2017-2018学年高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课后习题 新人教A版选修2-2
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》评估训练 新人教A版选修1-2
第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。
(数学1-2)3.1.1数系的扩充和复数的概念答案
年级高二 科目数学 选修1-2章节3.1.1 班级_______学习小组号 组内编号 姓名_____________ 小组评价____________ 教师评价___________ 使用日期________3.1.1数系的扩充和复数的概念主备人：卢坚 审核人：党中柱[使用说明]：1．阅读教材从50页---52页，按探究提示完成学案。
2. 限时完成导学案合作探究部分，书写规范。
3. 找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。
【学习目标】1. 回顾以前学习数的范围扩充过程，体会数系扩充的必要性及现实意义；了解复数的代数表示法及其简单运算.2.自主学习，合作交流。
3.激情投入，高效学习，养成严谨的思维习惯。
重点：准确理解和掌握复数的分类标准及两个复数相等的充要条件；一、 预习案：1.复数的引入解决负实数不能开偶次方根的问题。
我们规定12-=i ，任意一个数均可表示成bi a +的形式例i a +可看作是i a ∙+1，bi 可以看作是bi +0，a 可以看作是i a 0+，i 可以看作是i ∙+103.复数的概念：形如)R b ,a (bi a ∈+的数叫做__复数___,其中i 叫做虚数单位_，a 与b 分别叫做复数a+bi 的__实__部和__虚__部。
复数通常用字母__z_来表示。
z=a+bi_叫做复数的代数形式。
全体复数所成的集合叫做_复数__集。
用字母__C_来表示。
4.复数a+bi=c+di 的充要条件是：__a=c 且b=d__________________.特例a+bi=0⇔___a=0且b=0________________.注：两个复数(假若不全是实数)，不能比较大小5、复数的分类：对于复数a+bi 当且仅当___b=0_____ 时，它是实数；当且仅当_____b ≠0_______时，它是虚数。
当且仅当__a=0且b ≠0____时，它是纯虚数。
6、复数集C 和实数集R 之间的关系二、探究案例1．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数（1）m=1 (2)m ≠1 (3)m=-1变式训练1、实数m 取什么值时，复数 z =(m 2-3m -4)+(m 2-5m -6)i .(1) 是实数；(2)虚数； (3) 纯虚数；(1)m=6或-1 （2）m ≠6且m ≠-1 （3）m=4例2．已知（x+y ）+(y-1)i=(2x+3y)-(2y+1)i,其中x,y 为实数，求x,yx=0,y=0变式训练2. 若(2x 2-3x-2)+(x 2-5x+6)i =0，求x 的值.x=2三、课堂小结1.知识方面 ____________________2.数学思想方法_____________________四、课后自主训练[作业]1.若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（A ）A ．1-B ．0C ．1D ．1-或12. 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，,x y R ∈，求x 与y x=25,y=4。
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2019-2020学年高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课后习题新人教A版选修2-2课时演练·促提升A组1.若复数2-b i(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为()A.-2B.C.-D.2解析:复数2-b i的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.答案:D2.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()A.B.2 C.0 D. 1解析:由复数相等的充要条件知,解得故x+y=0.故2x+y=20=1.答案:D3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()A.M∪R=IB.(∁I M)∪R=IC.(∁I M)∩R=RD.M∩(∁I R)=⌀解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.所以应有:M∪R⫋I,(∁ I M)∪R=∁I M,M∩(∁I R)≠⌀,故A,B,D三项均错,只有C项正确.答案:C4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()A.4B.-1C.-1或4D.-1或6解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,所以得m=-1.答案:B5.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是()A.以原点为圆心,以2为半径的圆B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则即x2+y2=4且x≠y.由可解得故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-).答案:D6.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号). 解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sin π=0·i=0为实数,其余为虚数.答案:②③④7.满足x2+2x+3i=m+x i(x,m∈R)的m的值为.解析:由已知可得所以m=15.答案:158.设复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,(1)当实数m为何值时,z是纯虚数?(2)当实数m为何值时,z是实数?解:(1)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是纯虚数,所以解得m=1±,所以当m=1±时,z是纯虚数.(2)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是实数,所以解得m=-2,所以当m=-2时,z是实数.9.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.解:由定义运算=ad-bc,可得=3x+2y+y i.即(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+y i.由复数相等的充要条件得解得B组1.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()A.-2B.3C.-3D.±3解析:依题意应有解得m=3.答案:B2.若复数z=cos θ+(m-sin θ-cos θ)i为虚数,则实数m的取值范围是. 解析:∵z为虚数,∴m-sin θ-cos θ≠0,即m≠sin θ+cos θ.∵sin θ+cos θ=sin∈[-],∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).答案:(-∞,-)∪(,+∞)3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为. 解析:由z1>z2,得解得a=0.答案:04.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是.解析:若复数为纯虚数,则有即故a=-1.故复数不是纯虚数时a≠-1.答案:{a|a≠-1}5.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数.从而有由①,得m=0或m=3.当m=0时,代入②,得0<n<2,又m+n>0,所以n=1;当m=3时,代入②,得n<-1,与n是自然数矛盾.综上可得,m=0,n=1.6.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解:∵M∪P=P,∴M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i, 得解得m=2.综上可知m=1或m=2.。
2017-2018学年高二数学人教A版选修1-2教师用书：第3章
3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1．了解数系的扩充过程.2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点)3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念并能够进行简单应用．(难点、易混点)教材整理1 复数的有关概念及复数相等的充要条件阅读教材P50～P51“思考”以上内容，完成下列问题．1．复数(1)定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a 叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．2．复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．(2)表示：通常用大写字母C表示．3．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，则a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d，a＋b i＝0⇔a＝b＝0.1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 【答案】 D2．已知(2m －5n )＋3i ＝3n －(m ＋5)i ，m ，n ∈R ，则m ＋n ＝________.【解析】 由复数相等的条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2m －5n ＝3n ，3＝－m ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－8，n ＝－2，∴m ＋n ＝－10.【答案】 －10 教材整理2 复数的分类阅读教材P 51“思考”以下至“例”题以上内容，完成下列问题． 1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝，虚数b⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系：图311判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( ) (2)若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．( ) (3)两个虚数不能比较大小．( )【解析】 (1)错误．若b ＝0，则z ＝a ＋b i 为实数． (2)错误．当a ＝－1时，(a ＋1)i 不是纯虚数． (3)正确．【答案】 (1)× (2)× (3)√(1)①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A．0 B．1C．2 D．3(2)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3【精彩点拨】首先将所给的复数化简为复数的代数形式，然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部．【自主解答】(1)①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题．