2020高考导数压轴题型归类总结

导数压轴题型归类总结
目 录
一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1） 二、交点与根的分布 （23） 三、不等式证明 （31）
（一）作差证明不等式
（二）变形构造函数证明不等式 （三）替换构造不等式证明不等式
四、不等式恒成立求字母范围 （51）
（一）恒成立之最值的直接应用 （二）恒成立之分离常数
（三）恒成立之讨论字母范围
五、函数与导数性质的综合运用 （70） 六、导数应用题 （84）
七、导数结合三角函数 （85）
书中常用结论
⑴sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为sin 1x
x
<，其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>.
一、导数单调性、极值、最值的直接应用
1. （切线）设函数a x x f -=2)(.
（1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；
（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.
解：(1)1=a 时，x x x g -=3)(，由013)(2=-='x x g ，解得3
3
±=x .
所以当33=
x 时，)(x g 有最小值9
32)33(-=g . (2)证明：曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='=
曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ，得12
122x a x x +=，∴12
1
112
11222x x a x x a x x x -=-+=-
∵a x >1，∴
021
21
<-x x a ，即12x x <. 又∵1122x a x ≠，∴a x a
x x a x x a x x =⋅>+=+=
1
1111212222222 所以a x x >>21.
2. （2009天津理20，极值比较讨论）
已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率；
⑵当2
3
a ≠
时，求函数()f x 的单调区间与极值. 解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当
.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[]
.42)2()('22x e a a x a x x f +-++=
.223
2
.220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令
以下分两种情况讨论： ①a 若＞
3
2
，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
)(所以x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数
.)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数
②a 若＜3
2
，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
内是减函数。

，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数 .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极小值在函数
3. 已知函数22
1()2,()3ln .2
f x x ax
g x a x b =+=+
⑴设两曲线()()y f x y g x ==与有公共点，且在公共点处的切线相同，若0a >，试建立b 关于a 的函数关系式，并求b 的最大值；
⑵若[0,2],()()()(2)b h x f x g x a b x ∈=+--在(0,4)上为单调函数，求a 的取值范围。

4. （最值，按区间端点讨论）
已知函数f (x )=ln x －
a x
. (1)当a>0时，判断f (x )在定义域上的单调性；
(2)若f (x )在[1,e ]上的最小值为3
2
，求a 的值.
解：(1)由题得f (x )的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x )＝
1x ＋2a x ＝2
x a
x
+. ∵a >0，∴f ′(x )>0，故f (x )在(0,＋∞)上是单调递增函数.
(2)由(1)可知：f ′(x )＝
2
x a
x +， ①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为增函数， ∴f (x )min ＝f (1)＝－a ＝
32，∴a ＝－3
2
(舍去). ②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1,e ]上恒成立，此时f (x )在[1,e ]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (e )＝1－
a e ＝3
2，∴a ＝－2
e (舍去). ③若－e <a <－1，令
f ′(x )＝0，得x ＝－a .
当1<x <－a 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1,－a )上为减函数； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－a ,e )上为增函数，
∴f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝3
2
⇒a
综上可知：a .
5. （最值直接应用）已知函数)1ln(2
1)(2
x ax x x f +--=，其中a ∈R . （Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.
解：（Ⅰ）(1)
(),(1,)1
x a ax f x x x --'=
∈-+∞+.
依题意，令(2)0f '=，解得 13a =. 经检验，1
3a =时，符合题意.
（Ⅱ）解：① 当0=a 时，()1
x
f x x '=+.
故)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-.
② 当0a >时，令()0f x '=，得10x =，或21
1x a
=-.
当10<<a 时，()f x 与()f x '的情况如下：
所以，()f x 的单调增区间是(0,
1)a -；单调减区间是)0,1(-和(1,)a
-+∞. 当1=a 时，)(x f 的单调减区间是),1(+∞-. 当1a >时，210x -<<，()f x 与()f x '的情况如下：
所以，()f x 的单调增区间是(1,0)a
-；单调减区间是(1,1)a
--和(0,)+∞. ③ 当0<a 时，)(x f 的单调增区间是(0,)+∞；单调减区间是)0,1(-. 综上，当0a ≤时，)(x f 的增区间是(0,)+∞，减区间是)0,1(-；
当10<<a 时，()f x 的增区间是1(0,1)a -，减区间是)0,1(-和1
(1,)a
-+∞；
当1=a 时，)(x f 的减区间是),1(+∞-；
当1a >时，()f x 的增区间是1(1,0)a -；减区间是1
(1,1)a
--和(0,)+∞.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 0a ≤时，)(x f 在(0,)+∞上单调递增，由0)0(=f ，知不合题意.
当10<<a 时，)(x f 在(0,)+∞的最大值是1
(1)f a
-，
由1
(1)(0)0f f a
->=，知不合题意.
