共形平坦Lorentz流形中具常平均曲率的超曲面
关于复射影空间的常平均曲率的实超曲面
关于复射影空间的常平均曲率的实超曲面
复射影空间是一个重要的研究对象，因为它涉及到了代数几何、拓扑学和微分几何等
多个领域。
而其中的常平均曲率是一个重要的几何指标，可以帮助我们研究超曲面的性
质。
首先，让我们来了解一下什么是复射影空间。
复射影空间是指通过复数域上的等价关
系所得到的紧流形。
具体地说，我们可以将复射影空间定义为一个复数簇在复射影空间上
取模得到的紧流形。
其中的等价关系是根据仿射变换所定义的。
而在复射影空间中，超曲面则是一个重要的概念。
超曲面是指一个次数为1的复旋转
子束。
具体地说，我们可以将超曲面定义为复射影空间中的一个赋予了一个性质的超平
面。
那么什么是常平均曲率呢？常平均曲率指的是超曲面上每一点的平均曲率。
具体地说，我们可以将常平均曲率表示为超曲面对曲率的累加平均值。
在实超曲面的研究中，我们常常需要研究常平均曲率的性质。
首先，我们可以证明常
平均曲率是一个常数，这是因为超曲面上曲率的总和是固定的。
其次，我们可以研究超曲面的几何性质和其常平均曲率之间的关系。
例如，如果一个
超曲面的常平均曲率为正数，那么它的几何性质表明它是一个向外凸的超曲面。
而如果一
个超曲面的常平均曲率为负数，那么它的几何性质表明它是一个向内凸的超曲面。
Lorentz空间型中具有平行Ricci曲率的类空超曲面
是常曲率空间，
定 理 ２ 设 是 Ｌｒｎｚ 间型 ¨（ ） ｏｅｔ空 ｃ 中具 平行 Ｒｃｉ ｉｃ曲率 的类 空超 曲面 （ ３ ， ｎ ） 如果 是极 大 的 ，
则 （ ）当 ｃ ０时， 是全测地的； １
（ ）当 ｃ＜０时 ， 或 是全测 地 的 ， ２ 或是黎曼 直积 流形
＝
１ｓ ｉ ｋ … ｎ １ｓ Ａ， Ｃ， ｓ ｎ＋１ Ｊ， ， ； Ｂ， … ．
¨（）的结 构方 程为 ｃ
｛ 收稿 日期 ：０ ７— ４—０ Ｉ ｝ ２０ ０ ５
基金项 目： 江西 省 自然科学基金 （５ １０ ） 国家 自然科学基金 （０ ７ ０７ 江西省教育厅科技项 目． ０ １０ ８ ； １６ １８ ）；
＋１
设
（． ） １ １
＝
其中ｒ ０ 是一个固定向量． ＞ ， 那么它们都是Ｌ 的常曲率空间， 截面曲率分别是÷， ÷，， 一 ０ 分别称为ｄ ｅ
， ，
Ｓ ｔ 空间 ， ｄ ｉｅ 空间和 Ｍ ｎｏ ｓｉ ｉｅ ｔｒ 反 ｅ ｔｒ Ｓｔ ｉ ｗ ｋ 空间， ｋ 指标为 １ 的常曲率的伪黎曼流形称为 Ｌ ｒ ｔ空间型． ｏｅ ｚ ｎ 设 （ ） ｃ 是截面曲率为 ｃ Ｌｒ ｔ空间型， ： 一 “（） 的 ｏｎ ｅｚ ， ｃ 是 ¨ ｃ （）的类空超曲面， 在 ¨（） ｃ 上 选 取 幺正标 架场 ｅ 一， ，川 ， ｅ ｅ 使得 限制在 上 ， 一， 与 相 切 ， 中 ＜ｅ， ＞＝ ｅ ｅ 其 ｅ ， １＝… ＝ １ ＝一１对 偶标 架场 为 一， ， ， ， ． ∞川 联络形 式 为 ∞ ． 仙 指标取 值约定 为 ：
作者简介 ： 钟定兴 （９ ２ ） 男 ， １６ 一 ， 江西兴 国人 ， 赣南师范学院数学与计算机科学学院教授 ， 主要从事微分几何 的教学与研究
共形平坦流形的一类具常平均曲率的完备超曲面
的 Ｒｃｉ ｉ 曲率的上 、 ｃ 下确界 ． 该结果是 文［ ，］ １２ 中结论的推广 ．
中图分类号 ： １６ ０ ８
文献标识码 － Ａ
１ 引 言和 结 果
设 是单位球面 ． ’１ 中具常平均曲率 的紧致超 曲面 ， 表示 的第二基本形式模长的平方． ｓ （ （） ． ｓ 文 ［］ 到 ， Ｓ＜２／ｎ一１ ， 是 ． （ ） １得 当 、 ／ 时 Ｍ ｓ ” １的超 球 面 ； Ｓ＝２、 ｎ一１ ， 或 为 ． （０ ， 为环 面 ． （ ） 当 ／ ／ 时 Ｍ ｓ ｒ） 或 “ ｓ ｒ× ． （ １ ， ｓ ￣ 一ｒ）其中 ｒ＝ｎ （ ２ ／ 一１ ， ＝１（ ＋ － 一１． ２将外围空间 ． １推广到局部对称 ／ ２ ｏ ／ ｎ＋ 、 ｎ ） ｒ ／ １ ｊ ｎ ）文［］ ／ ｓ （） ”
ｃ时 ， 部地 ， ＝Ｓ （ ×Ｓ－ （ ， 中 局 Ｍ １ ） ｎ １ ）其
，
－
当外围流形 ＋为截面曲率 ｃ １ 的球面 ． （ ） ， ｓ ｃ 时 显然 Ｍ 的法向量是 ． （ ） Ｒｃ 主方 向， ” ｓ ｃ 的 ｉｉ ｃ 且此时 Ｒ＝ｒ ｌ， ：， Ｃ＝ｃ 因此 由定理 １ ｃ ， 有 推论 １ 设 是 ． （ ） ｓ ｃ 中具常平均曲率的完备超曲面 ， ” 则 （） １ Ｓ＜２ ／ｎ一１时 ， 是 全 脐超 曲面 ． 、 ／
的联 络形 式 ． ＋的结构 方程 为 １
＆ Ａ： 一∑Ｏ Ｂ ． ，ｔ ．Ａ：０ ｏ ． ＾ｃ Ｏ Ｂ＋￣ ｔ Ａ Ｏ ． Ａ Ｏ Ｂ
＆ Ａ 一∑ ｃ ．Ｂ＋ １∑ Ｋ ＢＯ ｃ Ｏ ＯＢ： ＾￣ Ｏ Ｃ ＡＣ￣ ＾Ｃ Ｏ Ｄ
．
（．） ２ １ （．） ２ ２
其 中 ＫＢＤ ＡＣ是 ＋的 曲率 张量 分量 ． １ 限制在 上 ， 有
局部对称黎曼流形中具有常平均曲率的完备超曲面
因为 在 Ｍ 上任 意点 有 ｈ ＝Ａ ， 于是 在 处有
∑
引 理１
＝Ｈ 一 ∑ ｎ ２Ａ ＋ ｜ ｓ
＋∑（ Ａ 川一 棚 ∑Ａ Ａ— Ｋ ） Ｓ＋
（） ６
设 。： 是 ，， ， 个实 满足∑ ： ， ＝ ， 数， ０∑ 其中卢 非负 是 常数， 则
一
蒜
≤
（） ７
且 等号 成立 当且 仅 当有 ｎ一１ 个 相 等 。
引理 ２ 设 是 ｎ ｍ 维完备的黎曼流形 ， Ｒｃｉ 其 ｉ 曲率有下界 ， ｃ Ｆ是 上有上界 的 Ｃ 一函数 ， 则 对 任 意 ＞０， 在 点 ∈ Ｍ， 存 使得
ｓ ｐ — ＜ Ｆ ） ｒｄ ＜ ， ＜ ｕＦ （ ，Ｉ ａ Ｆ Ｉ ＡＦ ｇ
Ｋ 满足 １２＜艿≤ｋ ≤ １ 其 中 ／ （ 是常数 ）则得到 ： ， （） １ 如果 （ ２ （ 一１ ｎ一 ）
（ ）如 果 Ｓ （ ２ ２ ２ （６—１ ｎ一 ）
√ ｎ — ｌ
