向量知识点归纳与常见题型总结

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根据向量知识点总结及题型归纳

根据向量知识点总结及题型归纳一、向量的基本概念向量是由大小和方向确定的物理量，用箭头表示。

向量有两个重要特征：模和方向，用 |v| 和→v 表示。

A、向量的模：向量的模表示向量的大小或长度，用数值表示。

B、向量的方向：向量的方向表示从起点指向终点的直线方向，一般用角度或方向余弦表示。

二、向量的加减法A、向量的加法：向量相加按照平行四边形法则进行，首尾相接，和向量的起点为第一个向量的起点，终点为最后一个向量的终点。

即 A + B = C，表示从向量 A 的起点到向量 B 的终点的向量 C。

B、向量的减法：向量相减等于将减去的向量的方向反向，然后与要减的向量相加。

即 A - B = A + (-B)，表示由向量 A 的起点到向量 B 的终点的负向量。

三、向量的数量积和向量积A、向量的数量积：向量的数量积是两个向量的模和它们的夹角的余弦的乘积。

记作A·B = |A||B|cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。

B、向量的向量积：向量的向量积是两个向量的模和它们的夹角的正弦的乘积。

记作A×B = |A||B|sinθ，其中 |A| 和 |B| 分别表示两个向量的模，θ表示两个向量的夹角。

四、向量的题型归纳1、向量的加减法题：根据给定的向量，进行向量的加法或减法运算。

2、向量的数量积题：根据给定的向量，计算向量的数量积及其性质。

3、求模问题：根据已知的向量的模和方向，求解未知向量的模。

4、夹角问题：根据已知的向量和夹角，计算向量的数量积或向量的向量积。

5、平行四边形问题：根据已知的向量和平行四边形的性质，判断向量的关系。

6、垂直问题：根据已知的向量和垂直性质，判断向量的关系。

7、三角形面积问题：根据已知的向量，计算三角形的面积。

8、平面问题：根据已知的向量和平面的性质，判断向量的关系。

以上是根据向量的基本概念、加减法、数量积和向量积等知识点总结的，包括了常见的向量题型归纳。

向量知识点及题型总结

向量知识点及题型总结一、向量的定义和性质1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。

2. 向量的性质：- 向量的模长：向量的大小，用 ||a|| 表示，是向量的长度。

- 向量的方向：指向的方向，可以用夹角来表示。

- 向量的相等：如果两个向量的模长相等并且方向相同，那么这两个向量是相等的。

- 零向量：模长为0的向量，表示为0。

二、向量的表示及运算1. 向量的表示方式：- 平面向量：即二维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2)。

- 空间向量：即三维向量，用坐标表示；例如向量 a = (a1, a2, a3)。

2. 向量的基本运算：- 向量的加法：向量相加就是对应分量相加；例如 a + b = (a1 + b1, a2 + b2)。

- 向量的减法：向量相减就是对应分量相减；例如 a - b = (a1 - b1, a2 - b2)。

- 向量的数量乘法：向量乘以一个数，就是将向量每个分量都乘以这个数；例如 k * a = (k * a1, k * a2)。

- 向量的点乘：向量的点乘又称数量积，是两个向量对应分量相乘再相加的运算；例如 a·b = a1*b1 + a2*b2。

- 向量的叉乘：向量的叉乘又称向量积，只存在于三维空间中，结果是垂直于原来两个向量的新向量；例如 a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。

三、向量的应用1. 向量的几何意义- 向量的加法和减法可以表示平移和反向平移。

- 向量的数量积可以表示两个向量的夹角和投影。

- 向量的叉乘可以表示平行四边形的面积和法向量。

2. 向量的物理意义- 位移向量：表示物体的位移和移动方向。

- 力向量：表示物体受到的力和力的方向。

- 速度向量：表示物体的速度和运动方向。

- 加速度向量：表示物体的加速度和加速方向。

四、向量的题型1. 向量的基本运算题型- 求向量的模长和方向。

向量知识点总结

向量知识点总结一、向量的概念1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头或字母表示，例如AB或a。

向量的大小叫做模，通常用||a||表示。

2. 向量的表示(a1, a2, ..., an)可以表示一个n维的向量，其中a1, a2, ..., an分别表示向量在各个坐标轴方向上的分量。

3. 向量的相等两个向量相等的充分必要条件是它们的模相等，并且各个对应的分量相等。

二、向量的运算1. 向量的加法若A(x1, y1)和B(x2, y2)是平面上两个向量，那么A+B=(x1+x2, y1+y2)表示两个向量的和。

2. 向量的数量积设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，则A·B=x1*x2+y1*y2称为向量A与向量B的数量积。