当1≥a 时，)(x f 在(0,)+∞单调递减，
可得)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0)0(=f ，符合题意. 所以，)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0时，a 的取值范围是[1,)+∞.
6. （2010北京理数18）
已知函数()f x =ln (1+x )-x +
2
2
x x (k ≥0). (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =()f x 在点(1,f (1))处的切线方程； (Ⅱ)求()f x 的单调区间.
解：（I ）当2k =时，2()ln(1)f x x x x =+-+，1
'()121f x x x
=
-++ 由于(1)ln 2f =，3
'(1)2
f =，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3
ln 2(1)2
y x -=-
即322ln 230x y -+-=
（II ）(1)
'()1x kx k f x x
+-=+，(1,)x ∈-+∞.
当0k =时，'()1x f x x
=-+. 所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.
当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x +-==+，得10x =，210k
x k -=>
所以，在区间(1,0)-和1(,)k k -+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k
k
-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k
k
-. 当1k =时，2
'()1x f x x
=
+ 故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-=
=+，得11(1,0)k
x k -=∈-，20x =. 所以没在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k
k
-上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k
k
-
7. （2010山东文21，单调性）
已知函数1()ln 1()a
f x x ax a R x
-=-+
-∈ ⑴当1a =-时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；
⑵当1
2
a ≤时，讨论()f x 的单调性.
解：⑴ln 20x y -+=
⑵因为 11ln )(--+-=x
a
ax x x f ， 所以 211)('x a a x x f -+-=2
21x a
x ax -+--=，),0(+∞∈x ， 令 ,1)(2
a x ax x g -+-=),,0(+∞∈x
8. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e 底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零
点存在性定理不好想，⑴⑵联系紧密)
已知函数()ln ,().x
f x x
g x e == ⑴若函数φ (x ) = f (x )－
1
1
x x ，求函数φ (x )的单调区间； ⑵设直线l 为函数f (x )的图象上一点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1,+∞)上存在唯一的x 0，使得直线l 与曲线y =g (x )相切．
解：（Ⅰ） ()1
()1x x f x x ϕ+=--11ln -+-=x x x ，()()()2
2
211121-⋅+=-+='x x x x x x ϕ． ∵0x >且1x ≠，∴()0x ϕ'>∴函数()x ϕ的单调递增区间为()()∞+，和1
1,0． （Ⅱ）∵1
()f x x
'=
，∴001()f x x '=，
∴ 切线l 的方程为0001ln ()y x x x x -=
-, 即00
1
ln 1y x x x =+-, ① 设直线l 与曲线()y g x =相切于点11(,)x
x e ，
∵()x g x e '=，∴10
1x
e x =
，∴10ln x x =-,∴0ln 101()x
g x e x -==.
∴直线l 也为()00011ln y x x x x -
=+， 即0000
ln 1
1x y x x x x =++， ② 由①②得 00
ln 1ln 1x x x x -=
+，∴0001
ln 1x x x +=-． 由（Ⅰ）可知，()x ϕ1
ln --
=x x 在区间1,+∞（）上递增． 又12()ln 011
e e e e e ϕ+-=-=<--，2222
2
21
3()ln 01e e e e e ϕ+-=-=>-， 结合零点存在性定理，说明方程()0x ϕ=唯一0x ，故结论成立．
9. （最值应用，转换变量）
设函数221
()(2)ln (0)ax f x a x a x
+=-+<．
(1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；
(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．
解：⑴221()2a f x a x x -'=+-222(2)1ax a x x +--=2(1)(21)
ax x x +-=． 当2a <-时，112a -<，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)a -，1
(,)2+∞．
当2a =-时，11
2
a -=，减区间为(0,)+∞．
当20a -<<时，112a ->，增区间为11(,)2a -，减区间为1(0,)2，1
(,)a
-+∞． ⑵由⑴知，当(3,2)a ∈--时，()f x 在[1,3]上单调递减，
∴12,[1,3]x x ∈，12|()()|f x f x -≤(1)(3)f f -1
(12)[(2)ln 36]3
a a a =+--++，
即12|()()|f x f x -≤2
4(2)ln 33
a a -+-．
∵12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，
∴(ln 3)2ln 3m a +-＞24(2)ln 33a a -+-，即2
43ma a >-，
又0a <，∴2
43m a
<-． ∵(3,2)a ∈--，∴132384339a -
<-<-，∴m ≤133
-． 10. （最值应用）
已知二次函数()g x 对x R ∀∈都满足2(1)(1)21g x g x x x -+-=--且(1)1g =-，设函数
19
()()ln 28
f x
g x m x =+++（m R ∈，0x >）．
（Ⅰ）求()g x 的表达式；
（Ⅱ）若x R +∃∈，使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；
（Ⅲ）设1m e <≤，()()(1)H x f x m x =-+，求证：对于12[1,]x x m ∀∈，，恒有
12|()()|1H x H x -<．
解：（Ⅰ）设()2
g x ax bx c =++，于是
()()()()2
2
11212212g x g x a x c x -+-=-+=--，所以121.
a c ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩，
又()11g =-，则12b =-．所以()211
122g x x x =--． …………3分
（Ⅱ）()
2
191()ln ln (0).