ｎ
—Байду номын сангаас
二 √
一
工
Ｓ 一 １ ｎ ｌ ０ 是 脐 。 。 寺（一） Ｉ ， ） 。 Ｈ ＞ 则 全 的
曼流形 ， 当 是 “中的超曲面时， 日为 Ｍ 的常平均曲率 ， 为其第二基本形式模长 的平方 ， 记 ｓ 本文得 到如下结论 ： 定理 １ 设 是局部对称黎曼流形 中具有常平均曲率 日的 维完备定向超曲面 ， 其截面曲率
满足 １２＜ ≤ｋ ≤ １ 其 中 ／ （ 是常数 ）则 肘是全脐的 ， ， 或者 的第二基本形式模长的平方满足
ｅ， ， ｅ ， ｅ …， 使得在 上任意点 有 ｈ ２ 川 ＝Ａ 。 指标范围约定为 ： １≤Ａ Ｂ ｃ≤ ｎ＋１１≤ ｉ ， ≤ ｎ ，， ， ｊｋ 。
局部对称共形平坦Lorentz流形中2-调和类空超曲面
以 Ｌ ” 示其 Ｒ ｃｉ ｌ 表 ｉ 曲率满 足 ｒ Ａ Ａ ≤ Ｒ的局 部 对 称共 形平 坦 Ｌｒｎ 流 形 ， 为 ｃ ≤￣ＫＡ ｏｅｔ ｚ 标架 ， 是 ￡ 于 的伪 黎曼 度量 凼 ＝∑（ ｃ ， 与 的黎曼度 量 ｄ 分别 为 ｓ
＝
的类 空 超
曲面 ． 取 ｌ 上 的局部伪 黎曼 幺正 标架 场 ｛Ａ ， 得 限制在 上 时 ， ｅ｝ 选 ｅ ｝使 ｛ 与 相 切 ． ｛ Ａ 为其 对偶 令 Ｏ｝ ）
∑ ； ｕ ＋ ， ｄ ， ∞ 一ｃ ｌ Ａ ＝∑ ；
（） ２
１
结 构方程 为
＆ ａ＝￣ ｅ ＯＢ Ｂ ￣ Ｂ ｇ ｏ ］Ｍ Ａ 人∞ ， Ａ ＾ＯＡ＝０ Ｏ Ｂ ， （） ３ （） ４ （） ５ （） ６ （） ７
｛ Ａ 为 ¨ 联 络 １形 式 ， ０｝ ３ ． 将这些 形 式限 制在 上 ， 有
收 稿 日期 ： １－６２ ０ ２ ００ －５
基 金 项 目 ： 徽 省 教 育 厅 自然 科 学 基 金 项 目（ Ｊ ０ Ａ ５ｅ 安 Ｋ２ ８ ０ ｚ） ０
作者简 介： 汪兴上 （９６ ， ， 士 ， １８ 一）男 硕 研究方 向为子流形几何 。
７ ８
华
东
交
通
大
学
学
报
２１正 ００
，
＋ ｅＫ ＋ 町＋∑ｅ ＋ 既， Ｅｎ １ ｌ
（４ １）
（５ １）
又
上Ｋ ＋ ｌ 的共变导 数为 Ｋ ＋ ， ｎ １ 即
∑ ＋啦 ｌ ｄ ｎ ｌ ＋∑ ＋ Ｋ ＋驰 １ ＋∑ ＋ 耐 ＋∑ ＋ 楸 ， １ １
从而
一
．
＋驯 １ ＋ ＋ 十 ＋珈＋％ ＋∑ ｌ １ １ １
常拟常曲率黎曼流形中具有常数量曲率的完备超曲面
＋
１ 预 备 知 识 和 引理
设 是等距 浸入 在 Ｎ州 中 的一 个 维 黎曼 相 子 流 形 ， Ｎ 中 选 取 局 部 规 范 正 交 标 架 场 在 ｛ ， 得 限 制 在 ｍｎ上 时 ， ｅ）使 向量 场 ｛ ｅ）与
变 为
Ｋ Ａｃ 一 口 ＢＤ （ 肋 一 ８Ｏ Ｃ Ａ ￣ ）＋ ｂ ＳＣ Ｂ ＋ （Ａ ￥
∑＾ ， 一ｈ． ｈ 。
（） ８
作 者 简 介 ： 明 图 （ ９０） 男 ， 肃 民勤 人 ， 水 师 范学 院 助 教 ， 要 从 事 子 流 行 几 何 的研 究 ． 李 １８ 一， 甘 天 主
３ ０
甘肃联合大学学报（ 自然科 学版 ）
第 ２ 卷 ４因此 ，源自得到 Ｍｎ 的结 构方 程 ｉ 一
Ａ 一∑ （ ）＋∑ｈＡ Ｓ 。 ｈ一
一
∑（ ， ＋ 一０ （ ｃ Ｊ Ａ ， ９ ）
ｊ
，
ｊ・ ｌ
ｉｊ ，
∑（独 ）＋∑ｈｈ 址一∑（ ｔ ＋ Ｋ计
Ｋ Ａｃ — ａ（ ｍ ｇ￣ 一 ｇｗｇＢ ）＋ ｂ ｇ ｃ Ｂ Ｄ＋ ＢＤ ｇ ． ｃ （ Ａ ￣
（） ２ 在 的每一点只有两个不 同主 曲率． 特别 地 ， 一０ ， 当ｂ 时 两个不 同主曲率都为常数． 中Ｄ（ ， 其 ｎ
良 一 ）
， 一 口＋ ．
［ 一１ ＿ （ ｆ －
Ｊｎ ２ １ ａ ．０ ０
文章 编 号 ：１ ７ —９Ｘ（０ ０ Ｏ 一０ ９０ ６ ２６ １ ２ １ ）ｌ０ ２ —５
常拟 常 曲率黎 曼流形 中具有 常数 量 曲率的完备超 曲面
李明 图， 裴瑞 昌 ， 恒 飞 丁
（ 天水 师 范 学 院 数 学 与 统 计 学 院 ， 肃 天 水 ７ １ ０ ） 甘 ４０ １
Lorentz流形中的类空超曲面
定理
设 是一 ｎ ｌ ＋ 维非负常 曲率 Ｌ ｒ ｔ流行， ｏｅ ｚ ｎ
是 中的 维完备的具有下方有界 Ｒｃｉ ｉ 曲率的常数 ｃ
平 均 曲率 的类 空超 曲面，如 果
ｔａ ｅＨ。＜ ２ ｒｃ ｃ
，
则 是全脐超曲面． 中Ｈ为第二基本形式，ｃ 其 是 的常截面 曲率．
１ 预备知识及 引理
用 Ｒ， ， 良 ， 和
分别表示 和 的曲率张量的局部分量 根 据 Ｇ ｕｓ ｏ ａｚ方 程 和 Ｒｃｉ 式有 ａｓ ｄｚｉ Ｃ ｉ 公 ｃ
．
Ｒｆ ， ＲⅢ ， （ ，一 ． ， ： 一 ， ，， ）
Ｖ ｈ广 ＶＪｌｊ ）Ｊ ． ｉ ｋ ＝ ｌｋ ｈ
关键 词： ｏｅｔ 流行 ； 类空超 曲面：第二基本 形式 Ｌｒ ｚ ｎ 中图分类号： ８ Ｏ１６ 文献标识码： Ａ
在文献【 中， ｓｉ ｗ 证明了Ｌ ｒ ｔ￣行中完备极大类空超曲面是全测地的． １ Ｎｉ ｋ ａ ］ ｈａ ｏｎ ｅｚ 本文考虑这类流行中具有常 数平均曲率的类空超曲面， 得到如下结果．
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第 ３ 第 ３期 ４卷
西南民族 大学学报 ・ 自然科 学版
Ｊ ｕ ａ ｏ ｏ ｔ ｗｅ ｔＵｎ ｖ ｒ ｉ ｒ ｔ ｎ ｌ ｉｓＮａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｄ ｔ ｎ ｏ ｒ ｌ ｆ ｕｈ ｓ ｉ ｅ ｓｔ ｆ ｉ ａ ｉ ｅ ・ ｔ ｒ ｌ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ｎ Ｓ ｙ ｏ Ｎａ ｏ ｔ Ｓ ｉ
（） １
ｔ ２
Ｖ － ， ∑ ， ，∑ｈＲ ． ， Ｖ ＶＶ ＝ Ｒ ＋ ， 叫， ｍ
另外还有
