矩阵方程(AX,YA)=(B1,B2)的反埃尔米特广义汉密尔顿最小二乘解
矩阵方程AX-BY=Z反问题的广义中心对称最小二乘解
其 中， Ｄ １∈ Ｏ Ｒ ， Ｄ ２∈ Ｏ Ｒ ． 引理 ２： 设 ｎ阶和 ｍ 阶对 称正交矩 阵 Ｐ， Ｑ的谱 分解 为 （ １ ） ， 则 Ａ， Ｂ ∈Ｒ （ Ｐ， Ｑ）的充 分必 要条 件
是 Ａ 、 Ｂ 分 别 可 以 表 示 为 ： Ａ ＝ Ｄ 【 】 Ｄ ； （ ２ ）
—
台 ］＿ ［ ， 雷 ］Ｉ Ｉ
， Ｂ ３一 ，
Ｉ Ｉ ， Ｉ Ｓ 彻是问题 ， 的解集
１问题 Ｉ 的解
由于 Ｐ， Ｑ均是对 称 正交矩 阵 ， 所 以 Ｐ， Ｑ的特征 值是 １ 或 一１ ， 而 Ｐ， Ｑ分 别正 交相 似于对 角矩 阵 ， 故
不 难证 明下 面 引理 ：
Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 广义 逆 ， ｒ ａ ｎ ｋ （ Ａ）和 ｔ ｒ （ Ａ） 分 别 表示 矩 阵
矩阵 方 程Ａ Ｘ — Ｂ Ｙ ＝ Ｚ 反问 题的 广义 中 心 对 称 最 小 二 乘 解
冷 晔
（ 九 江职业 大学 江西九江 ３ ３ ２ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 文章研 究矩阵方程Ａ ｘ— Ｂ Ｙ＝ｚ 反问题 广义中心对称最小二乘解， 给出了Ａ — Ｂ Ｙ ：Ｚ的最小二乘广义 中心对称解的表达式， 导出了Ａ — Ｂ Ｙ＝Ｚ有广义 中心对称解的条件． 讨论 了在 Ａ —ＢＹ＝Ｚ的 最 小二 乘 广义 中心对 称解 集合 中求与给 定矩 阵最佳 逼 近的 解的 问
，
阵是 中心 对称矩 阵的推广 ， 在工程与科学计算等 领 域 已得 到 了广 泛 的应用 Ｊ ． 笔者研究一类矩阵方程反 问题 的广义中心对 称最小二乘解． 首先介绍文中使用 的符号和概念 ：
令尺 表示 所有 ｎ×ｍ型实 矩 阵集合 ， Ｏ Ｒ “ 表 示 ｎ阶 正交矩 阵组 成 的集合 ， Ａ 表 示矩 阵 Ａ的 Ｍｏ ｏ ｒ ｅ
矩阵论-第五章-广义逆及最小二乘
第五章 广义逆及最小二乘解在应用上见得最频繁的、大约莫过于线性方程组了。
作一番调查或整理一批实验数据，常常归结为一个线性方程组：Ax b =然而是否是相容方程呢？倘若不是，又如何处理呢？最小二乘解是常见的一种处理方法。
其实它不过是最小二乘法的代数形式而已。
广义逆从1935年Moore 提出以后，未得响应。
据说： (S.L.Campbell ＆ C.D.Meyer.Jr Generalized Inverses of Linear Transformations 1979 P9)原因之一，可能是他给出的定义，有点晦涩。
其后，1955年Penrose 给出了现在大都采用的定义以后，对广义逆的研究起了影响，三十年来，广义逆无论在理论还是应用上都有了巨大发展，一直成为了线性代数中不可缺少的内容之一。
为了讨论的顺利进行，我们在第一节中先给出点准备，作出矩阵的奇值分解。
§5.1 矩阵的酉交分解、满秩分解和奇值分解在线行空间中，知道一个线性变换在不同基偶下的矩阵表示是相抵的或等价的。
用矩阵的语言来说，就是：若 ,m n A B C ×∈，倘有非异矩阵()P m n ×，()Q n n ×存在，使B PAQ =则称A 与B 相抵的或等价的。
利用初等变换容易证明m n A C ×∈，秩为r ，则必有P ，Q ，使000r m nI PAQ C ×⎛⎞=∈⎜⎟⎝⎠(5.1-1) 其中r I 是r 阶单位阵。
在酉空间中，上面的说法，当然也成立，如果加上P ，Q 是酉交阵的要求，情形又如何呢？下面就来讨论这个问题。
定理 5.1.1 (酉交分解) m n A C ×∈，且秩为r ，则(),(),,H H m n U m n V n n U U I V V I ∃××==，使00r HU AV Δ⎛⎞=×⎜⎟⎝⎠(m n) (5.1-2) 其中r Δ为r 阶非异下三角阵。
矩阵的最小二乘解求法
矩阵的最小二乘解求法
简介
在数学和统计领域，矩阵的最小二乘解是一种常见的求解方法。
通过最小二乘解，可以找到一组系数，使得指定方程组中的残差平方和最小。
本文将介绍矩阵的最小二乘解求法，并探讨其在不同领域的应用。
矩阵的最小二乘解求法
矩阵的最小二乘解求法主要用于解决过定线性方程组或者超定线性方程组的问题。
在给定一个矩阵A和一个向量b的情况下，我们希望找到一组系数x，使得下式成立：A*x ≈ b。
这里的≈表示近似等于。
常见的最小二乘解求法包括QR分解、SVD分解等。
其中，QR分解是将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，通过这种方式可以方便地求解最小二乘解。
而SVD分解则是将矩阵A分解为三个矩阵U、Σ和V的乘积，同样可以用于最小二乘解的求解。
应用领域
矩阵的最小二乘解求法在很多领域都有着广泛的应用。
在计量经济学中，最小二乘解可以用来估计经济模型中的参数。
在信号处理中，最小二乘解可以用于信号的滤波和降噪。
在机器学习领域，最小二乘解也被广泛应用于线性回归和岭回归等问题的求解。
结论
矩阵的最小二乘解求法是一种重要的数学工具，可以帮助我们求解线性方程组的近似解。
通过本文的介绍，我们了解了最小二乘解的求解方法以及在不同领域的应用。
希望读者可以进一步深入学习和应用这一方法，发现更多有趣的应用场景。
以上是关于矩阵的最小二乘解求法的简要介绍，希望对读者有所帮助。
矩阵方程AX=B的Hermitian-广义Hamiltonian矩阵解的迭代算法
究 ，得 到 了 问题 可 解 的充 要条 件 和通 解表 达 式［２ １１ －；
１ 问题 的提 出
矩 阵 方 程 问题 是 当 今 计算 数 学 中 的一 个 热 点 课 题 它在 结 构设计 、参数识 别 、生物 学 、 电学、
分子光谱 学 、固体 力学 、自动 控制理 论 、振动 理论 、
ＡＸ＿Ｂ ． ＿
问题 Ⅱ
给 定 Ｘｏ ∈Ｓ，求 ∈Ｓ ， 得 ： Ｅ 使
一
引理 ４ 若 ｌ ２ １ ２ ＋Ａ ＝Ｂ ＋Ｂ ，其 中：
Ａ ＝（ １ Ａ＋ＡＪ ￣ ， Ａ ＝（ ）２ ２ Ａ—Ａ ） ２ Ｊ ￣ ，Ｂ１ Ｂ＋ ＝（
Ｂ ）２ Ｂ ＝（ Ｊ ￣ ， ２ Ｂ—Ｂ ） ２ Ｊ￣， （） １
Ｃ ｉａ ｈ ） ｎ
Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｅ ａｉ ｎ ｍｅｈ ｄ ｉ ｄ ｓ ｕ ｓ ｄ ｆ ｒｔ ｅｍａｒｘ ｅ ｕ ｔ ｎ ｓ ｒ ｃ ： ｅ ｉ ｒ ｔ ｔ ｏ ｉｃ ｓ ｅ ｏ ｔｉ ｑ ａｉ Ａ ＝Ｂ ｏ ｅ ｒ ｔ ｎ Ｇｅ ｅ ａ ｉｅ ｍｉ ｏ ｉｎ ｔ ｏ Ｓ ｈ ｏ ｖ ｒＨｅ ｍｉ ａ ｎ ｒ ｌ ｄ Ｈａ ｌ ｎ ａ ｉ ｚ ｔ
Ｍ ａｒｃ ｓ ｔ ｅ ，ｂｙ ｔ ｓｒ ｔ ｅ ｎ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉ ｏ ｒｉ ｓ ｏｆ ｔ Ｈ ｅｍ ｉｉ ｎ Ｇ ｅ ｅ ａ ｉｅ Ｈａ ｉｔ ｉ ｎ Ｍ ａ ｒｃ ｓ ｎｄ ｔ ｅ ｉ ｈｅ ｔｕｃｕｒ ａ ｄ ｈ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｐｒ ｐｅｔｅ ｈｅ ｒ ｔａ ｎ ｒ ｌｚ ｄ ｍ ｌ ｏｎ ａ ｔ ｅ ａ ｈ ｉ
ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｒ ｔ ｓ ｏ ｔ ｉ ｅ ；Ａｓ ｆ ｒｔ ｉ ｐ ｏ ｌ ｍ，ｔ ｅ ｏ ｔ ｌａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｎ ｓ ｌ ｔ ｎ ｕ ｒ ａ ｌ ｏ ｉ ｍ ｎ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ａｅ ｉ ｂ ａｎ ｄ ｈｓ ｒ ｂｅ ｏ ｈ ｐ ｉ ｐ ｒ ｘ ｍａｉ ｏ ｕ ｉ ，ａ ｎ ｍｅ ｃ ｌａ ｇ ｒ ｈ ａ ｄ ａ ｍａ ｏ ｏ ｉ ｔ
子矩阵约束下的埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵特征值反问题及其最佳逼近
一
？
当且仅 当
以下 引理 由白正简 ［］ 到，给 出了矩 阵集合 ＨＳ １得 １ Ｈ 的结构 ． 引理 ２３ 设 Ａ ∈Ｃ ． ， 有形如 （） 的谱 分解 ．则 Ａ ∈ＨＳ ２式 Ｈ
一
（） ，
ｃ ３ ，
其 中 Ａｌ， ２ １Ａ２ ∈Ｈ ． 由引理 ２３ 我们容 易得 到 以下结果 ． ． ， 引理 ２４ 假 定 Ａ∈Ｃ 和 Ａｏ ． ＝Ａ（ ： ） 令 Ｕ＝ （ １Ｕ ） 则 １ ｓ． Ｕ ， ２． 【Ｉ ｌ ＋Ｕ Ａ ２ 】 ｓ ＝Ａ ， Ｕ Ａｌ ２ ２ （ ） ｏ １：
子 矩 阵就 是 ０ ．
问题 １２ 设 Ｋｒ 问题 １１ ． 是 ． 的解 集合 ．给定矩 阵 ∈ ｎ ， 找 ∈ 寻
一
使得
Ｉ １ Ｆ＝Ａ ｉ ｉ 【 ． ｍ ｌ ｎ ｄ一 ｌ Ｆ
（） １
注记 １１ 当 ｒ ０ 问题 １１ ． ＝ ， ． 退化 成埃尔米 特广义 反汉密 尔顿矩 阵特征值 反 问题 ［ ］当 １； １
收 稿 日期 ： ０ ９０ — ２ 修 订 日期 ： ０ ００ —７ ２ ０ —４ ２ ； ２ １—８ ２
Ｅ— ａ ｌ ｍ ｉ ：ｍ ｏ ｏｎ ｕａ ｙ ｈｏ ｃ ｒ ｇｈ ＠ ａ ｏ．ｏｍ ． ｎ；ｌｗｅ ＠ ｓ ｎ ｅ ｃ ｉ ｎ ｃ ｕ． ｄｕ． ｎ ｃ
｝ 基金项 目：国家 自然科学基金 （０ ７ ０ ７ １ ９ １ ７ ） １ ６ １ ７ ， ０ ７ ０ ５ 、广东省 自然科学基金 （６ ２ ０ １ ９ ５ ０ ３ ０ ０ ０ ２ ） ００ ５６ ， １１６ １１００ １ 和广东工业大学校级博士 启动基金 （０ ０ ５ １ ３ ０ ）资助
６２ ９
数
hermite广义反hamilton矩阵的广义特征值反问题
内蒙古工业大学学报ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＩＮＮＥＲＭＯＮＧＯＬＩＡ第３５卷 第２期ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹＯＦＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹＶｏｌ．３５Ｎｏ．２２０１６文章编号：１００１－５１６７（２０１６）０２－０００１－０４ 收稿日期：２０１６－０２－２５作者简介：尚晓琳（１９９１—），女，在读硕士研究生，研究方向：偏微分方程及其应用。