数量积的值等于A的长度与B在A方向上的投影的长度之积。

3. 向量的向量积设向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则A×B=(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)称为向量A与向量B的向量积。

向量积的模等于A与B所在的平行四边形的面积。

4. 向量的数量积和向量积的区别数量积是标量，向量积是向量；数量积是满足交换律的，向量积不满足交换律。

三、向量的线性运算1. 向量的线性组合若a1, a2, ..., an是n个向量，c1, c2, ..., cn是n个数，那么c1a1+c2a2+...+cna_n称为向量a1, a2, ..., an的线性组合。

2. 线性相关与线性无关如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0有非零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性相关；如果方程c1a1+c2a2+...+cna_n=0只有零解，那么向量a1, a2, ..., an成为线性无关。

3. 线性相关与线性无关性质如果n个向量线性相关，那么它的某一个部分线性相关；如果n个向量线性无关，那么它的任何部分都是线性无关的。

向量题型知识点总结归纳

向量题型知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序数对(a, b)，称为向量的坐标，其中a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y 轴上的投影。

2. 向量的表示向量通常用字母加上箭头来表示，如→AB。

在数学中，向量常用字母加上上方的横线来表示，如a。

若向量a在平面直角坐标系中的终点坐标为(x, y)，则向量a可记作a = (x, y)。

3. 向量的模向量的模是表示向量大小的量，通常用两点间的距离来表示。

在直角坐标系中，向量a = (a1a1) 的模记作|a| = √(a1^2 + a1^2)。

4. 向量的方向向量的方向通常用夹角来表示，夹角是指向量与x轴正方向之间的角，通常用θ来表示。

在直角坐标系中，向量的方向可由tan ⁡θ = y/x来表示。

二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的加法通常是分别将两个向量的对应坐标相加，例如a + a = (a1 + a2，a1 + a2)。

2. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。

在直角坐标系中，向量的减法可以表示为a - a = (a1 - a2, a1 - a2)。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，表示为a·a（读作a点b），定义为a·a = |a| |a| cos a = aaaa + aaaa，其中a是a和b之间的夹角。

4. 向量的矢量积向量的矢量积又称为叉积，表示为a×a（读作a叉b），定义为a×a = |a| |a| sin a n，其中n是一个垂直于a和b的单位向量。

三、向量的应用1. 向量在物理中的应用向量在物理学中有广泛的应用，例如速度、加速度、力等物理量都可以用向量来表示。

通过向量的运算，可以方便地计算物理问题中涉及到的各种力和速度等物理量。

向量知识点与公式总结

向量知识点与公式总结一、向量的基本概念1. 向量的定义：向量是具有大小和方向的物理量，通常用一个箭头表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。

2. 向量的表示：通常用字母加上一个箭头表示向量，如a、b、c等，也可以用粗体字母表示向量，如a、b、c等。

3. 向量的模：向量的大小叫做模，通常用|a|表示，表示向量a的大小。

4. 向量的方向：向量的方向是指向量所在的直线的方向。

通常用角度来表示，如θ，表示与x轴的夹角。

5. 坐标表示：向量也可以用坐标来表示，如(a₁, a₂, a₃)表示三维空间中的一个向量。

6. 零向量：大小为零的向量叫做零向量，通常用0表示。

7. 平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，那么它们就是平行向量。

8. 共线向量：如果两个向量在同一条直线上，那么它们就是共线向量。

二、向量的运算1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新的向量。

表示为a + b = c，其中c的分量是a和b的分量相加得到的。

2. 向量的减法：向量的减法是指将一个向量的分量减去另一个向量的分量得到一个新的向量。

表示为a - b = c，其中c的分量是a和b的分量相减得到的。

3. 向量的数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个数量得到一个新的向量。

表示为ka = b，其中b的分量是a的每个分量乘以k得到的。

4. 内积：两个向量a和b的内积表示为a·b，它等于a与b的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

内积的计算公式为a·b = |a||b|cosθ。

5. 外积：两个向量a和b的外积表示为a×b，它等于一个新的向量，它的大小等于a与b 所构成的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所构成的平面。

三、向量的性质1. 方向性：向量有方向性，即向量的方向是它的一个重要特征。

2. 大小性：向量有大小性，即向量有模，它的大小可以用模来表示。

向量题型知识点总结大全

向量题型知识点总结大全一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是具有大小和方向的几何量，通常用有向线段表示。