，
（） ３ （） ４
Ｒ Ｖ 叫 一』 。 一ｋ ｏ － ｍ 州 ＝ ， ， ， ｈＲｕ ∑ｈ良，． 良 良。 ￣ ｏ ， ，
局部对称拟常黎曼流形中常平均曲率超曲面的截面曲率的Pinching定理
设 “是 ｎ ｌ 局 部对 称 拟 常 黎曼 流 形 ． 是 ＋维 Ｍｎ ∑∞八 ∑ ∞八 ∞ “中 常平 均 曲率 的 紧致 超 曲面 ， ． ｓ是 的第 二 基 ｋｆ ． 本 形式 模长 平 方， 为 的平 均 曲率 为 上 任 日 Ｒ 一 ， （．） １ ２ 点 的截 面 曲率 的下 确界 。本 文讨 论 了这 类超 曲面 式中 Ｒ 洲及 分 别是 和 Ⅳ 的 曲率张量 场 。 截 面 曲率 的 Ｐｎ ｈｎ ｉｃ ｉｇ问题 ， 到 ： 得 令 Ａ表示 的第二基本 形式 ，即 Ａ ∑ ｏ ＝ 定 理 设 Ｍｎ 是 “中常 平 均 曲率 的 紧致 无 边 ｉ ｊ 超 曲面 ，且 截 面 曲率 Ｒ ＞ ，如 果 Ｒ ０ 满 足 ： — ｎ
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２０ ０ ７年 ８月
咸 阳师 范 学 院学 报
Ｊ ｕ ｌ ｆ ａ ｙ ｎ ｒ ａ ｉ ｅ ｓｔ ｏ ｍａ Ｘｉｎ ａ ｇ Ｎｏ ｍ ｌ ｏ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ
Ａｕ ．０ ７ ｇ２ ０ ＶＯ Ｉ ２ Ｎｏ ４ ｌ ． ２
第２ ２卷
收稿 日期 ： ０ ６ ０ — ７ ２ ０ — ９ ０
作者 简 介 ； 海锋 （９ １ ， ， 江丽 水 市人 ， 李 １８ 一） 男 浙 宁夏 大 学硕 士 研 究 生 ， 究方 向 ： 分 几 何 。 研 微
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・
２・
１
成 阳 师范 学 院 学 报
ｉ ， ｉ
ｎ
以 ｄｖ ｉ ｗ表示 的散 度 ， 则
ｉ， ， ｉ
ｄ ｗ ］ ＊ ＾Ｋ＋） ｉ ＝ ￣Ｖ（ Ｋ＋＋ ＝ ｖ ＾ ｕ ｌ ） ＋
ｆ．０ １１ ）
ｉ， ｊ
∑ ｈＫ ＋ ｌ ｏ ＋∑ ｈ．， ｎ ｌ ｏ （ ｈ
第 ４期
关于局部对称空间中具有常数量曲率超曲面
若以 Ⅳ 表 示 其 截 面 曲 率 “ 满 足 条 件
÷ ＜ ≤ “ ≤１ １
的 ＋ １维 局 部 对 称 完 备 的 黎 曼 流 形 ， 是 中 的 紧致 超 曲面 。
本文进 一步研究 这类黎 曼流形 ＿ ￣ “ 中 的 紧 超 曲 面 ， 文 ［ ］中 的 条 件 由 常 平 均 曲 率 改 将 １ 为 数 量 曲 率 为 常 数 ， 文 ［ ］中的 单 位 球 面 Ｓ （ ）改 为局 部 对 称 空 问 ， 明 了下 述 将 ２ １ 证
０ 引 言
令 是 单位 球 面 Ｓ ’１ （ ）的紧 超 曲面 ， ｈ ｎ Ｚｏｇｌ 明了 ： 证 设 是 单 位 球 面 Ｓ ’ １ 一 个 具有 常 平 均 曲 率 的超 曲 面 ， （） ｓ为 ＾ 的第 二基
定 理 Ａ［ ’
本形 式模 长的平方 。
（如 ＜ ｎ ｉ 么 是 个 超 面 ） 径ｒ √ ； ｉ 果ｓ ２ ＿， 一 小 球 ｓｒ半 ＝ ） 那 （，
定理 Ｂ
设
是
中的 紧 超 曲面 ， 准 数 量 曲率 为 常 数 ， Ｒ 一１≥ ０ 其 平 均 曲 标 且 ，
率 为 ， 果 如
的第 二 基 本 形 式 模 长平 方 满 足 条 件 （ — ｎｔ ） ２ Ｓ ｔ。 ［ ｄ一— １ — ＝＝ Ｓ ≥ ｌ ｌ ｎ ） ＋ Ｓ Ⅳ （ Ｓ
： 一
＝０
∑ ＾ ＋ ｛∑
＾ 一 ‘ ｒ
＾
州
＝ 洲 ＋ ＾
一
ｎ ｎ—１Ｒ：∑ ＋ Ｈ （ ） 一Ｓ
式 中｛ ｝ 是 的 黎 曼 联 络 １一形 式 ， 、 及 ∞ 分 别 是 ｈ 州 的第 二 基 本 形 式 、 曼 曲 率 黎
常曲率和拟常曲率Riemann流形中的常平均曲率超曲面
广西大学硕士学位论文常曲率和拟常曲率Riemann流形中的常平均曲率超曲面姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***2001.5.1１．摘要本文采用ＥＩｉｅＣａｒｍａｎ活动标架法，研究了常曲率和拟常曲率Ｒｉｅｍａｎｎ流形的常平均曲率超曲而，得到了超曲面为全测地的一个充分条件和三个推论，所得主要结论如下：１。
设Ｍ是常曲率Ｒｉｅｍａｎｎ流形Ⅳ”１向≯的常平均曲率为Ｈ的紧致可定向超曲面，若Ｍ的第二基本形式长度平方Ｓ锄ｃ＋ｎ２Ｈ２且Ｍ的Ｒｉｃｃｉ曲率Ｒ。
＝ｍ一２Ｊｃ，则Ｍ是全测地的。
２。
设Ｍ是拟常曲率Ｒｉｅｍａｎｎ流形Ⅳ”７中的常平均曲率为片的紧致可定向在Ｍ上处处成超曲面，ｒｌ∈ＴＭ，若Ｋ＝ｍ＋１ＪＬＳ＜丁＋月。
∥且Ｒ。
立，则Ｍ是全测地的。
关键词：拟常曲率空间，常平均曲率，全测地，第二基本形式ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｐａｐｅｒｗｅｓｔｕｄｙｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｓｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅｉｎｆｌＲｉｅｍａｎｎｍａｎｉｆｏｌｄｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｃｕｒｖａｔｕｒｅａｎｄｗｉｔｈｑｕａｓｉｃｏｎｓｔａｎｔｃｕｒｖａｔｕｒｅｂｙｔｈｅｕｓｅｏｆｍｏｖｉｎｇｆｒａｍｅｓｂｙＥｌｉｅＣａｒｔａｎａｎｄｇｅｔｔｗｏｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓｔｈａｔａｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅＭｂｅａｔｏｔａｌｌｙｇｅｏｄｅｓｉｃｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅ，ｉｎｔｈｅｓａｍｅｔｉｍｅｗｅｄｅｒｉｖｅｔｈｒｅｅｃｏｒｏｌｌａｒｉｅｓｆｒｏｍｏｎｅｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｅｍｓｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｔｈｅｍａｉｎｒｅｓｕｌｔｓｏｂｔａｉｎｅｄｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒａｒｅｔｈａｔ１。
ＬｅｔＭｂｅａｃｏｍｐａｃｔｏｒｉｅｎｔｅｄｈｙｐｅｒｓｕｒｆａｃｅｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｍｅａｎｃｕｒｖａｔｕｒｅＨｉｎａＲｉｅｍａｎｎｍａｎｉｆｏｌｄＮ肿１（ｃ）ｏｆｃｏｎｓｔａｎｔｃｕｒｖａｔｕｒｅＩｆｓ＜砌ｃ＋＂２序ａｎｄｔｈｅｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓｏｆｔｈｅＲｉｃｃｉｔｅｎｓｏｒｆｏｒＭａｒｅＲ０２ｍ一２Ｊｃ，ｔｈｅｎＭｉｓｔｏｔａｌｌｙｇｅｏｄｅｓｉｃ２。
局部对称Lorentz流形中具常平均曲率的完备超曲面
定理 １ 设 是 “ 中具 常平 均 曲率 的完备 类 空超 曲面 ｓ为其 第 二 基本 形 式模 长 平 方 ， ， ， ， …
量 是正定 的 ．
当外 围流形 是具 良好 对称 性 的 Ｌ ｒ ｔ 空 间 型时 ， 常 平 均 曲率 超 曲面 的研 究 已 有许 多结 果 （ ［ ４ ） ｏｅ ｚ ｎ 具 见 １ ． Ｉ 而 对外 围空 间不具 较 好对 称性 的局 部对 称 Ｌ ｒ ｔ ｏｅ ｚ流形 时 ， 常 平 均 曲 率超 曲面 的 研 究结 果 还 较 少 （ ［ ． ｎ 具 见 ）
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第 ２ ５卷 第 １ 期 ２０ ０ ８年 ２月
华
东
交
通
大
学
学
报
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ． １２ １
Ｊ ｕ ａ ｆＥ ｓ ｉａ Ｊａ ｔｎ ｉｅｓｔ ｏ ｒ ｌｏ ａ ｔＣｈｎ ｉｏｏ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ ｎ
Ｆ ｂ． ２ ０８ ｅ ．Ｏ
华
东
交
通
大
学
学
报
２０ ０ ８年
果 的推广 与改 进 ．
１ 公 式 与 引理
设 “ 是 ｎ＋１ 局部 对称 ｌ ｒ ｔ 流形 ， 截 面 曲率 Ｋ 满 足 ＜口 Ｋ ｂ 其 中 口 ｂ为 正 实 数 ， 维 ￣ｅ ｚ ｎ 其 Ｌ Ｌ ， ， Ｍ
ｒ ［ 一（ ＝ｃ １ ｎ一１ ］ ｔ ［ 一（ ， ：ｃ １ ｎ一１ 一 ］ ） ．
注： 论 １ 推 被文 ［ ］ ３ 所研 究 ， 但该 文 （ ．８ 计算 有误 ， 漏 （ｉ 中 ｎ ３的结 论 ， 理 １ ３１） 遗 ｉ ） 定 和推 论 １ ［ ］ 是 ３ 中结
局部对称黎曼流形中的常平均曲率紧致超曲面
奇
。 ≤ ≤
。 等 成 当 仅 至 有一个 等 ， 号 立 且 当 少 ｎ１ 相 ， 且
２ 定 理 的 证 明
首先易得 ：
一
ｓ 升 ＋ ≥一ｎ ， ∑Ｋ Ｓ
（ ６
∑ （ ， 。 ≥ ∑ （ ）一２ （— Ｈ ） 一ｌ Ｋ 一 ｎ Ｓ ｎ ， ｊ ） ￣
平 均 曲率 为 Ｈ， 如果
（ ｓ一 Ｈ。 （ ０ — ）２ 一
一
１
ｓ ）≥ ｌ ｌ ＋ Ｓ ￣ Ｈ ／ ．
则 ：（ ｉ ）当 Ｓ一 ０时 ， 是全测 地 的且 也是 局部对 称 的 ； Ｍ” （ｉ ｉ ）当 Ｓ一 ２／ － １ ２ — １ ｖｎ — （０ — ）时 ，
２ ｌ
（） ３
ｄ 一∑ｃ ｕ＋ ∑Ｒ 八… ｃ一 ｕ ｕ ＾ｃ ∞
ｋ 一 女－
Ｒ
— Ｋ ＋ ｈｉ 一 ｈｉ ； ｇ ｈ ｔ ｈ
∑ｈ 一ｄ ｈ 一∑ｈｃ 一∑ｈｃ ． ｕ ｕ
式 中 Ｒ 和 Ｋ稚 分 别是 和 Ｎ计 的曲率 张量场 ， 和 ｈ 表示 ｈ 的共 变微分 ． ｈ
又设 ｛ 是 ｛ 的对偶标 架场 ． ｃ ｝ ｅ｝ ｕ
约定 指标 的取值 范围如 下 ：
１≤ Ａ， Ｃ， ≤ ｎ＋ １ １≤ ｉ ， … ≤ ． Ｂ， … ， ， ｋ，
由文献 １ ３ ： ： 有 ３
（ ｌ ， （ 一∑ｈ ， ｕ 一０ ｕ ｈ —ｈ
Ｊ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（） １ （） ２
文献标识码 ： Ａ
文 章编 号 ： ０ ９ ７ ４ ２ ０ ） １ ０ ０ — ４ １ ０ —１ ３ （ ０ ８ ０ — ０ １ ０
０ 引 言
马金 生在 文献［ ］中研 究 了局 部对 称黎 曼流形 Ｎ 中的紧致 超 曲面 ， 到 了定 理 Ａ． １ 得 定 理 Ａ 设 是局部 对称黎 曼流形 Ｎ 中 的紧致超 曲 面 ， 标准 数量 曲率 Ｒ为常 数 ， Ｒ一１ ０ 其 且 ≥ ， 的第二基 本形 式模长 平方满 足条 件 ：
Lorentz空间型L_1~(n+1)(c)中具有平行Ricci曲率的类空超曲面
Ｖｏ １ ． １ ２ ＮＯ ． ２
Ｍａ ｒ ．２ Ｏ１ ３
Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｔ ｚ空 间 型 Ｌ （ Ｃ ） 中具 有 平 行 Ｒｉ ｃ ｃ ｉ 曲率 的 类 空 超 曲面
耿 杰 ， 何 百通 。 ， 宋卫 东
（ １ ．安 徽 师 范 大 学 数 学 计 算机 科 学 学院 ， 安徽 芜 湖 ２ ４ ｌ ０ ０ ３ ； ２ ．衢 州 职 业 技 术 学 院基 础 部 ， 浙江 衢 州 ３ ２ ４ ０ ０ ０ ）
幽 一 一∑ ＾ ， ， ０ ３ ＋∞ 一０ ，
Ｊ
