高中数学1.3.2球的体积与表面积教案新人教A版必修2

必修2第1章第3节《球的体积和表面积》第1课时教学设计

【课标解读】由于球的体积和表面积公式在推导证明上比较繁琐，学生在理解掌握上也比较困难，根据新的《数学课程标准》要求，本节的公式证明和推导应淡化处理，只需让学生简单了解推导过程，体会其中所蕴含的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用，不要求学生掌握其证明。在球的体积和表面积公式应用和球与几何体组合体的求解过程中，提高学生的空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。通过应用预设和相应的应用练习提高学生的提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，利用学生身边熟知的问题预设提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，进而形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。

【教材分析】本节课是人教A版高中数学（课程标准实验教材）必修2第一章“空间几何体”第三节“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征。从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础。

【学情分析】学生刚学习立体几何不久，具备的图形语言表达及空间想象能力相对不足，几何体的内切球、外接球的位置关系较难想象，很难顺利作出正确的直观图，空间图形问题向平面图形问题的转化意识也不够，对于解决组合体的体积和表面积的问题有一定的困难，而且学生的归纳总结能力不够，独立完成自主学习任务有一定困难，还不能从一定高度去体

会和感悟数学思想。这些都是摆在学生面前的难题，也是教学中迫切需要解决的问题。

【教学目标】

1.掌握球的体积、表面积公式及其应用。

2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维能力，加强辩证唯物主义观点。

3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”与“外切”的几何体问题。【教学重点、难点】

重点：球的体积和表面积的计算公式的应用

难点：解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题

【教学方法】讲练结合

【教学过程】

【板书设计】由于本节课的授课形式为多媒体课件和导学案相结合的方式，所以在板书设计上能体现本节课的主要内容即可

必修2第1章第3节《球的体积和表面积》第1课时导学案

莱阳市第四中学孙大勇闫留云

一、教学目标

1.掌握球的体积、表面积公式及其应用。

2会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题，培养学生应用数学的能力，发展逻辑思维能力，加强辩证唯物主义观点。

3.通过寻求如何探究球的内接和外切的方法，解决球的“内接”与“外切”的几何体问题。

二、教学重点、难点

教学重点：球的体积和表面积的计算公式的应用

教学难点：解决与球相关的“内接”和“外切”的几何问题

三、知识链接

1、柱体、锥体、台体的体积公式和表面积公式分别是什么？

2、球也是一个旋转体，它也有表面积和体积，那么它的表面积和体积的应用和拓展应用也是我们这节课所要研究的内容。

四、学法指导

结合导学案和多媒体通过讲练结合的方法学习本节内容

问题引入

问题一、座落于莱阳河东新区鹤山路与梨园路交叉口的山东莱阳金山国际酒店由锦江国际酒店管理有限公司管理，邻近莱阳火车站，酒店集传统中式的优雅与现代设计于一身，体现一流的

舒适感和实用性。现酒店管理层决定在半球形屋顶嵌上一层特殊化学材料以更好地保护酒店，那么，需要多少面积的这种化学材料呢？

问题二、一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球，球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一个球充入的气体较多？为什么？ 回顾

柱体的体积公式 锥体的体积公式 台体的体积公式 这些公式推导的依据是什么？ 提出问题

怎样求球的表面积和体积？

球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？ 球的体积

1.实验法：排液法测小球的体积（曹冲称象） 小球排出的液体的体积等于小球的体积

2.祖暅定理法：

一个半径和高都等于R 的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后,所得的几何体的体积与一个半径为R 的半球的体积相等。

用任一水平面去截这两个几何体

用任一水平面去截这两个几何体，截面分别是圆面和圆环面 设平行于大圆且与大圆的距离为l 的平面截半球所得圆面的半径为r

22l R r -= 则截面面积)(2221l R r S -==ππ

设圆大环半径为R 小圆半径为 l ，面积2

2

2l R S ππ-=

所以，21S S =

由祖暅定理得，这两个几何体的体积相等，即

3323

2

3121R R R R V πππ球=-∙=

∴3

3

4R V π球= 球的表面积

设想一个球由许多顶点在球心，底面在球面上的“准锥体”组成，这些准锥体的底面并不是真的多边形，但只要其底面足够小，就可以把它们看成真正的锥体。

+++==321331313134RS RS RS R V π球……=+++321(31

S S S π……)R

=球表RS 3

1

24R S π球表=

知识要点

1、半径为R 的球的体积公式：_________________________

2、半径为R 的球的表面积公式：__________________________ 球的体积、表面积由哪一个量来决定的？ 典例分析

例1如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三分之二； (2)球的表面积与圆柱的侧面积相等.

例2篮球直径是10cm,不考虑球皮厚度，求它的体积. 拓展一

在物流快递中，邮递员要将此篮球（充气状态）用正方体纸箱进行打包，怎样做才能做到用料最省？ 拓展二

如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，它的各个顶点都在球O 的球面上，问球O 的表面积。 分析：由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体体对角线与球的直径相等。

课堂练习

(1)若球的表面积变为原来的4倍,则半径变为原来的 倍 。