在数学上，向量通常用粗体字母或者用字母上加箭头来表示，如a或者→a。

2. 向量的表示方法向量有多种表示方法，包括（a1, a2, a3）、a→、|a|等形式。

其中（a1, a2, a3）是向量在空间直角坐标系中的坐标表示，a→表示向量的有向线段，|a|表示向量的模长。

3. 向量的运算向量有加法、数乘等运算法则，其基本概念如下：（1）向量的加法：若a→=(x1, y1)、b→=(x2, y2)，则a→+b→=(x1+x2, y1+y2)。

（2）数乘：若k为实数，则ka→=(kx, ky)。

4. 向量的特点向量除了具有大小和方向外，还有以下特点：（1）平行向量：具有相同或相反方向的向量称为平行向量。

（2）共线向量：所有在同一条直线上的向量称为共线向量。

（3）相等向量：模长相等且方向相同的向量称为相等向量。

二、线性相关与线性无关1. 线性相关若存在不全为0的实数k1、k2，使得k1a→+k2b→=0，其中a→、b→为非零向量，则称a→、b→线性相关。

2. 线性无关若对于任意的实数k1、k2，只有k1=k2=0时，才有k1a→+k2b→=0，则称a→、b→线性无关。

3. 线性相关与线性无关的判定线性相关与线性无关的判定方法有以下几种：（1）行列式判定法设a→、b→线性相关，当且仅当行列式|a→, b→|=0。

（2）向量加法判定法设a→、b→线性相关，当且仅当a→+b→、a→-b→、2a→-3b→都线性相关。

三、向量的数量积1. 定义向量数量积，也称为内积或点积，是指两个向量的数量相乘后相加的运算，通常用a→·b→或(a,b)表示。

2. 运算法则设a→=(x1, y1)、b→=(x2, y2)，则a→·b→=x1x2+y1y2。

3. 几何意义向量的数量积有很强的几何意义，具体表现在：（1）夹角公式：cosθ=a→·b→/|a||b|。

向量高考必考知识点总结

向量高考必考知识点总结一、向量的定义向量是数学中一个非常重要的概念，它是一个有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。

在高等数学中，向量通常表示为一个有序组(a1,a2)，其中a1和a2分别是向量在x 轴和y轴上的分量。

向量的大小通常用|a|表示，在坐标系中表示为一个有向线段，其方向由起点指向终点，表示为→a。

二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法定义为两个向量的对应分量相加，即(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)。

在坐标系中，向量的加法就是将两个向量首尾相连的结果，即平行四边形的对角线。

2.向量的数乘向量的数乘定义为一个数与向量的每一个分量相乘，即k*(a1,a2)=(k*a1,k*a2)。

数乘后得到的向量与原向量的方向相同，但大小有所改变。

3.向量的减法向量的减法定义为两个向量的对应分量相减，即(a1,a2)-(b1,b2)=(a1-b1,a2-b2)。

在坐标系中，向量的减法就是将与减去的向量方向相反但大小相同的向量相加。

4.向量的线性组合向量的线性组合指的是通过向量的加法和数乘得到的新向量，即k1*a1+k2*a2+...+kn*an。

线性组合在数学中有很重要的应用，特别在矩阵和线性代数中。

三、向量的数量积1.数量积的定义向量的数量积也称为内积，它表示为a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b 的大小，θ表示a和b之间的夹角。

数量积的结果是一个标量，即一个大小和方向都不具有的量。

2.数量积的性质（1）对称性：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数量积和数乘的结合：(ka)·b=k(a·b)3.向量的数量积应用数量积在几何中有很多重要的应用，比如求向量的夹角、向量的投影、判断点和线段的位置关系等。

四、向量的几何运算1.向量的模向量的模表示向量的大小，通常表示为|a|。

高中数学平面向量知识点总结及常见题型

高中数学平面向量知识点总结及常见题型平面向量一、向量的基本概念与基本运算1.向量的概念：向量是既有大小又有方向的量。

向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。

③单位向量：模为1个单位长度的向量。

向量a为单位向量｜a｜＝1.④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。

由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为a b。

大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2.2.向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。

1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。

3.向量的减法①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作a。

零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0.iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0.向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