（ ２ ）
（ ３ ）
幽 一 ∑ｃ Ｕ ｃ ｕ 一 ∑Ｒ 叫 ＾
（ ４ ）
Ｒ 一Ｋ 一∑ （ 矗 是 一ｈ ｕ ｈ ） ，
Ｋ 一 （ ＊ 一 ） ｆ，
（ ５ ）
（ ６ ）
这里 ｈ ＲＡ Ｂ 。及 Ｋ 。分 别是 Ｍ ” 的第 二基 本形 式 ， 黎曼 曲率 张 量及 Ｌ ｒ （ ｃ ）的黎 曼 曲率 张 量 的分 量．
ｉ ・ ，
２ 预 备 知 识
本 文对 各类 求 和指标取 值 范 围约 定如 下
１≤ Ａ ， Ｂ， Ｃ， … ≤ ＋ １ ； １≤ ｉ ， Ｊ ， 走， … ≤ ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ － １ ０ － ２ ５
基 金项 目 ： 安 徽 省 教 育 厅 自然科 学 基金 重 点 项 目 （ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ０ Ａ１ ２ ５ ） ； 浙 江 省 新 世 纪 高 等 教 育 教 学改 革 项 目（ ２ ０ １ ０ ０ ７ ４ ） 通信作者 ： 宋卫东（ １ ９ ５ ８ 一） ， 男， 教授 ，主 要 从 事 微 分几 何 研 究 ． Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｗｄ ５ ６ ＠ｓ ｉ ｎ ａ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
拟常曲率空间中具常平均曲率的闭超曲面
华
东
交
通
大
学
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报
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １２ ３
Ｊｕｎｌｏ ａｔＣ ｉａＪ ｏｏ ｇＵ ｉｅｓｙ ｏ ｒａ ｆ ｓ ｈｎ ｉ ｔｎ ｎｖｒｉ Ｅ ａ ｔ
则（ ） Ｓ＝ ／１ 口时 ， 是全脐超 曲面；２ 当 Ｓ＝２ ｎ 。时， 是全 脐超 曲面或 “ 中的 日（ ） １当 ２￣ １一１ ， （） —ｌ ｒ 一环 面 Ｓ （ ） ｒ× ０
（） ｔ。
关
键
词 ： 常曲率空间 ； 拟 常平 均曲率 ； 曲面 ； 超 全脐
文 献 标 识 码 ： Ａ
基金项 目： 江西省教育厅科研项 目（ Ｊ ５ ）华东交通 大科 学技术研究基金项 目（６ ＫＣ ４ ＧＪ ３ ； ４ ０ Ｚ Ｊ０ ） 作者简介 ： 吴泽九（９６一）男 ， 士 ， １７ ， 硕 讲师 ， 研究方 向为微分几何 。
华
东
交
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大
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报
２１ ００年
溉 一 ｈｉ 一 Ｋｎ＋ ｉ ｋ ｊ ｌｋ ｊ
为 拟 常 曲率 空 间 ， 中 ０， 其 ｂ是 “上 的 ｃ 一函数 ， ｇ是 十的黎 曼 度量 ， 是 “上 的单 位 １ 的生成 元 。显然 ， ｎ为 常数 且 ｂ＝０时 ， 常 曲率 空 间 即为 常 曲率 空 间。对 于 拟 当 拟
向量 函数 ， 它 为 称
常 曲率 空 间 中具 常 平均 曲率 的超 曲面 ， ［ ，］ 到关 于 第 二基 本 形式 模 长 平方 ５的积 分 不 等式 及 文 ２ ３得 ｓ的值 域估 计 等结 果 。本 文讨论 ｓ满 足一 定 条件 下超 曲面 Ｍ 的分 类 ， 广文 ［ ］ 推 ４ 中相应 结论 。
局部对称Lorentz空间中具常平均曲率的完备超曲面
式模 长平 方 ， ， 。 ， …， 是 Ｍ” 在 点 处 的 ， ｚ 个 主
。＞
＋
曲率 ． 假设 Ｌ ｒ 关于 由 ｅ 与ｅ 在丁 Ｌｒ 中张成 的
＝
二一 『
收 稿 日期 ：２ ０ １ １一ｌ １—１ ５
基 金 项 目 ：国 家 自然 科 学 基 金 项 目 （ １ １ １ ６ １ ０ ］ ９ ）
第 ２ ９卷 第 ２期
２ ０ １ ３年 ４月
德 州 学 院 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｄｅ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖ０１ ．２９． Ｎ Ｏ．２
Ａｐ ｒ ．， ２ ０ ｚ空 间 中 具 常 平 均 曲 率 的 完 备 超 曲面
Ｋ加ｃ Ｄ． Ｅ一 ０
（ １ ２ ）
（ １ ３）
１ 基 础 理 论
设Ｌ 是 ”＋ １ 维局部对称 Ｌ ｏ ｒ ｅ ｎ ｔ ｚ空 Ｉ 司， 冥 截 面
引理１ ［ ６ ３ 设｛ 口 ， …， ｎ ｝ 是满足条件 ∑ｎ 一
０的 个 实 数 ， 则
曲率 Ｋ 满 足 ｂ＜ ｎ
张德 燕
（ 河西学院 数 学 与 统 计 学 院 ，甘 肃 张掖 ７ ３ ４ ０ ０ ０ ）
局部对称共形平坦Lorentz流形中具有常平均曲率的紧致类空超曲面
安徽 师范 大 学学 报 （ 自然 科 学版 ） Ｊ ｕ ａ ｏ ｎ ｕ ｏｍａ Ｕｎｖｒｉ ＮａｕａＳ ｉ ｃ） ｏ ｒ ｌ ｆ ｈ ｉ ｒ ｌ ｉ ｓｔ ｎ Ａ Ｎ ｅ ｙ（ ｔｒｌ ｃｅ ｅ ｎ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ． １３ ２ Ｍａ ｒ．２Ｏ １ １
Ｍ” 上时 ，ｅ｝ ｛ 与
中 局 交 场｛ ｝ 限 的 部正 标架 ｅ ， Ａ 使得 制到
相切 ， Ｉ Ｍｎ ｅ＋ 与 正交 ． ｛Ａ 是 Ｌ ¨关于｛ ｝ 设 ｃ｝ ｏ ｅ 的对偶标架场 ，Ｃ Ｂ 是 Ｌ 十 的联络 Ａ ｛Ａ ｝ Ｏ Ｉ１
形 Ｌ 式．ｆ 伪黎 量为ｄ ＝∑ ｅ（Ａ ， 的 曼度 ｓ Ａ∞） 其中￡＝…＝￡＝１ｅ ＝ ｌ ｛ 结 程为 ｌ ， １ 一 ， 的 构方 ［ Ｌ ］
（ｉ若 Ｔ ， ＜一— ｉ ） ｃ＝ Ｓ
（ ）当 ≥ ｔ ０时 ， ２ ＞
