数学-高一-陕西省西安三十三中高一(下)第一次月考数学试卷
陕西省西安市高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
高一数学试题说明：1．本试卷共4页，考试时间100分钟，满分100分. 2．请将所有答案都涂写在答题卡上，答在试卷上无效.第I 卷（选择题）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 在平行四边形中，为上任一点，则等于（） ABCD M ABAM DM DB -+ A.B.C.D.BC AB AC AD【答案】B 【解析】【分析】根据相反向量的意义及向量加法的三角形法则，化简可得答案． AM DM DB -+【详解】 AM DM DB -+ AM MD DB =++ AD DB AB =+=故选：．B 2. 对于任意的平面向量，下列说法正确的是（ ） ,,a b cA. 若且，则B. 若，且，则//a b //b c //a c a b a c ⋅=⋅0a ≠b c =C. 若且，则D.a b = b c = a c = ()()a b c a b c ⋅=⋅【答案】C 【解析】【分析】平面向量共线的传递性可得A 错误，由向量数量积的定义可判断B ，根据向量相等的概念可判断C ，根据数量积及共线向量的概念可判断D.【详解】对A ，若且，则当为零向量时，与不一定共线，即A 错误；//a b //b c b a c 对B ，若，则，a b a c ⋅=⋅ cos ,cos ,a b a b a c a c ⋅=⋅ 又，所以，0a ≠ cos ,cos ,b a b c a c = 因为与的夹角不一定相等，所以不一定成立，即B 错误；,b c a b c =对C ，若且，则，即C 正确；a b =b c =a c =对D ，因为与共线，与共线，()c a b ⋅ c ()a b c ⋅a 所以不一定成立，即D 错误.()()a b c a b c ⋅=⋅故选：C ．3. 内角的对边分别为，已知，则（ ） ABC A ,,A B C ,,a b c 222b c a bc +-=A =A.B.C.D.6π56π3π23π【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理求出，再求出即可.cos A A 【详解】,，，.222b c a bc +-= 2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===0A π<< 3A π∴=故选：C4. 已知边长为3的正，则（ ） 2ABC BD DC= A ，AB AD ⋅=A. 3B. 9C.D. 6152【答案】D 【解析】【分析】由数量积的运算律化简后求解【详解】由题意得，2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+故，AB AD ⋅= 1233AB AB AB AC ⋅+⋅221233cos60633=⨯+⨯⨯︒=故选：D5. 在中，已知，且，则是（ ）ABC A ||||AB AC AB AC +=-sin 2sin cos A B C =ABC A A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】C 【解析】【分析】由两边平方得，由化简得，得||||AB AC AB AC +=- AB AC ⊥sin 2sin cos A B C =B C =为等腰直角三角形.ABC A 【详解】由得，所以，所以||||AB AC AB AC +=-()()22AB ACAB AC +=- 0AB AC ⋅= AB AC⊥，所以为直角三角形；ABC A 由得，sin 2sin cos A B C =()()sin πsin 2sin cos B C B C B C --=+=所以 ，所以， sin cos cos sin 2sin cos +=B C B C B C sin cos cos sin 0B C B C -=即，因为，所以，所以为等腰三角形； ()sin 0B C -=π<πB C --<0B C -=ABC A 综上，为等腰直角三角形. ABC A 故选：C6. 在中，已知，D 为BC 中点，则（ ） ABC A π2,3,3AB AC A ==∠=AD =A. 2B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据边长和角先求出，根据D 为BC 中点，可知，两边同时平方，将AB AC ⋅u u u r u u u r()12AD AB AC =+ 数带入计算结果即可.【详解】解：因为，所以， π2,3,3AB AC A ==∠=1cos 2332AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=⋅⋅= 因为D 为BC 中点，所以,两边同时平方可得：()12AD AB AC =+，(()2211192469444AD AB AB =+⋅⋅=++=所以AD = 故选:D7. 己知向量均为单位向量，且．向量与向量的夹角为，则的最大值为,a b12a b ⋅= - a c b c - π6a c - （ ）A.B. 1C.D. 2【答案】D 【解析】【分析】设，，.从而得到等边三角形,进一步可得的轨迹是两段圆弧,画出OA a = OB b =OC c = OAB A C 示意图可知当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，从而可解.A AB ||a c -【详解】向量,向量均为单位向量， 12a b⋅=,a b,.111cos ,2a b ∴⨯⨯<>= π,3a b ∴<>=如图，设.则是等边三角形. ,,OA a OB b OC c ===OAB A 向量满足与的夹角为, .c -a cbc -π6π6ACB ∠=∴因为点在外且为定值,C AB ACB ∠所以的轨迹是两段圆弧,是弦AB 所对的圆周角.C ACB ∠因此：当AC 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|, A AB ||a c -在中,由正弦定理可得:ABC A . 2sin 30ABAC ︒==取得最大值2.|a c ∴- ∣故选：D【点睛】关键点睛：设，关键能够根据已知条件确定的轨迹是弦AB 所对的两段圆弧,从而确定当AC ,,OA a OB b OC c ===C 是所在圆(上述圆弧)的直径时,取得最大值|AC|，即可求解.A AB ||a c -8. 已知a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 的对边，若且，则ABC A (cos )a C C b c =+5a =的周长的最大值为（ ）ABC A A. 15 B. 16C. 17D. 18【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理，两角和公式及辅助角公式可得，然后根据余弦定理及基本不等式可得60A =︒，即得.10b c +≤【详解】由已知及正弦定理得，sin cos sin sin sin A C A C B C +=+∴， ()sin cos sin sin sin sin cos cos sin sin A C A C A C C A C A C C +=++=++，因为， sin cos sin sin A C A C C =+sin 0C ≠，即，因为， cos 1A A -=()1sin 302A -︒=3030150A -︒<-︒<︒所以，从而，3030A -︒=︒60A =︒由余弦定理得，即，2222cos a b c bc A =+-()222253b c bc b c bc =+-=+-又，2332b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∴，即， ()()22134b c bc b c +-≥+()21254b c ≥+∴，当且仅当时等号成立，从而， 10b c +≤5b c ==15a b c ++≤∴的周长的最大值为15. ABC A 故选：A.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的符0分.）9. 在中，，则角B 的值可以是（ ） ABC A π10,6a c A ===A.B.C.D.π12π47π123π4【答案】AC 【解析】【分析】由已知结合正弦定理可求C ，然后结合三角形的内角和定理可求.【详解】∵， π10,6a c A ===由正弦定理可得 ，得 ， sin sin a c A C =10sin C =sin C =∵，∴， a c <A C <则或，由，则角或． π4C =3π4C =πB A C =--7π12=B π12B =故选：AC.10. 若向量满足，则（ ）,a b||||2,||a b a b ==+=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=- a bπ3C. D. 在上的投影向量为(2)a a b ⊥-a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求2a b ×=a b 解投影向量即可得结论.【详解】因为，所以||||2==r r a b a b +====则，故A 不正确；2a b ×=又，，所以，即与的夹角为，故B 正21cos ,222a b a b a b ⋅===⨯⋅0,πa b ≤≤ π,3a b = a b π3确；又，所以，故C 正确；2(2)24220a a b a a b ⋅-=-⋅=-⨯=(2)a a b ⊥- 又在上的投影向量为，故a b - b ()221cos ,2a b b b b a b b a b a b b a bb b ba b bb b-⋅⋅---⋅=-⋅=⋅=--⋅D 不正确. 故选：BC.11. 中，为上一点且满足，若为线段上一点，且（ABC A D AB 3AD DB =P CD AP AB AC λμ=+λ，为正实数），则下列结论正确的是（ ）μA.B.1344CD CA CB =+432λμ+=C. 的最大值为 D.的最小值为3 λμ112113λμ+【答案】AD 【解析】【分析】由题设结合三点共线可得，再应用基本不等式求、43AP AD AC λμ=+433λμ+=λμ的最值，利用向量加减、数乘的几何意义求的线性关系. 113λμ+,,CD CA CB【详解】由题设，可得，又三点共线， 43AP AD AC λμ=+,,D P C ∴，即，B 错误； 413λμ+=433λμ+=由，为正实数，，则，当且仅当时等号成立，故C 错λμ433λμ+=≥316λμ≤31,82λμ==误；，当且仅当时等号成1111111(3)(5)(5333333343λμλμλμλμμλ+=++=++≥+=32μλ=立，故D 正确；，又，14CD CB BD CB BA =+=+ BA BC CA =+ ∴，故A 正确.131()444CD CB BC CA CB CA =++=+故选：AD.12. 在中，若，下列结论中正确的有（ ） ABC A ::4:5:6a b c =A. B. 是钝角三角形sin :sin :sin 4:5:6A B C =ABC AC. 的最大内角是最小内角的2倍D. 若，则 ABC A 6c =ABC A 【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦定理，余弦定理逐一判断即可.【详解】根据正弦定理由，因此选项A 正确； ::4:5:6sin :sin :sin 4:5:6a b c A B C =⇒=设，所以为最大角，4,5,6a k b k c k ===C ，所以为锐角，因此是锐角三角形，2222221625361cos 022458a b c k k k C ab k k +-+-===>⋅⋅C ABC A 因此选项B 不正确；，显然为锐角，2222222536163cos 22564b c a k k k A bc k k +-+-===⋅⋅A，23cos 2cos 1cos cos 224C C C A =-⇒====因此有，因此选项C 正确； 22CA C A =⇒=由1cos sin 8C C =⇒===外接圆的半径为：D 正确，ABC A 112sin 2c C ⋅==故选：ACD【点睛】关键点睛：根据正弦定理、余弦定理是解题的关键.第II 卷（非选择题）三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）13. 已知向量，，当时，__________.(1,2)a =- (sin ,cos )b αα= a bA tan α=【答案】## 12-0.5-【解析】【分析】由向量平行可得，进而可求出结果.2sin cos -=αα【详解】由可得，，得，//a b 2sin cos -=αα1tan 2α=-故答案为：. 12-14. 向量的夹角为，且，则等于__________．a b ，π3||1,||2a b == ||a b - 【解析】【分析】由向量的数量积的定义可得，再由向量的平方即为模的平方，计算化简即可得到所求·1a b =值．【详解】向量，的夹角是，，，a bπ3||1a = ||2b = 则， π1||||cos 12132a b a b ==⨯⨯=AA 则22||()a b a b -=-，22212143a a b b =-+=-⨯+= A即有||a b -=15. 已知中，，若满足上述条件的三角形有两个，则的范围是__________． ABC A π,23A AB ==BC【答案】)2【解析】【分析】由已知可得,从而得解. sin A AB BC AB ⋅<<【详解】解：如图所示，作，交于点为，垂足为，若要满足题π3A ∠=,BC AB '=AD 'C BC AC '''⊥C ''意，则有， sin BC A AB BC AB BC '''=⋅<<=易知∴的范围是.2,BC BC '''==BC )2故答案为：)216. 在中，，，，则的面积为__________．ABC A 1AB =3BC =1AB BC ⋅=-ABC A【解析】【分析】根据平面向量的夹角公式可求得，从而可得到，再根据三角形的面积公式即可求解．cos B sin B 【详解】依题意可得，解得，()()=cos π=13cos =1AB BC AB BC B B ⋅⋅⋅-⨯⨯-- 1cos =3B又，所以， ()0,πB ∈sin B所以的面积为 ABC A 11sin 1322ABC S AB BC B =⋅⋅⋅=⨯⨯=A．17. 如图，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点B 和C ，在B 点处观测到C 的方位角为，B155︒点和C 点相距25千米．某日两个观测站都观测到了A 处出现火情，在B 点处观测到A 的方位角为125︒．在C 点处，观测到A 的方位角为，则观测站C 与火情A 之间的距离为________．80︒【解析】【分析】由正弦定理求解即可【详解】在中，，，ABC A 15512530ABC ∠=-=︒︒︒180********BCA ∠=︒-︒+︒=︒，，1803010545BAC ∠=︒-︒-︒=︒25BC =由正弦定理可得，即，sin sin AC BCABC BAC =∠∠25sin 30sin 45AC =︒︒所以， 25sin 30sin 45AC ⨯︒==︒所以观测站与火情之间的距离为千米 C A故答案为18. 如图，在平面四边形中，，，，若点ABCD AB BC ⊥AD CD ⊥60BCD ∠=︒CB CD ==为边上的动点，则的最小值为_______.M BC AM DM ⋅【答案】 214【解析】【分析】如图所示，以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，求出， ，B BA x BC y A D C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出．【详解】如图所示：以为原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，B BA x BC y 过点作轴，过点作轴，D DP x ⊥D DQ y ⊥∵，，，AB BC ⊥AD CD ⊥120BAD ∠=︒CB CD ==∴，，，，()00B ，()20A ，(0,C (D 设，则，，()0,M a ()2,AM a =- (3,DM a =-故，故答案为． (22121644AM DM a a a ⎛⋅=+=+≥ ⎝ 214【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19. 已知(2,4),(3,1)a b ==- （1）设的夹角为，求的值；,a b θcos θ（2）若向量与互相垂直，求k 的值．k + a b - a kb 【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；（2）根据垂直的数量积表示及模长即可解出．【小问1详解】 ，()23412a b ⋅=⨯-+⨯=- ，a ==b ==因为，所以cos a b a b θ⋅=⋅⋅ cos a b a b θ⋅===⋅ 【小问2详解】因为向量与互相垂直，所以， a kb +r r a kb - ()()2220a kb a kb a k b +⋅-=-= 所以，即，解得：.222a k b= 22010k =k =20. 已知在△ABC 中，D 为边BC 上一点，，，． 3CD =23AC AD ==1cos 3CAD ∠=（1）求AD 的长；（2）求sinB ．【答案】（1）2；（2【解析】 【分析】(1)在中，利用余弦定理建立方程求解即可；ACD A (2)利用(1)的结论求出，再在中由正弦定理计算可求．cos C ABC A sin B 【小问1详解】依题意，在中，由余弦定理得，ACD A 2222cos CD AC AD AC AD CAD =+-⋅⋅∠即，解得； 2223313()2223AD AD AD AD =+-⋅⋅⋅2AD =【小问2详解】在中，由(1)知，由余弦定理可得， ACD A 3AC =2222223327cos 22339AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯则有，sin C ==在中，由正弦定理得． ABC A sin sin AC B C AB ===． sin B ∴=21. 在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且__________．在ABC A①；tan tan tan tan A C A C +=②； 2ABCS BC =⋅A③. πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭这三个条件中任选一个填在横线上，补充完整上面的问题，并进行解答．（1）求角B 的大小；（2）若角B 的内角平分线交AC 于D ，且，求的最小值．1BD =4a c +【答案】（1） 2π3B =（2）9【解析】【分析】（1）若选①：根据两角和差正切公式化简已知等式可求得，由()tan A C +()tan tan B A C =-+可求得，进而得到；若选②：根据三角形面积公式和平面向量数量积定义可构造方程求得tan B B tan B ，进而得到；若选③：利用正弦定理边化角，结合诱导公式可求得，进而得到；B tan B B （2）根据，利用三角形面积公式化简可得，由ABC ABD BCD S S S =+△△△111a c+=，利用基本不等式可求得最小值. ()1144a c a c a c ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭【小问1详解】若选条件①，由得：， tan tan tan A C A C +-=)tan tan 1tan tan A C A C +=-， tan tan 1tan tan A C A C+∴=-()tan A C +=则，. ()()tan tan πtan B A C A C ⎡⎤=-+=-+=⎣⎦()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件②，由得：，2ABC S BC =⋅△ sin cos ac B B =，则，. sin ∴=B B tan B =()0,πB ∈2π3B ∴=若选条件③，，则， πcos cos 2b C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos b C B =由正弦定理得：，sin sin cos B C C B =，，，则，()0,πC ∈ sin 0C ∴≠sin ∴=B B tan B =又，. ()0,πB ∈2π3B ∴=【小问2详解】，， ABC ABD BCD S S S =+A A A 12π1π1πsinsin sin 232323ac c BD a BD ∴=⋅+⋅，，， =+a c ac ∴+=111a c ac a c +∴=+=（当且仅当，即时取等()11444559a c a c a c a c c a ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭4a c c a =23a c ==号），的最小值为.4a c ∴+922. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知． ABC A 2cos (cos cos )A c B b C a +=（1）求A ；（2）若为锐角三角形，且的取值范围． ABC A a =223b c bc ++【答案】（1）π3（2）(]11,15【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化边为角，再结合和差公式整理即可得的值，进而即可求解； cos A A （2）结合（1），先根据正弦定理得，，再根据余弦定理得，从而2sin b B =2sin c C =223b c bc +=+可得到，结合题意可得到的取值范围，从而确定的取值范22π378sin 26b c bc B ⎛⎫++=+- ⎪⎝⎭B π26B -围，再结合正弦型函数的性质即可求解．【小问1详解】根据题意，由正弦定理得()2cos (sin cos sin cos )2cos sin 2cos sin sin A C B B C A B C A A A+=+==，又在中，有，所以，ABC A ()0,πA ∈sin 0A ≠所以，所以． 1cos 2A =π3A =【小问2详解】结合（1）可得，， sin A =2ππ3B C A +=-=由，得，， a =2sin sin sin a b c A B C ===2sin b B =2sin c C =根据余弦定理有，得，2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+所以 222π334316sin sin 316sin sin 3b c bc bc B C B B ⎛⎫++=+=+=+- ⎪⎝⎭， 2π3cos 8sin 724cos 278sin 26B B B B B B ⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭又为锐角三角形，则有，，得， ABC A π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2ππ0,32B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以，所以， ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故． (]22π378sin 211,156b c bc B ⎛⎫++=+-∈ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：根据正弦定理，余弦定理将求的范围转化为求正弦型函数223b c bc ++的值域，结合题意得到的取值范围，再结合正弦型函数的性质是解答小问()π78sin 26f B B ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B （2）的关键．。