(2)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以①为假命题；对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；对于③，2i＝0＋2i, 其实部是0，所以③为真命题．【答案】(1)A (2)B正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答.1．(1)给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________． (2)给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________． 【解析】 (1)2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．(2)因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；故答案为1.【答案】 (1)2＋3，0.618，i 2 (2)1已知复数z ＝a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【精彩点拨】 根据复数z 为实数、虚数及纯虚数的充要条件列方程(不等式)组求解．【自主解答】 (1)当z 为实数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，∴当a ≠±1且a ≠6时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，a 2－7a ＋6＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1，a ＝6或a ＝1，∴不存在实数a 使z 为纯虚数．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式等式或不等式组，求解参数时，注意考虑问题要全面.2．已知m ∈R ，复数z ＝m m ＋m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？ 【解】 (1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m m ＋m －1有意义，即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m m ＋m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2.(1)12z 1＝z 2，实数x ＝________，y ＝________.(2)已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实数根，则实数m 的值为________，方程的实根x 为________．【精彩点拨】 (1)根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解； (2)设出方程的实数解，代入原式整理为a ＋b i ＝0(a ，b ∈R )的形式解决．【自主解答】 (1)由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝6.【答案】 －9 6 (2)设a 是原方程的实根， 则a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0， 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0＋0i ， 所以a 2＋a ＋3m ＝0且2a ＋1＝0， 所以a ＝－12且⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋3m ＝0，所以m ＝112.【答案】112 －12应用复数相等的充要条件时，要注意：必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部的相等，虚部与虚部相等列方程组利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现，这一思想在解决复数问题中非常重要.3．(1)适合x －3i ＝(8x －y )i 的实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝0，且y ＝3 B ．x ＝0，且y ＝－3 C ．x ＝5，且y ＝3D ．x ＝3，且y ＝0(2)关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值为________．【解析】 (1)由复数相等的条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－3＝8x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3.(2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.【答案】 (1)A (2)11或－715探究1 若a 【提示】 不成立．如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小． 探究2 若(a －2)＋b i>0，则实数a ，b 满足什么条件？ 【提示】 b ＝0，a >2.已知复数x 2－1＋(y ＋1)i 大于复数2x ＋3＋(y 2－1)i ，试求实数x ，y 的取值范围．【精彩点拨】 两复数若能比较大小，则两复数的虚部都为零．只需满足一复数的实部大于另一复数的实部．【自主解答】 因为x 2－1＋(y ＋1)i>2x ＋3＋(y 2－1)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＋1＝0，y 2－1＝0，x 2－1>2x ＋3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x 2－2x －4>0，解不等式x 2－2x －4>0，得x >1＋5或x <1－ 5.所以实数x ，y 的取值范围分别是{x |x <1－5或x >1＋5}，{y |y ＝－1}．实数属于复数，但复数不一定是实数，因此实数的有些性质不适用于复数，如实数能比较大小，而复数中只有等与不等的关系，不能比较大小.只有当两个复数都是实数时才能比较大小.换言之，若两个复数能比较大小，则它们必为实数，即若a ＋b i>c ＋da ，b ，c ，d ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >c ，b ＝d ＝0.4．已知复数z ＝3x －1－x ＋(x 2－4x ＋3)i>0，求实数x 的值． 【解】 ∵z >0，∴z ∈R .∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z >0，∴3x －1－x >0.对于不等式3x －1－x >0，x ＝1适合，x ＝3不适合． ∴x ＝1.1．复数⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32i 的虚部为( ) A ．2B ．－32C ．2－32D ．0【解析】 由复数定义知C 正确． 【答案】 C2．设集合A ＝{实数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，若全集S ＝C ，则下列结论正确的是( )A ．A ∪B ＝C B ．A ＝BC ．A ∩(∁S B )＝∅D ．(∁S A )∪(∁S B )＝C【解析】 集合A ，B ，C 的关系如图，可知只有(∁S A )∪(∁S B )＝C 正确．【答案】 D3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )【导学号：81092036】A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4【解析】 由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，∴a ＝－4. 【答案】 C4．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0，求实数m 的值为________． 【解析】 ∵(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞0， ∴(m 2－1)＋(m 2－2m )i 是实数，且符号为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1＞0，解得m ＝2. 【答案】 25．若x ∈R ，试确定实数a 的值，使等式3x 2－a2x ＋(2x 2＋x )i ＝1＋10i 成立．【解】 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x ＝1， ①2x 2＋x ＝10. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①得a ＝11或a ＝－715.学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．复数－2i 的实部与虚部分别是( ) A ．0,2 B ．0,0 C ．0，－2D ．－2,0【解析】 －2i 的实部为0，虚部为－2. 【答案】 C2．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1或－2D ．1或2【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，得a ＝2.【答案】 B3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，且b ＋(a －2)i ＝1＋i ，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 由b ＋(a －2)i ＝1＋i ，得b ＝1，a ＝3，所以a ＋b ＝4. 【答案】 D4．在下列命题中，正确命题的个数是( ) ①两个复数不能比较大小；②若z 1和z 2都是虚数，且它们的虚部相等，则z 1＝z 2；③若a ，b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 必为纯虚数． A ．0 B ．1 C ．2D ．3【解析】 两个复数，当它们都是实数时，是可以比较大小的，故①错误；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R ，且d ≠0)，因为b ＝d ，所以z 2＝c ＋b i.当a ＝c 时，z 1＝z 2，当a ≠c 时，z 1≠z 2，故②错误；③当a ＝b ≠0时，(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数，当a ＝b ＝0时，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0是实数，故③错误，因此选A.【答案】 A5．已知复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )，则“a ＝2”是“z 为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 因为复数z ＝(a 2－4)＋(a －3)i(a ，b ∈R )为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a －3≠0⇔a ＝±2, 所以“a ＝2”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件．【答案】 A 二、填空题6．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是________． 【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i ，实部为－3，故应填3－3i. 【答案】 3－3i7．若x 是实数，y 是纯虚数，且(2x －1)＋2i ＝y ，则x ，y 的值为________.【导学号：81092037】【解析】 由(2x －1)＋2i ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，2i ＝y ，∴x ＝12，y ＝2i.