2012年中考数学第二轮复习 专题讲解 图形位置关系

中考数学专题2 图形位置关系第一部分真题精讲【例1】已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E．（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）若DE=2，tan C=12，求⊙O的直径．A【思路分析】本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。

对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。

所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。

至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。

利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。

【解析】（1）证明：联结OD．∵ D为AC中点， O为AB中点，A∴ OD为△ABC的中位线．∴OD∥BC．∵ DE⊥BC，∴∠DEC=90°.∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥D E于点D.∴ DE为⊙O的切线．（2）解：联结DB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴DB⊥AC．∴∠CDB=90°.∵ D为AC中点，∴AB=AC．在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=12，∴EC=4tanDEC=. （三角函数的意义要记牢）由勾股定理得：DC=.在Rt△DCB 中， BD=tanDC C⋅= BC=5.∴AB=BC=5. ∴⊙O 的直径为5.【例2】已知：如图，O 为ABC ∆的外接圆，BC 为O 的直径，作射线BF ，使得BA 平分CBF ∠，过点A 作AD BF ⊥于点D .（1）求证：DA 为O 的切线； （2）若1BD =，1tan 2BAD ∠=，求O 的半径.FC【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。

题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA 平分∠CBF 。

看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。

用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。

本题中，连OA 之后发现∠ABD=∠ABC ，而OAB 构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO ，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。

第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD 通过等量关系放在△ABC 中，从而达到计算直径或半径的目的。

【解析】证明：连接AO .FC∵ AO BO =，∴ 23∠=∠. ∵ BA CBF ∠平分，∴ 12∠=∠. ∴ 31∠=∠ .∴ DB ∥AO . （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD DB ⊥,∴ 90BDA ∠=︒.∴ 90DAO ∠=︒. ∵ AO 是⊙O 半径，∴ DA 为⊙O 的切线.（2）∵ AD DB ⊥,1BD =，1tan 2BAD ∠=， ∴ 2AD =.由勾股定理，得AB∴ sin 4∠=.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） ∵ BC 是⊙O 直径，∴ 90BAC ∠=︒.∴ 290C ∠+∠=︒. 又∵ 4190∠+∠=︒, 21∠=∠,∴ 4C ∠=∠. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin ∠BAD ） 在Rt △ABC 中，sin AB BC C ==sin 4AB∠=5. ∴ O 的半径为52.【例3】已知：如图，点D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点B在⊙O 上，且.OA AB AD == （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且8BE =，tan BFA ∠= 求⊙O 的半径长.【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD ，聪明的同学瞬间就能看出来BA 其实就是三角形OBD 中斜边OD 上的中线。

那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。

事实上如果看不出来，那么连接OB 以后像例2那样用角度传递也是可以做的。

本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。

利用圆周角相等去证明三角形相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。

近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。

【解析】（1）证明：连接OB .∵,OA AB OA OB ==， ∴OA AB OB ==.∴ABO ∆是等边三角形. ∴160BAO ∠=∠=︒. ∵AB AD =，∴230D ∠=∠=︒.∴1290∠+∠=︒.∴DB BO ⊥ . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已）CC又∵点B 在⊙O 上， ∴DB 是⊙O 的切线 .（2）解：∵CA 是⊙O 的直径， ∴90ABC ∠=︒.在Rt ABF △中，tan AB BFA BF ∠==∴设,AB 则2BF x =，∴3AF x = . ∴23BF AF = . （设元的思想很重要） ∵,34C E ∠=∠∠=∠, ∴BFE ∆ ∽ AFC ∆.∴23BE BF AC AF == . ∵8BE =, ∴12AC = .∴6AO =.………………………………………5分【例4】如图，等腰三角形ABC 中，6AC BC ==，8AB =．以BC 为直径作O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF AC ⊥，垂足为F ，交CB 的延长线于点E ． （1）求证：直线EF 是O 的切线； （2）求sin E ∠的值．【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。

欲证EF 是切线，则需证OD 垂直于EF ，但是本题中并未给OD 和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD ，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC 是以AC,CB 为腰的等腰三角形，从而得出D 是中点。

成功转化为前面的中点问题，继而求解。

第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT 三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。