陕西省西安市高一数学下学期第一次月考试题
陕西省西安市2016-2017学年高一数学下学期第一次月考试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( ).A．恰有1名男生与恰有2名女生 B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生 D．至少有1名男生与全是女生2．下列各图中所示两个变量具有相关关系的是( )A．①②B．①③C．②④D．②③3．一个总体中共有100个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本,则某一特定个体被抽到的可能性是( )A．错误!未找到引用源。
B．错误!未找到引用源。
C．错误!未找到引用源。
D．不确定4．某班共有学生54人，学号分别为1～54号，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是( )A．10 B．16 C．53 D．325．执行下面的程序框图，输出的S＝( )A．25 B．9 C．17 D．206．如图是在一次全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，47．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（x i，y i）（ i=1，2，…，8），其回归直线方程是y=x+a且x1+x2+…+x8=6，y1+y2+…+y8=3，则实数a的值是（）A. B. C. D.8．设有一个线性回归方程为y=3-2.5x，则变量x增加一个单位时,A．y平均增加2.5个单位 B．y平均增加1个单位C．y平均减少1个单位 D．y平均减少2.5个单位9.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是（）A．错误!未找到引用源。
陕西省高一下学期第一次月考数学试题
陕西省高一下学期第一次月考数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2017高一下·淮北期末) 已知sinα= ，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A . ﹣B . ﹣C .D .2. （2分）在中，若，则的形状一定是（）A . 等边三角形B . 不含角的等腰三角形C . 钝角三角形D . 直角三角形3. （2分）下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与。
A . ①②B . ①③C . ②④D . ①④4. （2分）(2020·甘肃模拟) 被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“ 优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共14题；共14分)5. （1分） (2016高一下·珠海期末) 已知扇形的弧长是6cm，面积是18cm2 ，则扇形的中心角的弧度数是________．6. （1分） (2019高一下·上海月考) 终边在第二象限角平分线上的所有角的集合用弧度制表示为________.7. （1分）(2017·成都模拟) 已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且，则x的值是________．8. （1分） (2019高一下·上海月考) 若角与角终边相同（始边相同且为轴正半轴），且，则 ________．9. （1分） (2017高二下·鸡西期末) 已知已知sin ，α∈ ，则sin(π＋α)等于________10. （1分） (2018高一下·临沂期末) ________．11. （1分）求值sin215°+cos275°+sin15°cos75°=________．12. （1分） (2016高一下·福建期末) 已知α，β是锐角，tanα，tanβ是方程x2﹣5x+6=0的两根，则α+β的值为________．13. （1分）已知点P（1，2）在α终边上，则=________14. （1分） (2019高一下·上海月考) 化简： ________.15. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 已知tanθ=2，则sin2θ+sec2θ的值为________．16. （1分） (2017高二上·莆田月考) 将曲线按伸缩变换公式变换后得到曲线，则曲线上的点到直线的距离最小值为________.17. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知则 ________.18. （1分） (2020高三上·黄浦期末) 已知为第二象限的角, ,则 ________.三、解答题 (共5题；共40分)19. （15分） (2018高三上·通榆期中) 已知点在角的终边上，且，（1）求和的值；（2）求的值。
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高一下·宜昌期中) 计箅 cos42°cos18°﹣cos48°sin18°的结果等于（ ）A.B. C. D. 2. （2 分） (2016 高二下·哈尔滨期末) sin160°sin10°﹣cos20°cos10°的值是（ ）A.﹣ B.﹣ C.D.3. （2 分） (2018 高二上·会宁月考) 设数列 ， ，，，…，则是这个数列的（ ）A . 第6项B . 第7项C . 第8项D . 第9项4.（2 分）(2018 高一下·湖州期末) 在中，边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，若，第1页共9页，则A.B.C. D.5. （2 分） (2020·兴平模拟) 在中，角对边分别是，满足，则的面积为（ ）A.B.C. D. 6. （2 分） (2016·新课标Ⅲ卷理) 在△ABC 中，B= ，BC 边上的高等于 BC，则 cosA=（ ）A. B. C.﹣ D.﹣ 7. （2 分） (2016 高一下·黄石期中) 在△ABC 中，若 sin2A=sinB•sinC 且（b+c+a）（b+c﹣a）=3bc，则该三第2页共9页角形的形状是（ ）A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形8. （2 分） 一艘轮船按照北偏西 50°的方向，以 15 浬每小时的速度航行，一个灯塔 M 原来在轮船的北偏东10°方向上．经过 40 分钟，轮船与灯塔的距离是浬，则灯塔和轮船原来的距离为（ ）A.2 浬 B . 3浬 C . 4浬 D . 5浬9. （2 分） (2018 高一上·佛山月考) 设 正确的是（ ）,,,,则下列不等式A.B.C.D.10. （2 分） (2020·陕西模拟) 已知抛物线的焦点为 F ， 过点 F 的直线 交抛物线于 M ， N两点，直线与，的延长线交于 P ， Q 两点，则（）A.B.第3页共9页C.D.11. （2 分） (2016 高一下·枣阳期中) △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 C= 则 b 的值为（ ），3a=2c=6，A.B.C . ﹣1D . 1+12. （2 分） (2019·湖北模拟) 在中，给出下列说法：①若，则一定有形.其中正确说法的个数有（ ）；②恒有；③若A.0B.1C.2D.3二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)，则为锐角三角13. （1 分） (2019·汉中模拟) 若，则________．14. （1 分） (2016 高三上·崇明期中) 已知 a1=1，an﹣2an﹣1=2n ， 则{an}的通项公式为________．15. （1 分） (2019 高三上·安徽月考) 函数的最大值为________．16.（1 分）(2017·漳州模拟) 在△ABC 中，∠BAC=90°，BC=4，延长线段 BC 至点 D，使得 BC=4CD，若∠CAD=30°，第4页共9页则 AD=________．三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17. （10 分） (2019·和平模拟) 已知函数(Ⅰ)求在上的单调递增区间；(Ⅱ)在中，分别是角面积为，求的最小值.的对边， 为锐角，若，且的18. （5 分） (2018·天津模拟) 在中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ， 且，，的面积为．（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求的值．19. （10 分） (2019 高一下·永安月考) 已知且，.的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，（1） 若，求的值；（2） 若的面积为 ，求 ， 的值.20. （10 分） (2018 高二上·怀化期中) 在 ．中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边，（1） 求角 的大小；（2） 若，求外接圆的半径.21.（5 分）(2018 高一上·龙岩月考) 在平面四边形，．中，，，，，第5页共9页（1） 求的值；（2） 求 的长．22. （15 分） (2016 高一下·舒城期中) 已知函数 f（x）=5sinx•cosx﹣5 （1） 求 f（x）的最小正周期； （2） 求 f（x）的单调区间．（x∈R）第6页共9页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第7页共9页15-1、16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 55 分)17-1、18-1、 19-1、答案：略 19-2、答案：略第8页共9页20-1、 20-2、 21-1、答案：略 21-2、答案：略22-1、 22-2、第9页共9页。
高一下学期第一次月考数学试卷 (34)
高一下册数学第一次月考试题一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分） 1.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是 A ．AB BC CA += B ． BC CD BD += C ．AB AD AC += D ． AB AD BD -=2.设扇形的弧长为2，面积为2，则扇形中心角的弧度数是（ ） A ．1B ．4C ．1或4D ．π3.已知sin 3cos x x =，则sin cos x x 的值是( )·A. 16B. 15C. 310D. 294．设向量a ，b 满足||1,||3,()0a a b a a b =-=⋅-=，则|2|a b +=（ ） A ．2 B ．23 C ．4D ．435.函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．6.已知函数且恒过定点P ，则点P 的坐标为 A ．B ．C ．D ．7.在边长为1的正方形ABCD 中，M 为BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则EM ·EC 的取值范围是( )A.[12，2]B.[0，32]C.[12，32] D.[0,1]8.在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AB 中点，CE 交AD 于点F ，若，则λ+u=（ ） A ．B ．C ．D ．19.函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ） A ． B ． C ．D ．10.已知函数53()4321f x x x x =+++，则212(log 3)(log 3)f f +=（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1- 11.将函数y=sin （x+）cos （x+）的图象沿x 轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值不可能是（ ） A ．B ．﹣C ．D ．12.已知向量，满足||=，||=1，且对任意实数x ，不等式|+x|≥|+|恒成立，设与的夹角为θ，则tan2θ=（ ）A ．﹣B ．C ．﹣D ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知向量，的夹角为，且|=1，，|= ．14.已知，，且，则向量在向量的方向上的投影为__________．15.已知定义在R +上的函数f （x ）=，设a ，b ，c 为三个互不相同的实数，满足，f （a ）=f （b ）=f （c ），则abc 的取值范围为 16.关于函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题：①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x －π6 )； ②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6 对称. 其中正确的是 .三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17.设全集是实数集R ，集合{}R x x A x ∈≤≤=，6442 ，集合 {}R x a x x B ∈<+=,02，(1) 当 4-=a 时 ，求 B A ； (2) 若B B A C R = )(，求实数a 的取值范围.18.已知函数()x x x x x f 2cos 21cos sin 32sin 2-+=，R x ∈。
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·石城月考) 计算的结果为（ ）A.B.C. D. 2. （2 分） 化简 ﹣ + 所得的结果是（ ） A. B. C.0 D. 3. （2 分） (2016 高一下·平罗期末) 若 =（2，3）， =（﹣4，7），则 在 方向上的投影为（ ） A.B. C. D. 4. （2 分） 已知，，则（）第 1 页 共 19 页A.B.C.-D.5. （2 分） (2020 高二上·漳州期中) 在平行六面体中， 为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A.B.C.D.6. （2 分） (2020 高一下·佛山月考) 在，则等于（ ）中，M 是 的中点，A.，点 P 在上且满足B. C.D. 7. （2 分） 已知函数， 直线是函数图像的一条对称轴，则 （ ）A.B.第 2 页 共 19 页C.D.8. （2 分） (2020 高三上·赣县期中) 已知向量 ， 不共线，且向量，，若 与 反向，则实数 的值为A.1B.C . 1或D . -1 或9. （2 分） (2020·肥东模拟) 已知: A.，则的取值范围是（ ）B. C.D.10. （2 分） (2019 高二下·蕉岭月考) 在中，一点，且，则（）A.B.C.，点 为 边上D.第 3 页 共 19 页11. （2 分） (2019 高二上·宁波期末) 下列命题正确的是（ ）A.是向量 ， 不共线的充要条件B . 在空间四边形中，C . 在棱长为 1 的正四面体中，D . 设 ， ， 三点不共线， 为平面 ， ， 四点共面外一点，若12. （2 分） (2019 高一下·广东期中) 如图所示， 是所在平面外的一点，点，，的重心.则与的面积之比（ ），则 ， 分别是A. B. C. D.二、 填空题 (共 8 题；共 8 分)13. （1 分） (2020·扬州模拟) 已知 14. （1 分） (2019·泸州模拟) 若，则________.，则________．第 4 页 共 19 页15. （1 分） (2019 高三上·清远期末) 设向量，若单位向量 满足，则________．16. （1 分） 课本介绍过平面向量数量积运算的几何意义： 等于 的长度| |与 在 方向上的投影| |cos< , >的乘积．运用几何意义，有时能得到更巧妙的解题思路．例如：边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，点P 是正六边形内的一点（含边界），则的取值范围是________17. （1 分） (2017 高三上·嘉兴期末) 已知两单位向量，则的取值范围是________．的夹角为 ，若实数满足18. （1 分） (2019 高一上·厦门月考) 已知正方形边长为 ,则________．19. （1 分） 已知 α、β 均为锐角，且 cosα= ，sinβ=，则 α﹣β=________．20. （1 分） (2019 高二上·岳阳月考) 在若，且，则中，内角 ， ， 的面积为________.所对的边分别为 ， ， ，三、 解答题 (共 4 题；共 35 分)21. （10 分） (2018 高一下·安徽期末) 已知向量，.（1） 若实数满足，求的值；（2） 若，求实数 的值.22. （10 分） (2019 高三上·亳州月考) 已知函数 3.（1） 求 的值及函数的单调递增区间;第 5 页 共 19 页在 上的最大值为（2） 若锐角中角所对的边分别为，且，求 的取值范围.23. （5 分） (2019 高二上·上海期中) 已知 、 都是单位向量， 与 满足，其中.（1） 用 k 表示；（2） 求的最小值，并求此时 、 的夹角的大小.24. （10 分） (2019 高一下·临沂月考) 设函数 .（Ⅰ）求 ；，其中.已知（Ⅱ）将函数 个单位，得到函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移的图象，求在上的最小值.第 6 页 共 19 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析：第 7 页 共 19 页答案：4-1、 考点： 解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 8 页 共 19 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：第 9 页 共 19 页答案：9-1、 考点： 解析：第 10 页 共 19 页答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共8题；共8分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共35分)答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、考点：解析：答案：24-1、考点：解析：。
陕西省西安市第三十三中学高一下学期第一次月考试卷数学试题
西安市第33中学2015—2016学年度第二学期高一年级数学月考1考试试卷考试时间：90分钟满分：100分一、选择题（每小题3分,共30分）1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（）A.总体B.个体C.总体的一个样本D.样本容量2.10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( ) A.a>b>c B.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a3.为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A.40B.30C.20D.124.一批热水器共98台,其中甲厂生产的有56台,乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本,那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是（）A.甲厂9台，乙厂5台B.甲厂8台，乙厂6台C.甲厂10台，乙厂4台D.甲厂7台，乙厂7台5.一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得到的一组数据的方差是（ ）A ．1 B. 27C. 9D. 36.在抽查某产品尺寸的过程中·将其尺寸分为若干组，是其中的一组，抽查出的个体数在该组内的频率为m 。