【答案】 x ＝12，y ＝2i 8．给出下列说法：①复数由实数、虚数、纯虚数构成；②满足x 2＝－1的数x 只有i ；③形如b i(b ∈R )的数不一定是纯虚数；④复数m ＋n i 的实部一定是m .其中正确说法的个数为________．【解析】 ③中，b ＝0时，b i ＝0不是纯虚数．故③正确；①中，复数分为实数与虚数两大类；②中，平方为－1的数是±i；④中，m ，n 不一定为实数，故①②④错误．【答案】 1三、解答题9．已知复数z ＝m (m －1)＋(m 2＋2m －3)i ，当实数m 取什么值时：(1)复数z 是零；(2)复数z 是纯虚数．【解】 (1)∵z 是零，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3＝0， 解得m ＝1. (2)∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m m －＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0.综上，当m ＝1时，z 是零；当m ＝0时，z 是纯虚数．10．已知集合M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．【解】 因为M ∪P ＝P ，所以M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2.综上可知，m ＝1或m ＝2.1．已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i(a ∈R )的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是( )A ．－1或3B ．{a |a >3或a <－1}C ．{a |a >－3或a <1}D ．{a |a >3或a ＝－1} 【解析】 由已知可以得到a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，解得a >3或a <－1，因此，实数a 的取值范围是{a |a >3或a <－1}．【答案】 B2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z ) 【解析】 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )． 【答案】 D3．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值是________．【解析】 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x 2－3x －，log 2x 2＋2x ＋＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －2>2，x 2＋2x ＋1＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >4或x <－1，x ＝0或x ＝－2.∴x ＝－2.【答案】 －24．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值.【导学号：81092038】【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2. ∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2。
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．z ＝(m 2－1)＋(m －1)i(m ∈R )是纯虚数，则有( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠1 解析：∵z 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－1＝0，m －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝±1，m ≠1，∴m ＝－1. 故选B答案：B2．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5i D.5＋5i解析：∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A.答案：A3．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( )A ．0B ．2 C.52 D ．5解析：∵2＋a i ＝b －i ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D.答案：D4．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( )A.π4B.π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z ) D ．k π＋π4(k ∈Z ) 解析：由复数相等的定义知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D. 答案：D5．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a ( )A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析：因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i.故选D. 答案：D6．以复数－24＋m i(m ∈R )的实部为首项，虚部为公差的等差数列，当且仅当n ＝10时，其前n 项和最小，则m 的取值范围是( )A ．m >125B.125<m ≤83C.125≤m <83D.125<m <83解析：由题意，等差数列{a n }的首项a 1＝－24，公差d ＝m ，由当且仅当n ＝10时其前n 项和最小知：a 10＝－24＋9m <0，a 11＝－24＋10m >0，解之得125<m <83，故选D. 答案：D二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是________．解析：由题意，1－i 的虚部为－1，则其平方为1.答案：18．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.解析：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0.因此m ＝－1. 答案：－19．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值(或范围)是________．解析：∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2－3x －2)>1，log 2(x 2＋2x ＋1)＝0.∴x ＝－2. 答案：－2三、解答题10．m 为何实数时，复数z ＝2m 2－3m －2m 2－25＋(m 2＋3m －10)i. (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．解：(1)当z 为实数时有：⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m －10＝0，m 2－25≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2或m ＝－5，m ≠±5，∴m ＝2. ∴m ＝2时，z 为实数． (2)当z 为虚数时有：⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋3m －10≠0，m 2－25≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠2且m ≠－5，m ≠±5， ∴m ≠±5且m ≠2.∴当m ∈(－∞，－5)∪(－5,2)∪(2,5)∪(5，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时有：⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－3m －2m 2－25＝0，m 2＋3m －10≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2或m ＝－12m ≠2且m ≠－5， ∴m ＝－12， ∴m ＝－12时，z 为纯虚数． 11．已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )．(1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹方程；(2)求方程的实根t 0的取值范围．解：(1)设方程的实根为t 0，则有t 20＋(2＋i)t 0＋2xy ＋(x －y )i ＝0，t 20＋2t 0＋2xy ＋(t 0＋x －y )i ＝0⎩⎪⎨⎪⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0，t 0＋x －y ＝0. ∴(y －x )2－2x ＋2y ＋2xy ＝0，即x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，也就是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.∴点(x ，y )的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，其轨迹是以(1，－1)为圆心，2为半径的圆．(2)由于直线t 0＋x －y ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝2有公共点， ∴|1－(－1)＋t 0|2≤2，即|t 0＋2|≤2， ∴－2≤t 0＋2≤2，即－4≤t 0≤0.∴方程的实根t 0的取值范围是[－4,0]．12．已知复数z ＝a 2－b 2＋(|a |＋a )i(a ，b ∈R )，试添加a ，b 的条件，使之满足下列要求．(1)使复数z 为纯虚数的充要条件；(2)使复数z 为纯虚数的一个充分非必要条件．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝0，a ＋|a |≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±b ，a >0， ∴z 为纯虚数的充要条件是a ＝±b ，且a >0.(2)由(1)得，条件a ＝b >0和a ＝－b >0都可以作为z 为纯虚数的充分不必要条件．。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A版选修1211
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________． 解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
2018学年第二学期高二数学《数系的扩充和复数的概念》学案含答案