282
f x
g x m x x m x m x =+++=+∈>R ，
当m >0时，由对数函数性质，f （x ）的值域为R ；…………4分
当m =0时，2
()02
x f x =>对0x ∀>，()0f x >恒成立； …………5分 当m <0
时，由()0m
f x x x x
'=+=⇒=
，列表：
[]min ()2
m
f x f m ==-+这时，
[
]min 0()0e<0.2
m
m f x m m ⎧-+>⎪>⇔⇒-<⎨⎪<⎩，
所以若0x ∀>，()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是(e 0]-，．
故0x ∃>使()0f x ≤成立，实数m 的取值范围()(,e]0-∞-+∞，．…………9分
（Ⅲ）因为对[1]x m ∀∈，，(1)()
()0x x m H x x --'=
≤，所以()H x 在[1,]m 内单调递减．
于是21211
|()()|(1)()ln .
22H x H x H H m m m m -≤-=--
2121113
|()()|1ln 1ln 0.2222H x H x m m m m m m
-<⇐--<⇔--<
记13()ln (1e)22h m m m m m
=--<≤，则()
2
2
1133111()022332h'm m m m =-+=-+>， 所以函数13
()ln 22h m m m m =--在(1e]，是单调增函数，
所以()()e 3e 1e 3()(e)1022e 2e
h m h -+≤=--=<，故命题成立． …………12分
11. 设3x =是函数()()
()23,x
f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点.
（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（2）设()2250,4x
a g x a e ⎛⎫>=+
⎪⎝⎭
，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.
解：（1）∵()(
)
2
3x
f x x ax b e
-=++
∴()()()()'
'
32321x x f
x x a e x ax b e --=++++-()232x
x a x b a e -⎡⎤=-+-+-⎣⎦
由题意得：()'30f =，即()23320a b a +-+-=，23b a =--
∴()()2323x
f x x ax a e -=+--且()()()'331x f x x x a e -=--++
令()'
0f x =得13x =，21x a =--
∵3x =是函数()()()23,x
f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点
∴12x x ≠，即4a ≠-
故a 与b 的关系式为()23,4b a a =--≠-.
当4a <-时，213x a =-->，由()'
0f
x >得单增区间为：()3,1a --；
由()'
0f x <得单减区间为：(),3-∞和()1,a --+∞；
当4a >-时，213x a =--<，由()'
0f x >得单增区间为：()1,3a --；
由()'
0f x <得单减区间为：(),1a -∞--和()3,+∞；
（2）由（1）知：当0a >时，210x a =--<，()f x 在[]0,3上单调递增，在[]3,4上单调递减，{},)32()4(),0(min )(3min e a f f x f +-==()()max 36f x f a ==+,
∴()f x 在[]0,4上的值域为]6,)32([3++-a e a . 易知()2
254x
g x a e ⎛⎫=+
⎪⎝⎭
在[]0,4上是增函数, ∴()g x 在[]0,4上的值域为2
242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫+
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
. 由于()2
22516042a a a ⎛⎫⎛⎫+-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
又∵要存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-<成立，
∴必须且只须()202561
4a a a >⎧
⎪
⎨⎛⎫+-+< ⎪⎪⎝
⎭⎩解得:302a <<.
所以，a 的取值范围为30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
.
12. 2()()()x
f x x ax b e x R =++∈． （1）若2,2a b ==-，求函数()f x 的极值；
（2）若1x =是函数()f x 的一个极值点，试求出a 关于b 的关系式（用a 表示b ），并确
定()f x 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设0a >，函数24()(14)x g x a e +=+．若存在]4,0[,21∈λλ使得
1|)()(|21<-λλf f 成立，求a 的取值范围．
解:（1）∵22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e x a x a b e '=++++=++++
当2,2a b ==-时，2()(22)x f x x x e =+-,则'()f x 2(4)x x x e =+.
令'()0f x =得2(4)0x x x e +=，∵0x e ≠,∴240x x +=，解得124,0x x =-= ∵当(,4)x ∈-∞-时，'()0f x >，
当(4,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时'()0f x > ∴当4x =-时，函数()f x 有极大值，4
6()f x e 极大＝
， 当0x =时，函数()f x 有极小值，()2f x =-极小． （2）由（1）知2()[(2)()]x f x x a x a b e '=++++ ∵1x =是函数()f x 的一个极值点 ∴(1)0f '= 即[1(2)()]0e a a b ++++=，解得32b a =--
则2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]x e x x a -++ 令()0f x '=，得11x =或23x a =--
∵1x =是极值点，∴31a --≠，即4a ≠- .
