【优化方案】2012高中数学 第2章2.3.2知能优化训练 苏教版必修4

1．若向量a ＝(1，－2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是__________．
解析：设始点坐标为(x ，y )，则(0－x,0－y )＝(1，－2)，则⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝2.
答案：(－1,2)
2．已知点A (1，－3)和向量a ＝(3,4)，若AB →
＝2a ，则点B 的坐标为__________．
解析：AB →＝2a ＝2(3,4)＝(6,8)，所以OB →＝OA →＋AB →
＝(1，－3)＋(6,8)＝(7,5)． 答案：(7,5)
3．已知a ＝(－3,4)，则a 的相反向量的坐标为__________． 答案：(3，－4)
4．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －3
2
b ＝__________.
解析：12a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，32b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－32，
故12a －3
2
b ＝(－1,2)． 答案：(－1,2)
一、填空题
1．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，
∴λa ＋b ＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)． ∵向量λa ＋b 与向量c ＝(－4，－7)共线， ∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.∴λ＝2. 答案：2
2．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解为λ1e 1
＋λ2e 2的形式为__________．
解析：设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R)， 则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3) ＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ
1
＝1
7
，λ
2＝47
.
∴a ＝17e 1＋47
e 2.
答案：a ＝17e 1＋4
7
e 2
3．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为__________．
解析：不妨设5秒后移动到点P ′.据题意有：PP ′→
＝tv ＝t (4，－3)＝(4t ，－3t )．由于点P 的运动方向与v 同向且速度为每秒|v |＝5个单位，故5秒运动25个单位，即：|PP ′|
＝25，∴25t 2＝252
，∴t ＝±5，
又∵PP ′→
与v 同向，∴t ＝5，
∴PP ′→
＝5(4，－3)＝(20，－15)， ∴P ′(10，－5)． 答案：(10，－5)
4．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →
＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝__________.
解析：AB →＝(4－k ，－7)，AC →＝(－2k ，－2)，又A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →
.所以(－
2)×(4－k )－(－7)×(－2k )＝0，所以k ＝－2
3
.
答案：－2
3
5．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1
b
等于__________．
解析：AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，∵AB →∥AC →
，∴(a －2)(b －2)－4＝0，∴ab
－2(a ＋b )＝0，该等式两边同除以ab ，可得ab －a ＋b ab ＝0，∴1－2(1a ＋1
b
)＝0，
∴1a ＋1b ＝1
2
. 答案：12
6．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝__________.
解析：因为a ∥b ，所以1∶(－2)＝2∶m ，所以m ＝－4，所以b ＝(－2，－4)，所以2a ＋3b ＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
答案：(－4，－8)
7．已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R}，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R}是两个向量集合，则P ∩Q 等于________．
解析：因为a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n )，若a ＝b ，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
1－n ＝1
1＋n ＝m ，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
n ＝0
m ＝1.得P ∩Q
＝{(1,1)}．
答案：{(1,1)}
8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1,2)⊗m ＝(5,0)，则(1,2)⊕m 等于__________．
解析：由(1,2)⊗m ＝(5,0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
p ＝1，q ＝－2，∴(1,2)⊕m ＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案：(2,0) 二、解答题
9．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →
，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限内？
(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．
解：(1)由已知得：OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，则OP →＝OA →＋tAB →
＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在
x 轴上，只需2＋3t ＝0，则t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，则t ＝－1
3
；若P 在第
二象限内，只需1＋3t ＜0，且2＋3t ＞0，解得－23＜t ＜－1
3
.
(2)OA →＝(1,2)，OB →＝(4,5)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )，则PB →＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP
为平行四边形，只需OA →＝PB →
，即⎩
⎪⎨⎪⎧
3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解，故四边形OABP 不能组成平
行四边形．
10．已知向量AB →＝(4,3)，AD →
＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；
(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →
(λ∈R)，求y 与λ的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)． ∵AB →
＝(4,3)，A (－1，－2)， ∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝3，y 1＝1. ∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)． 设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，
则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，
∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)∵PB →
＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，PB →＝λBD →， ∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＝－7λ，1－y ＝－4λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝－1
7，y ＝3
7.
11．已知三点A ，B ，C 的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝
1
3
BC →.求证：EF →∥AB →.
证明：设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由题意，得AC →＝(1－(－1)，2－0)＝(2,2)，AB →
＝(3－
(－1)，－1－0)＝(4，－1)，BC →＝(1－3,2－(－1))＝(－2,3)．因为AE →＝13AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
23，23，所
以(x 1
－(－1)，y 1
－0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，所以⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋1＝2
3，y 1
＝23，
得点E 坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，23.因为BF →＝
13BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以(x 2－3，y 2－(－1))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1，所以⎩⎪⎨
⎪⎧
x 2－3＝－23，y 2＋1＝1，得点F 坐标为
⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0，所以EF →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫73－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13，0－23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－23. 因为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－8
3×(－1)＝0，所以EF →∥AB →.。