3.1.1数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件(重点).知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋b i|a，b∈R}，称i为虚数单位.【预习评价】分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.提示在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5).在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5).在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋5)(x－5)＝(x＋5i)(x－5i)(x＋5)(x－5).知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部.(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i.(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示. 2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数（b ＝0）虚数（b ≠0）⎩⎨⎧纯虚数（a ＝0）非纯虚数（a ≠0）(2)集合表示：【预习评价】 (正确的打√，错误的打×) 1.3＋2i 比3＋i 大.(×)提示 复数中，只有两个复数是实数时，才能比较大小. 2.复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b .(×)提示 不一定，对于z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b . 知识点三 复数相等 复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .即它们的实部与虚部分别对应相等. 【预习评价】1.若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝0，则a ＋b 的值为多少？ 提示 由复数相等，a ＝0，b ＝0，则a ＋b ＝0.2.若复数z 1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？提示 由复数相等得，a ＝1，b ＝3，则a ＋b ＝4.题型一 复数的概念【例1】写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.解①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数.规律方法复数a＋b i(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部. 【训练1】下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0.A.0B.1C.2D.3解析①由于x，y∈C，所以x＋y i不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题.③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0成立，所以③是假命题.故选A.答案 A题型二复数的分类【例2】设z＝log12(m－1)＋ilog2(5－m)(m∈R).(1)若z是虚数，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的值.解(1)因为z是虚数，故其虚部log2(5－m)≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4.故m 的取值范围为(1，4)∪(4，5).(2)因为z 是纯虚数，故其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.规律方法 根据复数的概念求参数的一般步骤：第一步，判定复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，实部与虚部分别为什么； 第二步，依据复数的有关概念将复数问题转化为实数问题； 第三步，解相应的方程(组)或不等式(组)； 第四步，明确结论.【训练2】 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零？解 由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i. (1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1. (2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1.题型三 两个复数相等【例3】 已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.规律方法 求解复数相等问题复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法.转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是： 1.等式两边整理为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式；2.由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；3.解方程组，求出相应的参数.【训练3】 关于x 的方程3x －a2－1＝(10－x )i 有实根，求实数a 的值. 解 设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为 3m －a2－1＝(10－m )i ，∴⎩⎨⎧3m －a2－1＝0，10－m ＝0，解得a ＝58.课堂达标1.若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( ) A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅解析 因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以A ＝{i ，－1，－i ，1}，又B ＝{1， －1}，故A ∩B ＝{1，－1}. 答案 C2.已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C.±2，5D.±2，1解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.答案 C3.下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A.±1 B.±i C.±2iD.±2i答案 C4.已知M ＝{1，(m ＋3)i}，N ＝{1，2，3i}，若M ∩N ＝M ，则实数m 的值为________.解析 由M ∩N ＝M ，得M ⊆N ，所以(m ＋3)i ＝3i ， 即m ＋3＝3，m ＝0. 答案 05.设i 为虚数单位，若关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，则m ＝________.解析 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0.所以m ＝n ＝1.答案 1课堂小结1.复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.基础过关1.设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A.－iB.iC.－1D.1解析 ∵i 2＝－1，∴－i 2＝i·(－i)＝1，∴z ＝－i. 答案 A2.设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 若复数a －b i 为纯虚数，则a ＝0且b ≠0，故ab ＝0.而由ab ＝0不一定能得到复数a －b i 是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a －b i 为纯虚数”的必要不充分条件. 答案 B3.以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A.2－2i B.－5＋5i C.2＋iD.5＋5i解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 答案 A4.若实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，则xy 的值是________.解析 因为实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，所以x ＋x i ＋y －y i ＝2，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，所以x ＝y ＝1，所以xy ＝1. 答案 15.若复数m －3＋(m 2－9)i ≥0，则实数m 的值为________.解析 依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m －3≥0，m 2－9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ＝－3或3，即m ＝3. 答案 36.当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋m －6)i ＋m 2－7m ＋12m ＋3是：(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6＝0，m 2－7m ＋12≠0，m ＋3≠0，得m ＝2.∴当m ＝2时，z 是实数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，即m ≠2且m ≠－3.∴当m ≠2且m ≠－3时，z 是虚数.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6≠0，m ＋3≠0，m 2－7m ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2且m ≠－3，m ≠－3，m ＝3或m ＝4，即m ＝3或m ＝4.∴当m ＝3或m ＝4时，z 是纯虚数.7.已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1，4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值.解 ∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，∴(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.能力提升8.如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A.1 B.0 C.－1D.－1或1解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m （m ＋1）＝0，m 2－1≠0，∴m ＝0.答案 B9.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2k π－π4(k ∈Z ) B.2k π＋π4(k ∈Z ) C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z )解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧θ＝k π＋π4θ≠2k π±3π4(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z . 答案 B10.已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________.解析由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，解得a ＝0，故a 的取值集合为{0}.答案 {0}11.在给出的下列几个命题中，正确命题的个数为________. ①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根.解析 因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i ，故④错. 答案 112.已知复数z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i ，λ，m ∈R ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，z 1＝z 2，求λ的取值范围.解 由z 1＝z 2，λ，m ∈R ，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ.整理，得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916.∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ∈[0，1]，∴λ∈[－916，1].13.(选做题)已知关于m 的一元二次方程m 2＋m ＋2m i －12xy ＋(x ＋y )i ＝0(x ，y ∈R ).当方程有实根时，试确定点(x ，y )所形成的轨迹. 解 不妨设方程的实根为m ， 则m 2＋m ＋2m i ＝12xy －(x ＋y )i.∵x ，y ，m ∈R ，∴⎩⎨⎧m 2＋m ＝12xy ， ①2m ＝－（x ＋y ）. ②由②，得m ＝－x ＋y2.代入①，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－x ＋y 2＝12xy ， ∴(x －1)2＋(y －1)2＝2，∴点(x ，y )的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2，其轨迹是以(1，1)为圆心，2为半径的圆.。