该组直方图的高为h ，则︱a －b ︱=( )A.hmB.h m C.mh D.与h 、m 无关 7.已知x ， y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y bx a =+必过 ( )A.(2,2)点B.(1.5,0)点C.(1,2)点D.(1.5,4)点8.下列四种叙述能称为算法的是（ ）A.在家里一般是妈妈做饭B.做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C.在野外做饭叫野炊D.做饭必须要有米9.时针走过2时40分，则分针转过的角度是（ ）A.080B.080-C. o 960D. o 960-10.下列说法中正确的是（ ）A.第一象限角一定是负角B.直角是象限角C.钝角是第二象限角D.终边与始边均相同的角一定相等二、填空题（每小题4分，共16分）11.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生 婴儿体重在（2700，3000）的频率为 ．12.将一个容量为n 的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别为30和0.25，则n = ．13.已知一个线性回归方程为455.1+=x y {})19,13,7,5,1(∈x ，则=y ．14.o 960的终边在第 象限.（填汉字）三、解答题（本大题共54分）15.（10分）甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 93乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些.16.（10分）甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7;乙：6，7，7，8，6， 7，8，7，9，5.（1）分别计算以上两组数据的平均数，方差；（2）根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况.17.（14分）以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：（1）画出数据对应的散点图；（2）用最小二乘法求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150㎡时的销售价格.18.（10分）写出解方程0322=--x x 的一个算法.19.（10分）（1）（4分）判断下列各角是第几象限角： ①o 606 ②0950-（2）（6分）写出与0457-角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角.。
陕西省西安市高一下学期第一次月考数学试卷
陕西省西安市高一下学期第一次月考数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·和平期末) 已知sinα+cosα= ，则sin2α的值为（）A .B . ±C . ﹣D . 02. （2分） (2016高二下·南阳期末) 函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象大致是（）A .B .C .D .3. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知0＜x＜，sinx﹣cosx= ，存在a，b，c（a，b，c∈N*），使得（a﹣πb）tan2x﹣ctanx+（a﹣πb）=0，则2a+3b+c=（）A . 50B . 70C . 110D . 1204. （2分） (2016高二上·郴州期中) 已知变量x，y满足约束条件，则的取值范围是（）A .B .C . （﹣∞，3]∪[6，+∞）D . [3，6]5. （2分）(2016·青海) 已知函数在点（1，2）处的切线与的图像有三个公共点，则a的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）已知两条不同直线l1和l2及平面，则直线的一个充分条件是（）A . 且B . 且C . 且D . 且7. （2分）直线与圆切于点，则的值为（）A . 1B . -1C . 3D . -38. （2分）已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r=20cm，则扇形的周长为（）A . 6π cmB . 60 cmC . （40+6π） cmD . 1 080 cm9. （2分）已知角的终边过点P(-4,3),则的值为（）A .B .C .D . 210. （2分） (2017高一上·定州期末) 函数的部分图象如图所示，若将图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式为（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·武邑模拟) 设函数f（x）= ，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有两个不相等的实根x1 ， x2 ，则e •e 的最大值为（）A .B . 2（ln2﹣1）C .D . ln2﹣112. （2分）已知函数，若f（2）=f（﹣2），则k=（）A . 1B . -1C . 2D . -2二、填空题 (共4题；共6分)13. （1分） (2017高一上·吉林期末) 已知tanα=2，则sin2α+sinαcosα=________．14. （2分）已知函数，则f（x）的最小正周期为________；单调减区间为________．15. （1分） (2016高一上·徐州期末) 将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若对于满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1 ， x2 ，有|x1﹣x2|min= ，则f（）的值为________．16. （2分） (2017高三上·石景山期末) 已知函数，①方程f（x）=﹣x有________个根；②若方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高一下·淄川期中) 已知向量，向量，函数f（x）= ．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）的图象上所有点向右平行移动个单位长度，得函数y=g（x）的图象，求函数y=g （x）在区间[0，π]上的值域．18. （10分） (2017高三上·邯郸模拟) 如图，在底面为矩形的四棱椎P﹣ABCD中，PB⊥AB．（1）证明：平面PBC⊥平面PCD；（2）若异面直线PC与BD所成角为60°，PB=AB，PB⊥BC，求二面角B﹣PD﹣C的大小．19. （5分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中θ为参数），点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足 =2 ．（Ⅰ）求曲线C2的普通方程；（Ⅱ）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线θ= 与曲线C1、C2分别交于A、B两点，求|AB|．20. （10分） (2016高一下·南市期末) 已知函数f（x）=（sinx+ cosx）2﹣2．（1）当x∈[0， ]时，求函数f（x）的单调递增区间；（2）若x∈[﹣， ]，求函数g（x）= f2（x）﹣f（x+ ）﹣1的值域．21. （5分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域．22. （10分） (2019高一上·郏县期中) 知函数（1）判断的奇偶性并给予证明；（2）求关于x的不等式的解集．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
2023-2024学年陕西省西安高一下册第一次月考数学试题(含解析)
2023-2024学年陕西省西安高一下册第一次月考数学试题一、单选题1．已知点()1,2A ，()1,0B -，则AB =uu u r（）A ．()2,0B ．()2,2C ．()2,2--D ．()0,2【正确答案】C根据平面向量的坐标表示，求出AB即可.【详解】点()1,2A ，()1,0B -，则()()11,022,2AB =---=-- .故选：C .本题考查向量的坐标运算，属于基础题.2．若z=1+i ，则|z 2–2z |=（）A ．0B ．1C D ．2【正确答案】D【分析】由题意首先求得22z z -的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.3．已知向量a 、b 的夹角为3π4，a = ，1b = ，则3a b -=r r （）A ．4B ．5C ．D ．【正确答案】B【分析】根据平面向量的数量积公式可得1a b ⋅=-，再根据|3|a b -= .【详解】因为3π||||cos 1()142a b a b ⋅=⨯⨯-=-，所以|3|a b -= =5==.故选：B4．已知向量()1,2a b += ，()3,4c =-- ，且b c ⊥ ，则a 在c方向上的投影是（）A ．115B ．-11C ．115-D ．11【正确答案】C【分析】根据给定条件，求出a c ⋅，再利用投影的意义求解作答.【详解】因为b c ⊥，则()a b c a c b c a c +⋅=⋅+⋅=⋅ ，而向量()1,2a b += ，()3,4c =-- ，于是1(3)2(4)11a c ⋅=⨯-+⨯-=-，所以a 在c方向上的投影是115||a c c ⋅==-.故选：C5．正四面体A BCD -的棱长为）A ．34B ．14C ．18D ．19【正确答案】D【分析】根据正四面体的结构特征，求出内切球半径与外接球半径即可作答.【详解】依题意，正四面体A BCD -的内切球与外接球球心重合，记为O ，令正BCD △的中心为G ，连接,,AG BG OB，显然点O 在AG 上，令正四面体A BCD -的内切球与外接球半径分别为,r R ，即,OG r OA OB R ===，而22sin 603323BG BC ==⨯⨯=，则3AG ==，在Rt BOG △中，222)R R =+，解得Rr AG R =-=所以它的内切球与外接球的表面积之比为2224π1()4π9r r R R ==.故选：D6．设当0x x =时，函数()3sin 4cos f x x x =-取最大值，则0cos x =（）A ．5-B ．45-C ．35-D ．35【正确答案】B【分析】利用辅助角公式变形函数()f x ，并确定辅助角的正余弦值，再利用正弦函数性质求解作答.【详解】函数34()5()5sin()55f x x x x ϕ=-=-，其中锐角ϕ由43sin ,cos 55ϕϕ==确定，依题意，0sin()1x ϕ-=，即0π2π,Z 2x k k ϕ-=+∈，即0π2π,Z 2x k k ϕ=++∈，所以0π4cos cos()sin 25x ϕϕ=+=-=-.故选：B7．在OAB 中，C ，D 分别为AB ，OB 的中点，E 为OA 边上离点O 最近的四等分点，F 为AD ，CE 的交点若OA a = ，OB b = ，则OF =（）A ．23510a b+ B ．2355a b+C ．13510a b+ D ．33510a b+ 【正确答案】A【分析】根据给定的条件，利用平面向量基本定理确定出点F 的位置，再利用向量的线性运算求解作答.【详解】在OAB 中，依题意，1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+，点F 在AD 上，即//AF AD ，于是1,R 2AF t AD ta tb t ==-+∈ ，而14OE a =，则1331()()2442EF AF AE ta tb a t a tb =-=-+--=-+ ，13111()24242CE AE AC AE AB a b a a b =-=-=---=--，由于点F 在CE 上，即//EF CE ，而,a b不共线，因此31421142t t -=--，即43t t -=-，解得35t =，则33510AF a b =-+ ，所以3323()510510OF OA AF a a b a b =+=+-+=+ .故选：A8．已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．[23，34]C ．[13，23] {34}D ．[13，23） {34}【正确答案】C【详解】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<，由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，故选C.函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、多选题9．已知向量a，b 满足||1a = ，||2b = ，||a b +=）A ．2a b ⋅=-B ．()a ab ⊥+ C ．||a b -=D ．a与b的夹角为3π【正确答案】BC【分析】先利用平面向量的数量积运算得到1a b ⋅=-，即可得到()a a b ⋅+ 的值，再利用平面向量的数量积运算得到|a b - ∣，最后求解cos ,a b <>，即可判断选项.【详解】222||21243a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅+=，∴1a b ⋅=-，∴2()0a a b a a b ⋅+=+⋅=，∴()a a b ⊥+ ，|a b -= ∣，1cos ,2||||a b a b a b ⋅<>==-，∴a 与b的夹角为23π，故BC 正确.故选：BC.10．设向量a 、b是不共线的两个平面向量，已知sin PQ a b α=+⋅ ，其中()0,2απ∈，2QR a b =-，若P 、Q 、R 三点共线，则角α的值可以是（）A ．6πB ．56πC ．76πD ．116π【正确答案】CD【分析】三点共线转化为向量共线，再由向量共线的列式求出α值判断作答.【详解】因为,,P Q R 三点共线，即,PQ QR 共线，则存在实数k 使得PQ kQR =，因此sin (2)2a b k a b ka kb α+⋅=-=- ，又,a b不共线，于是12sin k kα=⎧⎨=-⎩，解得1sin 2α=-，又(0,2π)α∈，所以7π6α=或11π6.故选：CD11．已知函数()cos 2sin 2f x x x =，则下列说法正确的是A ．()f x 的周期为πB ．3x π=是()f x 的一条对称轴C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递增区间D ．,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个递减区间【正确答案】ABD【分析】化简()cos 22f x x x =可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用三角函数性质即可判断A,B 正确，再利用复合函数的单调性规律即可判断C 错误，D 正确；问题得解.【详解】由()cos 2sin 2f x x x =可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的周期为22T ππ==，所以A 正确；将3x π=代入()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可得：2cos 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时()f x 取得最小值2-，所以3x π=是()f x 的一条对称轴，所以B 正确；令23t x π=+，则()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由2cos y t =，23t x π=+复合而成；当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，23t x π=+在,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦递增，2cos y t =在2,33t ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦不单调，由复合函数的单调性规律可得：,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦不是()f x 的一个递增区间；所以C 错误.当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，[]0,t π∈，23t x π=+在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦递增，2cos y t =在[]0,t π∈单调递减，由复合函数的单调性规律可得：()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦递减，所以D 正确；故选ABD本题主要考查了三角函数的性质及两角和的余弦公式逆用，还考查了复合函数单调性规律，考查转化能力，属于中档题．12．已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（）A ．圆锥的体积为3B ．圆锥的表面积为C的扇形D ．圆锥的内切球表面积为(24π-【正确答案】ACD【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A 、B 、C ；根据球的表面积公式可判断D.【详解】由题意圆锥的底面半径r =h ==，所以圆锥的体积2133V r h π=⋅⋅=，故A 正确；圆锥的表面积22S rl r πππ=+=+，故B 错误；圆锥的侧面展开图是圆心角2α==，故C 正确；，作出圆锥内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为a ，四边形ABCD 为正方形，所以()22a -⨯=2a =，圆锥的内切球表面积((2244224S a πππ==-=，故D 正确.故选：ACD三、填空题13．已知A O B '''V 表示水平放置的AOB 的直观图，且A O B '''V 的面积是2，则AOB 的面积是__________.【正确答案】6【分析】根据给定条件，利用斜二测画法水平放置的三角形直观图与原三角形的面积关系直接求解作答.所以AOB的面积6224AOB S ==⨯= .故614．在ABC 中，点F 为线段BC上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>> ，则12x y+的最小值为________【正确答案】8根据C ，F ，B 三点共线可得,x y 的关系，再利用基本不等式解出.【详解】因为()20,0AF xAB y AC x y =+>>，且点F 在线段BC 上，则21x y +=，且0,0x y >>，则()1212424448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当11,42x y ==时等号成立.故8关键点睛：本题考查了向量共线定理和基本不等式的性质，注意当,,A B C 三点共线时，若OA OB OC λμ=+，则必有1λμ+=.15．已知在ABC 中，4AB =，6AC =，其外接圆的圆心为O ，则AO BC ⋅=__________.【正确答案】10【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合圆的性质计算作答.【详解】取AB ，AC 的中点D ，E ，连接,OD OE，如图，当圆心O 与点E 不重合时，则OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，2,3AD AE ==，则()AO BC AO AC AB AO AC AO AB ⋅=⋅-=⋅-⋅＝()2()2AE EO AE AD DO AD +⋅-+⋅ 222222AE EO AE AD DO AD =+⋅--⋅ 22232210=⨯-⨯=，当圆心O 与点E 重合时，AB BC ⊥，2222111()()(64)10222AO BC AC AC AB AC AB ⋅=⋅-=-=-= ，所以10AO BC ⋅=.故1016．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点间的距离为______.【正确答案】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD 长，根据正弦定理，可得BD 长，根据余弦定理，即可得答案.【详解】因为135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠=∠=︒，所以150ADC ∠=︒，15DAC DCA ∠=∠=︒，所以80AD CD ==，又因为120ACB ∠=︒，所以135,30BCD CBD ∠=︒∠=︒，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠8012=，解得BD =在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，所以222802802AB ⎛=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，解得AB =m .故四、解答题17．已知向量,,a b c 满足(1,3)a =-，||b = ||c = （1）若a c∥，求c 的坐标；（2）若()2a a b ^- ，求a 与b的夹角.【正确答案】(1)c =- 或(c = .(2)4π.【分析】(1)本题可以设出向量c 的坐标，然后根据||c = a c∥分别列出等式，通过计算即可得出结果；(2)首先可以通过()2a a b ^-以及(1,3)a =- 计算出20a b ×= ，再根据|a |= 、||b = 及向量的数量积公式即可得出结果．