2018年高考数学人教A版一轮复习课时分层提升练 四十四B卷 7-6平行、垂直的综合问题 含解析 精品

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课时分层提升练四十四

平行、垂直的综合问题(B卷)

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共15分)

1.已知a,b是两条不重合的直线,α,β,γ是三个两两不重合的平面,则下列命题成立的是( )

A.若a⊥α,a⊥β,则α∥β

B.若α⊥γ,γ⊥β,则α∥β

C.若m∥α,m∥β,则α∥β

D.若α∩β=l,a⊂α,b⊂β,a⊥l,则a⊥b

【解析】选A.垂直于同一条直线的两个平面平行.

2.(2017·荆州模拟)若直线a∥平面α,a∥平面β,α∩β=直线b,则( )

A.a∥b或a与b异面

B.a∥b

C.a与b异面

D.a与b相交

【解析】选B.a∥b.理由如下:

如图,

过a作平面γ交平面α于c,

因为a∥α,所以a∥c.

过a作平面ε交平面β于d,

因为a∥β,所以a∥d.

所以c∥d.又c⊄β,d⊂β,

所以c∥β又c⊂α,α∩β=b,

所以c∥b,所以a∥b.

3.已知矩形ABCD,AB=1,BC=错误！未找到引用源。,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中( )

A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直

B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直

C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直

D.对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直【解析】选B.A错误.理由如下:过A作AE⊥BD,垂足为E,

若直线AC与直线BD垂直,则可得BD⊥平面ACE,

于是BD⊥CE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直.

B正确.理由:翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC⊥平面BCD,此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC,于是有AB⊥CD.故B正确.

C错误.理由如下:若直线AD与直线BC垂直,则由BC⊥CD可知BC⊥平

面ACD,于是BC⊥AC,但是AB

由以上分析显然D错误.

二、填空题(每小题5分,共15分)

4.已知a,b,l表示三条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,有下列三个命题:

①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;

②若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;

③若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,则l⊥α.

其中正确命题的序号是________.

【解析】①在正方体A1B1C1D1-ABCD中,可令平面A1B1CD为α,平面DCC1D1为β,平面A1B1C1D1为γ,又平面A1B1CD∩平面DCC1D1=CD,平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1=C1D1,则CD与C1D1所在的直线分别表示a,b,因为CD∥C1D1,但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行,即α与γ不平行,故①错误.

②因为a,b相交,假设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,②正确.

③当a∥b时,l垂直于平面α内两条不相交直线,不能得出l⊥α,③错误.

答案:②

5.(2017·汉中模拟)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD,则EF与AA1的位置关系是________. 【解析】因为AA1⊥平面ABCD,EF⊥平面ABCD,

所以AA1∥EF.

答案:平行

6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B1的中点,则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________.

【解析】如图,取CD的中点F,连接EF交平面ABC1D1于O,连接AO.

由已知正方体易知EO⊥平面ABC1D1,

所以∠EAO为AE与平面ABC1D1所成的角,

设正方体棱长为1,在Rt△EOA中,

EO=错误！未找到引用源。EF=错误！未找到引用源。A1D=错误！未找到引用源。,AE=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。, sin∠EAO=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.所以直线

AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为错误！未找到引用源。.

答案:错误！未找到引用源。

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.如图,在三棱锥P-ABC中,E,F,G,H分别是AB,AC,PC,BC的中点,且PA=PB, AC=BC.

(1)证明:AB⊥PC.

(2)证明:平面PAB∥平面FGH.

【证明】(1)连接EC,则EC⊥AB,

又因为PA=PB,所以AB⊥PE,所以AB⊥面PEC,

因为PC⊂面PEC,所以AB⊥PC.

(2)设FH交EC于O,连接GO.由题意可知FH∥AB,

在△PEC中,GO∥PE,因为PE∩AB=E,GO∩FH=O,所以平面PAB∥平面FGH.

8.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.

(1)证明:平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°,求三棱锥F-AEC的体积.

【解析】(1)如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以AE⊥BB1,又E是正三角形ABC的边BC的中点,

所以AE⊥BC,因此AE⊥平面B1BCC1,而AE⊂平面AEF,

所以平面AEF⊥平面B1BCC1.

(2)设AB的中点为D,连接A1D,CD,因为△ABC是正三角形,

所以CD⊥AB,又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,

所以CD⊥AA1,

因此CD⊥平面A1ABB1,

于是∠CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角,由题设知∠CA1D=45°, 所以A1D=CD=错误！未找到引用源。AB=错误！未找到引用源。,

在Rt△AA1D中,AA1=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,

所以FC=错误！未找到引用源。AA1=错误！未找到引用源。,

故三棱锥F-AEC的体积V=错误！未找到引用源。S△AEC×FC=错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。×错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。.