基金项目：内蒙古自然科学基金（２０１２ＭＳ０１１１）。
Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的广义特征值反问题尚晓琳，张 澜（内蒙古工业大学理学院，呼和浩特０１００５１）摘要：给定矩阵Ｘ和对角矩阵Λ，利用矩阵分块法和奇异值分解，求Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的广义特征值反问题ＡＸ＝ＢＸΛ的解（Ａ，Ｂ）的一般表达式．用ＳＡＢ表示矩阵方程的解集合，并考虑了对给定矩阵在ＳＡＢ中的最佳逼近问题．关键词：Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵；奇异值分解；最佳逼近；反问题中图分类号：Ｏ２４１．６ 文献标识码：Ａ０ 引言矩阵特征值反问题和矩阵广义特征值反问题在数学和科学技术的许多领域里发挥着重要的作用，广义特征值反问题是特征值反问题的一个推广，它在结构力学、参数识别和自动控制等领域具有重要作用；而关于广义特征值这方面的研究已经有了许多重要的成果［１－５］，而关于矩阵的扩充问题有子矩阵约束下的矩阵反问题［６－１１］，文献［５］是对Ｈｅｒｍｉｔｅ广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的广义特征值反问题的研究．本文研究了Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的广义特征值反问题，并给出了最佳逼近解．令Ｒｎ×ｍ（Ｃｎ×ｍ）表示ｎ×ｍ阶实（复）矩阵的全体；ＯＣｎ×ｍ表示ｎ阶正交矩阵的全体；ＨＣｎ×ｎ表示ｎ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ矩阵的全体；ＵＣｎ×ｎ表示ｎ阶酉矩阵的全体；用ｒａｎｋ（Ａ），Ｒ（Ａ），Ｎ（Ａ）分别表示矩阵Ａ的秩，列空间和零空间，Ａ＋表示Ａ的Ｍｏｏｒｅ－Ｐｅｒｒｏｓｅ广义逆；Ｉｋ表示阶单位阵；对Ａ，Ｂ∈Ｃｎ×ｍ，定义内积为（Ａ，Ｂ）＝ｔｒ（ＡＨＢ），由此内积导出的范数‖Ａ‖＝（Ａ，Ａ）＝（ｔｒ（ＡＨＡ））为Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数，并且Ｃｍ×ｎ是一个完备的内积空间．ＯＡＳＲｎ×ｎ表示ｎ阶正交反对称矩阵的全体，即ＯＡＳＲｎ×ｎ＝｛Ｊ｜ＪＴＪ＝ＪＪＴ＝Ｉｎ，Ｊ＝－ＪＴ，Ｊ∈Ｒｎ×ｎ｝显然，当Ｊ∈ＯＡＳＲｎ×ｎ时，Ｊ２＝－Ｉｎ，从而有ｎ＝２ｋ（ｋ是一个正整数）．定义１ 已知矩阵Ｊ∈ＯＡＳＲｎ×ｎ，矩阵Ａ∈Ｃｎ×ｎ称为广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵，如果（ＡＪ）Ｈ＝－ＡＪ．所有ｎ阶广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的全体记为ＧＳＨｎ×ｎ．定义２ 已知矩阵Ｊ∈ＯＡＳＲｎ×ｎ，矩阵Ａ∈Ｃｎ×ｎ称为Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵，如果ＡＨ＝Ａ且（ＡＪ）Ｈ＝－ＡＪ．所有ｎ阶Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的全体记为ＨＳＨｎ×ｎ．本文讨论如下两个问题：问题Ⅰ：给定Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ）∈Ｃｎ×ｍ，Λ＝ｄｉａｇ（λ１λ２，…，λｍ）∈Ｃｍ×ｍ和Ｊ∈ＯＡＳＲｎ×ｎ，求矩阵Ａ，Ｂ∈ＨＳＨｎ×ｎ，使得ＡＸ＝ＢＸΛ（１）问题Ⅱ：给定珦Ａ，珟Ｂ∈Ｃｎ×ｎ，求矩阵＾Ａ，＾Ｂ∈ＳＡＢ，使得‖珦Ａ，珟Ｂ－＾Ａ，＾Ｂ‖＝ｉｎｆＡ，Ｂ∈ＳＡＢ‖珦Ａ，珟Ｂ－［Ａ，Ｂ］‖（２）其中ＳＡＢ是问题Ⅰ的解集合．若Ｂ＝Ｉｎ，问题Ⅰ，Ⅱ转化为Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的特征值反问题．１ 预备知识引理１ 设Ｊ∈ＯＡＳＲｎ×ｎ，则存在矩阵Ｑ∈ＵＣｎ×ｎ，使得Ｊ＝ＱｉＩｋ００－ｉＩｋＱＨ（３）引理２ 设Ａ∈Ｃｎ×ｎ，Ｊ的分解式如（３），则Ａ∈ＨＳＨｎ×ｎ，当且仅当Ａ＝ＱＡ１００Ａ２ＱＨ，Ａ１，Ａ２∈ＨＣｋ×ｋ（４）证明 若Ａ∈ＨＳＨｎ×ｎ，则由定义可得ＡＨ＝Ａ且ＡＪ－ＪＡ＝０，ＱＨＡＱｉＩｋ００－ｉＩｋ－ｉＩｋ００－ｉＩｋＱＨＡＱ＝０（５）又ＡＨ＝Ａ，从而（ＱＨＡＱ）Ｈ＝ＱＨＡＱ∈ＨＣｎ×ｎ．令ＱＨＡＱ＝Ａ１１Ａ１２ＡＨ１２Ａ２２，其中Ａ１１，Ａ２２∈ＨＣｋ×ｋ，（６）将（６）式代入（５）式有Ａ１１Ａ１２ＡＨ１２Ａ２２ｉＩｋ００－ｉＩｋ－ｉＩｋ００－ｉＩｋ－Ａ１１Ａ１２ＡＨ１２Ａ２２＝０，从而有Ａ１２＝０，Ａ１１，Ａ２２∈ＨＣｋ×ｋ．令Ａ１＝Ａ１１；Ａ２＝Ａ２２，则Ａ＝ＱＡ１００Ａ２ＱＨ，Ａ１，Ａ２∈ＨＣｋ×ｋ反过来，若Ａ＝ＱＡ１００Ａ２ＱＨ，Ａ１，Ａ２∈ＨＣｋ×ｋ显然有ＡＨ＝Ａ．又ＡＪ＝ＱＡ１００Ａ２ＱＨＱｉＩｋ００－ｉＩｋＱＨ＝ＱｉＡ１００－ｉＡ２ＱＨ从而（ＡＪ）Ｈ＝－ＡＪ因此，由定义可得Ａ∈ＨＳＨｎ×ｎ．引理３ 对给定的Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ）∈Ｃｎ×ｍ，Λ＝ｄｉａｇ（λ１，λ２，…，λｍ）∈Ｃｍ×ｍ，矩阵方程ＡＸ＝ＢＸΛ恒有解Ａ，Ｂ∈Ｃｎ×ｎ并且其解可表示为［Ａ，Ｂ］＝ＭＵＨ２，其中Ｍ∈Ｃｎ×（２ｎ－ｒ）是任意矩阵，Ｕ２∈Ｃ２ｎ×（２ｎ－ｒ）是单位列酉矩阵，且Ｒ（Ｕ２）＝ＮＸＨ，－（ＸΛ）Ｈ），ｒ＝ｒａｎｋＸＨ，－（ＸΛ）Ｈ）．２ 问题Ⅰ解的表达式记ＵＨＸ＝Ｘ１Ｘ２，Ｘ１，Ｘ２∈Ｃｋ×ｍ，取Ｗ＝Ｉｋ０００００Ｉｋ００Ｉｋ０００００Ｉｋ，则易得ＷＴＷ＝Ｉ２ｎ．定理１ 对给定的Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ）∈Ｃｎ×ｍ，Λ＝ｄｉａｇ（λ１，λ２，…，λｍ）∈Ｃｍ×ｍ和Ｊ∈ＯＡＳＲｎ×ｎ，则问题Ⅰ恒有解Ａ，Ｂ∈ＨＳＨｎ×ｎ，并且其解可表示为［Ａ，Ｂ］＝ＵＥＵ（２）Ｈ２００ＦＵ（１）Ｈ２ＷＴＵＨ００ＵＨ（７）其中Ｅ∈Ｃｋ×（ｎ－ｒ２），Ｆ∈Ｃｋ×（ｎ－ｒ１）是任意矩阵，Ｕ（１）２∈Ｃｎ×（ｎ－ｒ１），Ｕ（２）２∈Ｃｎ×（ｎ－ｒ２）均为单位列酉矩阵，且Ｒ（Ｕ（ｉ）２）＝ＮＸＨｉ，－（ＸｉΛ）Ｈ），ｒｉ＝ｒａｎｋＸＨｉ，－（ＸｉΛ）Ｈ）ｉ＝１，２．２８内蒙古工业大学学报 ２０１６年证明 由引理２知，存在Ａ，Ｂ∈ＨＳＨｎ×ｎ，使得ＡＸ＝ＢＸΛ等价于存在Ａ１，Ａ２∈ＨＣｋ×ｋ，Ｂ１，Ｂ２∈ＨＣｋ×ｋ，使得ＵＡ１００Ａ２ＵＨＸ＝ＵＢ１００Ｂ２ＵＨＸΛ即Ａ１００Ａ２Ｘ１Ｘ２＝Ｂ１００Ｂ２Ｘ１ΛＸ２Λ由此可得Ａ１Ｘ１＝Ｂ１Ｘ１Λ（８）Ａ２Ｘ２＝Ｂ２Ｘ２Λ（９）由引理３知，（８），（９）恒有解．设Ｘｉ－ＸｉΛ的奇异值分解为Ｘｉ－ＸｉΛＵ（ｉ）∑（ｉ）０００Ｖ（ｉ）Ｈ＝Ｕ（ｉ）１∑ｉＶ（ｉ）Ｈ１，其中Ｕ（１）＝［Ｕ（１）１，Ｕ（１）２］为ｎ×ｎ阶酉矩阵，Ｕ（２）＝［Ｕ（２）１，Ｕ（２）２］为ｎ×ｎ阶酉矩阵，Ｖ（ｉ）＝［Ｖ（ｉ）１，Ｖ（ｉ）２］为ｍ×ｍ阶酉矩阵．∑（ｉ）＝ｄｉａｇ（δ（ｉ）１，δ（ｉ）２，…，δ（ｉ）ｒｉ），Ｒ（Ｕ（ｉ）２）＝ＮＸＨｉ，－（ＸｉΛ）Ｈ），ｒｉ＝ｒａｎｋＸＨｉ，－（ＸｉΛ）Ｈ）ｉ＝１，２．Ｕ（１）２∈Ｃｎ×（ｎ－ｒ１），Ｕ（２）２∈Ｃｎ×（ｎ－ｒ２）．则（８），（９）式的解可以表示为［Ａ１，Ｂ１］＝ＥＵ（２）Ｈ２， ［Ａ２，Ｂ２］＝ＦＵ（１）Ｈ２其中Ｅ∈Ｃｋ×（ｎ－ｒ２），Ｆ∈Ｃｋ×（ｎ－ｒ１）是任意矩阵．又 ＵＨ［Ａ，Ｂ］ＵＵ００Ｕ＝ＵＨＵＡ１００Ａ２ＵＨ，ＵＢ１００Ｂ２ＵＨＵ００ＵＷ＝Ａ１０Ｂ１００Ａ２０Ｂ２Ｉｋ０００００Ｉｋ００Ｉｋ０００００Ｉｋ＝Ａ１Ｂ１００００Ａ２Ｂ２＝ＥＵ（２）Ｈ２００ＦＵ（１）Ｈ２又由于ＷＴＷ＝Ｉ２ｎ，从而［Ａ，Ｂ］＝ＵＥＵ（２）Ｈ２００ＦＵ（１）Ｈ２ＷＴＵＨ００ＵＨ．３ 问题Ⅱ的解记ＵＨ［珦Ａ，珟Ｂ］Ｕ００ＵＷ＝珦Ａ１１珦Ａ１２珦Ａ２１珦Ａ２２，珦Ａ１１，珦Ａ２２∈Ｈｋ×ｎ（１０）定理２ 对给定的Ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ）∈Ｃｎ×ｍ，Λ＝ｄｉａｇ（λ１，λ２，…，λｍ）∈Ｃｍ×ｍ和Ｊ∈ＯＡＳＲｎ×ｎ，则问题Ⅰ解集的元素由式（７）给出，则问题Ⅱ有唯一最佳逼近解＾Ａ，＾Ｂ，且可以表示为［＾Ａ，＾Ｂ］＝Ｕ珦Ａ１１Ｕ（２）２Ｕ（２）Ｈ２００珦Ａ２２Ｕ（１）２Ｕ（１）Ｈ２ＷＴ＝ＵＨ００ＵＨ．（１１）证明 由于矩阵对加法和数乘运算封闭及Ｃｎ×ｎ是一个完备的内积空间，从而容易证明ＳＡＢ是完备的内积空间中Ｃｎ×ｎ的一个凸集．其次对ＳＡＢ中的任一收敛序列［Ａｋ，Ｂｋ］，设ｌｉｍｋ→∞［Ａｋ，Ｂｋ］＝［珡Ａ，珚Ｂ］，有珡Ａ，珚Ｂ∈ＨＨｎ×ｎ，又由ＡｋＸ＝ＢｋＸΛ，则‖珡ＡＸ－珚ＢＸΛ‖＝‖珡ＡＸ－ＡｋＸ＋ＢｋＸΛ－珚ＢＸΛ‖尘‖珡Ａ－Ａｋ‖‖Ｘ‖＋‖Ｂｋ－珚Ｂ‖‖ＸΛ‖３８第２期 尚晓琳等 Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的广义特征值反问题而ｌｉｍｋ→∞Ａｋ＝珡Ａ，ｌｉｍｋ→∞Ｂｋ＝珚Ｂ，从而珡ＡＸ＝珚ＢＸΛ，即［珡Ａ，珚Ｂ］∈ＳＡＢ，所以ＡＢ是完备的内积空间中Ｃｎ×ｎ的一个闭凸集，由最佳逼近定理［７］知，存在唯一最佳逼近解．对Ｘｉ－ＸｉΛ进行奇异值分解，得到Ｕ（１）＝［Ｕ（１）１，Ｕ（１）２］为ｎ×ｎ阶酉矩阵，Ｕ（２）＝［Ｕ（２）１，Ｕ（２）２］为ｎ×ｎ阶酉矩阵，则由（１０）式，Ｕ（１），Ｕ（２），Ｗ，Ｕ均为酉矩阵及Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ范数的酉不变性质可得 ‖［珦Ａ，珟Ｂ］－［Ａ，Ｂ］‖２ ＝‖Ｕ珦Ａ１１珦Ａ１２珦Ａ２１珦Ａ２２ＷＴＵＨ００ＵＨ－ＵＥＵ（２）Ｈ２００ＦＵ（１）Ｈ２ＷＴＵＨ００ＵＨ‖２ ＝‖珦Ａ１１珦Ａ１２珦Ａ２１珦Ａ２２－ＥＵ（２）Ｈ２００ＦＵ（１）Ｈ２‖２ ＝‖珦Ａ１１－ＥＵ（２）Ｈ２‖２＋‖珦Ａ１２‖２＋‖珦Ａ２１‖２＋‖珦Ａ２２－ＦＵ（１）Ｈ２‖２因此，‖［珦Ａ，珟Ｂ］－［Ａ，Ｂ］‖２＝ｍｉｎ，当且仅当，珦Ａ１１＝ＥＵ（２）Ｈ２， 珦Ａ２２＝ＦＵ（１）Ｈ２即Ｅ＝珦Ａ１１Ｕ（２）２， Ｆ＝珦Ａ２２Ｕ（１）２（１２）将（１２）代入（７）即得式（１１）．