【详解】（1）设(,)c x y =因为||c =2220x y +=，①因为a c∥，所以30y x --=，②联立①②，解得x y ì=ïíï=-îx y ì=ïíï=î故c =- 或(c =.（2）因为()2a a b ^- ，所以()20a a b ×-= ，即22a b a ×= ，又因为(1,3)a =- ，所以|a |= 20a b ×=.因为||b =cos ,2a b =因为,[0,]a b狁 p ，所以a 与b 的夹角为4π.本题考查了向量的相关性质，主要考查向量的模长公式、向量的数量积、向量平行的相关性质，向量的数量积公式为cos ,a b a b a b �鬃 ，考查化归与转化思想，是中档题．18．函数()()sin f x A x B ωϕ=++的部分图象如图所示，其中0A >，0ω>，2πϕ<.（Ⅰ）求函数()y f x =解析式；（Ⅱ）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域.【正确答案】（Ⅰ）()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）[]1,4.（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由46f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求出ϕ的值，可得函数的解析式；（Ⅱ）由已知可求范围72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图象和性质可得1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可求解.【详解】（Ⅰ）根据函数()()sin ωφf x A x B =++的一部分图象，其中0A >，0ω>，2πϕ<，可得422A =-=，2B =，12544126T πππω=⋅=-，∴2ω=.又46f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得2sin 2246πϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，∴232k ππϕπ+=+，即26k πϕπ=+，∵2πϕ<，∴6πϕ=，∴()2sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴[]2sin 221,46y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭.本题主要考查由函数()sin y A ωx φ=+的部分图象求解析式、正弦函数的定义域和值域及正弦函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在半径为30cm 的半圆形铁皮上截取一块矩形材料ABCD （点A ，B 在直径上，点C ，D 在半圆周上），并将其卷成一个以AD 为母线的圆柱体罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗）.若要求圆柱体罐子侧面积最大，应如何截取？并求侧面积最大值.【正确答案】在半圆直径上取距离圆心O 为cm 的两点A ，B ，以线段AB 为矩形的一边截取铁皮，最大面积为9002cm .【分析】设COB θ∠=，可得ABCD 的面积为()900sin2S θθ=，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】依题意，圆柱体罐子的侧面积即为矩形ABCD 的面积，圆心为O ，连结OC ，如图，设COB θ∠=，π(0,)2θ∈，有30sin BC θ=，30cos OB θ=，因此矩形ABCD 的面积为()230cos 30sin 900sin2S AB BC θθθθ=⋅=⨯⨯=，显然2(0,π)θ∈，当sin21θ=，即π4θ=时，max ()900S θ=2cm ，此时OB =cm ，所以在半圆直径上取距离圆心O 为cm 的两点A ，B ，以线段AB 为矩形的一边截取铁皮，圆柱体罐子的侧面积最大，最大面积为9002cm .20．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，P 是1DD 的中点，Q 是1CC 的中点．求证：(1)//PO 平面1D BQ ；(2)平面1//D BQ 平面PAO ．【正确答案】(1)见解析；(2)见解析.【分析】（1）先根据中位线的性质证明出1//PO D B ，进而根据线面平行的判定定理证明出线面平行；（2）连接PQ ，易证//PA BQ ，从而//PA 平面1D BQ ，由（1）知//PO 平面1D BQ ，从而证明出平面1//D BQ 平面PAO ．【详解】（1）在1D DB 中，P ，O 分别是1DD 与DB 的中点，所以1//PO D B ．又PO ⊄平面1D BQ ，1D B ⊂平面1D BQ ,所以//PO 平面1D BQ ；（2）连接PQ ，因为P 是1DD 的中点，Q 是1CC 的中点，所以PQ AB =且//PQ AB ，故四边形APQB 是平行四边形，所以//PA BQ ．又PA ⊄平面1D BQ ，BQ ⊂平面1D BQ ，所以//PA 平面1D BQ ．又由（1）得//PO 平面1D BQ ，因为PA PO P =I ，所以平面1//D BQ 平面PAO ．21．在三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =+.（1）求B ；（2）若AD 为BAC ∠的平分线，且24BD DC ==，求c .【正确答案】（1）3B π=；（2）1c =.【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，即可求出tan B 和B 的值.（2）利用正弦定理和余弦定理，列方程求出AB 的值.【详解】解：（1）ABC 中，因为cos sin a b C B =+，所以由正弦定理得：sin sin cos sin A B C C B =+；又因为()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以cos sin sin B C C B =.因为(0,)C π∈sin 0C ∴≠，所以cos B B =，得tan B =又()0,B π∈，所以3B π=.（2）如图所示，BAD 中，由正弦定理得：sin sin BD ABBAD BDA=∠∠，CAD 中，由正弦定理得：sin sin CD ACCAD CDA=∠∠；因为sin sin BDA CDA ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠，所以12BD AB CD AC ==；在ABC 中，令AB x =，则2AC x =，由余弦定理可得：223641cos 262x x B x +-==⨯，解得：1x =，或1x =-（不合题意，舍去）；所以1c =.解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.22．已知定义在R 上的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）若对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()2()cos 2sin 0f k f θθ+-≤有解，求实数k 的取值范围．【正确答案】（1）1b =，2a =；（2）11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）(2,)-+∞.【分析】（1）由函数是奇函数，则(0)0f =，(1)(1)f f -=-，解得a ，b 的值；（2）将函数解析式化为()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++，由1111,22122x ⎛⎫-+∈- ⎪+⎝⎭，求得值域；（3）由定义法证得函数单减，结合奇函数性质，不等式()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤等价于2cos 2sin k θθ≥-+，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，从而求得k的取值范围.【详解】（1）由题意，定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数，得1(0)02b f a -==+，122(1)(1)14b b f f a a ---==-=-++，1b ∴=，2a =，那么112()2xx f x 2+-=+经检验是奇函数（2）由（1）可得()()()1212121211()22221221221x x x x x x x f x +-++--====-+++++20x > ，211x ∴+>，1(0,1)21x ∴∈+，1111,22122x ⎛⎫∴-+- ⎪+⎝⎭()f x ∴的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭（3）设12x x <，则()()()()12211221111111222222x x x x x x f x f x ++++--=-=12x x < ，12220x x ∴-<则()()210f x f x -<，即()()21f x f x <；∴函数()f x 在R 上是减函数．．由()2cos 2sin ()0f f k θθ-+≤，即()()22()cos 2sin cos 2sin f k f f θθθθ≤--=-+，()f x 在R 上是减函数；2cos 2sin k θθ∴≥-+，对任意的,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，即22sin 2sin 1(sin 1)2k θθθ≥+-=+-，,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭有解，由,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin (1,1)θ∈-，2(sin 1)2(2,2)θ∴+-∈-，2k ∴>-，故得实数k 的取值范围(2,)-+∞．。
陕西省西安市重点高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知向量，，则（ ） ()2,1AB =-()1,3BC =- AC = A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由题知，进而求模即可.()3,4AC =-【详解】解：由题意可得. ()3,4AC AB BC =+=- 5=故选：C2．下列说法正确的是（ ）A ．若，则 a b =r r a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】A ：仅表示与的大小相等，但是方向不确定， a b =r r a b故未必成立，所以A 错误； a b =±B ：根据零向量的定义可判断B 正确；C ：长度相等的向量方向不一定相同，故C 错误；D ：共线向量不一定在同一条直线上，也可平行，故D 错误. 故选：B.3．已知向量，则（ ） (2,1)(2,4)a b ==-，a b -r r A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.a b -a b -r r 【详解】因为，所以. ()()()2,12,44,3a b -=--=- 5-= a 故选：D4．已知平面向量，，若，则实数（ ） (,1)a x →=(1,2)b →=//a b →→x =A ． B ．5C ．D ．2-125-【答案】C【分析】根据共线向量的坐标表示求解即可. 【详解】，，，(,1)a x →= (1,2)b →=//a b →→， 2110x ∴-⨯=解得， 12x =故选：C5．如图，在矩形中，，，为的中点，与交于点，则ABCD AB a = AD b = M CD BD AM N MN =（ ）A ．B ．C ．D ． 1163a b --1163a b -1163a b +1163a b -+【答案】A【分析】结合平面图形的几何性质以及平面向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为矩形，所以，所以，所以,又因为为ABCD //AB CD MND ANB DN DM NB AB=M CD 的中点，所以，即，因此，从而1122DM DC AB ==12DN DM NBAB ==12DN NB =，又因为，，()111111232363MN MD DN DB DA AB AB AB AB AD +=-+=-++=-=-AB a = AD b = 所以，1163M a b N =-- 故选：A.6．在中，若，则的形状为（ ） ABC ||AB AC AB AC ==-ABC A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果. AB AC CB -=【详解】因为，，AB AC CB -= ||AB AC AB AC ==-所以， AB AC CB == 所以为等边三角形． ABC 故选：A7．向量，则与的夹角为（ ） ()()1,1,1,0a b ==- a bA ．B ．C ．D ．6π4π34π23π【答案】C【分析】直接由向量夹角的坐标运算求解即可.【详解】由题意得：与的夹角为. cos ,a = a b 34π故选：C.8．已知的内角的对边分别为，若，，，则为（ ） ABC ,,A B C ,,a b c a =2b =60A =︒B A ．60° B ．60°或120° C ．30° D ．30°或150°【答案】C【分析】由正弦定理可得，即可得解. 1sin 2B =【详解】在中，，，， ABC a =2b =60A =︒所以由正弦定理得， 4sin sin b a B A ===所以， 1sin 42b B ==又，所以. ()0,120B ∈︒︒30B =︒故选：C.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 9．在中，角所对的边分别为，若，则（ ） ABC ,,A B C ,,a b c 22()a b c ab +-=C =A ． B ．或 6π3π23πC ．D ．或23π6π56π【答案】C【分析】化简得，再由余弦定理计算，即可求得答案. 222a b c ab +-=-cos C 【详解】由得，，22()a b c ab +-=222a b c ab +-=-由余弦定理得，2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-因为，所以. ()0,C π∈23C π=故选：C10．已知为实数，向量，，，若，则（ ） x (1,2)a =- (,1)b x =- 2c a b =+b c ⊥ x =A ．或 B ．或C ．或D ．或133-1-3-11-3【答案】D【分析】利用向量坐标及向量垂直关系建立方程求参数.【详解】由，，得，(1,2)a =- (,1)b x =- 2(2,3)c a b x =+=-又，则有，b c ⊥(2)(1)30x x -+-⋅=即，解得或, 2230x x --==1x -3故选:D .11．在中，，，则外接圆的半径为（ ） ABC60A =︒BC =ABC A ．1 BCD ．2【答案】A【分析】利用正弦定理运算求解.【详解】由正弦定理，则， 2sin aRA ==1R =故外接圆的半径为1. ABC 故选：A.12．河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静m /s m /s 水速度为（ ） A ．10 B ．C ．D ．12m /s /s /s m /s 【答案】B【分析】根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解. 211,0ννννν=-⋅=【详解】设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，1v 2v v 则，，所以，112,10,v v v v ==⊥12ννν=+ 211,0ννννν=-⋅=），即小船在静水中的速度大小为.=/m s /)m s 故选：B.二、填空题13．在中， 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若，则ABC a b c ，，sin :sin :sin 2:3:4A B C =_____．cos A =【答案】/0.875 78【分析】由正弦定理得三边之比，再用余弦定理求解.cos A 【详解】因为，由正弦定理得，sin :sin :sin 2:3:4A B C =::2:3:4a b c =设， 234(0)a k b k c k k ===>，，，由余弦定理得，222222291c 6472234s 8o b c a k k k bc A k +-+-===⨯⨯故答案为：7814．已知向量，且，则实数__________.()()3,1,1,2a b ==-()()a b a b λ-+∥ λ=【答案】1-【分析】首先求出的坐标，然后根据向量共线的坐标表示可建立方程求解. ,a b a b λ-+【详解】由题意得，因为，所以()()2,3,3,12a b a b λλλ-=+=+-()()a b a b λ-+∥ ，解得.()()21233λλ-=+1λ=-故答案为：1-15．已知向量，则在方向上的投影向量的模长是___________．(1,3),(2,4)a b ==-b a【分析】根据数量积、模的坐标表示求出、，再根据求出在方向上的投影向a b ⋅ a r 1a b a a a ⋅⋅b a量，从而求出其模；【详解】解：因为，所以，(1,3),(2,4)a b ==-()123410a b ⋅=⨯+⨯-=-，a ==所以在方向上的投影向量为， b a )()11,31,3a b a a a⋅⋅==--；=16．如图，1kg 的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，已知两根细绳与水平线分别成30°与60°角，则两根细绳受到的拉力分别为_____．（取g =10m/s 2）【答案】；5N 【分析】根据受力平衡的知识进行分解，结合三角函数求解.【详解】如图，设左右两根绳子的拉力大小分别为， 12F F ，由受力平衡可知：，10N OM '=所以， 12sin 305N cos30F OM F OM ''==== ，故答案为：；5N三、解答题17．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点B ､C ､D 的坐标分别是（-1，3）､（3，4）､（2，2），(1)求向量BC ； (2)求顶点A 的坐标.【答案】(1) ()4,1BC = (2) ()2,1-【分析】（1）由点B ､C 的坐标即可求解的坐标；BC（2）设顶点A 的坐标为，由四边形ABCD 为平行四边形，有，从而即可求解. (),x y BC AD =【详解】（1）解：因为点B ､C 的坐标分别是（-1，3）､（3，4），所以； ()()()3,41,34,1BC =--=u u u r（2）解：设顶点A 的坐标为，(),x y 因为四边形ABCD 为平行四边形，D 的坐标是（2，2）， 所以，即，BC AD =()()4,12,2x y =--所以，解得，2421x y -=⎧⎨-=⎩21x y =-⎧⎨=⎩所以顶点A 的坐标为.()2,1-18．已知，.3a =4b = (1)若与的夹角为，求；a b60︒()2a b a +⋅ (2)若与不共线，当为何值时，向量与互相垂直？ a b k a kb + a kb -【答案】(1) 21(2)34k =±【分析】（1）结合向量数量积运算与运算律计算求解即可；（2）根据解方程即可得答案.()()0a kba kb +-=【详解】（1）解：()21229234212a b a a b a +⋅=+⋅=+⨯⨯⨯= （2）解：∵向量与互相垂直，a kb + a kb -∴，整理得，又，，()()0a kba kb +-= 2220a k b -= 3a =4b = ∴，解得.29160k -=34k =±∴当时，向量与互相垂直.34k =±a kb + a kb -19．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且． ABC a b c >>2sin 0b C -=（1）求角B 的大小；（2）若，，求c ． b =2a =【答案】(1) ．(2) ．3B π=1c =【分析】（1）利用正弦定理将边化成角，即可求得角； B（2）把，代入，化简后根据一元二次方程的解法求出2a =b =3B π=2222cos b a c ac B =+-c的值．【详解】解：（1， 2sin 0b C -=． 2sin sin 0C B C -=因为，所以， 0C π<<sin 0C ≠所以 sin B =因为，且， 0B π<<a b c >>所以．3B π=（2）因为，b =2a =所以由余弦定理，2222cos b a c ac B =+-得，2214222c c =+-⨯⨯即． 2210c c -+=所以．1c =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，特殊角的三角函数值，熟练掌握公式并会应用是解题的关键，属于基础题．20．已知两个非零向量与不共线，，，． a b 2OA a b =- 3OB a b =+ 5OC ka b=+ （1）若，求k 的值； 20OA OB OC -+=（2）若A ，B ，C 三点共线，求k 的值． 【答案】（1）；（2）. 3k =-12k =【解析】(1)根据向量的计算求解即可.(2)根据A,B,C 三点共线可得,再根据系数的关系求解即可.AC AB λ=【详解】（1）∵,∴.22(2)35(3)0OA OB OC a b a b ka b k a -+=---++=+=3k =-（2）由题意知,.4AB OB OA a b =-=-+ (2)6AC OC OA k a b =-=-+∵A,B,C 三点共线,∴设,即,∴解得.AC AB λ= (2)64k a b a b λλ-+=-+ 2,64,k λλ-=-⎧⎨=⎩12k =【点睛】本题主要考查了向量的基本运算以及共线定理的应用,属于基础题型.21．在中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知． ABC cos sin b b A B +=(1)求A ；(2)若，求的面积． 4a b ==ABC 【答案】(1)3π(2)【分析】（1）用正弦定理化简即可得到角A ； cos sin b b A B +=（2）先用余弦定理计算c ，再用面积公式计算面积.【详解】（1）由正弦定理，cos sin sin sin cos sin b b A B B B A A B +=⇒+=因为，所以，所以sin 0B >1cos A A +=1cos 2sin 6A A A π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为，所以，所以.()0,A π∈5,666A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭663A A p p p -=Þ=（2）由余弦定理，或（舍） 22222cos 211645a b c bc A c c c =+-Þ=+-Þ=1c =-所以11sin 4522ABC S bc A ==⨯⨯= 22．如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A B 200km 机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成θC角的方向继续飞行到达终点.45 km(1)求、两地之间的距离； A C (2)求.tan θ【答案】(1) (2) 37【分析】（1）利用余弦定理可直接求得的长；AC （2）利用余弦定理求出的值，结合同角三角函数的基本关系可求得的值. cos θtan θ【详解】（1）解：由余弦定理可得，(222222cos 20022004523200AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=所以，.AC =（2）解：由余弦定理可得 222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅所以，为锐角，故 cos cos A θ==θsin θ==因此，. sin 3tan cos 7θθθ==。
