2017-2018学年高中数学北师大必修2课时跟踪检测：(十三) 球 Word版含解析

课时跟踪检测（十三） 球

层级一 学业水平达标

1．直径为6的球的表面积和体积分别是( ) A ．36π，144π B ．36π，36π C ．144π，36π

D ．144π，144π

解析：选B 球的半径为3，表面积S ＝4π·32＝36π，体积V ＝4

3π·33＝36π.

2．两个半径为1的铁球，熔化成一个大球，这个大球的半径为( ) A ．2 B. 2 C.3

2

D.12

34 解析：选C 设熔化后的球的半径为R ，则其体积是原来小球的体积的2倍，即V ＝4

3πR 3

＝2×43

π×13，得R ＝32.

3．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为( )

A ．2∶1

B ．2∶3

C ．2∶π

D ．2∶5

解析：选A 设半球的半径为r ，圆锥的高为h ， 则13πr 2h ＝43πr 3×12， 所以h ＝2r ，故选A.

4．棱长为2的正方体的外接球的表面积是( ) A ．8π B ．4π C ．12π

D ．16π

解析：选C 正方体的体对角线长为23，即2R ＝23，∴R ＝3，S ＝4πR 2＝12π. 5．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )

A ．9π

B ．10π

C ．11π

D ．12π

解析：选D 由主视图可知，该几何体的上部分是半径为1的球，下部分是底面半径为1，高为3的圆柱．由面积公式可得该几何体的表面积S ＝4π×12＋2π×12＋2π×1×3＝12π.

6．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为________． 解析：设此球的半径为R ，则4πR 2＝4

3πR 3，R ＝3.

答案：3

7．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．

解析：由三视图，易知原几何体是个半球，其半径为1，S ＝π×12＋1

2×4×π×12＝3π.

答案：3π

8．两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________． 解析：设大、小两球半径分别为R ，r ，

则⎩⎪⎨⎪⎧

R －r ＝1，4πR 2－4πr 2

＝28π，

所以⎩⎪⎨⎪⎧

R ＝4，r ＝3.

所以体积和为43πR 3＋43πr 3＝364π3

.

答案：

364π

3

9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．

解：该组合体的表面积

S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43πr 3＋πr 2l ＝4

3π×13＋

π×12×3＝13π

3

.

10．若一个底面边长为6

2

，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体积和表面积．

解：在底面正六边形ABCDEF 中，如图，连接BE ，AD 交于点O ，连接BE 1，则BE ＝2OE ＝2DE ，所以BE ＝6，

在Rt △BEE 1中， BE 1＝

BE 2＋E 1E 2＝23，

所以2R ＝23，则R ＝3， 所以球的体积V 球＝4

3πR 3＝43π，

球的表面积S 球＝4πR 2＝12π.

层级二 应试能力达标

1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )

A ．4π

B ．8π

C ．12π

D ．20π

解析：选D 由三视图可知，该几何体为底面半径是2，高为2的圆柱体和半径为1的球体的组合体，则该几何体的表面积为4π×12＋2π×22＋4π×2＝20π.

2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )

A.81π4 B ．16π C ．9π

D.27π4

解析：选A 如图所示，设球半径为R ，底面中心为O ′且球心为O ， ∵正四棱锥P -ABCD 中AB ＝2，

∴AO ′＝ 2. ∵PO ′＝4，

∴在Rt △AOO ′中，AO 2＝AO ′2＋OO ′2， ∴R 2＝(2)2＋(4－R )2，解得R ＝9

4

，

∴该球的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫942＝81π

4，故选A.

3．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A.8π3 B.32π3 C ．8π

D.82π3

解析：选C 设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1，

∴截面圆的面积为S ＝π(R 2－1)2＝(R 2－1)π＝π，

∴R 2＝2，

∴球的表面积S ＝4πR 2＝8π.

4．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A ．200＋9π

B ．200＋18π

C ．140＋9π

D ．140＋18π

解析：选A 这个几何体由上、下两部分组成，下半部分是一个长方体，其中长、宽、高分别为6＋2＋2＝10,1＋2＋1＝4,5；上半部分是一个横放的半圆柱，其中底面半径为6

2＝3，

母线长为2，

故V ＝10×4×5＋1

2

π×32×2＝200＋9π.

5．(天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π

2

，则正方体的棱长为________．

解析：设球半径为R ，正方体棱长为a ，则V 球＝43πR 3＝92π，得到R ＝3

2，正方体体对角

线的长为3a ＝2R ，则a ＝3，所以正方体棱长为 3.

答案： 3

6．(全国卷Ⅰ)已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH ∶HB ＝1∶2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为________．

解析：如图，设球O 半径为R ，则BH ＝4

3R ，OH ＝R 3，截面圆半径

设为r ，则πr 2＝π，r ＝1，即HC ＝1，由勾股定理得R 2－⎝⎛⎭⎫R 32＝1，R 2

＝98，S 球＝4πR 2＝92

π. 答案：92

π

7．如图所示，半径为R 的半圆内的阴影部分以直径AB 所在直线为轴，

旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积．(其中∠BAC ＝30°)

解：如图所示，