矩阵特征值反问题在科学和工程技术中具有广泛应用，本文给出了Ｈｅｒｍｉｔｅ广义反Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的广义特征值反问题及其最佳逼近解的一般表达式，它在最佳控制理论中具有重要的理论意义．参考文献：［１］ 周硕，吴柏生．反中心对称矩阵广义特征值反问题［Ｊ］．高等学校计算数学学报，２００５，２７（１）：５３～５９．［２］ 吴筑筑．双对称矩阵广义特征值反问题的解［Ｊ］．韶关学院学报，２００１，２２（９）：１～５．［３］ 钱爱林，柳学坤．Ｈｅｒｍｉｔｅ广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵反问题的最小二乘解［Ｊ］．数学杂志，２００６，２６（５）：５１９～５２３．［４］ 戴华．Ｈｅｒｍｉｔｅ广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵反问题解存在的条件［Ｊ］．江苏大学学报，２００４，２５（１）：４０～４３．［５］ 邓继恩，王海宁，崔润卿．Ｈｅｒｍｉｔｅ广义Ｈａｍｉｌｔｏｎ矩阵的广义特征值反问题［Ｊ］．漳州师范学院学报，２００７，５７（３）：１６～２０．［６］ 王松桂，杨振海．广义逆矩阵及其应用［Ｍ］．北京：北京工业大学出版社，２００６．［７］ 戴华．矩阵论［Ｍ］．北京：科学技术出版社，２００１．［８］ 高雁群，魏平，张忠志．自反矩阵与反自反矩阵的广义逆特征值问题［Ｊ］．高等学校计算数学学报，２０１２，３４（３）：２１４～２２２．［９］ 王小雪，程宏伟，杨琼琼，等．子矩阵约束下广义反中心对称矩阵的广义特征值反问题［Ｊ］．东北电力大学学报，２０１４，３４（４）：８０～８５．［１０］ 莫荣华，黎稳．子矩阵约束下的埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵特征值反问题及其最佳逼近［Ｊ］．数学物理学报，２０１１，３１Ａ（３）：６９１～７０１．［１１］ 鲍丽娟，戴华．子矩阵束约束下中心对称矩阵束的最佳逼近［Ｊ］．工程数学学报，２０１３，３０（２）：２０５～２１６．ＩｎｖｅｒｓｅＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＥｉｇｅｎｖａｌｕｅＰｒｏｂｌｅｍｆｏｒＨｅｒｍｉｔｅＧｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＩｎｖｅｒｓｅＨａｍｉｌｔｏｎＭａｔｒｉｃｅｓＳＨＡＮＧＸｉａｏｌｉｎ，ＺＨＡＮＧＬａｎ（ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅｓ，ＩｎｎｅｒＭｏｎｇｏｌｉａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈｏｈｈｏｔ０１００５１）Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＧｉｖｅｎａｍａｔｒｉｘＸａｎｄａｄｉａｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘΛ，ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎ（Ａ，Ｂ）ｏｆｔｈｅＨｅｒｍｉｔｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅＨａｍｉｌｔｏｎｍａｔｒｉｘｆｏｒｉｎｖｅｒｓｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｅｉｇｅｎｖａｌｕｅｐｒｏｂｌｅｍｉｓｏｂ‐ｔａｉｎｅｄｂｙｕｓｉｎｇｍａｔｒｉｘｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎａｎｄｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅｓｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ａｎｄｔｈｅｂｅｓｔａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｔｏａｎｙｇｉｖｅｎｍａｔｒｉｘｉｓｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＨｅｒｍｉｔｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｉｎｖｅｒｓｅＨａｍｉｌｔｏｎｍａｔｒｉｘ；Ｓｉｎｇｕｌａｒｖａｌｕｅｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ；Ｏｐｔｉｍａｌａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ；Ｉｎｖｅｒｓｅｐｒｏｂｌｅｍ４８内蒙古工业大学学报 ２０１６年。
矩阵方程ax=b最小二乘解的解法
矩阵方程ax=b最小二乘解的解法矩阵方程ax=b的最小二乘解法是一种用于求解形如ax=b的方程组的方法。
在实际问题中，方程组可能是超定的，即方程的数量大于未知数的数量。
此外，方程组中的系数可能是不完全可逆的，即矩阵A的秩小于它的列数。
在这些情况下，方程组无解或者无唯一解。
最小二乘法提供了一种近似解的方法，在求解方程组时最小化残差的平方和。
最小二乘法的基本思路是找到一个向量x，使得，ax-b，^2 最小化。
在这里，.，表示向量的长度（或者范数）。
直观上讲，通过最小化残差（即方程的左侧与右侧之间的差异）的平方和，我们能够找到一个在其中一种意义下对方程组整体具有最佳拟合的解。
下面介绍几种常用的最小二乘解法。
1.正规方程法正规方程法是最简单的最小二乘解法之一、它通过将方程组左右两边同时乘以A的转置矩阵，得到A^T*A*x=A^T*b的形式。
只要A的转置矩阵存在并且可逆，这个方程组一定有解。
我们可以通过求解这个方程组得到最小二乘解。
虽然正规方程法直观简单，但计算量较大，尤其在矩阵A规模较大时。
此外，当矩阵A的条件数较大时，该方法可能导致数值不稳定性。
2.QR分解法QR分解法是另一种常用的最小二乘解法。
它通过将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，使得Q^T*A=R，其中Q^T表示Q的转置矩阵。
通过进行QR分解，我们可以将原方程组转化为R*x=Q^T*b的形式，这个方程组可以很容易地求解。
QR分解法在计算效率和数值稳定性方面比正规方程法更优。
然而，当矩阵A的列数远大于它的行数时，QR分解法可能会带来较大的计算代价。
3.SVD分解法SVD分解法在精度和稳定性上具有较好的性质，但计算量较大，特别是当矩阵A的规模较大时。
此外，还有一些其他的最小二乘解法，如广义逆法、加权最小二乘法等。
它们针对不同的问题提供了不同的解决思路。
根据具体的问题和要求，我们可以选择最合适的方法来求解矩阵方程ax=b的最小二乘解。
矩阵方程AXB=C的广义自反解和广义反自反解及其最佳逼近的迭代算法的开题报告
矩阵方程AXB=C的广义自反解和广义反自反解及其最佳逼近的迭代算法的开题报告一、选题背景在实际生活中，矩阵方程是一个常见的问题。
给定A，B，C三个矩阵，求解矩阵方程AXB=C，称为矩阵方程的求解问题。
在科学、工程、经济等方面都有广泛的应用。
本课题主要讨论矩阵方程的广义自反解和广义反自反解以及它们的最佳逼近的迭代算法。
二、研究内容1.广义自反解和广义反自反解的定义及其求解方法广义自反解和广义反自反解是矩阵方程AXB=C的两个重要解，对应着A的列空间与B的列空间的交以及它们的正交补空间的交。
对于A的列空间与B的列空间的交，其广义自反解能够使得AXB=C的解具有最小二乘意义；对于它们的正交补空间的交，其广义反自反解能够消除AXB=C的解在这些列空间上的任何分量。
研究广义自反解和广义反自反解的定义和求解方法，是本课题的第一个研究内容。
2.广义自反解和广义反自反解的迭代算法求解广义自反解和广义反自反解的过程中，涉及到矩阵求逆、矩阵转置等运算，这些运算在实际计算中往往比较困难，因此需要采用迭代算法来求解。
目前，广义逆矩阵的迭代算法主要有LSQR算法、IDL算法、CGLS算法等。
本课题还需要研究并实现相关的迭代算法，以提高广义自反解和广义反自反解的计算效率。
3.最佳逼近的迭代算法在实际应用中，常常需要寻找最佳逼近解，即找到满足条件||AXB-C||最小的X，这是一个典型的最小二乘问题。
本课题将研究最佳逼近的迭代算法，以求得高效的计算方法。
三、研究意义1.深入研究矩阵方程的广义自反解和广义反自反解以及最佳逼近问题，对于推动相关领域的发展具有重要意义。
2.研究并实现广义自反解和广义反自反解的迭代算法，可以提高计算效率，降低计算成本，是理论与实践相结合的问题。
3.研究最佳逼近的迭代算法，对于求解实际问题具有重要应用价值。
四、研究方法与研究步骤1.理论研究：对于矩阵方程的广义自反解和广义反自反解以及最佳逼近问题进行深入的理论研究，明确相关的定义和求解方法。
矩阵方程AX=B的加权最小二乘对称、反对称解及其最佳逼近