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷(模拟)
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （ 2 分 ） 已 知中 ， 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 外 接 圆 半 径 是 1, ， 且 满 足 条 件,则的面积的最大值为（）A.B.C. D.2. （2 分） (2016 高一下·辽宁期末) △ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c 若 ＜cosA，则△ABC 为（ ）A . 钝角三角形 B . 直角三角形 C . 锐角三角形 D . 等边三角形3. （2 分） 已知命题 P：“存在 真命题的是（ ）A.命题 q:“中，若则 A>B。
则下列命题为B.C.第 1 页 共 10 页D. 4. （2 分） 数列 1，3，6，10，…的一个通项公式 an=（ ） A.B.C.D.5. （2 分） 设等比数列 al·a3 等于（ ）,Sn 是数列｛ ｝的前 n 项和，S3=14,且 al＋8,3a2,a3＋6 依次成等差数列，则A.4B.9C . 16D . 256. （2 分） 如图，在塔底 的正西方 处测得塔顶的仰角为顶的仰角为，若的距离是，则塔高为 （ ），在它的南偏东的 处测得塔A. B.C. D.第 2 页 共 10 页7. （2 分） (2016 高一下·蓟县期中) 在△ABC 中，，∠A=30°，则△ABC 的面积等于（ ）A.B. C.D.8. （2 分）三边长分别是， 则它的最大锐角的平分线分三角形的面积比是（ ）A . 1:1B . 1:2C . 1:4D . 4:39. （2 分） 已知在等比数列 中，， 那么 等于（ ）A.5B . 10C . 15D . 2010. （2 分） 在数列{an}中，已知 a1=3，且数列{an+（﹣1）n}是公比为 2 的等比数列，对于任意的 n∈N* ， 不等式 a1+a2+…+an≥λan+1 恒成立，则实数 λ 的取值范围是（ ）A.B.第 3 页 共 10 页C.D . （﹣∞，1]11. （2 分） (2019·河南模拟) 《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗 苗主责之粟五斗 羊主曰： “我羊食半马 ”马主曰：“我马食半牛 ”今欲衰偿之，问各出几何 其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的 禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半 ”马主人说：“我马所吃的禾苗只 有牛的一半 ”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少？设牛、马、羊的主人分别应偿还 x 斗、y 斗、 z 斗，则下列判断正确的是A.且B.且C.且D.且12. （2 分） 在 ，则所在的平面内，点 （）满足， 且对于任意实数 ， 恒有A.B.C.D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018·杨浦模拟) 在中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ，，.若 为钝角，，则的面积为________14. （1 分） (2019 高一下·湖州月考) 设的内角 , , 的对边分别为 , , ,若第 4 页 共 10 页的周长等于 20,面积是,,则 边的长是________.15. （1 分） 已知 f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，若 m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0 时，有则不等式的解集为________．＞0，16. （1 分） (2018 高二上·通辽月考) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝ ________.，则{an}的通项公式 an＝三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17.（10 分）(2019 高二上·佛山月考) 已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，2bcosA=acosC+ccosA．（1） 求角 A 的大小；（2） 若 a=3，△ABC 的周长为 8，求△ABC 的面积．18. （5 分） (2020·贵州模拟) 记 为等差数列 的前 项和，已知，．（1） 求 的通项公式；（2） 求数列的前 项和 .19. （10 分） (2017 高二下·太原期中) 已知数列{bn}满足 bn=| （1） 求 b1，b2，b3，并猜想 bn 的表达式（不必写出证明过程）；|，其中 a1=2，an+1=（2） 设 cn=，数列|cn|的前项和为 Sn，求证 Sn＜ ．20. （5 分） (2020·杨浦期末) 东西向的铁路上有两个道口 、 ,铁路两侧的公路分布如图, 位于 的南偏西 ,且位于 的南偏东 方向, 位于 的正北方向,, 处一辆救护车欲通过道口前往 处的医院送病人,发现北偏东 方向的 处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要 分钟,救护车和火车的速度均为.第 5 页 共 10 页（1） 判断救护车通过道口 是否会受火车影响,并说明理由; （2） 为了尽快将病人送到医院,救护车应选择 、 中的哪个道口？通过计算说明.21. （10 分） (2018 高二上·湖滨月考) 如图，在△ABC 中，AB=3 .，D 是 BC 边上一点，且∠ADB=（1） 求 AD 的长； （2） 若 CD=10，求 AC 的长及△ACD 的面积. 22. （5 分） 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ， a8=2，S8=﹣68． （1） 求数列{an}的通项公式； （2） 求数列{|an|}的前 n 项和 Tn．第 6 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 7 页 共 10 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17-1、17-2、 18-1、18-2、 19-1、第 8 页 共 10 页19-2、 20-1、第 9 页 共 10 页20-2、 21-1、 21-2、答案：略 22-1、 22-2、第 10 页 共 10 页。
陕西省高一下学期第一次月考数学试题-1
（2） 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A为锐角且f（A）= ，b=2，c=3，求cos（A﹣B）的值．
20. （10分） (2018高一下·金华期末) 已知各项为正的数列 满足 ， .
（1） 若 ，求 ， ， 的值；
（2） 若 ，证明： .
14. （1分） (2020高二上·徐州期末) 已知数列 满足 ，则数列 的通项公式为 ________
15. （1分） (2019高一下·上海月考) 若 则 的值为________．
16. （1分） (2019高三上·北京月考) 在 中,已知 , , , 为线段 上的点,且 ,则 的最大值为________.
A .
B . 9
C . 18
D . 36
10. （2分） (2019高三上·广东月考) 定义 为 个正数 、 、…、 的“均倒数”，若已知正整数列 的前 项的“均倒数”为 ，又 ，则 （ ）
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共7题；共7分)
11. （1分） 已知 是等比数列，且 > ， ，那么 ________．
18-1、
18-2、
19-1、
19-2、
20-1、答案：略
20-2、答案：略
21-1、
21-2、答案：略
22-1、
22-2、
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
2. （2分） (2016高一下·老河口期中) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（ ）
A . 等边三角形
B . 锐角三角形
陕西省高一下学期数学第一次在线月考试卷
陕西省高一下学期数学第一次在线月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·汕头模拟) 已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（）A . {（1，2）}B . （1，2）C . {1，2}D . {（1，2），（﹣1，﹣2）}2. （2分） (2017高一上·沙坪坝期中) 已知函数，下列判断正确的是（）A . 函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数B . 函数f（x）不是奇函数，函数g（x）是偶函数C . 函数f（x）是奇函数，函数g（x）不是偶函数D . 函数f（x）不是奇函数，函数g（x）不是偶函数3. （2分） (2019高一上·牡丹江月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·哈尔滨期末) （）A .B .C .D .5. （2分）已知，且，则下列不等式中，正确的是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高一上·长春期中) 已知幂函数的图象过点，则此幂函数（）A . 过点B . 是奇函数C . 过点D . 在上单调递增7. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 的图象的基本形状是（）A .B .C .D .8. （2分）函数y=2x+log2（x+1）在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为（）A . 2B . 3C . 4D . 59. （2分） (2019高一上·鹤岗期末) 函数图象的一条对称轴是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·吉林月考) 设，则（）A .B . 0C .D . -111. （2分）已知函数f（x）=2asin2x﹣2 asinxcosx+a+b（a＜0）的定义域是，值域为[﹣5，1]，则a、b的值分别为（）A . a=2，b=﹣5B . a=﹣2，b=2C . a=﹣2，b=1D . a=1，b=﹣212. （2分） (2017高三上·太原月考) 奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(8)＋f(5)的值为（）A . 2B . 1C . －1D . －2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·宿州期中) 设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．14. （1分）现有40米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（设长度够用）作为一边，围成一块面积为S 平方米的矩形菜地，则S的最大值为________平方米．15. （1分）(2017·重庆模拟) 已知函数f（x）是R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上是减函数，若f（a）≥f （2），则实数a的取值范围是________．16. （1分） (2018高三上·杭州月考) 已知函数若函数恰有4个不同的零点，则的取值范围为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2018高一上·华安期末) 求值：lg 8 + lg 125 − (1 7 ) − 2 + 16 3 4 + (3 − 1 ) 0（1）（2）18. （10分） (2017高一下·惠来期中) 已知角α的终边经过点P（﹣4，3）（1）求sinθ、cosθ、tanθ；（2）求 sin（θ+π）cos（2π﹣θ）．19. （10分） (2018高一上·南宁月考) 已知集合，，（1）若，，求的值；（2）若∅⊊B⊊A，求实数的值．20. （15分） (2018高一上·杭州期中) 已知函数；（1）若，求的值；（2）若区间上存在，使得方程成立，求实数的取值范围。
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷(II)卷
陕西省高一下学期数学第一次月考试卷（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高二上·吉林期中) 在△ABC 中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）A . 一解B . 两解C . 一解或两解D . 无解2. （2 分） 在△ABC 中，已知（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin（A+B），则△ABC 的形状（ ）A . 等腰三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形或直角三角形3.（2 分）(2019 高二上·兰州期中) 已知分别是的三个内角所对的边，若，，，则 等于（ ）A.B.C.D.4. （2 分） 设数列{an}中，a1=1，an+1=，则 a2012=（ ）第 1 页 共 13 页A.B.C.D. 5. （2 分） (2016 高三上·贵阳模拟) 在各项都为正数的等比数列{an}中，首项 a1=3，前三项和为 21，则 a3+a4+a5=（ ） A . 33 B . 72 C . 84 D . 189 6. （2 分） 为测一树的高度，在地面上选取 A、B 两点，从 A、B 两点分别测得树尖的仰角为 30°，45°，且 A、B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为（ ）A. B. C. D. 7. （2 分） 在中，内角 A，B，C 依次成等差数列，第 2 页 共 13 页，则外接圆的面积为（ ）A. B.C.D.8. （2 分） (2019 高一下·上高月考) 在中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且满足 面积的最大值为（ ），若点 是外一点，，则四边形的A.B. C . 12D.9.（2 分）(2017 高二上·中山月考) 在等比数列 中，若A.1，则的最小值为（ ）B. C.8 D . 1610. （2 分） (2018 高一下·遂宁期末) 对于数列 ，定义已知某数列 的“好数” 则实数 的取值范围为（ ），记数列的前 项和为 ，若为数列 的“好数”，对任意的恒成立，A.第 3 页 共 13 页B.C.D.11. （2 分） (2019 高一下·绵阳月考) 已知数列 为等比数列，且，，则（）A.5 B. C.4 D . -412. （2 分） (2016 高一下·抚州期中) 在△ABC 中，已知 a=40，b=20 ，A=45°，则角 B 等于（ ）A . 60°B . 60°或 120°C . 30°D . 30°或 150°二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高一下·雅安期中) 在中，三个角成等差数列，且边成等比数列，则的形状为________．所对的边分别为．若角14. （1 分） (2017·长沙模拟) 锐角△ABC 中，D 为 BC 的中点，满足∠BAD+∠C=90°，则角 B，C 的大小关系 为________．（填“B＜C”或“B=C”或 B＞C）15. （1 分）(2018 高二下·辽宁期末) 已知函数，若的取值范围为________.第 4 页 共 13 页，则实数16. （1 分） (2020 高二上·林芝期末) 数列 的前 n 项的和，则 = ________.三、 解答题 (共 6 题；共 45 分)17. （10 分） (2019 高三上·上海期中) 如图，已知△的内角 、 、 的对边分别为 、 、，其中，且，延长线段 到点 ，使得，.（1） 求证： （2） 求是直角； 的值.18. （5 分） (2020·漳州模拟) 已知数列，.的前 n 项和为 ,且（1） 求 和 的通项公式；（2） 求数列{}的前 n 项和 .,,数列 满足19. （10 分） 在数列{an}中，a1=1，an+1= 公式，并给以证明．（n∈N+），试写出这个数列的前 4 项，并猜想这个数列的通项20. （5 分） 某人在塔 的正东 处沿着南偏西向，若沿途测得塔的最大仰角为，求塔高．的方向前进 米后到达 处，望见塔在东北方21. （10 分） (2019·黄山模拟) 在△ABC 中，AB=2，且 sinA（1-2cosB）+sinB（1-2cosA）=0.以 AB 所在直 线为 x 轴，AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（I）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（II）已知定点 P（4，0），不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M、N 两点，若直线 MP、NP 关于直线 AB 对称，求△PMN 面积的取值范围。
陕西省西安市高一下学期第一次月考数学试题(解析版) (2)