， Ｓ ＝ ｎ ， Ｍ” Ｌ ＋ 则 Ｈ 即 是 １中的全脐 超 曲面 ；
（ 若｝ Ｓ＜Ｃ ， Ｓ＝ｎ ＝ ， ｉ ） Ｈ≤ ２ 则 Ｈ ， 即Ｍ ｛ 中的全脐超曲面且 Ｌ＋的Ｒ ｃ曲 是Ｌ＋ １ ｉ １ ｉｉ 率为 ｃ
＆Ａ ∑ ｅＯ Ｂ Ａ Ｏ Ｏ ＢＡ ￣Ｂ八 ， Ｂ＋ＯＡ＝０ Ｂ ，
收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ６—２ ８
（） １
基金项 目： 安徽省教育厅 自然科学基金项 目（＜２０ Ａ０ ｚ ． Ｉ ０ ８ ５Ｃ） Ｊ 作者简介： 朱静男 （９ ７ ， ， １８ 一）男 安徽六安人 ， 硕士研究生 ； 宋卫东 （９ ８一）男 ， １５ ， 安徽桐城人 ， 教授 ， 主要从事微分几何 的研究
局 部对 称 共 形 平 坦 Ｌ ｒｎｚ流 形 中具 有 常平 均 曲率 的 ｏｅ ｔ 紧 致 类 空 超 曲面
Lorentz空间中的伪圆纹Willmore曲面和弹性曲线方程的开题报告
Lorentz空间中的伪圆纹Willmore曲面和弹性曲线
方程的开题报告
Lorentz空间是四维向量空间，具有一个非常重要的性质，即它可以扩展欧几里得空间到一个更广泛的空间，称为洛伦兹空间。
伪圆纹Willmore 曲面，是一类具有特殊形态的曲面，在欧几里得空间中已经得
到了广泛的研究和应用。
而将其扩展到 Lorentz 空间之下，有望发现新的性质和应用。
在这个项目中，我们将探讨伪圆纹 Willmore 曲面在 Lorentz 空间中的特性。
具体而言，我们将研究它们是否满足一般的Willmore 曲面方程，并且讨论它们是否可以被描述为弹性曲线方程。
此外，我们还将研究伪
圆纹 Willmore 曲面在 Lorentz 空间中的几何性质和应用，以期为其在实
际生活中的应用做出贡献。
为了实现这个目标，我们将首先研究 Lorentz 空间的基本概念和数
学方法，包括该空间中的度量和曲率，以及一般的曲线和曲面方程。
其次，我们将重点研究伪圆纹 Willmore 曲面在 Lorentz 空间中的特性和性质。
最后，我们将讨论将这些结果应用于实际生活的可能性。
总的来说，本项目将探讨一种新的曲面理论，即伪圆纹 Willmore 曲面在 Lorentz 空间中的应用。
通过深入研究这些曲面的特性和应用，我们可以为实际生活中的一些问题提供有用的解决方案。
一类洛伦兹流形的2-调和类空超曲面的一个拼挤定理
一类洛伦兹流形的2-调和类空超曲面的一个拼挤定理第22卷第5期2005年10月华东交通大学JournalofEastChinaJiaotongUniversityV01.22No.5Oct.,20O5文章编号:1005—0523(2005)05—0138—04一类洛伦兹流形的2一调和类空超曲面的一个拼挤定理吴泽九(华东交通大学基础科学学院,江西南昌330013)摘要:研究局部对称共形平坦洛伦兹流形中的2一调和类空超曲面,得到它对外围空间的一个拼挤定理关键词:局部对称;共形平坦;2一调和;拼挤中图分类号:O186文献标识码:A1引言和主要结果设J7vJ}"表示n+1维局部对称共形平坦洛伦兹流形,厂:一J7vJ}是n维黎曼流形到J7vJ}"的等距浸入.若厂是2一调和映照【,称是J7vJ}中的2一调和类空超曲面.文[1,2]分别讨论了黎曼流形和伪黎曼流形中的2一调和子流形,给出2一调和子流形满足的条件.利用这些条件,文[3,4]分别得到常曲率空间中紧致的2一调和超曲面的拼挤定理.本文考虑局部对称共形平坦洛伦兹流形中的2一调和超曲面,讨论这类超曲面对外围空间的拼挤问题,得到定理1设是局部对称共形平坦洛伦兹流形J7vJ}"的紧致的2一调和类空超曲面,.s与日分别表示的第二基本形式模长的平方与的平均曲率,与r分别表示研"的Ricci曲率的上,下确界.若的法向量是"的Ricci主方向且一r≤.s≤日一(R一一r)(1_1)一r≤≤爿一_二—rl?1则.s=一r或.s=一(一r)(1.2)当"为常截面曲率c的deSitter空间.s"(c)时,显然的法向量是研的Ricci主方向,且R=r=>0,由定理1得推论1设是deSitter空间.s"(c)中紧致的2一调和类空超曲面,.s与日分别表示的第二基本形式模长的平方与的平均曲率.若.s≤,则.s=.注:当c=1时,推论1即为文[4]中的定理2.当J7vJ}"是截面曲率为一c(c>0)的反deSitter空间研(一c)时,的法方向也是"的Ricci主方向,且R=r=一.由定理1得收稿日期:2005—03—07作者简介:吴泽九(1976一),男,江西会昌人,讲师第5期吴泽九:一类洛伦兹流形的2一调和类空超曲面的一个拼挤定理139推论2设.是截面曲率为一C(C>0)的反deSitter空间研"(一C)中紧致的2一调和类空超曲面,S与分别表示的第二基本形式模长的平方与的平均曲率.若nc<S<,则.S=或.S= .2预备知识设"表示11,+1维局部对称共形平坦洛伦兹流形,是"的11,维2一调和类空超曲面.本文对各种指标范围规定如下:1≤A,B,C,D,E…≤11,+1;1≤i,,k,Z,m…≤n;不特别声明时,∑表示对重复指标求和.在"上选取局部标准正交标架场{eA},使得限制在'上,{ef}与相切.设{O)A}是{eA}的对偶标架场,{}是¨的联络形式.,is=∑e^(A),其中e1,e+1=1.将这些形式限制在上,且为了方便简记= h,则有+1=0,O)in+1=∑hifnj,h=(2.1)=一∑hif.oto.)j.e+1,h=一{∑ffe+1(2.2)R洲=一∑(访一")(2.3)其中,h,Rijkt,f分别表示的第二基本形式,平均曲率向量,曲率张量的分量和朋"的曲率张量的分量.定义S=llll,=llhl1.若H=0,称为极大的.跟随[5],定义及厅分别为ho.