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 习题课—复数运算的综合问题课后提升训练(含解析)新人教A版
第三章数系的扩充与复数的引入习题课——复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.若复数z 满足|z-1+i |=3,则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于() A.3 B.9 C.6π D.9π,复数z 对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于π×32=9π.2.已知a ,b ∈R ,且2+a i,b+3i 是一个实系数一元二次方程的两个根,则a ,b 的值分别是() A .a=-3,b=2 B .a=3,b=-2 C .a=-3,b=-2 D .a=3,b=2,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.3.设x ,y ∈R ,i 为虚数单位,(x+i)x=4+2y i,则|x +4x i 1+i|=() A.√10B.√5C.2D.√2(x+i)x=4+2y i,x ,y ∈R ,∴x 2+x i =4+2y i,可得x 2=4,x=2y ,解得x=2,y=1,或x=-2,y=-1,则|x+4y i |=|2+4i |=√22+42=2√5,或|x+4y i |=|-2-4i |=√(-2)2+(-4)2=2√5.又|1+i |=√2,∴|x +4x i 1+i|=|x +4x i||1+i|=√5√2=√10,故选A .4.关于x 的方程3x 2-x2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,则实数a 的值等于.x=m ,则原方程可变为3m 2-x2m-1=(10-m-2m 2)i,所以{3x 2-x 2x -1=0,10-x -2x 2=0,解得a=11或a=-715.或-7155.关于复数z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是.z=x+y i(x ,y ∈R ),则有√x 2+x 2+2x+2y i =13+6i,于是{√x 2+x 2+2x =13,2x =6,解得{x =4,x =3或{x =403,x =3.因为13-2x=√x 2+x 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i .4+3i6.已知z ∈C ,且|z+1|=|z-i |,则|z+i |的最小值等于.|z+1|=|z-i |表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i |=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为√22.7.已知复数z=3+i2-i ,z 1=2+m i . (1)若|z+z 1|=5,某某数m 的值;(2)若复数az+2i 在复平面上对应的点在第二象限,某某数a 的取值X 围.z=3+i 2-i=(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=5+5i 5=1+i .因为|z+z 1|=|1+i +2+m i |=|3+(m+1)i |=√32+(x +1)2=5,所以9+(m+1)2=25. 解得m=-5或m=3.(2)az+2i =a (1+i)+2i =a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以{x <0,x +2>0,解得-2<a<0.8.已知关于x 的方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )有实数根b. (1)某某数a ,b 的值.(2)若复数z 满足|x -a-b i |-2|z|=0,当z 为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )的实根,所以(b 2-6b+9)+(a-b )i =0,故{x 2-6x +9=0,x =x ,解得a=b=3. (2)设z=m+n i(m ,n ∈R ),由|x -3-3i |=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m 2+n 2), 即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z 点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,以2√2为半径的圆.如图,当Z 点在直线OO 1上时,|z|有最大值或最小值. 因为|OO 1|=√2,半径r=2√2,所以当z=1-i 时,|z|有最小值,且|z|min =√2.。
文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入
第三章 数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 。
（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。
（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。
2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。
（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。
三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原 有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法， 结果记为a i
实数b与i做乘法， 结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数 复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是 纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进 行等分的问题人们引进了分数，为了表示 各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结 果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi
高中数学 专题3.1.1 数系的扩充和复数的概念测试题(含解析)新人教A版选修1-2(2021年整
2016-2017学年高中数学专题3.1.1 数系的扩充和复数的概念测试题（含解析）新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学专题3.1.1 数系的扩充和复数的概念测试题（含解析）新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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数系的扩充和复数的概念班级：姓名:_____________1．设a，b∈R。
“a＝0"是“复数a＋b i是纯虚数”的( ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案B2．下列命题正确的是（）A．若a∈R,则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a〉b，则a＋i〉b＋iC．若（x2－1)＋(x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案D解析对于复数a＋b i(a,b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小,故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．3．以－错误!＋2i的虚部为实部，以错误!i＋2i2的实部为虚部的新复数是（）A．2－2i B．－错误!＋错误!iC．2＋i D。
错误!＋错误!i答案A解析设所求新复数z＝a＋b i（a，b∈R），由题意知：复数－错误!＋2i的虚部为2;复数错误!i＋2i2＝错误!i＋2×（－1)＝－2＋错误!i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A。
【人教B版】选修2-2：3.1.1《数系的扩充与复数的概念》课时作业及答案.doc
【成才之路12015-2016学年高中数学第3章3. 1第1课时数系的扩充与复数的概念课时作业新人教B版选修2-2一、选择题1.下列说法中正确的个数是（）①实数是复数；②虚数是复数；③实数集和虚数集的交集不是空集；④实数集与虚数集的并集等于复数集.A. 1B. 2C. 3D. 4［答案］C［解析］①②④正确，故选C.2.下列说法正确的是（）A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等B.a\是纯虚数C.如果复数x+ yi是实数，则T=0, y=0D・复数a+bi不是实数［答案］A［解析］两个复数相等的充要条件是实部、虚部分别相等.故选A.3.（2015 -沈阳高二检测）已知日，眩R,则a=b是（日一力）+ （日+力）i为纯虚数的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件［答案］C［解析］本题考查纯虚数的概念，解题的关键是弄清充分条件，必要条件等概念.当曰日+狞0,= b=0时，复数为0,是实数，故B不正确；由3—方）+ 3+方）i为纯虚数，贝9自一方=0今臼=力工0,即力=方工0为该复数为纯虚数的充要条件，:・a=b是该复数为纯虚数的必要不充分条件.4.复数2= （/+/〃）+加（〃应R, i为虚数单位）是纯虚数，则实数/〃的值为（）A.0 或一1B. 0C. 1D. -1 ［答案］D［ni +ni=Q, ［解析］Tz 为纯虚数,A …B. 以0 且 a=-bD. z?>0 a = 土方［答案］D［解析］z/=o,且白+|白|HO .A. 2斤兀一(WWZ)B. 2A JI +y(AEZ)JI/<Tl JIC. 2AJT ±Y (AeZ)D. —+—(A^Z)［答案］Bfsin2 〃一1=0rJI 2()=2小 +—［解析］由|厂得gz)lp2cos 0 + 1HO〃工2&兀+兀± 4JI・・・0 =2kn +—故选B.7.以31-^2的虚部为实部，以3i 2+^2i 的实部为虚部的复数是（） A. 3-3i B. 3+i C. 一边+曲D.車+血［答案］A［解析］31-^2的虚部为3,3i 2+^i = -3+V2i,实部为一3,所以选A.8.若（#—1） + （#+3卄2）i 是纯虚数，则实数刈勺值为（） A. 1 B. ±1 C. — 1D. —2［答案］A［解析］解法一：由/-1 = 0得, x= ± 1,当 x= — i 吋，x +3x+2 = 0,6. 满足,故选A.