矩阵方程AX=B的加权最小二乘对称、反对称解及其最佳逼近周立平;邓小辉【摘要】通过矩阵的奇异值分解,求得了矩阵方程AX=B的在加权范数下的最小二乘解、对称最小二乘解、反对称最小二乘解,同时也导出了在相应解集中与给定矩阵最佳逼近的最小二乘解.【期刊名称】《湖南科技学院学报》【年(卷),期】2011(032)008【总页数】5页(P6-10)【关键词】加权范数;最小二乘解;对称解;反对称解;最佳逼近【作者】周立平;邓小辉【作者单位】湖南科技学院数学与计算科学系,湖南永州425100;永州市第二中学,湖南永州425100【正文语种】中文【中图分类】O151.21由于许多科学计算需要考虑加权最小二乘问题，如在求解最小二乘问题Ax −b=min时，若A中部分系数和其对应方程的右端项精确知道，而其他系数和右端项具有一定误差，则在计算时为尽量多保留有效信息，通常会对精确知晓的系数和右端项的方程乘以较大权重因子，以增加其在最小二乘问题的重要性，也就产生了加权最小二乘问题.为简单起见，先对符号作如下约定. 设R m×n表示所有 m n阶实矩阵的集合，S R n×n 表示所有n阶实对称矩阵的全体，表示所有n 阶实对称正定矩阵的全体，A SR n×n表示所有n阶实反对称矩阵的全体，O Rn×n为所有n阶实正交矩阵的全体， I m 表示m阶单位矩阵， A T 、 r ank ( A)分别表示矩阵A的转置与A的秩，对于A = ( a ij)m×n 和表示A与B的Hadamard 积，⋅在无说明的情况下，均指Frobenius 范数.矩阵的加权范数通常定义如下：定义1 设A ∈ R m×n，，若 r ( W A )= r (A)，则定义A的加权范数为事实上，当 W = Im时，AW= A，表明加权范数更具有一般性.本文旨在考虑如下两类问题：问题I 给定A ∈ Rm×n，B ∈ R m×n，，则问题II 设问题I ( a ) ,(b),(c)的解集分别为 S a ， S b， S c，给定X ∈ R n×n，[1]孙继广.实对称矩阵的两类逆特征值问题[J].计算数学,1988,(3):282-290.[2]邓远北.几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题[D].长沙:湖南大学,2003,1-99.[3]谢冬秀,张磊.一类反对称阵的最小二乘问题[J].工程数学学报,1993,10(3):25-34.[4]邓远北,胡锡炎.线性流形上矩阵方BXBT = D的对称解[J].数学物理学报,2004,24A(4):459-463.[5]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.[6]魏木生.广义最小二乘问题的理论和计算[M].北京:科学出版社,2006.【相关文献】[1]孙继广.实对称矩阵的两类逆特征值问题[J].计算数学,1988,(3):282-290.[2]邓远北.几类线性矩阵方程的解与PROCRUSTES问题[D].长沙:湖南大学,2003,1-99.[3]谢冬秀,张磊.一类反对称阵的最小二乘问题[J].工程数学学报,1993,10(3):25-34.[4]邓远北,胡锡炎.线性流形上矩阵方BXBT = D的对称解[J].数学物理学报,2004,24A(4):459-463.[5]戴华.矩阵论[M].北京:科学出版社,2001.[6]魏木生.广义最小二乘问题的理论和计算[M].北京:科学出版社,2006.中图分类号：O151.21。
主子阵约束下矩阵方程ax=b的对称最小二乘解
主子阵约束下矩阵方程ax=b的对称最小二乘解本文旨在研究主子阵约束下矩阵方程ax=b的对称最小二乘解。
首先，我们回顾一下普通最小二乘问题的形式。
给定一个观测向量y 和一个自变量向量x，要求求一个参数向量α使得残差y-xα的范数最小，这就是普通的最小二乘问题。
也可以把这个问题表示为求解某种形式的线性方程组Gα=y，其中G是观测矩阵。
主子阵约束下的最小二乘问题就是上述问题的一个特例，它的形式是这样的：（1）给定一个观测向量y和一个自变量向量x；（2）要求求解线性方程组Gα=y；（3）要求求解参数向量α，使得残差y-x α的范数最小；（4）G除了必须满足原先的最小二乘方程，还必须满足主子阵的约束，这就是所谓的主子阵约束。
主子阵约束下的最小二乘问题，其实在数学上就是一个基于某种特定约束条件的最小二乘估计问题。
假设G是一个m×n的矩阵，约束条件可以表示为：Gα=y，其中α是一个n维的向量，y是一个m 维的向量，G是一个m×n的矩阵，它的每一行必须包含主子阵的那些特定的列。
考虑到求解这样一个问题是相当复杂的，为了使问题变得更容易，我们考虑将矩阵G用其特征值分解形式展开，即G= U ΛU^T，其中U是G的特征向量，Λ是G的特征值，U^T是U的转置。
由此，最小二乘问题的形式就变成了求解下面的线性方程组：Λ U^T α = U^T y令M= U^T，y^= U^T y，那么上面的式子就变成了：Λα = y^由此，在这样的结构下，最小化の矩阵方程ax=b的残差 ||y-x α||的平方形式可以写成：min ||y-xα||^2 = min||y-MΛα||^2这里的M和Λ都是已知的，它们构成了“主子阵约束”，只要求解α，即可求得最优解。
最后，我们来看下这样一个实例：已知x=[x_1,x_2,x_3]^T，y=[y_1,y_2,y_3]^T，其中x和y的范数均为1，则求解这样一个线性方程组 ax=b，其中a为m×n的矩阵，b是n维向量，满足a的每行都必须包含主子阵的那些特定的列，且x和y的范数均为1。
埃尔米特反自反矩阵反问题的最小二乘解及其最佳逼近
及 其 最 佳 逼 近
张 奇梅 ， 张 澜
（ 内蒙 古 工 业 大 学 理 学 院 ， 呼和浩特 ０ １ ０ ０ ５ １ ）
摘要 ： 本 文 首 先 给 出 了 埃 尔 米 特 反 自反 矩 阵 的表 示 定 理 ， 并 给 出 了埃 尔 米 特 反 自反 矩 阵 反 问 题 的
最 小 二乘 解 的 一 般 表 达 式 ， 运用正交投影矩阵的性质 和希尔伯 特空 间的逼近理 论 ， 对 任 意 给 定 的 ｎ阶复 矩 阵 证 明 了 最 佳 逼 近 解 的存 在 性 与 唯一 性 ， 并 得 到 了最 佳 逼 近 解 的 一般 表 达 式 ． 关键 词 ： 埃 尔 米 特 反 自反矩 阵 ； 最小二乘解 ； 最 佳 逼 近
ａ ｒ
分 Ｂ 直
２ ０ １ ７薤
Ｓ一 ｛ Ａ ∈ ＨＣ ” （ Ｐ）Ｉ Ａ Ｘ —Ｚ， ｙ Ａ —Ｗ ， Ｘ， Ｚ Ｅ Ｃ ” ； ｗ， Ｙ∈ Ｃ ， 这
其 中 ：
（ １） （ ２）
（
本文 研究 如下 问题 ：
问题 Ｉ 给定 Ｘ， Ｚ∈
， ｙ ， ㈢ ｚ ，
内 蒙古 工业 大 学学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ Ｉ ＮＮＥＲ Ｍ ＯＮＧＯＬＩ Ａ
第 ３ ６卷
第 ２期
Ｕ ＮＩ ＶＥＲＳＩ ＴＹ ＯＦ ＴＥＣＨ ＮＯＬ０ＧＹ
文 章编 号 ： １ ０ ０ １ —５ １ ６ ７ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ２ —０ ０ ０ １ —０
埃 尔 米 特 反 自反 矩 阵 反 问题 的 最 小 二 乘 解
内积诱导 的范数为ｌ Ｉ Ａ 一
积 空 间．
一
可 ， 上述范数是 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｓ 范数， 且ｃ 构成一个完备的内
方程组最小二乘解矩阵论
方程组最小二乘解矩阵论最小二乘解（Least Squares Solution）是指在给定的方程组中，找到一个使得方程组中每个方程的误差平方和最小的解。
最小二乘解矩阵论是将最小二乘解与矩阵论相结合，利用矩阵的性质和运算来求解最小二乘问题。
假设我们有一个线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，x 是一个n×1的未知向量，b是一个m×1的已知向量。
当方程组Ax=b没有精确解时，我们可以通过最小二乘方法来求解一个近似解。
最小二乘解矩阵论中，我们通过将方程组转化为矩阵形式来处理。
首先，我们定义误差向量e=b-Ax，表示每个方程的误差。
然后，我们定义误差平方和为J=e^Te，即J=||e||^2。
我们的目标是使得J最小。
在最小二乘解矩阵论中，我们使用矩阵的转置、逆矩阵等性质来求解最小二乘问题。
具体步骤如下：1. 将方程组转化为矩阵形式：Ax=b。
2. 定义误差向量e=b-Ax。
3. 定义误差平方和J=e^Te。
4. 求解最小二乘解矩阵论问题的关键是求解J的最小值。
根据矩阵的性质，我们有J=e^Te=(b-Ax)^T(b-Ax)=b^Tb-2x^TA^Tb+x^TA^TAx。
5. 通过对J关于x求导，令导数为零，求得最小二乘解的闭式解。
最小二乘解矩阵论在实际问题中有广泛的应用。
例如，在数据拟合、信号处理、图像处理等领域，我们经常需要通过拟合曲线、回归分析等方法来求解最小二乘解，以得到一个最佳的近似解。
此时，我们可以通过最小二乘解矩阵论来快速求解最小二乘问题，得到一个优化的结果。
广义最小二乘法的推导
广义最小二乘法的推导1. 引言广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是一种用于解决线性回归问题的方法。
与最小二乘法相比，GLS可以处理数据中存在异方差（heteroscedasticity）和自相关（autocorrelation）的情况，提高了回归模型的准确性和效果。
在本文中，我们将详细推导广义最小二乘法的数学原理和推导过程。
首先，我们将介绍最小二乘法的基本概念和原理，然后讨论广义最小二乘法的推导过程，并最后给出一个示例来说明广义最小二乘法的应用。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的用于拟合线性回归模型的方法。
其基本思想是通过最小化残差平方和来选择最优的回归系数。
对于一个具有n个数据点的线性回归模型：Y=Xβ+ε其中，Y是n维的因变量向量，X是n行p列的自变量矩阵，β是p维的系数向量，ε是n维的误差向量。
最小二乘法的目标是找到最优的β，使得残差平方和最小：εTεminβ通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂=(X T X)−1X T Y其中，β̂表示最优的回归系数。
3. 广义最小二乘法最小二乘法假设误差项具有同方差且不相关的性质，然而在实际问题中，数据往往存在异方差和自相关的情况。
为了解决这些问题，我们引入广义最小二乘法。
3.1 异方差问题当误差项具有异方差性质时，最小二乘法的估计结果可能是偏误的。
为了解决异方差问题，我们可以对误差项进行加权处理。
假设误差项的方差为σi2，我们可以使用加权最小二乘法来估计回归系数。
目标函数可以表示为：minεT Wεβ其中，W是一个对角矩阵，对角线元素为σi−2。
通过对目标函数求导，并令导数等于零，可以得到最优解的闭式解表达式：β̂GLS=(X T WX)−1X T WYβ̂GLS表示广义最小二乘法的估计系数。
