθθ)2180(180)(180即OMN ∆为等腰三角形，OC OA OM ON 2121===∵︒=∠90ONC ，∴︒=∠60NOC ，又∵θ10180-︒=∠NOC ，∴︒==∠12θOMN例3．如图I O ,分别为△ABC 的外心和内心，AD 是BC 边上的高。
I 在线段OD求证：△ABC 的外接圆半径等于BC 边上的旁切圆半径。
证明（1）记b CA a BC c AB ===,,，设AI 的延长线交△ABC 的外接圆O 于K ，则OK 是圆O 的半径，记为R ，因为OK ⊥BC ，所以OK ∥AD ，从而 C B RB c IK AI sin sin 2sin == (1) ABI ∠=2B IBC =∠，CBK ∠=2ACAK =∠，∠AKB =∠C ACB ∠=，∠2A BAK =，所以2sin 212sin 21B A BI BK B BI AB S S IK AI KBIABI +⋅⋅⋅⋅⋅==∆∆2sin 2sin2sin 22cos 2sin 2sin sin 2cos 2sin A C B C B A C C B BK AB =⋅=⋅= （2）由（1）、（2）得2sin2sin2sin 2sin sin 2A C B C B =，所以12cos 2cos 2sin 4=C B A 设△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ，则)(21sin 21a c b r S A bc a ABC -+==∆。
所以AC B CB A R a c b A bc r a sin sin sin sin sin sin 2sin -+⋅=-+=2cos2sin 22cos 2sin 2sin sin sin 2C B C B C B C B CB A R ++--+=R CB A RC B C B C B A R ==⋅+=2cos 2cos 2sin 42sin2sin 22sin sin sin sin ，即△ABC 的外接半径等于BC 边上的旁切圆半径。
证明（2）记b CA a BC c AB ===,,，△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ，△ABC 的BC 边上的高为a h ，设AI 交BC 于P ，交外接圆于K ，连BK ，OK ⊥BC ，R OK =，cb abPC +=，IK BK =，△AKB ∽△ACP ，又由AD ⊥BC ，知OK ∥AD ，有IK AI OK AD =，即BKAKIK AK OK OK AD ==+,但△AKB ∽△ACP ，有a cb cb ab b PC AC BK AK +=+==，代入上式，得ac b R R h a +=+，a ABC a r a c b S a c b ah R =-+=-+=∆2 即△ABC 的外接半径等于BC 边上的旁切圆半径。
证明（3）b CA a BC c AB ===,,，△ABC 的BC 边上的旁切圆半径为a r ，△ABC 的外接半径R ，作1II ⊥BC 于1I ，1OO ⊥BC 于1O 。
∵∠OAC =ABC ∠902∠1800-=-AOCB A D ∠= ∴=DA I ∠OAI ∠，∴111O I DI IO DIAO AD ==。
B c bc a BD BI DI cos 211⋅--+=-=a a c b c b a c b a b c a 2))((22222-+-=-+--+=2221111cb bc a a BI BO O I -=-+-=-=， ∴a c b S a c b a AD AO R a a c b AOAD ABC -+=-+⋅==-+=∆2, 又)(21a cb r S a ABC -+=∆，∴a ar a c b a c b r R =-+-+=)(。
证明（4）记b CA a BC c AB ===,,，设AI 的延长线交△ABC 的外接圆O 于K ，连OK 交BC 于1O ，则OK ⊥BC ，作1II ⊥BC 于1I ，则AD ∥1II ∥OK ，由O I D ,,三点共线， ∴OK ADIO DI O I DI ==111，∵B c bc a BD BI DI cos 211⋅--+=-=a a c b c b a c b a b c a 2))((22222-+-=-+--+=2221111c b b c a a BI BO O I -=-+-=-=，∴R AD a a c b =-+， 故a c b S a c b a AD R ABC -+=-+⋅=∆2，又)(21a c b r S a ABC -+=∆，∴a ar a c b a c b r R =-+-+=)(。