当JV =1时， 解法二 检验法：时，原复数为6i 满足，排除C. D ；不合题意，则0的值为（） 若 sin2 〃一 1 + i (^2cos 〃 + 1)是纯虚数, m= — 1,故选 D.5. 复数 z=a~l)+ (日+ | 日|) i (aQWR ）为纯虚数的充要条件是（）A. \a\ = \b\ C. z?>0 A a^h%= —1时，原复数为0,不满足,排除B•故选A.二、填空题9. ________________________________________________________________ 满足方程2x—3+（9#—6y+l）i=0的实数对（x,y）表示的点的个数是______________________［答案］2x —2x —3 = 0, [9y —6/+1 =0,x=3 或 x= — 1, :\1・；匕，y ）表示的点为（3, *）, （―1, *）,共有2个.10.设片｛复数｝, /=｛实数｝, ｛纯虚数｝,全集〃 那么下面结论正确的个数是①AUB=C ；②（/=〃；③AH^B=C ； ®CUB=C.［答案］1［解析］只有④正确.11. 已知复数 z=护一3«+（乎一5k+6）i （AWZ ）,且 zVO,则 Q［答案］2三. 解答题12. 实数加分别取什么数值时，复数z= （z»+5///+6） + ｛m —2m~⑸i （1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是0.［解析］ 由 +5//7+6 = 0 得，/n=—2 或刃=—3,由 —2刃一15 = 0 得 m=5 或刃=—3. ⑴当龙一2/77-15 = 0时,复数Z 为实数,・••屈=5或一3；⑵当龙一2〃L 15H 0时，复数z 为虚数，・・・〃/5且刃H —3.时，复数z 是纯虚数，・・・/〃= 一2.时，复数z 是0,.・・〃/=—3.能力提升一、选择题1. 下列命题屮哪个是真命题（） A. 一1的平方根只有一个 B. i 是1的四次方根［解析］由题意, ［解析］・.・z<0, kWZ, 护一 3X0 护一5£+6 = 0m —2in — 15H0,⑶当八.方+5 刃+6 = 0.[zv —2/»—15 = 0, ⑷当J+5刃+6 = 0.C.i是一1的立方根D.i是方程/-1= 0的根［答案］B［解析］v （±i ）2= —h A — 1的平方根有两个，故A 错；Vi 3= —i^= —1. /. i 不是一 1的立方根；・・・C 错；Vi 6=i 2= —1, /.i €—1^0,故 i 不是方程 #—1=0 的根,故 D 错;•・・『=1, ・・・i 是1的四次方根.故选B.2. （2015・锦州期屮）若（刃一1） + （3〃/+2） i 是纯冷数，则实数/〃的值为（ ） A. 1 B. 1 或2 C. 0D. 一1、1、2［答案］A［解析］因为伽一 1） + （3刃+2） i 是纯虚数，所以刃一1=0且3加+2H0,解得心1.3. 若复数cos 〃 + isin 〃和sin 〃 + icos 〃相等，贝I 」〃的值为（ ） Ji n (5)A -TB.JIJIC. 2斤兀+-j-（«WZ ）D.斤兀+-j~（«WZ ）［答案］D［解析］由复数相等的条件得cos 〃=sin 8.JT:.0 = 1<开+飞舗3心.故选D.4.若复数（孑一臼一2） + （|臼一11 —1） i @WR ）不是纯虚数，贝IJ （） A.白=—1 B.臼H —1且仪工2 C.曰工一1［答案］cD.白H2［解析］①因为/一日一2H0时，己知的复数一定不是纯虚数.解得已工一 1且日H2.②当扌一$—2 = 0,且由一 1|一1 =0时，已知的复数也不是一个纯虚数.综上可知，当臼H — 1时，已知的复数不是一个纯虚数.故选C. 二、填空题5.若 MyVO 且 q —（,+#） i =2 —5i,贝!j x= _________［答案］-2 -1xy=22 I 2lx 十y =□x =- — 2解得已=—1或已=2,自=0或自=2.［解析］ 由复数相等的条件知16.若复数z=m+（〃/—1） i（Z77WR）满足z<0,则m=［答案］-1［zzKO［解析］Vz<0B|Ji 2 …—L［zz/-l = O7. ________________________________________________________________ 复数z=si n 〃一 l+i （l —2cos 〃）且〃丘（0,兀），若z 为实数，则〃的值为 _______________若？为纯虚数，则&的值是 ___________ .JI JI［答案］y y［解析］zWR 时，l —2cos 〃=0,1 兀•\cos e=- TO 〈心，A ^=—；三、解答题8. 求适合方程（卄/+［&—/—3（L y ）］i=9 —2i 的实数无、y 的值.［解析］rh 两复数相等的充耍条件，得x+y 2=92x — y _一3 x — y = —29・已知复数 Z\ = m+ （4—/»） i （/w^R ）, ©=2cos 〃 + （人一3sin 〃）i （久 WR ）.若 zi = z ・2,9 证明：-—<4^7. 16 ［解析］rti 复数相等的条件，加=2cos 04—m=久一3sin 0z 为纯虚数时,sin 0 — 1 =01—2cos &H0ZJI,又・・・〃丘（0, JI ）, A 0=—.卄尸一3［卄尸3 卜+尸一3亠 才+y=3或 或］1 或x — y=2X — y=L[x —y=i乂一尸13Y 9 sj _T?•: A =4—4cos 2〃+3sin 〃=45 x=21 153 9 9当sin〃 = —§时，人川=—花；当sin 0 = 1时，人环=7.二一花W人W7.。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
高二数学理科导学案§3.1.1数系的扩充和复数的概念辉县市第二高中学数学组闫寿强审核数学组时间2010.03教学目标：1. 知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2. 过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部)理解并掌握复数相等的有关概念教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立教具准备：多媒体、实物投影仪教学设想：生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.教学过程：学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z Q、N Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数.所谓无理数，就是无限不循环小数.有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数(包括整数、有限小数)，无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾.但是，数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即 21i =-;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i !3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*3. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 答：例2 复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？答：例3（课本例1）实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？［分析］因为m ∈R ，所以m +1，m －1都是实数，由复数z =a +bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m 的值.解：例4 已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .解：课堂练习：1.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( ) A.A ∪B =C B. S C A =B C.A ∩S C B =∅ D.B ∪S C B =C2.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足( )A.x =－21B.x =－2或－21 C.x ≠－2 D.x ≠1且x ≠－2 3.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－14.满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.5.复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______.6.设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值.7.若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值.8.已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .课后作业：课本第106页 习题3.11.2.3.教学小结：这节课我们学习了虚数单位i 及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题师生反思：复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。
2017-2018学年高中数学选修1-2课时提升作业八 3-1-1 数系的扩充和复数的概念 探究导学课型 含答案 精品
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课时提升作业(八)数系的扩充和复数的概念(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为( )A.1B.±1C.-1D.-2【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.【解析】选A.由x2-1=0得,x=±1,当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,当x=1时,满足,故选A.【一题多解】本题还可用以下方法求解:选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;x=-1时,原复数为0,不满足,当x=-2时,原复数为3,不满足.故选A.2.(2015·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则( )A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
【解析】选C.由复数相等的条件得错误！未找到引用源。
解得错误！未找到引用源。
【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.【解析】因为x，y是实数，所以错误！未找到引用源。
解得错误！未找到引用源。
3.(2015·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+i错误！未找到引用源。
sin θ，z1=z2，则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+错误！未找到引用源。
(k∈Z)C.2kπ±错误！未找到引用源。
(k∈Z)D.2kπ+错误！未找到引用源。
(k∈Z)【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.【解析】选D.由z1=z2，可知错误！未找到引用源。
所以cosθ=错误！未找到引用源。
，sinθ=错误！未找到引用源。
.所以θ=错误！未找到引用源。
+2kπ，k∈Z，故选D.【补偿训练】1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是.【解析】因为z1=z2，所以错误！未找到引用源。
高中数学 3.1.1数系的扩充和复数的概念课后习题 新人教A版选修2-2
∵sinθ+cosθ=sin∈[-],
∴m∈(- ∞,-)∪(,+∞).