的共变导数,则有城一新=,n+10"k(2.4)h一批=∑hmi尺f+∑肼(2.5)将+1飒看作是上T*T*T*M的截面的分量,定义+1眺f为它的共变导数的分量: ∑+10'ktW1=dKn+1一∑+1一∑+1一∑+1(2.6)KAeCO的共变导数∞.E,限制在上有l+1批,f=+1驰++li+lkhil++1洳+1hkl+(2.7)"为局部对称的,即Kanco,E0"是共形平坦的,所以Kanco=(eA~AcKBD—e^c++eB~BDKAc—e)一e(一船)其中KAc=∑e∞是Ricci张量的分量,K=∑e^是数量曲率.由(2.8)知,K是常数.为了证明定理,需要下面引理引理[]Mn为M1的2一调和类空子流形的充要条件为∑(2hkl+腩一+lkk1)=0,Vz∑(2+ho'hklhtk++lkk+1)=0注:这里的曲率算子K:[,]_[,],与文[2]中定义的相差一个负号. 3定理1的证明对上任意光滑函数厂,令=/L.a伽,∑椭=嘶一∑(2.8)(2.9)(2.1O)(2.11)140华东交通大学2005拄∑伽=蛳一∑伽"一>-2f~ki.则'=,一山=∑似(3?1)由于的法向量是M+1的Ricci主方向,所以川=0,Vi(3.2)根据共变微分的定义,结合(3.2)和(2.8)有(gn)f=0,Vi(3.3)因为是研的2一调和超曲面,由引理,(2.4)与(3.2)得∑=一-~HHt,Vf(3.4)AH=H(+l+l—S)(3.5)进而{△H2=IHI+(+l+l—S)(3.6)△=3HIHI+(+l+l—S)(3.7)对(3.4)两边求共变导数得∑肼+∑协=一号啪一HHtj(3.8)应用(3.1)有{△(IHI)=∑碥+∑凰=∑+EH~Hk鼠+∑mkik'(3.9)由(3.3)和(3.5)得∑Hl(Kn+l+l—S)lHl一H∑HfS￡(3.10)由(2.3),(2.9)与(3.4)得∑触=∑HfHm一∑『m(一ki)=[(∑一旦K)IVHI+(n一2)∑]+丢n2H21VHI(3.11)设Q是M+1上的Ricci变换,∈c川,L(N)=()0(M),Q:(Ⅳ)一(N),eAQ(e^)=∑Qa%=∑e由(3.2)式,Ricci变换Q所对应的矩阵(Q)为(三一0+.+.),其中A表示×n阶对称矩阵(),所以()是Q的不变子空间.选取适当{ef}的使得=则∑HiH=∑H2{如≥rIHI(3.12)从而"~HiHmR础≥(2卜+丢凡)I日I(3.13)由平均值不等式和(3.5)得∑≥∑矾≥(Kn+ln+l—s)H2(3.14)将(3.10),(3.13)与(3.14)代入(3.9)得1A(IVHI)≥(+l+l一.s)H2+(+l+l一.s)IVHI一H一~HiS+(2r—K+3n2)IVHI2(3.15)第5期吴泽九:一类洛伦兹流形的2一调和类空超曲面的一个拼挤定理141 m】H~HiS吉∑(|s())f一~SAM2=吉一SIVHI一SH(+ln+1一|s)(3.16)其中cU是I-.1~1S(H)f为分量的向量场.将(3.16)代入(3.15)得吉△(IVHI)≥(+.+.一|s)一吉讹+sn2(K.++一|s)+(2r—R一+3rt2n2)IHI(3.17)凡斗'应N(3.6)与(3.7),上式成为1△[I日I+(+一2r)一吉凡]+吉呦≥旦日(|s—++.)[(2凡r一一+ln+1一+H2)一|s](3.18)注意到K=∑KAA≤(/7,+1)R及S一+1+1≥S+r≥0,上式推出吉△[IVHI+(+一2r)一吉凡]+吉呦≥旦日(|s+r)[+(r一)一|s](3.19)(3.19)在上处处成立,与标架选取无关,在条件(1.1)和的紧致性下,利用Bochner技巧得日=0或|s=一r或|s=一2凡n一+ll(一r)(3.20)若日:0,(1.1)推出|s≤等(卜)≤0,因此|s=0,=r,从而|s=一2凡n一+1(一r).若日参考文献:[1]姜国英.Riemann流形间的2一调和的等距浸入[J].数学年刊,1986,7A(2):130—144.[2]欧阳崇珍.黎曼空间型的2一调和类空子流形[J].数学年刊,2000,21A(6):649—654.[3]陈建华.球面中的紧致的2一调和超曲面[J].数学,1993,36(3):341—347.[4]孙弘安.DeSitter空间的2一调和类空子流形[J].南方冶金学院,2000,21(2):138—142.[5JIslfiharaT.,Maximalspacelikesubmanifoldsofapseudo—RiemannianSpaceofconstantcun,ature[J].MichiganMathJ.1988,35(3): 345—352.,APinchingTheoremof2-I-IarmonicSpacelikeSubmanifolds inaClassofLorentzManifold,vUZe-jiu(SchoolofNaturalScience,EastChinaJiaotongUniversity,Nanchang330013,China) Abstract:Inthispaper,westudy2-harmonicspacelikehypersurfacesinalocallysymmetrica ndconformallyflatlorentz manifoldandobtainapinchingtheoremoftheclassofhypersurfacestotheambientmanifold. Keywords:locallysymmetric;conformallyfiat;2一harmonic;pinching。
Lorentz空间中的具有常数量曲率的完备类空超曲面
Lorentz空间中的具有常数量曲率的完备类空超曲面
张士诚;吴报强
【期刊名称】《江苏师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2006(024)004
【摘要】讨论了在局部对称Lorentz空间中的具有常标准数量曲率的满足一定曲率条件的完备类空超曲面,利用Cheng S Y和Yau S T介绍的自伴随算子L-1,得到了一个分类定理.
