2020版高考数学一轮复习课后限时集训7二次函数与幂函数含解析理201906273114

课后限时集训(七)

(建议用时：60分钟) A 组 基础达标

一、选择题

1．(2019·孝义模拟)函数f (x )＝2x 2

－mx ＋3，若当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f (1)等于( )

A ．－3

B ．13

C ．7

D ．5

B [由题意知m

4＝－2，即m ＝－8，所以f (x )＝2x 2

＋8x ＋3，所以f (1)＝2×12

＋8×1＋3

＝13，故选B.]

2．函数f (x )＝(m 2

－m －1)x m

是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2

C ．3

D ．－1或2

B [由题意知⎩⎪⎨

⎪⎧

m 2－m －1＝1，m ＞0，

解得m ＝2，故选B.]

3．已知函数f (x )＝x 2

－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( )

A ．[1，＋∞)

B ．[0,2]

C ．(－∞，2]

D ．[1,2]

D [f (x )＝x 2

－2x ＋3＝(x －1)2

＋2，且f (0)＝f (2)＝3，f (1)＝2，则1≤m ≤2，故选D.] 4．(2019·舟山模拟)已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)＞f (1)，则( )

A ．a ＞0,4a ＋b ＝0

B ．a ＜0,4a ＋b ＝0

C ．a ＞0,2a ＋b ＝0

D ．a ＜0,2a ＋b ＝0

A [由f (0)＝f (4)，得f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b

2a

＝2，所以4a ＋b ＝0，又

f (0)＞f (1)，所以f (x )先减后增，所以a ＞0，故选A.]

5．若关于x 的不等式x 2

＋ax ＋1≥0在区间⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，12上恒成立，则a 的最小值是( )

A ．0

B ．2

C ．－52

D ．－3

C [由x 2

＋ax ＋1≥0，得a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立．

令g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ，因为g (x )在⎝ ⎛⎦

⎥⎤0，12上为增函数， 所以g (x )m ax ＝g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫12＝－52，所以a ≥－52.故选C.]

二、填空题

6．已知P ＝2-3

2

，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________． P ＞R ＞Q [P ＝2－32

＝⎝

⎛⎭

⎪⎫223

，根据函数y ＝x 3

是R 上的增函数且22＞12＞25， 得⎝

⎛⎭⎪⎫223

＞⎝ ⎛⎭⎪⎫123

＞⎝ ⎛⎭

⎪⎫

253

，即P ＞R ＞Q .] 7．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0,3)．则它的解析式为________．

y ＝13

x 2－2x ＋3 [由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于

点(0,3)，

所以3＝9a ，即a ＝1

3

.

所以y ＝13(x －3)2

＝13

x 2－2x ＋3.]

8．已知函数f (x )＝x 2

＋(a ＋1)x ＋b 满足f (3)＝3，且f (x )≥x 恒成立，则a ＋b ＝________. 3 [由f (3)＝3得9＋3(a ＋1)＋b ＝3，即b ＝－3a －9. 所以f (x )＝x 2

＋(a ＋1)x －3a －9. 由f (x )≥x 得x 2＋ax －3a －9≥0.

则Δ＝a 2

－4(－3a －9)≤0，即(a ＋6)2

≤0，所以a ＝－6，b ＝9. 所以a ＋b ＝3.] 三、解答题

9．已知函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R )．

(1)若函数f (x )的图象过点(－2,1)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－1,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．

[解] (1)因为f (－2)＝1，即4a －2b ＋1＝1， 所以b ＝2a.

因为方程f (x )＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b 2

－4a ＝0.

所以4a 2

－4a ＝0，所以a ＝1，b ＝2. 所以f (x )＝x 2

＋2x ＋1.

(2)g (x )＝f (x )－kx ＝x 2

＋2x ＋1－kx ＝x 2

－(k －2)x ＋1＝⎝

⎛⎭⎪⎫x －k －222＋1－k －

2

4.

由g (x )的图象知，要满足题意，则

k －2

2

≥2或

k －2

2

≤－1，即k ≥6或k ≤0，

所以所求实数k 的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 2

＋(2a －1)x －3.

(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值． [解] (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2

＋3x －3，x ∈[－2,3]， 对称轴x ＝－3

2

∈[－2,3]，

∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－9

2

－3＝－214，

f (x )m ax ＝f (3)＝15，

∴值域为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－214，15.

(2)由函数f (x )＝x 2

＋(2a －1)x －3知其对称轴为直线x ＝－2a －12.

①当－2a －12≤1，即a ≥－12

时，

f (x )m ax ＝f (3)＝6a ＋3，

∴6a ＋3＝1，即a ＝－1

3满足题意；

②当－2a －12＞1，即a ＜－12

时，

f (x )m ax ＝f (－1)＝－2a －1，

∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知a ＝－1

3

或－1.

B 组 能力提升

1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧

x 2

＋1，x ≥0，

1，x ＜0，

则满足不等式f (1－x 2

)＞f (2x )的x 的取值范围是

( )

A ．(－1，2)

B ．(0,2)

C ．(－1，2－1)

D ．(1－2，1)

C [由题意知f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且x ＜0时，f (x )＝1.