答案:(-∞,-)∪(,+∞)
3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i, 其中a∈R,z1>z2,则a的值为.
解析:由z1>z2,
得
解得a=0.
答案:0
4.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是.
则
即x2+y2=4且x≠y.
由可解得
故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-).
答案:D
6.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isinπ,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号).
解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sinπ=0·i=0为实数,其余为虚数.
解析:若复数为纯虚数,则有
即故a=-1.
故复数 不是纯虚数时a≠-1.
答案:{a|a≠-1}
5.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.
解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以lo(m+ n)-(m2-3m)i是实数.
从而有
由①,得m=0或m=3.
当m=0时,代入②,得0<n<2,又m+n>0,所以n=1;
解析:由复数相等的充要条件知,
解得
故x+y=0.故2x+y=20=1.
答案:D
3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()
2017-2018学年高中数学 课后提升训练二十 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 新人教A版选修
课后提升训练二十数系的扩充和复数的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列命题中,正确命题的个数是( )①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.对于①,由于x,y∈C,所以x,y不一定是x+yi的实部和虚部,故①是假命题;对于②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题;③是假命题,如12+i2=0,但1≠0,i≠0.2.若复数2-bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为( )A.-2B.C.-D.2【解析】选D.复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.3.以-+2i的虚部为实部,以i-2的实部为虚部的复数是( )A.2-2iB.2+2iC.-+iD.+i【解析】选A.-+2i的虚部为2,i-2的实部为-2,故所求复数为2-2i.4.(2017·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ,z2=cosθ+i sinθ,z1=z2,则θ等于( )A.kπ(k∈Z)B.2kπ+(k∈Z)C.2kπ±(k∈Z)D.2kπ+(k∈Z)【解题指南】由复数相等的定义,列方程组求解.【解析】选D.由z1=z2,可知所以cosθ=,sinθ=.所以θ=+2kπ,k∈Z.【补偿训练】已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R),z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R),若z1=z2,则λ的取值范围是________.【解析】因为z1=z2,所以所以λ=4-cosθ.又因为-1≤cosθ≤1.所以3≤4-cosθ≤5.所以λ∈[3,5].答案:[3,5]5.(2017·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为( )A.-1B.-1或4C.6D.6或-1【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.【解析】选A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.所以所以m=-1.6.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为( )A. B.2 C.0 D.1【解析】选D.由复数相等知解得所以x+y=0,所以2x+y=20=1.7.若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为( )A.2kπ-(k∈Z)B.2kπ+(k∈Z)C.2kπ±(k∈Z)D.π+(k∈Z)【解析】选B.由题意得解得(k∈Z).所以θ=2kπ+,k∈Z.8.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有( )A.a≠0B.a≠2C.a≠-1且a≠2D.a=-1【解析】选D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.二、填空题(每小题5分,共10分)9.若log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,则实数m=________. 【解析】因为log2(m2-3m-3)+ilog2(m-2)为纯虚数,所以所以m=4.答案:410.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k=__________.【解析】因为z<0,所以z∈R,由题意得解得k=2.答案:2三、解答题11.(10分)若m为实数,z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m+(m3-5m2+4m)i,那么使z1>z2的m值的集合是什么?使z1<z2的m值的集合又是什么?【解析】当z1∈R时,m3+3m2+2m=0,m=0,-1,-2,z1=1或2或5.当z2∈R时,m3-5m2+4m=0,m=0,1,4,z2=0或4或16.上面m的公共值为m=0,此时z1与z2同时为实数,此时z1=1,z2=0.所以z1>z2时m值的集合为{0},z1<z2时m值的集合为空集.【能力挑战题】已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.【解析】因为M∪P=P,所以M P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.。
人教A版高中数学选修一3.1 数系的扩充和复数的概念.docx
3.1 数系的扩充和复数的概念典型例题:1．设z ＝i a a a a a )152(54522-++-+-为实数时，实数a 的值是（ A ） A.3 B.－5C.3或－5D.－3或52．设关于x 的方程0)2()(tan 2=+-+-i x i x θ,若方程有实数根，则锐角θ和实数根______________________________________.解：0)1(2tan 2=+---i x x x θ原方程可化为， 4,10102tan 2ππθθ+=-=⎩⎨⎧=+=--k x x x x 解得 3．设复数i m m m m Z )23()22lg(22+++--=，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）Z 对应的点位于复平面的第一象限解：是实数时，或－。
即或－解得Z m m m m m m 1212023022)1(22-=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++>--。
是纯虚数时，。
即解得＝Z m m m m m m 33023122)2(22==⎪⎩⎪⎨⎧≠++--。
时，－或。
即－或解得2323023122)3(22<=><>⎪⎩⎪⎨⎧>++>--m m m m m m m m Z 对应的点位于复平面的第一象限。
练习:一．选择题：1．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为,21,2,21i i i --+-+那么第四个顶点对应的复数是（ ）（A ）i 21- （B ）i +2 （C ）i -2 （D ）i 21+-2．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足 （ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠63．下列命题中，假命题是( )（A ）两个复数不可以比较大小 （ B ）两个实数可以比较大小（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小二．填空题：4．复数2(2)(11)()a a a ia R --+--∈不是纯虚数，则有__________________. 5．已知复数z 与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =三．解答题：6．已知复数1Z ，2Z 满足2122212510Z Z Z Z =+，且212Z Z +为纯虚数，求证：213Z Z - 为实数。
2016-2017学年高中数学 专题3.1.1 数系的扩充和复数的概念练习(含解析)新人教a版选修1-2