3.2 自相关问题当误差项存在自相关性质时，最小二乘法的估计结果也可能是偏误的。
埃尔米特反自反矩阵反问题的最小二乘解r及其最佳逼近
埃尔米特反自反矩阵反问题的最小二乘解r及其最佳逼近张奇梅;张澜
【期刊名称】《内蒙古工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2017(036)002
【摘要】本文首先给出了埃尔米特反自反矩阵的表示定理,并给出了埃尔米特反自反矩阵反问题的最小二乘解的一般表达式,运用正交投影矩阵的性质和希尔伯特空间的逼近理论,对任意给定的n阶复矩阵证明了最佳逼近解的存在性与唯一性,并得到了最佳逼近解的一般表达式.
【总页数】5页(P81-85)
【作者】张奇梅;张澜
【作者单位】内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051;内蒙古工业大学理学院,呼和浩特 010051
【正文语种】中文
【中图分类】O241.5
【相关文献】
1.谱约束下反埃尔米特广义哈密尔顿矩阵最佳逼近解的扰动分析 [J], 马晓艳;谢冬秀
2.子矩阵约束下的埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵特征值反问题及其最佳逼近 [J], 莫荣华;黎稳
3.线性流形上反埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的最小二乘问题与最佳逼近问题 [J], 张忠志;胡锡炎;张磊
4.线性流形上反埃尔米特广义反汉密尔顿矩阵反问题的最小二乘解及其最佳逼近问题 [J], 关力;江燕
5.线性流形上埃尔米特自反矩阵反问题的最小二乘解及其最佳逼近 [J], 王学锋;王江涛
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矩阵方程AX=B的范数约束最小二乘解
矩阵方程AX=B的范数约束最小二乘解徐安豹;彭振赟【摘要】为了求解矩阵范数约束下矩阵方程AX=B的最小二乘解问题,提出了一种迭代算法.该算法以广义Lanczos信赖域算法为基本框架,弥补了其不能求解矩阵方程的缺陷.数值实验表明,该算法是有效的.%Aiming at the least-squares solutions of the matrix equation AX=B under the norm inequality constraint,an iterative method is proposed.This method uses the general Lanczos trust region algorithm as the frame method and remedies its defect on solving the matrix equation.Numerical experiments illustrate that the algorithm is effective.【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》【年(卷),期】2013(033)001【总页数】4页(P70-73)【关键词】矩阵方程;迭代方法;范数约束;最小二乘问题【作者】徐安豹;彭振赟【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O241.6近年来，人们对矩阵方程AX＝B 具有各类特殊结构约束下的解产生了兴趣，如对称解［1］、对称正定解［2］、中心对称解［3］、双对称解［4］、正交反对称解［5］、（R，S）－对称和反对称解［6］等，但在矩阵范数约束下AX ＝B 的最小二乘解的研究很少。
为此，研究范数约束最小二乘问题：其中，A∈Rp×m ，B∈Rp×q ，Δ为非负实数。
式（1）是无约束不相容矩阵方程AX＝B 最小二乘问题的推广。
求解非埃尔米特正定方程组的广义LHSS迭代法
求解非埃尔米特正定方程组的广义LHSS迭代法初鲁;鲍亮;董贝贝【摘要】基于矩阵的埃尔米特和反埃尔米特分解,李良等给出了一类求解非埃尔米特正定方程组的L HSS迭代法,在系数矩阵的埃尔米特和非埃尔米特之间进行了非对称迭代,在较松弛的约束条件下即可获得收敛结果.本文对该方法做进一步研究,给出了一类求解非埃尔米特正定方程组的广义L HSS迭代方法.数值结果表明,系数矩阵经恰当分解,在处理某些问题时广义L HSS迭代法优于HSS迭代法.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》【年(卷),期】2018(045)006【总页数】5页(P694-697,706)【关键词】非埃尔米特正定方程组;LHSS迭代法;谱半径【作者】初鲁;鲍亮;董贝贝【作者单位】华东理工大学理学院 ,上海200237;华东理工大学理学院 ,上海200237;华东理工大学理学院 ,上海200237【正文语种】中文【中图分类】O241.6对于大规模正定线性方程组的求解问题，迭代法是目前的主要方法. 2001年，BAI 等[1]提出了一类HSS迭代法，该方法因具有形式简单、易程序化等优点，成为当前的研究热点，得到了许多新的推广. 基于HSS迭代法，BAI等[2]给出了PSS算法, CAO等[3]对PSS算法做了改进，给出了广义PSS(GPSS)算法，LI等[4]给出了修正的GPSS算法；HUANG等[5]将系数矩阵分解成正定和半正定两部分，在这两部分之间进行迭代；2007年，LI等[6]提出了一类LHSS(Lopsided HSS)迭代算法，在系数矩阵的埃尔米特和非埃尔米特之间做非对称迭代，此算法格式简单，在参数较为松弛的约束条件下即可达到收敛；后来，POUR等[7]在LHSS法基础上提出了一类新的HSS方法，围绕系数矩阵的埃尔米特部分做二步非对称迭代.本文对LHSS迭代法做进一步研究，将方程组的系数矩阵分解成2个正定部分，然后在这2个正定部分间做非对称迭代，给出了一类广义LHSS迭代法.数值结果表明，只要恰当地将系数矩阵分解为2个正定部分，广义LHSS迭代法在处理某些问题时能取得比HSS迭代法更好的效果.1 背景知识在多学科领域常出现Ax=b形式的大规模线性方程组，其中A∈Cn×n为非埃尔米特正定矩阵.为了求解该方程，BAI等[1]在矩阵的HS分解(埃尔米特和反埃尔米特分解)基础上提出了HSS迭代算法,该算法基于以下分解：A=H+S，(1)其中，A+A*)，A-A*).然后给出一个初始向量x(0)∈Cn，通过以下2步计算x(k+1)，直到迭代序列{x(k)}收敛：(2)其中α为大于0的常数.对于HSS迭代法，BAI等[1]证明了其迭代矩阵的谱半径小于1，即HSS算法收敛.2007年，LI等[6]提出了一类LHSS迭代法，该迭代法在系数矩阵A的埃尔米特部分H和反埃尔米特部分S之间做非对称二步迭代. LHSS迭代法的迭代过程如下：给定初始向量x(0)∈Cn，通过以下2步计算x(k+1)，直到序列{x(k)}满足停止条件：(3)其中α为大于0的常数.2 广义LHSS迭代法本文对LHSS迭代法做进一步研究，给出了广义LHSS(GLHSS)迭代算法以及相应迭代法的格式.首先，任意非埃尔米特正定矩阵A有以下分裂形式[3]：A=G+K+S，(4)其中，S 表示反埃尔米特矩阵，G 和K 表示埃尔米特正定矩阵.其次，任意非埃尔米特正定矩阵A 又可分裂为以下形式：A=P1+P2，(5)其中，P1和P2为正定矩阵.P1和P2的2种可供选择的格式如下：其中,D为矩阵G的对角部分，LG为矩阵G的严格下三角部分，为LG的共轭转置.最后，在系数矩阵A的分裂矩阵P1和P2之间做非对称的二步迭代，得到GLHSS迭代法.算法1 GLHSS迭代算法.给定初始向量x(0)∈Cn，通过以下2步计算x(k+1)，直到迭代序列{x(k)}满足停止条件：(6)其中α为大于0的常数.3 收敛性证明为得到GLHSS迭代法的收敛性质，需要以下引理：引理1[8] 设A∈Cn×n，A=Mi-Ni(i=1,2)为矩阵A 的2种分裂格式，x(0)∈Cn为一个给定的初始向量，由矩阵A的2种分裂格式得到的二步迭代格式为：(7)由上述二步迭代生成的迭代序列{x(k)}为b.(8)若该二步迭代法的迭代矩阵N1的谱半径ρ满足：ρN1)<1,(9)则对于任意初向量x(0)∈Cn，矩阵序列{x(k)}收敛于线性方程Ax=b的唯一解x*∈Cn.引理2 对∀α>0,若矩阵P为复数域上的正定矩阵，则‖P(αI+P)-1‖2<1，其中‖‖2表示矩阵的二范数.证明因P为正定矩阵，P*也为正定矩阵，α为一个大于0的常数，则对任意非零向量y有〈(α2I+P+P*)y,y〉>0，(10)其中〈,〉表示向量内积，式(10)两端同时加上〈P*Py,y〉有〈(α2I+P+P*+P*P)y,y〉>〈P*Py,y〉，(11)整理后即得〈(αI+P)y,(αI+P)y〉>〈Py,Py〉.(12)令x=(αI+P)y，由于矩阵αI+P非奇异，所以对于任意非零向量x，都可找到一个非零向量y与之对应，经变换，式(12)可化为〈x,x〉>〈P(αI+P)-1x,P(αI+P)-1x〉，(13)于是可得<1.(14)由向量x的任意性可得‖P(αI+P)-1‖2<1.(15)证毕！引理3 若P为复数域上的正定矩阵，记H=(P+P*)为埃尔米特正定矩阵，若0<α λ，其中λH表示矩阵H的特征值集合，则‖(αI-P)P-1‖2<1.证明∀y≠0∈Cn，若αλ，则有〈αy,y〉<〈Hy,y〉.代入H=(P+P*)，得到〈αy,y〉<〈(P+P*)y,y〉.(16)式(16)两边做进一步整理，得〈(α2I-αP-αP*+P*P)y,y〉<〈P*Py,y〉.(17)于是有〈(αI-P)y,(αI-P)y〉<〈Py,Py〉.(18)令x=Py，由于y为任意非零向量且矩阵P为非奇异矩阵，因此，x可选取为任意非零向量，经变换，式(18)可化为〈(αI-P)P-1x,(αI-P)P-1x〉<〈x,x〉，(19)变形后得到<1 .(20)由于x的选取是任意的，因此，对于任意大于0的常数α有‖(αI-P)P-1‖2<1 .(21)证毕！定理1 假设P1和P2为复数域上的正定矩阵，记为一个由P1决定的埃尔米特正定矩阵，若0<α λ，其中λH表示矩阵H的特征值集合，则GLHSS迭代矩阵的谱半径小于1.证明由引理1，GLHSS迭代法对应的迭代矩阵为M(α)=(αI+P2)-1(αP2).(22)式(22)相似于：M′(α)=(αP2)(αI+P2)-1.