一、单选题1．已知集合，集合，则（ ）{}24A x x =≤<{}2320B x x x =-+<A B ⋃=A ． B ． C ． D ．∅{}12x x <<{}24x x ≤<{}14x x <<【答案】D【分析】将集合、化简，再根据并集的运算求解即可.A B 【详解】∵集合，集合，{}24A x x =≤<{}{}232012B x x x x x =-+<=<<∴． {}14A B x x ⋃=<<故选：D.2．如果向量，，那么 (0,1)=a (2,1)b =- |2|a b += A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【分析】先求出的坐标，再由模的坐标表示计算．2a b +【详解】由已知，所以，2(4,3)a b +=- |2|5a b +==故选：B ．【点睛】本题考查平面向量模的坐标运算，掌握向量模的坐标表示是解题关键，本题属于基础题．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量，，，，若，m =(sin ,cos )n x x = (0,)x π∈//m n 则的值（ ） tan x A ．4 B ．3C ．D ．01-【答案】C【解析】根据，进而求得的值，得到答案.//m n 0x x +=tan x【详解】在平面直角坐标系中，向量，，，xOy m =(sin ,cos )n x x = (0,)x π∈因为，即，//m n 0x x +=cos sin x x =-所以. sin tan 1cos xx x==-故选：C ．4．已知向量，，若，则的最小值为（ ） ()1,1a x =+21,b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x >a b ⋅A ．B ．C ．D ．1+2+1【答案】B【分析】根据数量积的坐标运算求得，结合基本不等式求出最小值.a b ⋅【详解】，当且仅当时等号成立，2111a b x x =++≥+=⋅+ x =则的最小值为a b ⋅1+故选：B ．5．已知，为不共线的非零向量，，，，则（ ） a b5AB a b =+ 28BC a b =-+ 33CD a b =- A ．，，三点共线 B ．，，三点共线 A B C A B D C ．，，三点共线 D ．，，三点共线B C D A C D 【答案】B【分析】根据给定条件，求出，再利用共线向量逐项判断作答.,BD AC【详解】，为不共线的非零向量，，，， a b5AB a b =+ 28BC a b =-+ 33CD a b =- 则，，5BD BC CD a b =+=+ 13AC AB BC a b =+=-+ 因，则与不共线，，，三点不共线，A 不正确； 1528≠-ABBC A B C 因，即与共线，且有公共点B ，则，，三点共线，B 正确；AB BD = AB BDA B D 因，则与不共线，，，三点不共线，C 不正确； 2833-≠-BC CD B C D 因，则与不共线，，，三点不共线，D 不正确. 11333-≠-AC CD A C D 故选：B6．将函数先向右平移个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的()π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π18倍（纵坐标不变），则所得函数图象，若在区间上的最小值为，则()30ωω>()g x ()g x ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2-ω的最小值等于（ ） A ． B ．C ．D ．233223【答案】B【分析】根据三角函数图象的变换规律得到函数解析式，然后根据三角函数的性质列出不等()g x 式求解即可．【详解】函数先向右平移个单位长度，得函数()π2sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π18，ππ2sin 32sin 3186y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得函数，()30ωω>()2sin g x x ω=∵，则ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,π4π3x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦∴由题意得：或，解得，则的最小值等于， ππ32ω-≤-π3π42ω≥32ω≥ω32故选：B ．7．已知图中的圆，圆的半径均为2，，，均是边长为.A D ABE A BEC A ECD A 设点为圆上的一点，则的最小值为（ ）P D BD AP ⋅A ．22B ．24C ．-26D ．-48【答案】B【分析】由，结合数量积公式得出的最小值.()BD AP BD AD DP BD AD BD DP ⋅=⋅+=⋅+⋅ BD AP ⋅【详解】因为26,BD AD =⨯︒==所以()BD AP BD AD DP BD AD BD DP ⋅=⋅+=⋅+⋅ cos30cos BD AD DB DP BDP ︒=-⋅∠ 3612cos 3612124BDP =-∠-⨯=…当且仅当时，取等号. 0BDP ∠=︒即的最小值为 BD AP ⋅24故选：B二、多选题8．已知非零平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）a b cA ．若，则；a cbc ⋅=⋅a b = B ．若，则；a b a b +=+ a b AC ．若，则；a b a b +=- a b ⊥D ．若，则或．()()0a b a b +⋅-= a b = a b =- 【答案】BC【分析】根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结论． 【详解】已知非零平面向量，,,a b c若，则，所以，或与垂直，故A 错误； a c b c ⋅=⋅()0a b c -⋅= a b = a b - c 若，则与同向，所以，故B 正确；||||||a b a b +=+a b a b A 若，则，所以，则，故C 正确；||||a b a b +=- 2222||||2||||2a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ 0a b ⋅=a b ⊥ 若，则，所以，不一定有或，故D 错误．()()0a b a b +⋅-= 22||||0a b -= ||||a b = a b = a b =-故选：BC ．9．关于函数，下列描述正确的有（ ） ()|ln |2||f x x =-A ．函数在区间上单调递增 ()f x (1,2)B ．函数的图象关于直线对称 ()y f x =2x =C ．若，但，则 12x x ≠()()12f x f x =122x x +=D ．函数有且仅有两个零点 ()f x 【答案】ABD【分析】根据函数图象变换，可得图像，利用图象注意检测选项，可得答案. 【详解】由函数，轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， ln y x =x ln y x =将轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， y ln ln y x x ==-将函数图象向右平移个单位，可得函数的图象， 2()ln 2ln 2y x x =--=-则函数的图象如图所示.()|ln |2||f x x =-由图可得函数在区间上单调递增，A 正确；()f x (1,2)函数的图象关于直线对称，B 正确；()y f x =2x =若，但，若，关于直线对称，则，C 错误； 12x x ≠()()12f x f x =1x 2x 2x =124x x +=函数有且仅有两个零点，D 正确. ()f x 故选：ABD.10．已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>[]0,π4论，正确的是（ ）A ．在区间上有且仅有个不同的零点 ()f x ()0,π3B ．的最小正周期可能是()f x 2πC ．的取值范围是ω1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．在区间上单调递增 ()f x 0,15π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BC【分析】根据三角函数对称轴情况可得的取值范围，进而判断各选项.ω【详解】解：由函数（），()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω>令，，则，，42x k ππωπ+=+Z k ∈()144k x πω+=Z k ∈函数在区间上有且仅有条对称轴，即有个整数符合，()f x []0,π4()1404k ππω+≤≤4k 由，得，即，()1404k ππω+≤≤()14014k ω+≤≤0144k ω≤+≤则，，，， 0k =123即，1434144ω+⨯≤<+⨯，C 正确； 131744ω∴≤<对于A ，，， ()0,x π∈ ,444x πππωωπ⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭， 79,422πππωπ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭当时，在区间上有且仅有个不同的零点；7,442x πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()f x ()0,π3当时，在区间上有且仅有个不同的零点；故A 错误； 9,442x πππω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭()f x ()0,π4对于B ，周期，由，则，2T πω=131744ω≤<4141713ω<≤， 881713T ππ<≤又，所以的最小正周期可能是，故B 正确； 8821713πππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()f x 2π对于D ，，， 015x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ,,44154x ππωππω⎛⎫∴+∈+ ⎪⎝⎭又， 1317,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭78,1541515ωππππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭又，所以在区间上不一定单调递增，故D 错误；8152ππ>()f x 0,15π⎛⎫⎪⎝⎭故选：BC ．三、填空题11．已知向量，．若，则的值为________； ()2,1a = ()1,2b =- ()()9,8,ma nb m n R +=-∈m n -【答案】3-【分析】利用向量坐标运算可构造方程求得，由此可计算得到结果.,m n 【详解】，，解得：，()()2,29,8ma nb m n m n +=+-=-2928m n m n +=⎧∴⎨-=-⎩25m n =⎧⎨=⎩.3mn ∴-=-故答案为：.3-12．已知非零向量，，若与的夹角等于与的夹角，则(),0a t = (b =- 2a b + a 2a b + bt =__________．【答案】或##或444-4-【分析】根据与的夹角等于与的夹角，建立关于参数 的方程，再对参数 进行2a b + a 2a b + bt t 分类讨论，得出 .4t =±【详解】由题设，， (2)(2)|2||||2|||a b a a b ba b a a b b +⋅+⋅=+⋅+⋅()()22||||2||2||ba b a b a b b ∴+⋅=⋅+ 将代入整理得(,0),(a t b ==- 2284t t t t t +⋅=+当 时， ， ； 0t >2312t t =4t ∴=当 时， ， ， 0t <24t t =-4t ∴=-综上， 的值为 或 . t 44-故答案为：4或.4-13．在平行四边形 中，，为 的中点．若，则的为ABCD 1,60AD BAD =∠=︒E CD ·2AD EB =AB__________． 【答案】12【详解】因为在平行四边形 中，,又,所以ABCD 1+2EB EC CB DC BC ==- ,DC AB BC AD == ，所以12EB AB AD =- 211()22AD EB AD AB AD AB AD AD ⋅=⋅-=⋅- ,所以，故填12. 211|cos 60|1224AB AD AD AB =︒-=-==12AB 14．已知为等边三角形，，所在平面内的点满足的最ABC A 2AB =ABC A P 1,AP AB AC AP --= 小值为____________．【答案】##11-+【分析】构造不等式去求的最小值AP【详解】AB +==则()()1AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=（当且仅当与方向相反时等号成立） AP AB AC -- AB AC +故答案为：1-四、解答题15．已知向量，，，()1,2a = ()3,1b =-()1,cλ=(1)若，求实数的值； ()2c a b +∥ λ(2)向量，互相垂直，试求的值．a kb + -a kb k 【答案】(1) 5λ=-(2)k =【分析】（1）由向量平行的坐标表示列式求解； （2）由向量垂直的坐标表示列式求解.【详解】（1），，()521,a b =-+()1,c λ=当时，，解得. ()2c a b +∥ 50λ+=5λ=-（2）()()13,2,13,2a kb k k a kb k k +=-+-=+-由题意得，则， ()()0a kb a kb +⋅-=()()()()1313220k k k k -+++-=即，解得. 2120k -=k =16．春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t 相关，时间t （单位：小时）满足，.经测024t <≤t ∈N 算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数5160人，当时，候车人数会减1624t ≤≤016t <<少，减少人数与成正比，且时间为6点时，候车人数为3960人，记候车厅候车人数为. (16)t t -()f t (1)求的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数； ()f t (2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为，则一天中哪个()3160320f t P t-=+时间需要提供的矿泉水瓶数最少?【答案】(1)，候车厅候车人数为4200人 ()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪=∈⎨≤≤⎪⎩(2)时，需要提供的矿泉水瓶数最少 10t =【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，代入，可得解析式，代入，可得答案； ()6,396012t =（2）根据题意，写出函数解析式，由基本不等式和反比例函数的单调性，比较大小，可得答案. 【详解】（1）当时，设，，则， 016t <<()5160(16)f t kt t =--(6)3960f =20k =.()()()()51602016,(01)5160,1624t t t f t t N t ⎧--<<⎪∴=∈⎨≤≤⎪⎩，(12)5160201244200f =-⨯⨯=故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人.（2）， ()()10020,(016)2000320,1624t t t P t N t t⎧⎛⎫+<< ⎪⎪⎪⎝⎭=∈⎨⎪+≤≤⎪⎩①当时，，当且仅当时等号成立； 016t <<1002020400P t t ⎛⎫=+≥⨯= ⎪⎝⎭10t =②当时，； 1624t ≤≤200032040324P ≥+≈又，所以时，需要提供的矿泉水瓶数最少.403400>10t =17．已知向量，，其中．，是函数()sin ,cos a x x ωω=),3cos b x x ωω= 0ω>1x 2x 的两个零点，且 ()()21f x b a a =-⋅-12minπ2x x -=(1)求函数的单调增区间； ()f x (2)记，若对于任意的，存在，使得，求实数的()333xx m g x -⋅=[]11,2x ∈-2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12g x f x ≥m 取值范围．【答案】(1)，5ππππ,12122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈(2)13m ≤【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算结合三角恒等变换化简函数为正弦型函数，根据正()f x 弦型函数的性质求得的值，从而可得解析式，即可求函数的单调增区间； ω()f x ()f x （2）根据含参不等的能成立与恒成立将不等式转化为函数最值问题，即()()12g x f x ≥，分别根据指数函数与正弦型函数的性质求最值，即可列不等式求得实数的()()12min min g x f x ≥m 取值范围．【详解】（1）()()2221221cos 6cos 3f x b a a a b a x x x ωωω=-⋅-=⋅--=+-，()π231cos 2323x x x ωωω⎛⎫=++-=+ ⎪⎝⎭所以时，即的两个根为，又，()0f x =πsin 203x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭12,x x 12min π2x x -=所以函数的最小正周期满足，，故，所以 ()f x T 1π22T =2ππ2T ω==1ω=于是有，函数在上的增区间满足：，，()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭R πππ2π22π232k x k -+≤+≤+Z k ∈解得，5ππππ1212k x k -+≤≤+Z k ∈所以函数单调增区间为，5ππππ,12122k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦Z k ∈（2）由题意可知对于任意的，存在，使得[]11,2x ∈-2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12g x f x ≥即， ()()12min min g x f x ≥又是单调递减，则时，()13xg x m -=-[]11,2x ∈-11()(2)3g x g m ≥=-当时，，所以2π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2ππ2,π33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()2min 0f x =所以，解得，实数的取值范围为.103m -≥13m ≤m 13m ≤18．在直角梯形中，已知，，，，，动点、分ABCD AB DC A AD AB ⊥1CD =2AD =3AB =E F别在线段和上，和交于点，且，，．BC DC AE BD M BE BC λ= ()1DF DC λ=-R λ∈(1)当时，求的值； 0AE BC ⋅=λ(2)当时，求的值；23λ=DM MB (3)求的取值范围．12AF AE +【答案】(1)；34(2)； 56(3)﹒【分析】(1)在直角梯形ABCD 中，根据几何关系求出∠ABC 和BC 长度，当AE ⊥BC 时，求出BE长度，从而可得； BEBC λ=(2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x 、y 的方AM xAE = DM yDB = ,AB AD AM程组，解方程组可得； 1DM yMB y=-(3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出,AB AD AEAF 12AF AE + 212AF AE + 的范围．12AF AE +【详解】（1）在直角梯形中，易得，ABCD 4ABC π∠=BC =∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴0AE BC ⋅= AE BC ⊥ABE A BE 故； 34BE BC λ==（2）()3AE AB BE AB BC AB BA AD DC AB AB AD AB λλλλλ=+=+=+++=-++ ， 213AB AD λλ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭当时，，23λ=5293AE AB AD =+设，，AM xAE = DM yDB = 则， 5293AM xAE xAB xAD ==+ ，())(1AM AD DM AD yDB AD y D B y AB y A A A D =+=+=++-+= ∵不共线，∴，解得，即； ,AB AD 59213x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩516y y =-56DM MB =（3）∵，， 1(1)3AF AD DF AD DC AD AB λλ-=+=+-=+ 213AE AD AB λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∴， 15212263AF AE AD AB λλ⎛⎫⎛⎫+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222152|521||4192263263|AF AE AD AB λλλλ⋅⎛⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫+=++-⋅=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ＝， 222541(2)25624λλλλ⎛⎫++-=-+⎪⎝⎭由题意知，，[]0,1λ∈∴当时，取到最小值， 35λ=AE AF +当时，取到最大值0λ=AE AF + ∴的取值范围是． 12AF AE + 19．已知向量，，定义函数．(),1a x = ()()2,log 41x b m =+ ()f x a b =⋅ (1)若函数为偶函数，求实数的值；()f x m (2)当时，关于的方程，在区间上恰有两个不同的0m >x ()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦⎡⎣实数解，求实数的范围．m 【答案】(1)1m =-(2) 8,19⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）若是偶函数，则有恒成立，结合对数的运算，可得对()f x ()()f x f x -=22mx x =-恒成立，可求得结果；x ∈R（2）在上单调递增，且，则()2()log 41x f x mx =++R (0)1f =，得，令，()242148log 2log 4(0)f x f x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦()22242log 2log 40x x m -+-=2log t x =30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，问题转化为在上有两解，即与的图象恰有两个24224t t m =-++30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦219222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭4y m =不同的交点，利用二次函数的性质即可得出答案.【详解】（1），定义域为， ()()2log 41x f x a b mx =⋅=++ R 若是偶函数，则有恒成立，即：，()f x ()()f x f x -=()2log 41x mx -+-=()2log 41x mx ++则， ()()222log 41log 41x x mx -=+-+=()2241log log 4124x x x x +-+=-即对恒成立，故；22mx x =-x ∈R 1m =-（2）当时，在上单调递增，在也单调递增，0m >()2log 41x y =+R y mx =R 所以在上单调递增，且， ()2()log 41x f x mx =++R (0)1f =则可化为， ()242148log 2log 41f x x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦()242148log 2log 4(0)f x f x m ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦又因为单调递增，得，换底得，()f x ()242148log 2log 40x x m ++-=2222log 482log 40log 4x x m⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭即， ()22242log 2log 40x x m-+-=令，因，则， 2log t x =1,x ⎡∈⎣30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦问题转化为在上有两解，即在上有两解， 242240t t m -+-=30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦24224t t m =-++30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，， 2219224222y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭302t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭即与的图象恰有两个不同的交点， 219222y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭4y m =当时，；当时，；当时，， 12t =max 92y =0=t 4y =32t =52y =因此，又，解得， 4942m ≤<0m >819m <≤故实数的范围是． m 8,19⎛⎤ ⎥⎝⎦。