数系的扩充和复数的概念1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数；②若a 、b ∈R 且a >b ，则a ＋i 3>b ＋i 2；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1；④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( )A ．①B ．②C ．③D ．④ [答案] D[分析] 由复数的有关概念逐个判定．2．复数z ＝(m 2＋m )＋m i(m ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．0或－1B ．0C ．1D ．－1 [答案] D[解析] ∵z 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m ＝0，m ≠0，∴m ＝－1，故选D. 3．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( )A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4 [答案] C[解析] 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2，－a 2＝4a .解得：a ＝－4.故应选C.4．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A ．{π，2π3，4π3} B ．{π3，5π3} C ．{π，π6，11π6} D ．{π3，π，5π3} [答案] D[解析] 由条件知，cos α＋cos2α＝0，∴2cos 2α＋cos α－1＝0，∴cos α＝－1或12， ∵0<α<2π，∴α＝π，π3或5π3，故选D. 5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2[答案] C[解析] 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是( )A ．|a |＝|b |B ．a <0且a ＝－bC ．a >0且a ≠bD ．a ≤0 [答案] D7．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于( )A ．k π(k ∈Z )B ． 2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z ) D ．2k π＋π6(k ∈Z ) [答案] D[解析] 由复数相等的定义可知， ⎩⎨⎧ sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 8．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．4C ．－1或4D ．不存在 [答案] B[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1或4，m ≠－1或m ≠6，∴m ＝4.9．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B10．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }，在集合A 中任取一个元素a ，则复数z ＝(a 2－1)＋(a 2－a －2)i 为实数的概率为p 1，z 为虚数的概率为p 2，z ＝0的概率为p 3，z 为纯虚数的概率为p 4，则( )A ．p 3<p 1<p 4<p 2B ．p 4<p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 4<p 1<p 2D ．p 3＝p 4<p 1<p 2 [答案] D[解析] 由条件知A ＝{－2，－1,0,1,2}，若z ∈R ，则a 2－a －2＝0，∴a ＝－1或2，∴p 1＝25； 若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－a －2＝0，∴a ＝－1，∴p 3＝15； 若z 为虚数，则a 2－a －2≠0，∴a ≠－1且a ≠2，∴p 2＝35； 若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1＝0，a 2－a －2≠0，∴a ＝1，∴p 4＝15. ∴p 3＝p 4<p 1<p 2.。
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3.1.1 数系的扩充和复数的概念
A组
1.若复数2-b i(b∈R)的实部与虚部互为相反数,则b的值为()
A.-2
B.
C.-
D.2
解析:复数2-b i的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.
答案:D
2.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为()
A.B.2 C.0 D. 1
解析:由复数相等的充要条件知,
解得
故x+y=0.故2x+y=20=1.
答案:D
3.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则()
A.M∪R=I
B.(∁I M)∪R=I
C.(∁I M)∩R=R
D.M∩(∁I R)=⌀
解析:根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断.依题意,I,R,M三个集合之间的关系如下图所示.
所以应有:M∪R⫋I,(∁ I M)∪R=∁I M,M∩(∁I R)≠⌀,
故A,B,D三项均错,只有C项正确.
答案:C
4.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={-1,3},且M∩N={3},则实数m的值为()
A.4
B.-1
C.-1或4
D.-1或6
解析:由于M∩N={3},故3∈M,必有m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3,
所以得m=-1.
答案:B
5.若复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,则点(x,y)的轨迹是()
A.以原点为圆心,以2为半径的圆
B.两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)
C.以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线
D.以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-)
解析:因为复数(x2+y2-4)+(x-y)i是纯虚数,
则
即x2+y2=4且x≠y.
由可解得
故点(x,y)的轨迹是以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点(),(-,-).
答案:D
6.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号).
解析:②为实数;③8i2=-8为实数;④i·sin π=0·i=0为实数,其余为虚数.
答案:②③④
7.满足x2+2x+3i=m+x i(x,m∈R)的m的值为.
解析:由已知可得所以m=15.
答案:15
8.设复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,
(1)当实数m为何值时,z是纯虚数?
(2)当实数m为何值时,z是实数?
解:(1)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是纯虚数,
所以
解得m=1±,
所以当m=1±时,z是纯虚数.
(2)因为复数z=lg(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i是实数,
所以解得m=-2,
所以当m=-2时,z是实数.
9.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值.
解:由定义运算=ad-bc,可得=3x+2y+y i.
即(x+y)+(x+3)i=(3x+2y)+y i.
由复数相等的充要条件得
解得
B组
1.若复数z=(m+2)+(m2-9)i(m∈R)是正实数,则实数m的值为()
A.-2
B.3
C.-3
D.±3
解析:依题意应有解得m=3.
答案:B
2.若复数z=cos θ+(m-sin θ-cos θ)i为虚数,则实数m的取值范围是.
解析:∵z为虚数,∴m-sin θ-cos θ≠0,
即m≠sin θ+cos θ.
∵sin θ+cos θ=sin∈[-],
∴m∈(-∞,-)∪(,+∞).
答案:(-∞,-)∪(,+∞)
3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值为.
解析:由z1>z2,
得
解得a=0.
答案:0
4.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是.
解析:若复数为纯虚数,则有
即故a=-1.
故复数不是纯虚数时a≠-1.
答案:{a|a≠-1}
5.如果lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,求自然数m,n的值.
解:因为lo(m+n)-(m2-3m)i>-1,
所以lo(m+n)-(m2-3m)i是实数.
从而有
由①,得m=0或m=3.
当m=0时,代入②,得0<n<2,又m+n>0,所以n=1;
当m=3时,代入②,得n<-1,与n是自然数矛盾.
综上可得,m=0,n=1.
6.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.解:∵M∪P=P,∴M⊆P,
即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
得解得m=2.
综上可知m=1或m=2.。