(23)对M′(α)谱半径ρ(M′(α))，有：(24)由引理2可得‖(-P2)(αI+P2)-1‖2<1；由引理3可得‖(α<1.综上,即可得到M′(α)的谱半径ρ(M′(α))<1；再由矩阵的相似性质，即可得到ρ(M(α))<1.证毕！4 数值实验数值实验中用Matlab编程求解以下大型稀疏矩阵的线性方程组：Ax=b， A=I⊗B+BT⊗I，其中，I，M=tridiag(-1,2,-1)N=tridiag(0.5,0,-0.5)，tridiag表示三对角矩阵，⊗表示克罗内克积.当n=8和16时，系数矩阵的维度实际上为64×64阶和256×256阶，记达到截断误差所需的迭代时间为CPU，迭代次数为IT，实验中截断误差选为10-6，使用英特尔四核处理器(2.70 GHZ，8 GB RAM).表1～表2，图1～图4为2种算法的比较.表1 n=8时HSS和GLHSS法的迭代次数和迭代时间比较Table 1 Comparison of IT and CPU between HSS and GLHSS whenn=8α0.10.20.30.40.51.3HSSIT/次4272161461117537CPU/s0.296 80.17180.140 60.109 30.062 50.012 5GLHSSIT/次26614298755225CPU/s0.156 20.093 750.062 50.031 20.024 50.006 5表2 n=16时HSS和GLHSS法的迭代次数和迭代时间比较Table 2 Comparison of IT and CPU between HSS and GLHSS whenn=16α0.10.50.91.31.71.9HSSIT/次3566948352826CPU/s3.953 10.87500.468 70.328 10.260 20.250 0GLHSSIT/次2464732242425CPU/s2.765 60.437 50.296 80.218 70.198 70.187 5图1 n=8时HSS与GLHSS法谱半径比较Fig.1 Comparison of spectral radius between HSS and GLHSS when n=8图2 n=16时HSS与GLHSS法谱半径比较Fig.2 Comparison of spectral radius between HSS and GLHSS when n=16图3 n=8时HSS与GLHSS法残量下降速度比较Fig.3 Comparison of residual decline between HSS and GLHSS when n=8图4 n=16时HSS与GLHSS法残量下降速度比较Fig.4 Comparison of residual decline between HSS and GLHSS when n=16从图1～图4、表1和表2中可以看出，对于本文中的算例，GLHSS法到达截断误差所需的迭代步数及迭代时间均优于HSS，GLHSS迭代矩阵的最小谱半径优于HSS，且残量下降速度亦优于HSS.当α大到一定程度后，GLHSS迭代法的收敛性弱于HSS，这是由于α的取值受限于埃尔米特正定矩阵的最小特征值.5 总结提出了一种广义的LHSS(GLHSS)迭代法用于求解大规模正定线性方程组，数值结果表明，该方法在求解某些问题时较经典的HSS迭代法效果更好.将来的研究可以围绕如何选取更佳的正定矩阵来开展.参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ）：【相关文献】[1] BAI Z Z, GOLUB C H, NG M K. Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermiti-an positive definite linear systems[J]. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2003, 24(3)： 603-626.[2] BAI Z Z, GOLUB G H, LU L Z. Block-triangula-r and skew-Hermitian splitting methods for positive definite linear systems[J]. SIAM Journal on Scientific Computing, 2005, 26(3)：844-863.[3] CAO Y, TAN W W, JIANG M Q. A generalization of the positive-definite and skew-Hermitian splitting iteration[J]. Numerical algebra, Control and Optimization, 2012, 2(4)：811-821.[4] LI W W, WANG X. A modified GPSS method for non-Hermitian positive definite linear system[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014，234(C)： 253-259.[5] HUANG N, MA C F. Positive definite and semi-definite splitting methods for non-Hermitian positive definite linear systems [J]. Journal of Computational Mathematics, 2016, 34(3)： 300-316.[6] LI L, HUANG T Z, LIU X P. Modified Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive-definite linear systems[J]. Numerical Linear Algebra and with Applications, 2007, 14(3)： 217-235.[7] POUR H N, GOUGHERY H S. New Hermitian and skew-Hermitian splitting methods for non-Hermitian positive-definite linear systems[J]. Numerical Algorithms, 2015, 69(1)：207-225.[8] 李文伟. 一类线性方程组和矩阵方程的数值求解方法的研究[D]. 南昌：南昌大学, 2014.LI W W.The Study of Numerical Methods for A Kind of Linear Equations and Matrix Equations[D]. Nanchang： Nanchang University, 2014.。
二次广义Hermite矩阵方程的解
二次广义Hermite矩阵方程的解袁晖坪【摘要】The solutions of quadratic matrix equation were discussed via the generalized Hermite matrix. The findings show that there are necessary and sufficient conditions of matrix equation XAX = A having their generalized Hermite matrix solution, and the simple expressions of the generalized Hermite matrix solution can also be obtained. Besides, the general solutions of the matrix equations XAY = B were given.%利用广义Hermite矩阵探讨一类二次矩阵方程的求解问题,得到了矩阵方程XAX =A存在广义Hermite矩阵解的充分必要条件及其相应解的表达式,并给出了矩阵方程XAY =B当A,B可逆时的通解表达式.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)002【总页数】3页(P281-283)【关键词】广义Hermite矩阵;二次矩阵方程;矩阵解;通解【作者】袁晖坪【作者单位】重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵方程在力学、计算物理、地质学、参数识别、自动控制、线性系统理论、非线性规化与动态分析等领域应用广泛[1-8]. Hermite矩阵是一类特殊的矩阵, 在优化理论、计算数学、信号分析等领域应用广泛. 近年来, 对Hermite矩阵已有许多推广研究, 如次Hermite矩阵、广义Hermite矩阵等[2-8]. 文献[4]研究了矩阵方程AX=XAT和AX=YB的半正定解; 文献[5]研究了矩阵方程X*AX=A,XAX=A的Hermite解. 本文在此基础上讨论一类二次广义Hermite矩阵方程的求解问题, 得到了矩阵方程XAX=A存在P-广义Hermite矩阵解的充分必要条件, 并给出了相应解的表达式及矩阵方程XAY=B当A,B可逆时的通解表达式, 推广了文献[4-5]的结果.定义1[8] 设A为n阶复矩阵, 若存在n阶复可逆矩阵P, 使得A*P=PA(A*P=-PA)或A*=PAP-1(A*=-PAP-1)(其中A*为A的转置共轭), 则称A为P-广义Hermite 矩阵(P-广义斜Hermite矩阵).引理1[5] 设A为n阶可逆矩阵, P为任意n阶矩阵, 且A+P,A-P均为可逆阵, 则X=(A+P)(A-P)-1, Y=(A+P)-1(A-P)是矩阵方程XAY=A的解.由引理1显然可得：推论1 设 A为n阶可逆矩阵, P为任意n阶矩阵, 且A+P,A-P均为可逆矩阵, 则X=c(A+P)(A-P)-1和Y=c-1(A+P)-1(A-P)是矩阵方程XAY=A的解(c为非零复数). 