江苏省2012届高考数学二轮复习教学案：第6讲 导数及其应用

第6讲 导数及其应用

1. 了解导数的实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)，掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念．

2. 熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.

3. 理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，能用导数解决一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值等．

1. 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9在R 上存在极值，则实数a 的取值范围是________．

2.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y ＝－1

3

x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．

3.直线y ＝1

2

x ＋b 是曲线y ＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b ＝________.

4.若曲线f(x)＝ax 2＋lnx 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________.

【例1】 已知曲线f(x)＝x 3－3x.

(1) 求曲线在点P(1，－2)处的切线方程；

(2) 求过点Q(2，－6)的曲线y ＝f(x)的切线方程．

【例2】 已知函数f(x)＝(x －k)e x . (1) 求f(x)的单调区间；

(2) 求f(x)在区间[0,1]上的最小值．

【例3】 (2009·山东)两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建

在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.

(1) 将y 表示成x 的函数；

(2) 讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离，若不存在，说明理由．

【例4】 (2011·苏北四市三模)已知函数f(x)＝ax 2＋lnx ，f 1(x)＝16x 2＋43x ＋5

9lnx ，f 2(x)

＝1

2

x 2＋2ax ，a ∈R . (1) 求证：函数f(x)在点(e ，f(e))处的切线恒过定点，并求出定点坐标； (2) 若f(x)＜f 2(x)在区间(1，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围；

(3) 当a ＝2

3时，求证：在区间(1，＋∞)上，满足f 1(x)＜g(x)＜f 2(x)恒成立的函数g(x)有

无穷多个．

1. (2011·湖南)曲线y ＝

sinx sinx ＋cosx －1

2

在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为________．

2.(2009·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________.

3.(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝

4

e x

＋1

上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．

4.(2011·福建)若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________．

5.(2011·江西)设f(x)＝－13x 3＋1

2

x 2＋2ax.

(1) 若f(x)在⎝⎛⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围；

(2) 当0

3，求f(x)在该区间上的最大值．

6.(2010·辽宁)已知函数f(x)＝(a ＋1)lnx ＋ax 2＋1. (1) 讨论函数f(x)的单调性；

(2) 设a<－1.如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f(x 1)－f(x 2)|≥4|x 1－x 2|，求a 的取值范围．

(2011·南京三模)(本题满分16分)已知函数f(x)＝x 3＋x 2－ax(a ∈R )

(1) 当a ＝0时，求与直线x －y －10＝0平行，且与曲线y ＝f(x)相切的直线方程； (2) 求函数g(x)＝f (x )

x

－alnx(x>1)的单调递增区间；

(3) 如果存在a ∈[3,9]，使函数h(x)＝f(x)＋f ′(x)(x ∈[－3，b])在x ＝－3处取得最大值，试求b 的最大值．

解：(1) 设切点为T(x 0，x 03＋x 02)，由f ′(x)＝3x 2＋2x 及题意得3x 02＋2x 0＝1(2分)

解得x 0＝－1或x 0＝1

3，所以T(－1,0)或T ⎝⎛⎭⎫13，427， 所以切线方程为x －y ＋1＝0或27x －27y －5＝0，(4分)

(2) 因为g(x)＝x 2＋x －a －alnx(x>1)，所以由g ′(x)＝2x ＋1－a

x >0得2x 2＋x －a>0(6分)

令φ(x)＝2x 2＋x －a(x>1)，因为φ(x)在(1，＋∞)递增，所以φ(x)>φ(1)＝3－a.当3－a ≥0，即a ≤3时，g(x)的增区间为(1，＋∞)；(8分)

当3－a<0即a>3时，因为φ(1)＝3－a<0，所以φ(x)的一个零点小于1，另一个零点大于1，由φ(x)＝0得x 1＝－1－1＋8a 4<1，x 2＝－1＋1＋8a

4

>1，从而φ(x)>0(x>1)的解集为

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－1＋1＋8a 4，＋∞

即g(x)的增区间为⎝

⎛⎭

⎪⎫

－1＋1＋8a 4，＋∞.(10分)

(3) h(x)＝x 3＋4x 2＋(2－a)x －a ，h ′(x)＝3x 2＋8x ＋(2－a)．因为存在a ∈(3,9]，令h ′(x)＝0，得x 1＝－4－3a ＋103，x 2＝－4＋3a ＋10

3

，所以要使h(x)(x ∈[－3，b])在x ＝－3处

取得最大值，必有⎩

⎪⎨⎪⎧

x 1≤－3，

x 2>－3，解得a ≥5，即a ∈[5,9](13分)

所以存在a ∈[5,9]使h(x)(x ∈[－3，b])在x ＝－3处取得最大值的充要条件为h(－3)≥h(b)

即存在a ∈[5,9]使(b ＋3)a －(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0成立．因为b ＋3>0所以9(b ＋3)－(b 3＋4b 2＋2b －3)≥0，即(b ＋3)(b 2＋b －10)≤0，解得－1－412≤b ≤－1＋41

2，所以b 的最大值为

－1＋41

2

(16分)