当31a -->即4a <-时，由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞
由()0f x '<得(1,3)x a ∈--
当31a --<即4a >-时，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--. 综上可知：
当4a <-时，单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞，递减区间为(1,3)a -- 当4a >-时，单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞，递减区间为(3,1)a --。

（3）由2）知：当a >0时，()f x 在区间（0，1）上的单调递减， 在区间（1，4）上单调递增，
∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+
又∵(0)f =(23)x be a =-+0<，4(4)(213)0f a e =+>，
∴函数()f x 在区间[0，4]上的值域是[(1),(4)]f f ，即4[(2),(213)]a e a e -++] 又24()(14)x g x a e +=+在区间[0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是2428[(14),(14)]a e a e ++.
∵24(14)a e +－4(213)a e +＝24(21)a a e -+＝24(1)0a e -≥， ∴存在]4,0[,21∈λλ使得1|)()(|21<-λλf f 成立只须
24(14)a e +－4(213)a e +<124241(1)1(1)a e a e ⇒-<⇒-<
.221111a e e
⇒-<<+．
13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数1()ln 1a
f x x ax x
-=-+-()a ∈R . ⑴当1
2
a ≤
时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当1
4
a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，
求实数b 取值范围.
解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()f x 的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()g x 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.
⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->，222l 11
()(0)a ax x a f x a x x x x
--++-'=-+=> 令2()1(0)h x ax x a x =-+->
①当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.
②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121
1,1x x a
==-.
当1
2
a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减；
当102a <<
时，1
110a
->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减； 1
(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；
1
(1,)x a
∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.
当0a <时1
10a
-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；
当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.
综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增；
当1
2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1
(1,)a -+∞递减.
⑵当1
4
a =时，()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈，
有11
()(1)2
f x f =-≥，
又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21
()2
g x -≥，[]21,2x ∈，（※）
又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈
当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾；
当[]1,2b ∈时，2
min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾；
当2b >时，min 117()(2)84,28
g x g b b ==-≤-≥. 综上，实数b 的取值范围是17
[
,)8+∞. 14. 设函数11ln )(--+-=x
a
ax x x f ．
（Ⅰ）当1=a 时，过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ，求点P 的坐标；
（Ⅱ）当2
1
0<<a 时，求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅲ）当31=a 时，设函数12
52)(2
--=bx x x g ，若对于e x ,01（∈
∀]，∈∃2x [0，1] 使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数b 的取值范围.（e 是自然对数的底，13+<e ）
解：函数)(x f 的定义域为)0(∞+，
，211)(x
a
a x x f ---=' （Ⅰ）设点)0)(,(000>x y x P ，当1=a 时，1ln )(--=x x x f ，则1ln 000--=x x y ，
11
)(-='x
x f ，∴000001ln 11)(x x x x x f --=-='
解得20e x =，故点P 的坐标为)1(22
e e -，
（Ⅱ）22
1)(x a ax ax x f -++-=
'2
2
)1)(1()1)(1(x a a
x x a x a ax x --
--=+---=
∵210<<a ∴011>--a
a
∴当10<<x ，或a
a x ->1时0)(<'x f ，当a a
x -<<11时，0)(>'x f
故当210<<a 时，函数)(x f 的单调递增区间为)1,1(a
a
