考点17 椭圆

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考点17 椭圆
1.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ12）已知椭圆C ：22221x y a b +=（a>b>0
F
且斜率为k （k>0）的直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =（ ）
（A ）1 （B
（C
（D ）2
【命题立意】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质及椭圆的第二定义等知识。

【思路点拨】
【规范解答】 选B ，如图，过A 、B 分别作椭圆准线 的垂线AM 、BN ，过B 作BP ⊥AM ， 则
,2
3
,23==BN BF AM AF 又AF=3BF ,所以3=BN
AM
, AP=2BN,AB=4BF= 4=∠===∠=⨯
BAP BN BN tan k ,3
3AB AP BAP cos ,3223斜率2
【方法技巧】结合图形运用椭圆的第二定义是解决直线过焦点问题的常用方法。

2.（2010·四川高考理科·Ｔ9）椭圆22
221()x y a b a b
+=>>0的右焦点为F ，其右准线与x 轴
的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值 范围是（ ） （A ）⎛
⎝⎦ （B ）10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ （C ） )
1,1 （D ）1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【命题立意】本题考查椭圆离心率的取值范围、准线方程，椭圆上的点到焦点的距离的取值 范围及线段垂直平分线的性质等基础知识.考查用代数方法解决解析几何问题的能力.
【思路点拨】椭圆右焦点(,0)F c 到右准线2a x c =的距离为
22
a b c c c -=，由线段垂直平分 线的性质可知2
b PF c
=，又椭圆上的点到焦点的距离的范围为(],a c a c -+.
∴(]2
,b a c a c c ∈-+.利用222b a c =-消去2b ，从而找到a 、c 之间的不等式，进一步求出 c
a
的范围，再结合椭圆的离心率的范围求出本题中离心率e 的取值范围.
【规范解答】选D.由题意，椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ，
即AF PF =，∵22
a b FA c c c =-=，又∵ [],PF a c a c ∈-+， ∴ []2,b a c a c c ∈-+.即2
b a
c a c c
-≤
≤+，222ac c b ac c -≤≤+. ∴222222
ac c a c a c ac c ⎧-≤-⎪
⎨-≤+⎪⎩，.1112c
a c c a
a ⎧≤⎪⎪⇒⎨⎪≤-≥⎪⎩，或.
即
1c a ≤-或112c
a
≤≤.又∵椭圆的离心率(0,1)e ∈， ∴1,12e ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
.
【方法技巧】涉及几何图形的问题，画出图形，数形结合，利用几何性质，很快找到突破口.
3.（2010·湖北高考文科·Ｔ15）已知椭圆2
2:12
x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2
2
00012
x y <+<,则1PF +2PF 的取值范围为_______，直线0012x x y y +=与椭圆C 的公共点个数为_____。

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和性质及直线与椭圆的位置关系，考查考生的数形结合思想和运算求解能力．
【思路点拨】画出图形，由数形结合及椭圆的定义和性质可得1PF +2PF 的取值范围；由直线与椭圆方程联立所得解的个数可判断两图形公共点的个数。

【规范解答】依题意知，点P 在椭圆内部且不与原点重合.画出图形，由数形结合可得，当P 在线段12F F 上且不过原点时1PF +2PF 取得最小值2；由P 在椭圆内部知1PF +2
PF 2a <=； 故所求范围为
[.
由22
00
12
1
2x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 消去y 可得220022002102x y x x x y +-+-=，
22
2200002(1)2
x x y y ∆=-+-（）=2222220000002(2)x x y y x y -++（）+
222000(22)0y x y =+-<，故此直线与椭圆不可能有交点，即交点数为0个.
【答案】
[，0.
【方法技巧】1、由椭圆定义，对于椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，(,)P x y 为平面上任意一点，当(,)P x y 在
椭圆上时1PF +2PF =
2a ；当(,)P x y 在椭圆内时1PF +2PF <2a ；当(,)P x y 在椭圆外时 1PF +2PF >2a ；
2、直线与椭圆的位置关系的判断通常可转化为求两方程联立所得解的个数，从而将几何问题代数化。

4.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ16）已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2=，则C 的离心率为 . 【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质，体现了数形结合思想及方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.
【思路点拨】利用2=及椭圆的性质求出点D 的坐 标，将点D 的坐标代入到椭圆的标准方程得到c b a ,,之间的 关系，从而求出椭圆的离心率.
【规范解答】设椭圆方程为：122
22=+b
y a x ，（)0>>b a ,
F 分 BD 所成的比为2，222230223330;122212222
c c c c y b x b y b b
x x x c y y -++⋅-=
⇒===⇒===-++
，
则)2,23(b c D -，将其代入到12222=+b
y a x ，得2222
91144c b a b +=，e ⇒=【答案】3
3
.
5.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ21）已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>相交
于B 、D 两点，且BD 的中点为M （1.3） （Ⅰ）求C 的离心率；
（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF|·|BF|=17 证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。

【命题立意】本题考查了直线、双曲线、直线与双曲线的位置关系等知识，考查推理论证能力、运算求解能力，体现了数形结合思想及化归与转化思想。

【思路点拨】由已知可得直线方程，代入双曲线方程，由根与系数的关系与已知M 点得到a 、b 的关系，及得离心率。

第二问用韦达定理及|DF|·|BF|=17，可求得双曲线的方程，考查并证明MA=MB=MD 且MA x ⊥轴。

【规范解答】（1）由题意知，l l 的方程为：y=x+2.代入C 的方程化简，得 （b 2
-a 2
）x 2
-4a 2
x-4a 2
-2
2a b =0 设B （x 1,y 1）、D(x 2,y 2),则
x 1+x 2=2
2
2a 4a b -,x 1x 2=
2
22
22a 4a
b b a -+ ① 由M （1，3）为BD 的中点知
2
x 2
1x +＝１，故 1421222=-⨯a
b a ，即223b a = ② 故ｃ＝a b a 222=+ 所以Ｃ的离心率2==
a
c
e （２）由①②可知，C 的方程为：2
2
2
3x 3a y =-，
A （a,0）,F(2a,0),221=+x x ,2
342
21a x x +-=⋅<0,
故不妨设.,21a x a x ≥-≤
1
BF 2a x ===-
｜FD ｜=,
233)2()2x (22
22222
2
2
2a x a x a x y a -=-+-=
+-
FD BF ⋅=.845)(24)2)(2(22212121++=-++-=--a a a x x a x x a x x a
又｜FD ｜｜BF ｜=17，故1784a 52
=++a 解得5
9,1-
==a a 或 故｜BD ｜=2｜21x x -｜=,64)(212
21=-+x x x x
连结MA ，则由A （1，0），M （1，3）知MA=MB=MD,且MA x ⊥轴，因此以M 为圆心，MA 为半径 的圆经过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。

【方法技巧】 1.解析几何问题要求根据曲线的几何特征熟练地转化为数量关系（如方程、函数），结合代数知识解答，要重视函数与方程思想、数形结合思想、等价转化数学思想的应用。

2.对运算能力要求简洁、合理。

能根据题意依据顺势思维进行求解，正如本题第二问根据 MA=MB=MD 进行证明过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切。