立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

2017届高二数学导学案编写 审核 审批

课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

第 周

第 课时 班 组 组评 姓名 师评

【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容；

2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题；

3、当堂完成课堂检测题目；

4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成

【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘；

2．了解空间向量的基本定理；

3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法

【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法

【学习方法】学案导学法，合作探究法。

【自主学习·梳理基础】

1、 考点深度剖析

利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】

1.直线的方向向量与平面的法向量的确定

①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直线l 的方向向量，与AB →

平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．

②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，

则求法向量的方程组为⎩⎪⎨

⎪⎧

n·a ＝0，

n·b ＝0.

2.用向量证明空间中的平行关系

①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2.

②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2.

③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u .

④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系

①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)，

a ⊥

b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)．

【课堂合作探究】

探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，

N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在

棱

1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP .

当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ .

探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .

探究三：在边长是2的正方体ABCD-1111

A B C D

中，,E F分别为

1

,

AB A C的中点. 应用空间向量

方法求解下列问题.

(1)求EF的长

(2)证明：//

EF平面

11

AA D D；

(3)证明: EF⊥平面

1

A CD.

【当堂测试】

1.【人教A版选修2-1P101练习2改编】已知l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法

向量为

⎝

⎛

⎭⎪

⎫

1，

1

2

，2，则m＝________.

2.【改编自大纲卷】如图，三棱柱

111

ABC A B C

-中，点

1

A在平面ABC内的射影D在AC上，

90

ACB

∠=，

1

1,2

BC AC CC

===.

（I）证明：

11

AC A B

⊥；

D

B1

C

C1

A1

A

B

【课后巩固】

1.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝

3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

2. 如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，

(1) 试证：A1、G、C三点共线；

(2) 试证：A1C⊥平面BC1D；

3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1

的正方形，侧棱A1A＝2.

(1)证明：AC⊥A1B；

(2)是否在棱A1A上存在一点P，使得

1

AP PA

λ

=且面AB1C1⊥面PB1C1.

本节课我学会了

掌握了那些

还有哪些疑问

2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批