-；
单调递减区间为)1,0(，),1(+∞-a
a
（Ⅲ）当31=a 时，132
3ln )(-+-=x
x x x f 由（Ⅱ）可知函数)(x f 在)10，（上是减函数，
在)21，（上为增函数，在]2(e ，上为减函数，且32)1(-=f ，e
e e
f 32
3)(+-=
∵e
e e e e
f e f 3)1(3322)1()(22--=+-=-，又13+<e ，∴3)1(2
<-e ，
∴)1()(f e f >，故函数)(x f 在],0(e 上的最小值为3
2
-
若对于],01e x （∈
∀，]1,0[2∈∃x 使)(1x f ≥)(2x g 成立⇔)(x g 在]1,0[上的最小值不大于 )(x f 在],0(e 上的最小值32
-（*）
又12
5)(1252)(222
---=--=b b x bx x x g ，]1,0[∈x
①当0<b 时，)(x g 在]1,0[上为增函数，3
2
125)0()]([min ->-==g x g 与（*）矛盾
②当10≤≤b 时，12
5)()]([2
min --==b b g x g ，
由321252
-≤--b 及10≤≤b 得，12
1≤≤b
③当1>b 时，)(x g 在]1,0[上为减函数，
3
2
12172127)1()]([min -<-<-==b g x g ，此时1>b
综上，b 的取值范围是），∞+2
1
[ 15. (2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-． ⑴求()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；
⑵若存在1,x e e
⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
（e 是常数，e ＝2.71828⋅⋅⋅）使不等式2()()f x g x ≥成立，求实数a 的取
值范围；
⑶证明对一切(0,),x ∈+∞都有12
ln x x e ex
>-成立． 解：⑴
，
()min
1
1 01 t e e f x tInt t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
所以 ⑵由题意知
()()()()()()()[]()()()()()()222
max max 3
23,2,
313232011,10,1,0,11max ,(),,,2,
xInx x ax a Inx x x
x x h x Inx x x h x x x x x x h x h x e x e h x h x h x h h e x e f x g x e e a h x ≥-+-≤+++-'=++>=+-=⎡⎤
'∈<⎢⎥⎣⎦
'∈>⎧⎫⎛⎫⎡⎤
=∈≥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭
≤则设则当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以因为存在使成立，
所以
11()23h e e e =-++，3()2h e e e =++ 而1()()h h e e >，故1
32a e e
≤+-
（Ⅲ） 等价证明()()2
0,x x xInx x e e
>-∈+∞
由⑴知
()()()()()()()10,1
210,,,
x x f x xInx x e
x e x x
x x x e e e
ϕϕ=∈+∞=-'=-∈+∞=的最小值是-
当且仅当取到，设则
()()()max 1
112
0,x x e
x x xInx e e
ϕϕ==-=∈+∞>-易得，当且仅当x 时取到，
从而对一切都有成立，
()12
0,x Inx x e ex
>-∈+∞即对一切成立．
16. （最值应用） 设函数()2ln q f x px x x =-
-，且()2p
f e qe e
=--，其中e 是自然对数的底数. ⑴求p 与q 的关系；
⑵若()f x 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； ⑶设2()e
g x x
=，若在[]1,e 上至少存在一点0x ，使得0()f x ＞0()g x 成立，求实数p 的取值范围.
解：（1）由题意得()2ln 2q p f e pe e qe e e =--=--1
()()0p q e e
⇒-+= 而1
0e e
+
≠，所以p 、q 的关系为p q =. （2）由（1）知()2ln 2ln q p
f x px x px x x x
=--=--，
2'
22
22()p px x p f x p x x x
-+=+-=.令2()2h x px x p =-+， 要使()f x 在其定义域(0,)+∞内单调，只需()0()0h x h x ≥≤或恒成立.
①当0p =时，()2h x x =-，因为x ＞0，所以()h x ＜0，'
22()x f x x
=-＜0，
∴()f x 在(0,)+∞内是单调递减函数，即0p =适合题意；
②当p ＞0时，2()2h x px x p =-+，∴min
1()h x p p
=-， 只需1
0p p
-≥，即'1()0,()0p h x f x ≥≥≥时，
∴()f x 在(0,)+∞内为单调递增函数，故1p ≥适合题意.
③当p ＜0时，2()2h x px x p =-+，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为1
(0,)x p
=
∉+∞，
只要(0)0h ≤，即0p ≤时，()0h x ≤在(0,)+∞恒成立，故p ＜0适合题意. 综上所述，p 的取值范围为10p p ≥≤或.
（3）∵2()e
g x x
=
在[]1,e 上是减函数， ∴x e =时，min ()2g x =；1x =时，max ()2g x e =，即[]()2,2g x e ∈，
①当0p ≤时，由（2）知()f x 在[]1,e 上递减max ()(1)0f x f ⇒==＜2，不合题意；
②当0＜p ＜1时，由[]1
1,0x e x x
∈⇒-
≥， 又由（2）知当1p =时，()f x 在[]1,e 上是增函数，
∴1111
()()2ln 2ln 2ln 2f x p x x x x e e e x x e e
=--≤--≤--=--＜2，不合题意；
③当1p ≥时，由（2）知()f x 在[]1,e 上是增函数，(1)0f =＜2，又()g x 在[]1,e 上是减函数，
故只需max ()f x ＞min ()g x ，[]1,x e ∈，而max 1
()()()2ln f x f e p e e e
==--，min ()2g x =， 即
1()2ln p e e e --＞2，解得p ＞241
e e - ，
综上，p 的取值范围是2
4()1
e
e +∞-，.
17. （2011湖南文，第2问难，单调性与极值，好题） 设函数1
()ln ().f x x a x a R x =-
-∈
⑴讨论函数()f x 的单调性；
⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.