定理1 设A为n阶可逆P-广义Hermite矩阵, M为任一n阶P-广义斜Hermite 矩阵, 且A+M,A-M均为可逆矩阵, 则Y=c(A+M)-1(A-M)和X=P-1Y*P为矩阵方程XAY=A的解(其中复数c的模等于1).证明：由条件有A*P=PA, M*P=-PM, 即A*=PAP-1, M*=-PMP-1, 因而于是由引理1知, 结论成立.定理2 设A为n阶可逆P-广义Hermite矩阵, M为任一n阶P-广义斜Hermite 矩阵, 且A+M, A-M均为可逆矩阵, 则K=(A+M)(A-M)-1为矩阵方程XAP-1X*=AP-1的解.证明：根据定理2的条件, 有所以由引理1知, K为矩阵方程XA(P-1X*P)=A的解.又显然, 矩阵方程XAP-1X*=AP-1与XA(P-1X*P)=A同解, 故K为矩阵方程XAP-1X*=AP-1的解.由定理2显然可得:推论2 设A为n阶可逆P-广义Hermite矩阵, M为任一n阶P-广义斜Hermite 矩阵, 且A+M,A-M 均为可逆矩阵, 则K=c(A+M)(A-M)-1为矩阵方程XAP-1X*=AP-1的解(其中复数c的模等于1).定理3 设A为n阶可逆P-广义Hermite矩阵, K为矩阵方程X*PAX=PA的可逆解, 且E-K为可逆矩阵, 则存在n阶P-广义斜Hermite矩阵M, 使得K=(A+M)-1(M-A).证明: 因为K为矩阵方程X*PAX=PA的可逆解, 所以K*PAK=PA, 即K*=PAK-1(PA)-1.令M=A(E+K)(E-K)-1, 下证M为P-广义斜Hermite矩阵. 事实上,又(K+E)(K-E)=(K-E)(K+E), 即(K-E)-1(K+E)=(K+E)(K-E)-1, 所以M*=PA(E+K)(K-E)-1P-1=-PMP-1,即M*P=-PM, 故M为P-广义斜Hermite矩阵. 又A+M=A+A(E+K)(E-K)-1=A[(E-K)+(E+K)](E-K)-1=2A(E-K)-1为可逆阵, 再由M(E-K)=A(E+K), 即(A+M)K=M-A得, K=(A+M)-1(M-A).定理4 设A为n阶可逆P-广义Hermite矩阵, M为任一n阶P-广义斜Hermite 矩阵, 且A+M,A-M 均为可逆矩阵, 满足AM+MA=O, 则K=(A+M)(A-M)-1为矩阵方程XAX=A的P-广义Hermite矩阵解.证明: 由AM+MA=O, 得(A+M)2=(A-M)2, 即(A+M)-1(A-M)=(A+M)(A-M)-1, 所以即K为P-广义Hermite矩阵. 又由定理2知, K=(A+M)(A-M)-1为矩阵方程XAP-1X*=AP-1的解, 即KAP-1K*=AP-1, 故A=KAP-1K*P=KAP-1PK=KAK, 即K为矩阵方程XAX=A的P-广义Hermite矩阵解.定理5 设A为n阶可逆P-广义Hermite矩阵, K为矩阵方程XAX=A的可逆P-广义Hermite矩阵解, 且E-K为可逆矩阵, 则存在n阶P-广义斜Hermite矩阵M, 使得AM+MA=O, 且K=(A+M)-1(M-A).证明: 由条件有K*=PKP-1, KAK=A, 因而, K*PAK=PKP-1PAK=PKAK=PA, 即K 为矩阵方程X*PAX=PA的可逆P-广义Hermite矩阵解, 又E-K为可逆矩阵, 于是, 由定理3知, 存在n阶P-广义斜Hermite矩阵M, 使得K=(A+M)-1(M-A). 再由K*=PKP-1及得(A+M)-1(M-A)=K=(A+M)(M-A)-1, 故(A+M)2=(M-A)2, 即AM+MA=O.定理5消弱了文献[5]中定理4的条件.定理6 设A为n阶可逆P-广义Hermite矩阵, K为矩阵方程XAX=A的可逆P-广义Hermite矩阵解(K≠E), 则存在n阶P-广义斜Hermite矩阵M, 使得AM+MA=O, A+M,A-M均可逆, 且K=(A+M)-1(M-A) ⟺ E-K可逆.证明: 必要性. 当A,A+M,A-M均可逆, 且K=(A+M)-1(M-A)时, 有K-E=(A+M)-1[(M-A)-(A+M)]=-2(A+M)-1A可逆.充分性. 当E-K可逆时, 由K为矩阵方程XAX=A的可逆P-广义Hermite矩阵解, 有K*=PKP-1, KAK=A, 因而K*PAK=PKP-1PAK=PKAK=PA, 即K为矩阵方程X*PAX=PA的可逆P-广义Hermite矩阵解. 由定理3知, 存在n阶P-广义斜Hermite矩阵M, 使得K=(A+M)-1(M-A). 再由K*=PKP-1及式(1)可知, A+M,A-M均可逆, 且(A+M)-1(A-M)=K=(A+M)(A-M)-1,因而(A+M)2=(A-M)2, 即AM+MA=O.定理7 设有两个n阶可逆矩阵A=ST, B=KL(S,T,K,L均为可逆矩阵), 则矩阵方程XAY=B的通解为X=KQS-1,Y=T-1Q-1L(其中Q为可逆矩阵).证明: 因为(KQS-1)A(T-1Q-1L)=(KQS-1)ST(T-1Q-1L)=KL=B, 所以X=KQS-1, Y=T-1Q-1L为矩阵方程XAY=B的解. 另一方面, 设X,Y为矩阵方程XAY=B的任一解, 则XAY=B, 即(K-1XS)(TYL-1)=E. 令K-1XS=Q, 则TYL-1=Q-1, 即X=KQS-1, Y=T-1Q-1L. 综上知, X=KQS-1, Y=T-1Q-1L为矩阵方程XAY=B的通解.当A,B,Y为可逆矩阵时, 文献[4]中的矩阵方程AX=YB可视为本文讨论的矩阵方程XAY=B的特殊情形.参考文献【相关文献】[1] Hasanov V I, Ivano I G. On Two Perturbation Estimates of the Extreme Solutions to the Equations X±A*X-1A=Q [J]. Linear Algebra and Its Applications, 2006, 413(1): 81-92. [2] Hasanov V I. Positive Definite Solutions of the Matrix Equations X±A*X-qA=Q [J]. Linear Algebra and Its Applications, 2005, 404(15): 166-182.[3] PENG Zhen-yun, El-Sayed S M. On Positive Definite Solution of a Nonlinear MatrixEquation [J]. Num Linear Algebra Appl, 2007, 14(2): 99-113.[4] Jameson A, Kxeindler E, Laneaster R. Symmetric Positive Semi-definite and Positive Real Solutions of AX=XAT and AX=YB [J]. Linear Algebra and Its Applications, 1992, 160(1): 189-215.[5] YANG Chang-lan, WANG Long-bo. Hermition Matrix Equation [J]. Journal of Mathematical Research and Exposition, 2004, 24(3): 500-502. (杨昌兰, 王龙波. Hermite矩阵方程 [J]. 数学研究与评论, 2004, 24(3)： 500-502.)[6] DU Zhong-fu. Positive Definite Solutions of the Matrix Equation X-A*X-αA-B*X-βB=I [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2010, 48(1)： 26-32. (杜忠复. 矩阵方程X-A*X-αA-B*X-βB=I的正定解 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2010, 48(1)： 26-32.)[7] Hill R D, Waters S R. On k-Real and k-Hermitian Matrices [J]. Linear Algebra and Its Applications, 1992, 169(1): 17-29.[8] YUAN Hui-ping. Generalized Unitary Matrix and Generalized Hermite Matrix [J]. Journal of Mathematics, 2003, 23(3): 375-380. (袁晖坪. 广义酉矩阵与广义Hermite阵 [J]. 数学杂志, 2003, 23(3): 375-380.)。
加权最小二乘法广义最小二乘法
Yi=Ai1 Ki2 Li3ei 被解释变量：产出量Y 解释变量：资本K、劳动L、技术A， 那么：每个企业所处的外部环境对产出量 的影响被包含在随机误差项中。
每个企业所处的外部环境对产出量的影 响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。
这时，随机误差项的方差并不随某一个 解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈 现复杂型。
❖ 如果 无任何特征和规律可言，整个计量模 型的建立将无法开展，因此，我们需要人为地 为它设定一些假定条件。
❖ 如果下列假定条件满足，我们就可以用最小二 乘法对模型进行回归估计。
❖ 事实上，我们进行OLS之前，规定了误差项必 须遵守的假定
❖ 因此有了对于误差项的高斯经典假定。
假设1：给定X1i， X2i，… Xki时，εi的条件分布均值 为零。 即：随机误差项具有零均值。
异方差性的后果
1。OLS估计量仍然具有无偏性、相合性和渐进 正态性。 2。 OLS估计量不再具有有效性 或者最小方差 性。
3。 Gauss-Markov 定理不再成立，即OLS不再是 最佳线性无偏估计（BLUE）。
❖ 在存在异方差时，如果画出散点图和残 差图，可能是以下形状。
异方差的检验
❖ 1。画图法。 ❖ 2。White检验。 ❖ 3。BP检验。
Var(Yi) Var( 0 1Xi) Var(i) Var(i) 2
• 异方差一般可归结为三种类型：
埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题
埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题魏平;张忠志;谢冬秀【摘要】本文利用埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的性质与矩阵的分解理论,导出了埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题解的一般表达式.进而运用希尔伯特空间的逼近理论,对任意给定的n阶复矩阵对,证明相关最佳逼近解的存在性与惟一性,得到了最佳逼近解的表达式.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)005【总页数】7页(P820-826)【关键词】埃尔米特广义汉密尔顿矩阵;广义逆特征值问题;最佳逼近【作者】魏平;张忠志;谢冬秀【作者单位】华南理工大学数学系,广州,510640;东莞理工学院计算机学院,东莞,523808;北京信息科技大学理学院,北京,100192【正文语种】中文【中图分类】O241.61 引言矩阵的逆特征值问题与广义逆特征值问题在工程技术中有着广泛的应用，关于这类问题的研究已取得一系列成果。
例如文献[1,2]分别就双对称矩阵和对称正交对称矩阵的逆特征值问题进行了研究，给出了可解的充分必要条件。
文献[3,4]利用埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的结构，分别就埃尔米特广义汉密尔顿矩阵逆特征值问题的可解条件和线性矩阵方程的埃尔米特广义汉密尔顿矩阵解进行了研究，并得到了它们的最佳逼近解。
而文献[5,6]则分别就实对称矩阵的广义逆特征值问题和反对称正交反对称矩阵的广义逆特征值问题进行了研究，推得了问题解的一般表达式和最佳逼近解。
本文就埃尔米特广义汉密尔顿矩阵的广义逆特征值问题进行探讨。
用Rn×m,Cn×m分别表示所有n×m阶实矩阵、复矩阵的集合，矩阵A的共轭转置和Moore-Penrose广义逆分别记为AH和A+，In表示n阶单位矩阵。
UCn×n表示所有n阶酉矩阵的集合，rank(A)表示矩阵A的秩，对任意矩阵A∈Cm×n,B ∈Cp×q，A⊗B表示A与B的Kronecker积〈A,B〉=tr(BHA)表示A与B的内积，不难证明由此内积诱导的矩阵范数Frobenius范数，且在该范数下Cn×m是一个希尔伯特空间。
广义最小二乘法的帽子矩阵
广义最小二乘法的帽子矩阵广义最小二乘法（Generalized Least Squares, GLS）是一种用于估计线性回归模型参数的方法。
在实际应用中，我们经常会遇到数据之间存在相关性或者异方差性的情况，这时传统的最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）可能会产生不准确的估计结果。
广义最小二乘法通过引入一个帽子矩阵来解决这个问题。
帽子矩阵（Hat Matrix）是广义最小二乘法的关键概念之一。
它是一个n行n列的矩阵，其中n是样本观测数。
帽子矩阵的作用是将原始的因变量y转化为模型预测值y-hat。
通过将帽子矩阵作用于因变量y，我们可以得到在给定自变量x下的估计值。
帽子矩阵的定义如下：H = X(X'WX)^(-1)X'W其中，X是一个n行p列的矩阵，表示自变量的观测值；W是一个n 行n列的权重矩阵，用于解决异方差性问题。
帽子矩阵的主要作用是通过对原始观测值y进行线性组合，得到回归模型的估计值y-hat。
广义最小二乘法的核心思想是最小化残差的加权平方和。
残差是观测值与估计值之间的差异，加权平方和则是将残差按照权重进行加权后的平方和。
广义最小二乘法通过最小化加权平方和来寻找最优的模型参数估计值。
广义最小二乘法的估计方法可以分为两步：首先，通过解广义最小二乘法的正规方程来得到帽子矩阵H；然后，将帽子矩阵H作用于因变量y，得到估计值y-hat。
具体步骤如下：1. 根据给定的自变量x和因变量y，构建回归模型。
假设模型为y = Xβ + ε，其中β是待估计的模型参数向量，ε是误差项。
2. 通过给定的权重矩阵W，计算帽子矩阵H = X(X'WX)^(-1)X'W。
3. 计算估计值y-hat = Hy，其中y是原始的因变量观测值。
4. 计算残差e = y - y-hat。
5. 根据残差的加权平方和，得到广义最小二乘法的估计值。
需要注意的是，广义最小二乘法的帽子矩阵和权重矩阵的选取需要依赖于具体的问题和数据特征。
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５・
洛 阳师 范 学 院 学 报 ２ ０ １ ５年 第 ８ 期
引理 ２ 【 面奇 异值 分解
给定 ， Ｂ∈Ｃ ， 假设 矩 阵 有 下
Ａ０ ２ ＝Ｍ Ｉ
Ｆ （ Ｍ ￣ Ｙ ２ Ｌ 。 ∑： 一∑ ￡ Ｍ ） 一 一
‘
，
：
Ｗ ｆ表示 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 范数 ．， ｎ 表示 ｎ阶单位 矩 ￣／
阵， ｒ ａ ｎ ｋ （ Ａ） 表 示矩 阵 Ａ的秩 ．
１ 相 关 引理
令 Ｐ ： ÷ （ Ｌ ＋ ｉ ｊ ） ， Ｐ ： ： ÷ （ ， 一 ｉ ｊ ） ， 其 中
￣ ／ 一１ ．不 难证 明 ， Ｐ ， Ｐ 都 是正 交投 影 矩 阵 ，而且 Ｐ １＋Ｐ ：＝Ｌ， Ｐ 。 Ｐ ＝０ ． 因此 ， 存 在单 位列 正交 矩 阵 Ｕ １ ， Ｕ ２∈ Ｃ （ ＝２ ｋ ） ， 使得 Ｐ １＝ Ｕ ｌ ， Ｐ ２＝
阵 ．在下 文 中 ，总 是假 定 ． ， 是 固定 的．根 据 ． ， 的 定
义， 有． ， ２＝一Ｉ ｎ ，因此 ，ｎ必是偶 数 ．
证 明， Ｕ是 ｎ阶 酉矩 阵 ，即 Ｕ ∈ Ｕ Ｃ ．
引理 １ ［ 】 令
． Ａ ｓ
＝ ＝ ∈
所有 ｎ阶反埃 尔 米特 广义汉 密尔 顿矩 阵 的集合
复矩 阵 的集 合 ， ｃ 表示 全 体秩 为 ｒ 的复矩 阵集 合 ， ＨＣ （ Ａ Ｈ Ｃ ）表 示 凡阶埃 尔 米 特 矩 阵 （ 反 埃 尔 米 特矩 阵 ）集 合 ， Ｕ Ｃ 表示 全体 酉矩 阵集合 ．
矩 阵 Ａ的转 置 、 共 轭 转置 和 Ｍｏ ｏ ｒ ｅ—Ｐ ｅ ｎ ｒ ｏ ｓ ｅ 广 义逆分别 记为 ， Ａ ， Ａ ． 对任意 的矩 阵 Ａ， Ｂ∈Ｃ ，
数的性质和矩 阵 自身的结构 等研 究 了｜ ｓ的解 ， 并给 出了解 的表达 式．
关键词 ：矩阵方程 ； 反埃 尔米特广 义汉密 尔顿矩 阵 ； 最 小；二乘解
中图分类号 ：０ １ ５ １ ． ２ １
文献标识码 ： Ａ
文章编 号 ： １ ０ ０ ９—４ ９ ７ ０（ ２ ０ １ ５） Ｏ ８—０ ０ ０ ５ —０ ３
２ ０ １ ５年 ８月 第３ ４卷 第 ８ 期
洛 阳师范学 院学报
Ｊ ｏ ｕ ｍａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ｕ ｏ ｙ ａ ｎ ｇ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ａｕ ｇ ．， ２ ０１ ５ Ｖｏ １ ． ３ ４ Ｎｏ． ８
矩阵方程 （ Ａ ， Ｙ Ａ）＝（ １ ， ２） 的 反 埃 尔 米 特 广 义 汉 密 尔 顿 最 小 二 乘 解
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５—０ ６—０ ９
则Ａ Ｈ Ｈ Ｃ ￣ ＝Ｓ ．
基金项 目： 安徽省 级大学生创新创业训练项 目（ Ａ Ｈ ２ Ｏ １ ４ １ ０ ３ ７ ９ ｏ ７ ８ ）
作 者 简 介 ：杜 玉 霞 （ １ ９ ８ ｌ 一） ， 女 ，山 东定 陶 人 ， 硕 士 ，助 教 ．研 究 方 向 ： 矩 阵 方 程 反 问题
最小二乘解． 对方程 （ Ａ Ｘ， Ｙ Ａ ）＝（ Ｂ ， Ｂ ： ） 的反埃尔
米 特广 义汉 密尔 顿最 小二乘 解 还没 有 被讨 论 ，这就
是 本文 要做 的．
Ａ； ． ｃ Ｂ表 示 Ａ与 的 Ｈ ａ ｄ ａ ｍａ ｒ ｄ 积， 它们 的内积定 义 为【 Ａ． 】 ：ｔ ｒ （ Ｂ Ａ） ，由此 诱 导 出 的 矩 阵 范 数 Ａ＝
Ｉ
∑ 蟛
，
ｙ ２ 。 ∑：
其 中 Ｗ ＝（ ， ）∈Ｕ Ｃ ＂ ， Ｍ ＝（ Ｍ１ ， ）∈Ｕ Ｃ ＂ ，
０
）
０ 引言
记号 Ｒ “ 和 Ｃ 分 别表示 所有 ×ｍ 实矩 阵 、
的解 ，并 给出 了解 的表达 式．
矩 阵方 程 的最 小 二乘解 问题 已被广 泛 研究 ，并 得 到 了许多 重 要 的 结论 ，例 如 文 献 ［ １—５ ］ ．文 献
［ ５ ］ 讨 论 了矩 阵方 程 ＋Ｂ Ｙ＝ Ｃ的埃尔 米特 自反
Ｊ＝Ａ ， 称 Ａ为反埃 尔米特广义汉密 尔顿矩阵 ， 所有 ｎ阶反 埃 尔米特广义汉密 尔顿矩 阵的集合记为 Ａ Ｈ ＨＣ ．
令 Ｓ＝｛ ∈Ａ Ｈ Ｈ Ｃ Ｉ ， （ Ａ ）＝ Ｉ Ｉ Ａ Ｘ— Ｂ 。 ｌ ＋ｌ ｌ ｌ —Ｂ ： Ｉ Ｉ ＝ｍ ｉ ｎ ｝ ． 本文主要利用奇异值分解、 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 范
记为 Ａ 册 Ｃ ．
令 Ｓ＝ ｛ Ａ∈Ａ Ｈ ＨＣ Ｉ Ａ ）＝ ｌ Ｉ Ａ 一曰 １ Ｉ ＋ ｌ
｝ ，
Ｉ Ｉ 一日 ： ＝ｍｉ ｎ ｝ ．本 文 主要 利 用 奇异 值 分 解 、 Ｆ ｒ ｏ ｂ ｅ ｎ ｉ ｕ ｓ 范数 的性 质 和矩 阵 自身 的结 构等研 究 了 ５
．
设Ｊ Ｅ Ｒ 是 给定 的正交 反对 称矩 阵 ， 即Ｊ Ｊ ＝
． ， Ｊ＝， ， Ｊ ＝一Ｊ ．如 果 矩 阵 Ａ ∈ Ｃ 满足 Ａ ＝
一
Ａ， Ｊ＝Ａ ， 称 为 反埃 尔米 特广义 汉 密尔顿 矩
记 Ｕ＝（ Ｕ ， ） ， 由矩 阵 Ｐ 。 ， Ｐ ： 的性 质 ， 容易
杜 玉 霞 ，尤传 华２，梁 武
（ １ ．宿州 学院数学与统计学院 ， 安徽宿州 ２ ３ ４ ０ ０ ０； ２ ．兰州大学数学与统计学 院，甘肃 兰州 ７ ３ ０ ０ ０ ０ ）
摘 要 ： 设 Ｊ∈Ｒ 是 给 定 的 正 交反 对 称 矩 阵 ，即 Ｊ Ｊ ＝ｊ ｒ ｊ＝ ， ， Ｊ ＝一Ｊ ．如 果 矩 阵 Ａ Ｅ Ｃ 满足 Ａ ＝一 Ａ，