陕西省西安市高一下学期第一次考练数学试题(解析版)
一、单选题1．下列说法正确的是（ ）①有向线段三要素是始点、方向、长度； ②向量两要素是大小和方向；③同向且等长的有向线段表示同一向量；④在平行四边形中，． ABCD AB DC =A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④【答案】D【分析】根据有向线段的定义、向量的定义，同一向量的定义逐一判断即可. 【详解】由有向线段、向量、同一向量的定义可以判断①②③正确， 由平行四边形的性质可知，显然④正确， ,//AB DC AB DC =故选：D2．在平行四边形ABCD 中，A (1，2)，B (3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）AD AC BDA ．(－2，4)B ．(4，6)C ．(－6，－2)D ．(－1，9)【答案】A【分析】利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.【详解】在平行四边形ABCD 中，因为A (1，2)，B (3，5)，所以.又，所以()2,3AB =()1,2AD =- ，，所以. ()1,5AC AB AD =+= ()3,1BD AD AB =-=-- ()2,4AC BD +=-故选:A.3．已知，是平面内的一组基底，，，，若A ，B ，C1e 2e 1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -=三点共线，则实数k 的值为（ ） A ． B ．0C ．1D ．21-【答案】A【分析】A ，B ，C 三点共线可转化为，结合向量的运算与向量相等即可求解AB AC λ=【详解】因为，，，1232OA e e =+ 124OB e ke =+ 1254OC e e -=所以，()()()1212124322AB OB OA e ke e e e k e =-=-+++=- ，()()121212543622AC OC OA e e e e e e -=-=-+=- 又因为A ，B ，C 三点共线，所以，即，AB AC λ=()()1212262e k e e e λ-=+- 所以，解得，2162k λλ=⎧⎨-=-⎩11,2k λ=-=故选：A4．已知向量，夹角的余弦值为，且，，则（ ）a b14-4a = 1= b ()()2a b b a -⋅-= A ．－36 B ．－12 C ．6 D ．36【答案】A【分析】展开后直接利用向量数量积公式计算可得答案.【详解】．()()222222232-⋅-=⋅--+⋅=⋅-- a b b a a b a b a b a b b a 134********⎛⎫=⨯⨯⨯---⨯⎪⎝=- ⎭故选：A ．5．在中，为的重心，为上一点，且满足，则（ ）ABC ∆G ABC ∆M AC 3MC AM =GM = A ．B ．11312AB AC +11312AB AC --C ．D ．17312AB AC +17312AB AC --【答案】B【解析】首先根据为的重心得到，结合以及向量的线性运G ABC ∆()13AG AB AC =+ 3MC AM =算，求得的表达式.GM【详解】因为为的重心，所以.G ABC ∆()()211323AG AB AC AB AC =⨯+=+又，所以，所以3MC AM = 14AM AC = 11111334312GM GA AM AB AC AC AB AC ⎛⎫=+=-++=-- ⎪⎝⎭， 故选：B.【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查三角形重心的向量表示，属于基础题.6．已知点P 是所在平面内一点，若，则与的面积之比是ABC A 3255AP AB AC =+ABP A ACP △（ ） A ． B ． C ． D ．3:12:31:31:2【答案】B【分析】先依据共线向量几何意义判断出点P 的位置，再去求与的面积之比 ABP A ACP △【详解】由()()323232555555AP AB AC AP PB AP PC AP PB PC =+=+++=++可得，即点P 在线段BC 上，且32PC BP = 32PC BP =则与的面积之比等于 ABP A ACP △:BP PC =2:3故选：B7．三角形两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（ ）．35A ．钝角三角形； B ．锐角三角形；C ．直角三角形；D ．不能确定．【答案】B【分析】由题意，利用余弦定理求得三边，再求得三角的余弦值判断.【详解】解：设三角形两边a ，b 之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，35则，，， 2a b -=3cos 5C =4sin 5C =由，得， 1sin 142ab C =35ab =解得，7,5a b ==由余弦定理得， 2222cos 32c a b ab C =+-=则c =所以，222222cos 0,cos 022c a b b c a B A ac bc +-+-==>==>所以三角形是锐角三角形， 故选：B8．如图，在中，，，与交于，，则为ABC A 2AD DB =3AE EC =CD BE F AF xAB y AC =+(),x y （ ）A ．B ．C ．D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】由题意，利用三点共线和三点共线分别表示，根据平面向量基本定理,,B F E ,,C F D AF求解即可【详解】∵，，2AD DB =3AE EC =∴，34AF AB BF AB BE AB AC AB λλ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()314AB AC λλ=-+ 同理，向量还可以表示为 AF，23AF AC CF AC CD AC AB AC μμ⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭()213AB AC μμ=+- 所以 解得，所以， 21,331,4λμλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩23λ=1132AF AB AC =+ 所以，，所以为，13x =12y =(),x y 11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：A ．二、多选题9．设向量，满足，且，则以下结论正确的是（ ） a b||||1a b == |2|b a -= A ． B． C ．D ．向量，夹角为a b ⊥||2a b +=||a b -=a b60︒【答案】AC【分析】先由题给条件求得，从而得到选项A 判断正确，选项D 判断错误；求得的0a b ⋅=||a b +值判断选项B ；求得的值判断选项C.||a b -【详解】由，可得，|2|b a -=22445b a a b +-⋅= 又，则，||||1a b == 1445a b +-⋅=即，则.则选项A 判断正确；选项D 判断错误；0a b ⋅=a b ⊥B 判断错误； ||a b+== ，则选项C 判断正确.||a b -== 故选：AC10．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是ABC A ,,A B C ,,a b c 60,4B b =︒=（ ） A ．若，则B ．若，则该三角形有两解 π4A=a =92a =C ．周长有最大值12D ．面积有最小值ABC A ABC A 【答案】ABC【分析】对于ABC ，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D ，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可. 164sin sin sin 23ABC S ac B A C ==A 【详解】对于A ，，，由正弦定理得60,4B b =︒=π4A =sin sin b a B A =所以A 正确；sin sin b Aa B===对于B ，由正弦定理得得，所以，sin sin b a B A=sin sin 1a B A b ====<因为有两个解， ,a b A B A >⇒>所以该三角形有两解，故B 正确； 对于C ，由，得2222cos b a c ac B =+-，2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+所以，当且仅当时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 8a c +≤a c =对；对于D 得, sinsin sin b a cB AC ===,a A c C ==故 164sin sin sin 23ABC S ac B A C ==Asin(120)A A ︒=-1sin )2A A A =+12(1cos 2)4A A ⎤=+-⎥⎦11cos(260)22A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1cos(2120)2A ︒⎤=-+⎥⎦由于，1(0,120),2120(120,120),cos(2120),12A A A ︒︒︒︒︒︒⎛⎤∈---∈- ⎝∈⎥⎦无最小值，所以面积无最小值，有最大值为D 错误. ABC A 故选：ABC11．如图，在平行四边形ABCD 中，已知F ，E 分别是靠近C ，D 的四等分点，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．12EF AB = 34AF AB AD =-+C ．D ．34BE AB AD =+ ()()22916BE AF AD AB ⋅=- 【答案】AD【分析】结合图形，利用平面向量的线性运算与数量积运算，对选项逐一判断即可. 【详解】对选项A ：，正确；1122EF DC AB ==对选项B ：，错误； 3344AF AD DF AD DC AB AD =+=+=+ 对选项C ：，错误；3344BE BC CE AD CD AB AD =+=+=-+对选项D ：，正确. ()()223394416BE AF AB AD AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：AD12．已知向量，，且，则下列说法正确的是（ ）()cos ,sin m αα= ()cos ,sin n ββ= ()1,1m n += A ． B ．221m n += ()cos 0αβ-=C ．D ．的值为()sin 1αβ+=-m n -【答案】BD【分析】根据向量的模长的计算公式可判断A ，根据单位圆以及向量的加法平行四边形法则即可判断BC ，由模长公式以及垂直关系即可判断D.【详解】，，即有，故选项A 错误；21m = 21n = 222m n += 不妨设，如图，设点、、的坐标为，，，即可得点，αβ<A B C ()cos ,sin αα()cos ,sin ββ()1,1A 在单位圆上.B 221x y +=根据向量加法的平行四边形法则，四边形为正方形，据此不妨设，，从而可得：OACB 0α=π2β=，，即可得选项B 成立，选项C 错误. ()cos 0αβ-=()sin 1αβ+=由可得：，可得：，，则可()1,1m n += ()2222m n m n +=+⋅= 20m n ⋅=22222m n m n m n -=+-⋅=得：D 成立.m 故选：BD三、填空题13．若向量与相等，其中，则=_________. 2(3,34)a x x x =+--AB (1,2),(3,2)A B x 【答案】-1【详解】试题分析：由可得，又，所以=0且=2，解(1,2),(3,2)A B ()2,0AB =u u u r a AB =234--x x 3x +得.=1x -考点:向量的端点坐标与向量坐标间的关系，相等向量坐标间关系.14．已知向量满足且，则在方向上的投影向量为,a b||3,||2a b == ()()25a b a b -⋅+= a b __________.【答案】b -【分析】先根据数量积的运算律求，进而求在方向上的投影向量.a b ⋅ a b【详解】∵，且，()()2222a b a b a a b b -⋅+=-⋅-r r r r r r r r ||3,||2a b ==则，解得，223225a b -⋅-⨯=r r4a b ⋅=- 故在方向上的投影向量为. a b()24cos ,4b a b b a b a a ba b b b b a bb b ⎛⎫⎛⎫⋅⋅- ⎪====- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r r r r r r r r r r r 故答案为：.b -15．在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线ABC ∆O BC 2OC OB =O ,AB AC 于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为________.,E F ,AB mAE AC nAF == 1t m n+83t 【答案】2【分析】利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则233m n AO AE AF =+ 2133m n+=，展开后利用基本不等式可得的最小值为12133t m n t m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1t m n +233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为列方程求解即可.1t m n+83【详解】因为点是的三等分点，O BC ||2||OC OB = 则， 1112123333333m n AO AB BO AB BC AB AC AB AB AC AE AF =+=+=+-=+=+又由点三点共线，则， ,,E O F 2133m n+=12122333333t m n t t mt n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭223333t t ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…当且仅当时，等号成立， 222tm n =即的最小值为,则有, 1t m n +233t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭28333t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭解可得或(舍），故，故答案为2.2t =18-2t =【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号≥≤能否同时成立）.16．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.现选择与山脚在M N ､M N ､B C ､同一平面的点为观测点，从点测得点的仰角点的仰角以及A A M 60,MAC N ∠= 30NAB ∠=，若米，等于__________米.45MAN ∠= 100AC =AB =MN【答案】【分析】在中根据求出，在中根据求出，Rt ACM △cos 60AC AM ︒=AMR t ABN △cos30ABAN ︒=AN 在中由余弦定理得：求解. AMN A 2222cos 45MN AM AN AN AM ︒=+-⋅【详解】在中，，Rt ACM △60,MAC ∠= 100AC =所以， 1002001cos 602AC AM ︒===在中，，，R t ABN △30NAB ∠=AB =所以cos30AB AN ︒===在中，，，AMN A 45MAN ∠=200AM=AN =由余弦定理得：222222cos 4520010022200MN AM AN AN AM ︒=+-⋅=+⨯-⨯⨯22221004100210041002=⨯+⨯-⨯=⨯所以米). MN =故答案为：.四、解答题 17．计算：(1)； ()()()2310353a b b a a +--+- (2). ()()()()2353,,R a b a b λμλμλμ+--+--∈【答案】(1)1411515a b +(2) ()(578)14a b λμλμ+++【分析】（1）利用平面向量线性运算的运算律进行计算. （2）利用平面向量线性运算的运算律进行计算.【详解】（1）原式=2233110335533a b b a a +-++- 231231()(0)353353a a a b b =+-+-+ . 1411515a b =+ （2）原式=()()()()2353a b a b λμλμ+--+--()()()()235335a b a b λμλμλμλμ=+-+++++()()2235915a b λμλμλμλμ=+++++--.57(81)()4a b λμλμ+++=18．在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且. ABC A ()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+(1)求角A 的大小；(2)若，且的周长.a =ABC A ABC A 【答案】(1)π3(2)【分析】（1）由，根据正弦定理化简得，利用()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+22()3b c a bc +=+余弦定理求得，即可求解； 1cos 2A =（2）由，结合余弦定理，求得. ABC A 4bc =b c +=【详解】（1）由题意及正弦定理知，，22()3b c a bc +=+222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，.0πA << π3A ∴=（2）， a = 226b c bc ∴+-=①又 1=sin 2S bc A 4bc ∴=②由①，②可得 b c +=所以的周长为ABC A 19．已知，，.1a =12a b ⋅= 1()()2a b a b =-⋅+ (1)求 与 的夹角 ；a bθ(2)求 与 的夹角的余弦值． a b-a b + α【答案】(1)；4π【分析】（1）先由已知求出，再代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角； 1()()2a b a b =-⋅+ b （2）先求出与，同样代入两个向量夹角的余弦公式求得夹角；a b -a b + 【详解】（1）由已知，得， 1()()2a b a b =-⋅+2212a b -= 因为，所以1a = b =r 又，12a b ⋅=所以cos ， θa b a b ⋅=== 因为，所以. []0θπ∈，4πθ=（2）因为，所以 ()222122a b a a b b -=-⋅+= a -因为. ()222522a b a a b b +=+⋅+=所以. ()()cos a b a ba b a b α⋅+===+ --20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径、两点间的距离，先在珊瑚群岛A B 上取两点、，测得米，，，.C D 40CD =135ADB ∠= 15BDC DCA∠=∠= 120ACB∠=（1）求，两点的距离；B D （2）求、两点的距离.A B 【答案】（1）2）.