【总页数】4页(P36-39)
【作者】张士诚;吴报强
【作者单位】徐州师范大学,数学科学学院,江苏,徐州,221116;徐州师范大学,数学科学学院,江苏,徐州,221116
【正文语种】中文
【中图分类】O186.12
【相关文献】
1.局部对称共形平坦Lorentz流形中具有常数量曲率的紧致类空超曲面 [J], 宋卫东;宋晴睛
2.局部对称Lorentz空间中具有常平均曲率的完备类空超曲面 [J], 孙忠洋
3.Anti-de Sitter空间中具有常数量曲率的完备类空超曲面的刚性定理 [J], 刘建成;郭娜
4.Anti-de Sitter空间中具有常k阶平均曲率及两个不同主曲率的完备类空超曲面[J], 刘建成;魏艳
5.局部对称Lorentz空间中的具有常数量曲率的完备类空超曲面 [J], 张士诚;吴报强
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本 文将外 围空 间推广 到共形 平坦 Ｌ ｒｎｚ ｏｅｔ流形
２ ｒ （＋ ） ｎ－ ｎ １ Ｒ
ｌ 一 ｌＪ
， ， ，
中坦 ＋１ Ｌ ｒｎｚ流 形 ￡ “ 中 具 有 常 平 均 曲率 的 完 备 类 空 超 曲 面 ， 维 ｏｅｔ 记
收稿 日期 ：０ １０ ．８ ２ １－１２
基金项目 ： 江西省教育厅青年科学基金项 目（ Ｊ１０ ４ Ｇ Ｊ １４ ） 作者简介 ： 吴泽九（９ ６ ， 讲师 ， 士， 究方 向为微分几何 。 １ ７ 一） 男， 硕 研
华 东 交 通 大 学 学 报
２ １ 年 ０１
注： 推论 １ 中的结论 （ ） １为文 献 ［．］ｐ ２３ｅ￣结论 ， 因此 ， 定理 １ 和推论 １ 广与改 进 了文献 【－】 推 ２３中的结 果 。
２ 公 式 与 引 理
设 是 ｎ 维 的 Ｌ ｒｎｚ ＋１ ｏｅｔ流形 ， 是 ＋ 的完备类 空超 曲面 。各种 指标 范 围规定如 下 Ｍ １
１ ， ， ≤ ＋１ １ ｊｋ ≤ ≤ Ｂ Ｃ… ｎ ； ≤ｉ ，…
不 别说明 ∑ 表示 特 时， 对重复 求和。 上 指标 在￡ 选取局 部标准 标架场｛）使 正交 ， 得限制 在Ｍ 上， 。 正 ｛｝ 相切。 Ｃ） ＋与 交， Ｐ与 设｛ 是关于｛） 对偶标 Ｏ 的 架场， ） １ 联 是Ｌ“的 络形式。 ＋ １
ｃ一
ｃ ０ 其 中 Ｒ与 ｒ ＞ 分别 表示 ＋ Ｒｃｉ 的 ｉ 曲率 的上 、 ｃ 下确 界 。如果 Ｍ 的法 向量 是 ＋
，
的 Ｒ ｃｉ ｉ 主方 向 ， ｃ 则
１当Ｈ ≤ ＝ 或 Ｈ ＜ （一 ） ≥ 时， 是全脐； ） Ｃ， ２ ４ １ Ｃ， ３
２当 ４ 一） ≥ 时， ） Ｈ ＝（ １ Ｃ， ３ Ｍ要么 是全脐球面 －（ １ ／）要么是双曲 （ ４ －）ｎ ， ｎ Ｃ 柱面Ｈ ｒ× ）
第 ２ 卷第 ２ ８ 期
２ １年４ ０１ 月
华 东 交 通 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｅａ ｔ Ｃｈ Ｊ ａ ｔ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｒ ａ ｆ ｓ ｍａ ｉｏ ｏ ｇ ｉ ｅ ｓｔ ｙ
Ｖ １２ ＮＯ ２ ｏ ｌ． ８ ．
Ａｐｒ， ０１ ．２ １
文 章 编 号 ：０ ５０２ ［０ １０ －０ ５０ １０ ．５ ３ ２ １ ）２０ ３ －６
的 曼 为ｄ ＝－Ａ９ 伪黎 度量 ｓ ￣ｅｏ）其中ｓ …＝ １ ＝ １ ＇（ ， 。 ｓ ， 一。 ＝ ＝ｓ 的 构方 结 程为 ｄ ∑％ ＾ ＋ ＝ ｏ ＝ ∞口 ∞， 口 ∞ ０ ９ ∞
（ １ ）
ｄＡ ∑ ｃ Ｃ∞ 一 ∑ Ｂ￥Ｄｃ ∞ Ｏ ｍ ｓ Ａ ∞ 专 ＣＣ∞ ＾Ｄ ） Ｂ ∞Ａ Ｄ￥
向，Ｃ是与
的 Ｒｃｉ ｉ 曲率的上、 ｃ 下确界有关的常数 ， １当Ｈ ≤ ｎ ２ ／ ＜ （－０ ｎ ３ Ｍ 全脐；２ 当 则（） Ｃ， ＝ 或 ， ／ ２ ４ｎ ｃ， ＞ 时， （）
Ｈ ４ １ ” ３ Ｍ是全脐球面Ｓ 或是双曲柱面 Ｈ ｒ× ｎｌ） ＝ 一 ） ≥ 时， ｃ， ） ａ－ ｔ。此结论推广与改进 了文［ 与［ 中的结果。 （ ２ ３ 】 ］
关键 词 ： 形 平 坦 ；ｏｅｔ流 形 ； 空超 曲面 ； 脐 共 Ｌ ｒｎｚ 类 全
中图 分 类 号 ： ８ ． Ｏ１６１ ２
文 献识 别 码 ： Ａ
ｌ 主 要结 果 设 是 ｄ ｉｅ空问 “ ｃ 中具有平常均曲率的完备的类空超曲面。 Ｇ ｄａ 提 出了以下著名的 ｅ ｄｒ Ｓ （） ｏｄｒ ｄ
猜想 ： ¨ｃ 中任一具常平均曲率的完备类空超曲面必是全脐 的。 Ａ ｕ ｇｗ 口 Ｒｍ ｎ ｔａ 研究了 （） ｋｔ ａ ａ ａ ａａｈ ｎ ａ 和 ｐ
Ｇ ｄａ 猜想， ｏｄｒ ｄ 并独立的得到： 的平均曲率 Ⅳ满足 Ｈ ≤ ， ＝ 或 Ｈ ＜ （一 ） ， ≥ 时， 是全 当 ｃ ２ ４ １ 力 ３ ｃ
１ 当Ｈ ≤ ， ＝ ； ２ ＜ ｆ一 ） ， ≥ 时， 全脐； ） ｃｎ ２ ｒ ／ ４ １ ，３ ｃ ｚ
２ ）当 Ｈ ＝ （一 ） ， 是脐 球面 ４ １ ｃ时 或 者是 双 曲柱 面 （） Ｓ－ ｔ 其 中 ： ｒ× ｎｉ）， （
，２ ）ｆ ｃ ＝ 一ｃ ： 。 （ ， 鲁
ａ－ ｆ， ｎ１）其中ｒ （－ ） ｆ （ ＝ ２ ｎｃ，
得
Ｃ。
当外围空间 “＝ ｌ ｃ时， Ｍ 的法向量是 ｓ ＋ ｃ的Ｒｃｉ Ｓ （） 显然 ｉ１ ） ｉ 主方向且 Ｒ ｒ ｎ Ｃ ｃ 由定理 １ ｎ ｃ ＝ ＝ ｃ， ＝ ，
推论 １设 为 ｄ ｉｅ 空 间 ｅ ａｒ Ｓ （） ｃ 中具有 常平均 曲率 的完备 的类 空超 曲面 ， 则
式 中： ｃ 为 ＋ 的曲率张量 分量 。限制在 Ｍ 上 ， Ｄ １ 有
（ ２ ）
（） ３ （） ４ （） ５
６ ］
‘
∞ ０∞ ＝ 川＝ ， ∑ ｄｆ∑∞＾ Ｃ ＋ ： ｏ＝ ， ０ ｏ Ｏ ｄ ∑∞ ＾０－ ＥＲ ∞＾ ， ｃ＝ Ｏ Ｉ ∞ ｏ ｋ ｊ
Ｒ 州＝Ｋ ｕ ｉ ｈｈ — ｋ ｈ ｉ ｌ
式 中 ： 删 为 Ｍ 的 曲率 张量分 量 。分 别定义 ｈ 及
共形 平 坦 Ｌ ｒｎｚ 形 中具 常 平 均 曲率 的超 曲面 ｏ ｅ ｔ流
吴 泽 九
（ 华东交通大学基础科学学院 ， 江西 南 昌 ３ ０ １ ） ３ ０ ３
摘要 ： Ｍ 是共形 平坦 Ｌ ｒ ｔ 形 ￡ 中具 常平均 曲率 Ｈ 的 完备 类 空超 曲面 。如 果 Ｍ 的法向量是 。 设 ｏｅ ｚ流 ｎ ｌ ｎ ｎ “的 Ｒｃｉ 方 ｉ 主 ｃ