解：⑴()f x 的定义域为(0,).+∞222
11
'()1a x ax f x x x x
-+=+-= 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-
①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增． ②当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)
f x +∞在上单调递增．
③当2a >时,>0,g(x)=0的两根为12x x ==
，
当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减． ⑵由⑴知，若()f x 有两个极值点12,x x ，则只能是情况③，故2a >．
因为12
12121212
()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212
()()ln ln 1
1f x f x x x k a x x x x x x --=
=+--- 又由⑴知，121x x =，于是
12
12
ln ln 2x x k a x x -=-- 若存在a ，使得2.k a =-则
12
12
ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-． 亦即2
222
12ln 0(1)(*)x x x x --=> 再由⑴知，函数1
()2ln h t t t t
=--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以
22211
2ln 12ln10.1
x x x -->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =-
18. （构造函数，好，较难） 已知函数2
1()ln (1)(0)2
f x x ax a x a R a =-
+-∈≠，. ⑴求函数()f x 的单调增区间；
⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线
C 上存在点00(,)M x y ，使得：①12
02
x x x +=
；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.
解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞.
由已知得，1
(1)()
1'()1a x x a f x ax a x x
-+=-+-=-. ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，
①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1
0x a
<<-或1x >;
∴函数()f x 在1
(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
②当1
1a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a
>-
∴函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增.
综上所述:
⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增
⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增.
(Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.
设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<，
则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，2
22221ln (1)2
y x ax a x =-+-.
2121AB y y k x x -=-22212121211
(ln ln )()(1)()
2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1
()(1)2
x x a x x a x x -=
-++--. 曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率0()k f x '=12
()2
x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=
-⋅+-+， 依题意得：
211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122
(1)2
x x a a x x +=-⋅+-+. 化简可得 2121ln ln x x x x --122
x x =+， 即21ln x x =2121
2()x x x x -+2121
2(1)1x x x x -=+.
设21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211
t t t t -==-
++, 4ln 21t t +=+,令4
()ln 1
g t t t =+
+,214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增,显然有()2g t >恒成立.
所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4
ln 21
t t +=+成立.
综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线”
19. (2011天津理19，综合应用)
已知0a >，函数()2
ln f x x ax =-，0x >．(()f x 的图象连续)
⑴求()f x 的单调区间；
⑵若存在属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：
ln 3ln 2ln 2
53
a -≤≤．
解：⑴()21122ax f x ax x x -'=-=，0x >．令()0f x '=，则x =
当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
所以()f x 的单调增区间是⎛ ⎝，单调减区间是⎫+∞⎪⎪⎭
．
⑵由()()f
f αβ=及()f x 的单调性知αβ<
<．
从而()f x 在区间[],αβ上的最小值为()f α．
又由1βα-≥，[],1,3αβ∈，则123αβ≤≤≤≤． 所以()()()()()()21,23,f f f f f f αβ≥≥⎧⎪⎨≥≥⎪⎩即ln 24,
ln 24ln 39.a a a a -≥-⎧⎨
-≥-⎩ 所以
ln 3ln 2ln 2
53
a -≤≤．
20. （恒成立，直接利用最值）
已知函数2()ln(1), 0f x ax x ax a =++->，
⑴若2
1
=
x 是函数)(x f 的一个极值点，求a ； ⑵讨论函数)(x f 的单调区间；
⑶若对于任意的[1,2]a ∈,不等式()f x m ≤在1[,1]2
上恒成立，求m 的取值范围.
解：⑴222(2)()1
ax a x
f x ax +-'=
+, 因为21=x 是函数)(x f 的一个极值点，所以0)2
1
(='f ，得022=--a a .
又0>a ，所以2=a .
⑵因为)(x f 的定义域是1
(, )a
-
+∞， 2222
2()
2(2)2()11
a ax x ax a x a f x ax ax --+-'==
++. ①当>a )(x f 在1(, 0)a -，2(, )2a a -+∞是增函数；)(x f 在2
(0, )2a a
-是减函数.
②当
=a
③当
0<)(x f 在12(, )2a a a --,(0, )+∞是增函数；)(x f 在2
(, 0)2a a
-是减函数.
⑶
21. （最值与图象特征应用）
设R a ∈，函数e a ax e x f x
)(1(2
)(2++=-为自然对数的底数）.
⑴判断)(x f 的单调性；
⑵若]2,1[1
)(2∈>x e
x f 在上恒成立，求a 的取值范围.
解：⑴∵)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-
='--),12(2
1
2--+-=-a ax ax e x 令.12)(2--+-=a ax ax x g
①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数.
②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别时
)(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数.
③当0<a 时，由,0122>--+-a ax ax 得,1111a
x a x -+
>--<或
由,0122<--+-a ax ax 得,1
11
1a
x a -+
<<--
),(),,()(+∞---+-∞∴a
a
a a a a x f 在上为增函数；
),()(a
a
a a a a x f ---+在上为减函数.
⑵由⑴知
①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数.