【分析】（1）根据已知条件可求出、，在中由正弦定理即可求； DCB ∠DBC ∠BCD △BD （2）根据已知条件求出、，在中由余弦定理即可求解.ADC ∠DAC ∠ABD △【详解】（1）由题意可知，，.15BDC DCA ∠=∠= 120ACB ∠= 40CD =所以，，135DCB ∠= 30DBC ∠= 在中，由正弦定理，得. BCD △sin sin CD BD DBC DCB=∠∠所以. sin 40sin 135sin sin 30CD DCB BD DBC ∠∠===∠∠所以，两点的距离为.B D （2）在中，，，ACD A 135ADB ∠= 15BDC DCA ∠=∠= 所以，，150ADC ∠= 15DAC ∠= 所以米.40AD DC ==在中，由余弦定理得：ABD △2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠，(2240240⎛=+-⨯⨯ ⎝8000=所以AB =所以、两点的距离为.A B 21．如图，已知，设向量是与向量垂直的单位向量.(1,1),(5,4),(2,5)A B C a AB （1）求单位向量的坐标；a（2）求向量在向量上的投影向量的模；AC a （3）求的面积. ABC A ABC S A【答案】（1）或；（2）；（3） 34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34,55a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 135132【分析】（1）设出向量坐标，根据模长为1，以及与向量垂直，列方程组求解即可；AB （2）计算出向量的坐标，再根据（1）中所求，利用投影计算公式即可求得；AC （3）由（2）可知三角形的高，再利用向量的坐标求得底边长，即可求面积. AB 【详解】（1）设，根据题意可得 (),a x y = ()4,3,5,1AB AB a === 又因为与垂直，即可得AB a 0AB a ⋅=故可得： 224301x y x y +=⎧⎨+=⎩解得，或 3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以或. a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）设向量与单位向量的夹角为，在上的投影向量为，AC a θAC a h 则； AC a h AC cos AC a aθ⋅===⋅ 又因为，故当时，； ()1,4AC = a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭341314555h ⎛⎫=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭当时，. a 34,55⎛⎫=- ⎪⎝⎭h 341314555⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭所以向量在向量上的投影向量的模为. AC a 135（3）由（1）可知：，由（2）可知， 5AB = 135h = 故. 12ABC S AB h =⨯A 113135252=⨯⨯=【点睛】本题综合考查向量的坐标运算，涉及模长的求解，投影的求解，属综合性基础题. 22．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，ABC A A B C a b c 2b ac =D AC .sin sin BD ABC a C ∠=（1）证明：；BD b =（2）若，求.2AD DC =cos ABC ∠【答案】（1）证明见解析；（2）. 7cos 12ABC ∠=【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论. ac BD b =（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边与的关系，然后利用余弦定理即可求得的a c cos ABC ∠值.【详解】（1）设的外接圆半径为R ，由正弦定理，ABC A 得， sin sin ,22b c R ABC C R==∠因为，所以，即． sin sin BD ABC a C ∠=22b c BD a R R⋅=⋅BD b ac ⋅=又因为，所以． 2b ac =BD b =（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为，如图，在中，，① 2AD DC =ABC A 222cos 2a b c C ab+-=在中，．② BCD △222()3cos 23b a b b a C +-=⋅由①②得，整理得． 2222223()3b a bc a b ⎡⎤+-=+-⎢⎥⎣⎦22211203a b c -+=又因为，所以，解得或， 2b ac =2261130a ac c -+=3c a =32c a =当时，（舍去）． 22,33c c a b ac ===3c a b c +=+<当时，． 2233,22c c a b ac ===22233()722cos 31222c c ABC c c c +⋅-==⋅∠所以． 7cos 12ABC ∠=[方法二]：等面积法和三角形相似 如图，已知，则， 2AD DC =23ABD ABC S S =△△即，21221sin sin 2332b ac AD A B BC ⨯=⨯⨯∠∠而，即，2b ac =sin sin ADB ABC ∠=∠故有，从而．ADB ABC ∠=∠ABD C ∠=∠由，即，即，即， 2b ac =b c a b =CA BA CB BD=ACB ABD A A ∽故，即， AD AB AB AC =23b c c b=又，所以， 2b ac =23c a =则． 2227cos 212c a b ABC ac +-==∠[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知，再由得． BD b AC ==2AD DC =21,33AD b CD b ==在中，由正弦定理得． ADB A sin sin AD BD ABD A=∠又，所以，化简得． ABD C ∠=∠s 3sin n 2i C b Ab =2sin sin 3C A =在中，由正弦定理知，又由，所以． ABC A 23c a =2b ac =2223b a =在中，由余弦定理，得． ABC A 222222242793cos 221223a a a a cb ABC ac a +--⨯∠+===故． 7cos 12ABC ∠=[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作，交于点E ，则．DE AB ∥BC DEC ABC △∽△由，得． 2AD DC =2,,333c a a DE EC BE ===在中，． BED A 2222()()33cos 2323BED a c b a c -=⋅∠+⋅在中． ABC A 222cos 2a a BC c A b c+-=∠因为，cos cos ABC BED ∠=-∠所以， 2222222()()3322233a c b a c b a c ac +-+-=-⋅⋅整理得．22261130a b c -+=又因为，所以，2b ac =2261130a ac c -+=即或． 3c a =32a c =下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为，所以．2AD DC =2AD DC =u u u r u u u r 以向量为基底，有． ,BA BC 2133BD BC BA =+ 所以， 222441999BD BC BA BC BA =+⋅+ 即， 222441cos 999b ac c ABC a ∠=++又因为，所以．③2b ac =22944cos ac a ac ABC c ⋅∠=++由余弦定理得，2222cos b a c ac ABC =+-∠所以④222cos ac a c ac ABC =+-∠联立③④，得．2261130a ac c -+=所以或． 32a c =13a c =下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，所在直线为x 轴，过点D 垂直于的直线为y 轴，AC AC 长为单位长度建立直角坐标系，DC 如图所示，则．()()()0,0,2,0,1,0D A C -由（1）知，，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．3BD b AC ===设，则．⑤()(),33B x y x -<<229x y +=由知，，2b ac =2BA BC AC ⋅=．⑥ 9=联立⑤⑥解得或（舍去），， 74x =-732x =≥29516y =代入⑥式得， ||||3a BC c BA b =====由余弦定理得． 2227cos 212a cb ABC ac +-∠==【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.。
陕西省西安市高一数学下学期第一次月考试题(有答案)
陕西省西安市高一数学下学期第一次月考试题分值： 100分 时间： 100分钟一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．完成下列两项调查：①一项对“小彩旗春晚连转四小时”的调查中有10 000人认为这是成为优秀演员的必经之路，有9 000人认为太残酷，有1 000人认为无所谓.现要从中随机抽取200人做进一步调查.②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次是（ ） A ．①简单随机抽样，②系统抽样 B ．①分层抽样，②简单随机抽样 C ．①系统抽样，②分层抽样 D ．①②都用分层抽样 2．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2 000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28 800人，如图是对这28 800人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 ( )．A ．2 160B ．2 880C ．4 320D ．8 6403．下列说法正确的是 ( )．A ．任何事件的概率总是在(0，1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．概率是随机的，在试验前不能确定D ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率4四种正确的是( )．A ．蓝白区域大B ．红黄区域大C ．一样大D ．由指针转动圈数决定5．从1、2、3、4、5、6这6个数字中，一次性任取两数，两数都是偶数的概率是 ( )． A.12B.13C.14D.156．如果执行下面的算法框图，输入x ＝－2，h ＝0.5，那么输出的各个数的和等于( )．A．3 B．3.5 C．4 D．4.57．已知直线y＝x＋b，b∈[－2，3]，则直线在y轴上的截距大于1的概率为( )．A.15B.25C.35D.458. 如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )．A．161 cm B．162 cm C．163 cm D．164 cm9．如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是 ( )．A．12.5 13B．12.5 12.5C．13 12.5D．13 1310. 甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为x甲，x乙，则下列叙述正确的是( )．A．x甲>x乙；乙比甲成绩稳定 B．x甲>x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲<x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲<x乙；甲比乙成绩稳定二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分)11、某鱼贩一次贩运草鱼、青鱼、鲢鱼、鲤鱼及鲫鱼分别为80条、2040条、20条，现从中抽取一个容量为20抽取样本，则抽取的青鱼与鲤鱼共有______条．12、如右图，面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分，若往矩形ABCD个点，落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个，试估计阴影部分的面积为。
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2015-2016学年陕西省西安三十三中高一（下）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是（）A．总体 B．个体C．总体的一个样本D．样本容量2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a3．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为（）A．12 B．20 C．30 D．404．一批热水器共98台，其中甲厂生产的有56台，乙厂生产的有42台，用分层抽样从中抽出一个容量为14的样本，那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是（）A．甲厂9台，乙厂5台B．甲厂8台，乙厂6台C．甲厂10台，乙厂4台D．甲厂7台，乙厂7台5．一组数据的方差为3，将这组数据中的每一个数据都扩大到原来的3倍，所得到的一组数据的方差是（）A．1 B．27 C．9 D．36．在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2（3x1﹣3）2+（3x2﹣3）2+…+（3xn﹣3）29（x1﹣）2+9（x2﹣）2+…+9（x n﹣）2（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2a，b）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m，在该组上的频率直方图的高为h，则|a﹣b|为（）A．hm B．C．D．h+m【考点】频率分布直方图．【分析】根据题意、以及频率直方图中每组上的频率直方图的高为即可求出|a﹣b|．【解答】解：根据频率直方图中每组上的频率直方图的高为知，，所以|a﹣b|=，故选：B．7．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则y与x的线性回归方程=bx+a必过（）A．（2，2）B．（1.5，3.5）C．（1，2）D．（1.5，4）【考点】线性回归方程．【分析】求出x的平均值，y的平均值，回归直线方程一定过样本的中心点（，），代入可得答案．【解答】解：回归直线方程一定过样本的中心点（，），∵=1.5，=4，∴样本中心点是（1.5，4），则y与x的线性回归方程y=bx+a必过点（1.5，4），故选：D8．下面四种叙述能称为算法的是（）A．在家里一般是妈妈做饭B．做米饭需要刷锅、淘米、添水、加热这些步骤C．在野外做饭叫野炊D．做饭必须要有米【考点】算法的概念．【分析】用算法的定义逐一来分析判断各选项的正确与否．【解答】解：算法的特点：有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性算法可以用自然语言、图形语言，程序语言来表示，同一问题可以用不同的算法来描述，但结果一定相同，故选：B．9．时针走过2时40分，则分针转过的角度是（）A．80°B．﹣80°C．960°D．﹣960°【考点】任意角的概念．【分析】由于时针都是顺时针旋转，故由时针走过2小时40分，即可求分针转过的角的度数．【解答】解：∵40÷60=，∴360°×=240°，由于时针都是顺时针旋转，∴时针走过2小时40分，分针转过的角的度数为﹣2×360°﹣240°=﹣960°，故选：D．10．下列说法中正确的是（）A．第一象限角一定是负角B．直角是象限角C．钝角是第二象限角D．终边与始边均相同的角一定相等【考点】任意角的概念．【分析】直接利用象限角、轴线角、钝角和终边相等角的概念逐一核对四个选项得答案．【解答】解：30°是第一象限角，为正角，故A错误；直角是轴线角，故B错误；钝角的范围为（90°，180°），是第二象限角，故C正确；0°，360°角的终边与始边均相同，但不相等，故D错误．故选：C．二、填空题（每小题4分，共16分）11．观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图：则新生婴儿体重在的频率为0.3．【考点】频率分布直方图．【分析】观察频率分布直方图在上的高，根据小长方形的面积=组距×，建立等式关系，解之即可．【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积=组距×，∴新生婴儿体重在的频率为0.001×300=0.3故答案为：0.312．一个容量为n的样本分成若干组，已知某组的频数和频率分别是30和0.25，则n= 120．【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征．【分析】根据样本容量与频率、频数的关系是频率=，求出答案即可．【解答】解：根据题意，得样本容量为=120．故答案为：120．13．已知一个回归直线方程为=1.5x+45（x i∈{1，5，7，13，19}），则=58.5．【考点】线性回归方程．【分析】求出=（1+7+5+13+19）=9，代入回归方程为=1.5x+45，能求出．【解答】解：∵=（1+7+5+13+19）=9，回归方程为=1.5x+45，∴=1.5×9+45=58.5．故答案为：58.5．14．960°的终边在第三象限．（填汉字）【考点】象限角、轴线角．【分析】写出0°到360°内与960°终边相同的角得答案．【解答】解：∵960°=2×360°+240°，且180°＜240°＜270°，∴960°的终边在第三象限．故答案为：三．三、解答题（本大题共54分）15．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩（单位：分）如下：甲组：76 90 84 86 81 87 86 82 85 93乙组：82 84 85 89 79 80 91 89 79 74用茎叶图表示两个小组的成绩，并判断哪个小组的成绩更整齐一些．【考点】茎叶图．【分析】将数的十位作为一个主干（茎），将个位数作为分枝（叶），列在主干的左或右面，画出茎叶图．【解答】解：甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如下：容易看出甲组成绩较集中，即甲组成绩更整齐些．16．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是：甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7乙：6 7 7 8 6 7 8 7 9 5（1）分别计算以上两组数据的平均数；（2）分别求出两组数据的方差；（3）根据计算结果，估计两名战士的射击情况．【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据平均数的公式：平均数=所有数之和再除以数的个数，分别做出两组数据的平均数．（2）方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算，（3）根据方差越小，成绩越稳定，反之也成立，从方差来看乙的方差较小，乙的射击成绩较稳定．【解答】解：（1）=（8+6+…+7）=7（环）=（6+7+…+5）=7（环）2==3（环2），（2）S甲2==1.2（环2），S乙（3）从平均数看甲﹑乙两名战士的成绩相同．从看方差乙的方差较小，乙的射击成绩较稳定．综上乙射击成绩较好．17．以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：房屋面积（m2）115 110 80 135 105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）用最小二乘法求线性回归方程；（3）据（2）的结果估计当房屋面积为150㎡时的销售价格．【考点】线性回归方程；散点图．【分析】（1）根据表中所给的五对数据，在平面直角坐标系中描出这五个点，得到这组数据的散点图．（2）根据表中所给的数据，求出横标和纵标的平均数，把求得的数据代入求线性回归方程的系数的公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程．（3）根据第二问求得的线性回归方程，代入所给的x的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值．【解答】解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2）=109，=23.2，=60975，=115×24.8+110×21.6+80×18.4+135×29.2+105×22=12952，则=≈0.1962=23.2﹣0.1962×109≈1.8142，故所求回归直线方程为=0.1962x+1.8142；（3）据（2），当x=150m2时，销售价格的估计值为：=0.1962×150+1.8142=31.2442（万元）18．写出解方程x2﹣2x﹣3=0的一个算法．【考点】设计程序框图解决实际问题．【分析】由算法的概念可知：算法是先后顺序的，结果明确性，每一步操作明确的，根据已知x2﹣2x﹣3=0，求方程解的先后顺序，即可得到答案．【解答】解：算法如下：第一步：因式分解，得到（x﹣3）（x+1）=0；第二步：得到x﹣3=0或x+1=0；第三步：解得x=3或﹣1．19．（1）判断下列各角是第几象限角：①606°②﹣950°（2）写出与﹣457°角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．【考点】象限角、轴线角．【分析】（1）分别把两个角写为k•360°+α的形式得答案；（2）直接写出终边相同角的集合，取k=1得到一个角分析．【解答】解：（1）①606°=360°+246°，∵180°＜246°＜270°，∴606°为第三象限角；②﹣950°=360°×（﹣3）+130°，∴﹣950°是第二象限角；（2）与﹣457°角终边相同的角的集合为{α|α=﹣457°+k•360°，k∈Z}．当k=1时，有一个角为﹣97°，∴为第三象限角．2016年10月21日。