【解析】DFGCO B E A（1）证明：如图，连结CD ，则90BDC ∠=︒．∴CD AB ⊥． ∵ AC BC =，∴AD BD =． ∴D 是AB 的中点． ∵O 是BC 的中点， ∴DO AC ∥． ∵EF AC ⊥于F ． ∴EF DO ⊥．∴EF 是O 的切线．( 2 ) 连结BG ，∵BC 是直径, ∴90BGC CFE ∠=︒=∠．（直径的圆周角都是90°） ∴BG EF ∥．∴sin FC CGE EC BC∠==． 设CG x =，则6AG x =-．在Rt BGA △中，222BG BC CG =-． 在Rt BGC △中，222BG AB AG =-．（这一步至关重要，利用两相邻RT △的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）∴()2222686x x -=--．解得23x =．即23CG =．在Rt BGC △中．∴ 213sin 69CG E BC ∠===．【例5】如图，平行四边形ABCD 中，以A 为圆心，AB 为半径的圆交AD 于F ，交BC 于G ，延长BA 交圆于E .（1）若ED 与⊙A 相切，试判断GD 与⊙A 的位置关系，并证明你的结论； （2）在（1）的条件不变的情况下，若GC ＝CD ＝5，求AD 的长.G FEDCBA【思路分析】本题虽然是圆和平行四边形的位置关系问题，但是依然考察的是如何将所有条件放在最基本的三角形中求解的能力。

判断出DG 与圆相切不难，难点在于如何证明。

事实上，除本题以外，门头沟，石景山和宣武都考察了圆外一点引两条切线的证明。

这类题目最重要是利用圆半径相等以及两个圆心角相等来证明三角形相似。

第二问则不难，重点在于如何利用角度的倍分关系来判断直角三角形中的特殊角度，从而求解。

【解析】（1）结论：GD 与O 相切654321GF EDCBA证明：连接AG∵点G 、E 在圆上， ∴AG AE =∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD BC ∥∴123B ∠=∠∠=∠，∵AB AG =∴3B ∠=∠ ∴12∠=∠ （做多了就会发现，基本此类问题都是要找这一对角，所以考生要善于把握已知条件往这个上面引）在AED ∆和AGD ∆ 12AE AG AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AED AGD ∆∆≌ ∴AED AGD ∠=∠ ∵ED 与A 相切 ∴90AED ∠=︒ ∴90AGD ∠=︒ ∴AG DG ⊥∴GD 与A 相切（2）∵5GC CD ==，四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB DC =，45∠=∠，5AB AG == ∵AD BC ∥∴46∠=∠∴1562B ∠=∠=∠∴226∠=∠（很多同学觉得题中没有给出特殊角度，于是无从下手，其实用倍分关系放在RT三角形中就产生了30°和60°的特殊角）∴630∠=︒∴10AD= .【总结】经过以上五道一模真题，我们可以得出这类题型的一般解题思路。

要证相切，做辅助线连接圆心与切点自不必说，接下来就要考虑如何将半径证明为是圆心到切线的距离，即“连半径，证垂直”。

近年来中考基本只要求了这一种证明切线的思路，但是事实上证明切线有三种方式。

为以防遇到，还是希望考生能有所了解。

第一种就是课本上所讲的先连半径，再证垂直。

这样的前提是题目中所给条件已经暗含了半径在其中。

例如圆外接三角形，或者圆与线段交点这样的。

把握好各种圆的性质关系就可以了。

第二种是在题目没有给出交点状况的情况下，不能贸然连接，于是可以先做垂线，然后通过证明垂线等于半径即可，就是所谓的“先证垂直后证半径”。

例如大家看这样一道题，如图△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，与AB切于点D，求证：与AC也相切。

该题中圆0与AC是否有公共点是未知的，所以只能通过O做AC的垂线，然后证明这个距离刚好就是圆半径。

如果考生想当然认为有一个交点，然后直接连AC与圆交点这样证明，就误入歧途了。

第三种是比较棘手的一种，一方面题目中并未给出半径，也未给出垂直关系，所以属于半径和垂直都要证明的题型。

例如看下面一道题：如图，中，AB=AC，=，O、D将BC三等分，以OB为圆心画，求证：与AC相切。

本题中并未说明一定过A点，所以需要证明A是切点，同时还要证明O到AC垂线的垂足和A是重合的，这样一来就非常麻烦。

但是换个角度想，如果连接AO之后再证明AO=OB，AO⊥AC，那么就非常严密了。

（提示：做垂线，那么垂足同时也是中点，通过数量关系将AO，BO都用AB表示出来即可证明相等，而△AOC中利用直角三角形斜边中线长是斜边一半的逆定理可以证出直角。