.51
1215.215)2()(2
22min >>++=
=∴a e
e a e a
f x f 得由 ②当2
221
215)2(,0e e a f a <+=
<时 21)(e
x f >∴在[1，2]上不恒成立，∴a 的取值范围是).,51
(+∞
22. (单调性)
已知()f x =ln(x +2)－x 2+bx +c ⑴若函数()f x 在点(1，y )处的切线与直线3x +7y +2=0垂直，且f (－1)=0，求函数()f x 在区间[0,3]上的最小值；
⑵若()f x 在区间[0,m ]上单调，求b 的取值范围. 解：⑴b x x x f +-+='221)(，依题意令(1)f '= 73
，(1)f -＝0，解得b =4，c =5.
2
2
302924221)(2=
=++-=+-+='∴x x x x x x f 得 因为∴时在，上最小值⑵若()f x 在区间[0，m ]上单调，有两种可能
①令b x x x f +-+=
'221)(≥0得b ≥2x －2
1
+x ，在[0，m]上恒成立
而y=2x －
21+x 在[0，m]上单调递增，最大值为2m －21+m ，∴b ≥2m －
2
1
+m . ②令b x x x f +-+='221)(≤0 得b ≤2x －21
+x ，
而 y=2x －21+x 在[0，m]单增，最小为y=－21，∴b ≤－21
.
故b ≥2m －21+m 或b ≤－2
1
时()f x 在[0，m]上单调.
23. （单调性，用到二阶导数的技巧） 已知函数x x f ln )(=
⑴若)()()(R a x
a
x f x F ∈+=，求)(x F 的极大值； ⑵若kx x f x G -=2)]([)(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k 的取值范围.
解：⑴x a
x x a x f x F +=+=ln )()( 定义域为),0(+∞∈x 2
ln )1()(x x
a x F --=
'∴ 令a e x x F -=='10)(得 由a e x x F -<<>'100)(得 由a e x x F -><'10)(得
即),0()(1a e x F -在上单调递增，在),(1+∞-a e 上单调递减
a e x -=∴1时，F (x )取得极大值11)1(---=+-=a a
a
e e
a a e F ⑵kx x x G -=2)(ln )( 的定义域为(0，+∞)，k x
x
x G -='∴ln 2)(
由G (x )在定义域内单调递减知：0ln 2)(<-='k x
x
x G 在(0，+∞)内恒成立 令k x x x H -=ln 2)(，则2
)
ln 1(2)(x
x x H -=' 由e x x H =='得0)( ∵当),0(e x ∈时)(,0)(x H x H >'为增函数 当),(+∞∈e x 时0)(<'x H ，)(x H 为减函数
∴当x = e 时，H (x )取最大值k e
e H -=2
)(
故只需02<-k e 恒成立，e k 2>∴
又当e k 2=时，只有一点x = e 使得0)()(=='x H x G 不影响其单调性.2
e
k ≥∴
二、交点与根的分布
24. （2008四川22，交点个数与根的分布）
已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点． ⑴求a ；
⑵求函数()f x 的单调区间；
⑶若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．
解：⑴2()ln(1)10f x a x x x =++-，'()2101a
f x x x
=
+-+ 3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．
'(3)404
a
f =
-=，16a = ⑵由⑴2()16ln(1)10f x x x x =++-，(1,)x ∈-+∞
2162862(1)(3)
'()210111
x x x x f x x x x x -+--=+-==
+++ 令'()0f x =，得1x =()f x
()f x 的增区间是(-⑶由②知，()f x 在(1,1)-上单调递增，在(3,)+∞上单调递增，在(1,3)上单调递减． ∴()(1)16ln 29f x f ==-极大，()(3)32ln 221f x f ==-极小． 又1x +→-时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞； 可据此画出函数()y f x =的草图（图略），由图可知， 当直线
y b =与函数()y f x =的图像有3个交点时，b 的取值范围为(32ln 221,16ln 29)--．
25. 已知函数()3
2
f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数
()f x 在R 上有三个零点． （1）求b 的值；
（2）若1是其中一个零点，求()2f 的取值范围； （3）若()()'
213ln a g x f x x x ==++，，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g(x )
相切？请说明理由.
⑶()g x =2x +ln x ，设过点（2，5）与曲线g (x )的切线的切点坐标为00(,)x y
∴/
0005()(2)y g x x -=-，即0000
1
2ln 5(2)(2)x x x x +-=+
- ∴002ln 20x x +-=，令h(x )=2
ln 2x x +-，
∴/h (x)=212x x -=0，∴2x = ∴h(x )在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
又1()2ln 202h =->，h(2)=ln2-1<0，2
22()0h e e
=>
∴h(x )与x 轴有两个交点，∴过点（2，5）可作2条曲线y=g(x )的切线.
26. （交点个数与根的分布）
已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+
⑴求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t
⑵是否存在实数,m 使得()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

解：⑴22()8(4)16.f x x x x =-+=--+
当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，
22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++ 当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f ==
当4t >时，()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+
综上2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪
=≤≤⎨⎪-+>⎩
⑵函数()y f x =的图像与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点，即函数 ()()()x g x f x φ=-的图像与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

22()86ln ,
62862(1)(3)
'()28(0),
x x x x m x x x x x x x x x x
φφ=-++-+--∴=-+==> 当(0,1)x ∈时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当(0,3)x ∈时，'()0,()x x φφ<是减函数； 当(3,)x ∈+∞时，'()0,()x x φφ>是增函数； 当1,x =或3x =时，'()0.x φ=
()(1)7,()(3)6ln 315.x m x m φφφφ∴==-==+-最大值最小值 当x 充分接近0时，()0,x φ<当x 充分大时，()0.x φ>
∴要使()x φ的图像与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须
()70,
()6ln 3150,x m x m φφ=->⎧⎪⎨
=+-<⎪⎩
最大值最小值 即7156ln 3.m <<- ∴存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图像有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,156ln 3).-
27. （交点个数与根的分布） 已知函数.2
3)32ln()(2
x x x f -+=
⑴求f (x )在[0,1]上的极值；
⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],3
1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的取值范围；
⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.
解：⑴2
3)
13)(1(33323)(+-+-=-+='x x x x x x f ，
令131
0)(-==='x x x f 或得（舍去）
)(,0)(,310x f x f x >'<≤∴时当单调递增；当)(,0)(,131
x f x f x <'≤<时递减.
]1,0[)(6
1
3ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值.
⑵由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得
x x a x x a 323
ln
ln 323ln ln ++<+->或
设3
32ln
323ln ln )(2
x x x x x h +=+-=，x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]3
1
,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立，
0)32(2
)32(33)32(3332)(2
>+=+⋅-+⋅+='x x x x x x x x g ，
03262)62(31323)(2
2>++=+⋅+=
'x x x
x x x x h ，
]31
,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立，
当且仅当.5
1
ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或
⑶由.022
3)32ln(2)(2
=-+-+⇒+-=b x x x b x x f
令x
x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2
2+-=
+-+='-+-+=ϕϕ则， 当]37
,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ϕϕ>'∈上递增；
]1,37[)(,0)(,]1,37[在于是时x x x ϕϕ<'∈上递减，
而)1()3
7
(),0()37(ϕϕϕϕ>>，
]1,0[0)(2)(在即=+-=∴x b x x f ϕ恰有两个不同实根等价于
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨
⎧
≤-+=>-+-+=≤-=0215ln )1(067267)72ln()3
7(02ln )0(b b b ϕϕϕ .3
7
267)72ln(215ln +-+<≤+∴b
28. (2009宁夏，利用根的分布) 已知函数32()(3)x f x x x ax b e -=+++ ⑴如3a b ==-，求()f x 的单调区间；
⑵若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明：βα-＜6.解：⑴3a b ==-时，32()(333)x f x x x x e -=+--，故
322'()(333)(363)x x f x x x x e x x e --=-+--++-(3)(3)x x x x e -=--+ 当3x <-或03'()0;x f x <<>时，当303'()0.x x f x -<<><或时，
从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少.
⑵3223'()(3)(36)[(6)].x x x f x x x ax b e x x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-
由条件得3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故 从而3'()[(6)42].x f x e x a x a -=-+-+- 因为'()'()0,f f αβ==
所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)[()].x x x αβαβ=--++ 将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故
βα-==
又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <-于是 6.
βα->
29. （2009天津文，利用根的分布讨论）
设函数()()()3
22113
f x x x m x x =-
++-∈R ，其中0m > ⑴当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率
⑵求函数()f x 的单调区间与极值
⑶已知函数()f x 有三个互不相同的零点120x x 、、，且12x x <，若对任意的
[]()()12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围.
解：⑴当1)1(,2)(,3
1)(1'2/23
=+=+==f x x x f x x x f m 故时， 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为1.
⑵12)(22'-++-=m x x x f ，令0)('=x f ，得到m x m x +=-=1,1
因为m m m ->+>11,0所以，
当x 变化时，)(),('x f x f 的变化情况如下表：
x
)1,(m --∞ m -1 )1,1(m m +- m +1 ),1(+∞+m )('x f
+ 0 － 0 + )(x f ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓
)(x f 在)1,(m --∞和),1(+∞+m 内减函数，在)1,1(m m +-内增函数。

函数)(x f 在m x +=1处取得极大值)1(m f +，且)1(m f +=31322
3-+m m
函数)(x f 在m x -=1处取得极小值)1(m f -，且)1(m f -=3
1322
3-+-m m
⑶由题设))((31)131()(212
2x x x x x m x x x x f ---=-++-=
所以方程1312
2-++-m x x =0由两个相异的实根21,x x ，故321=+x x ，且
0)1(3412>-+=∆m ，解得2
1
)(21>-<m m ，舍
因为12
3
,32,221221>>=+><x x x x x x 故所以（难点）。