向量知识点总结及例题讲解

向量总复习及相关例题第一节向量【知识点】：一、向量概念：1、向量：既有方向，又有大小的量叫做向量；注意向量与数量的区别。

2、零向量：长度为零的向量叫零向量；记作0；注意零向量的方向是任意的。

3、单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。

ι，j 为两个互相垂直的单位向量。

4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量a ，b 相等，记作b a =。

二、共线向量：共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等则一定共线。

【相关例题】：1、下列各量中哪些是向量？哪些不是向量？说明理由（1）、密度（2）、湿度（3）、浮力（4）、价格2、下列命题中不正确的是（）A 、0没有方向B 、0只与0相等C 、0的模为0D 、0与任何向量共线3、下列命题：（1）、向量就是有向线段；（2）、单位向量都相等；（3）四边形ABCD 中，AD BC =是ABCD 为平行四边形的充要条件；（4）；其中正确的命题序号是4、如图：D 、E 、F 分别是正ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则1）、与DE 2）、与DE 3）、与FC第二节向量的加法与减法【知识点】：=注意：1、)yy,xx(ba),y,x(b),y,x(a21212211+++=＝则＝若;2、BCABAC+=;若OA)yy,xx(b21212211--＝；2、()aa,AOOA--=-=；3、OAOBAB-=;三、向量加减法的运算律：1、交换率：abba+=+；2、结合律：)cb(ac)ba(cba++=++=++)cb(ac)ba(cba+-=--=--四、向量加减法的平行四边形法则：若aAB=，bAD=，则baAC+=，baDB-=,；其几何意义如下表示：【相关例题】：1、化简下列各式：1、DACDBCAB+++2、)()(CDBCDBAB+++3、ABADBC+-4、)()(QPNPMQMN-+-5、ADODOA+-6、MPMNQPNQ-++2、如图，一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，求船实际航行的速度和方向；3、如图，点B 是平行四边形ACDE 外一点，且a AB ＝，b AC ＝，c AE ＝，用c b a ,,，表示向量CD BC BD ,,和CE 。

向量知识点归纳总结

向量知识点归纳与常见题型总结1．与向量概念有关的问题⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义.⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2x 2y ＝1（可用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.特别：||ABAB →→表示与AB →同向的单位向量。

例如：向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；例1、O 是平面上一个定点，A 、B 、C 不共线，P 满足()[0,).|||AB AC OP OA AB ACλλ=++⋅∈+∞则点P 的轨迹一定通过三角形的内心。

(变式)已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →|=12 , 则△ABC 为( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形 (06陕西)⑸0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数. ⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

)2．与向量运算有关的问题⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.（三角形法则和平行四边形法则） ①当两个向量a 和b 不共线时，+a b 的方向与a 、b 都不相同，且|+a b |＜|a |＋|b |； ②当两个向量a 和b 共线且同向时，+a b 、a 、b 的方向都相同，且=+||b a ||||b a +； ③当向量a 和b 反向时，若|a |＞|b |，b a +与 a 方向相同，且|b a +|=|a |-|b |；若|a |＜|b |时,b a +与b 方向相同，且|a ＋b |=|b |-|a |.⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。

高一向量知识点总结及题型归纳

高一向量知识点总结及题型归纳一、向量的基本概念及表示方法向量是数量和方向共同决定的物理量，常用箭头表示。

记作→AB 或者AB。

二、向量的性质1. 向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同。

2. 零向量：长度为0的向量，记作→0。

3. 负向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量。

4. 平行向量：方向相同或者相反的两个向量。

5. 对于平行向量→a和→b，存在实数k，使得→a=k→b，即两个向量与一个非零实数的乘积仍然是平行的。

6. 共线向量：在同一直线上的向量。

7. 单位向量：长度为1的向量。

三、向量的运算1. 向量的加法：按照三角形法则进行，即把两个向量头尾相连形成一个三角形，以三角形第三个顶点为和向量的起点，起点与末端为和向量的末端。

2. 向量的减法：-→AB=→BA。

即减去一个向量与加上一个负向量的结果。

3. 数乘：即给向量的长度乘以一个实数，得到新的向量。

四、向量的线性运算1. 两个向量的线性组合：使两个向量分别乘上一个实数，然后相加。

2. 线性相关与线性无关：对于向量组V={→a1,→a2,...,→an}，如果存在一组不全为零的数k1,k2,...,kn，使得k1→a1+k2→a2+⋯+kn→an=→0成立，则向量组线性相关；否则，线性无关。

3. 线性组合：对于向量组V={→a1,→a2,...,→an}和一组实数k1,k2,...,kn，V的线性组合即为k1→a1+k2→a2+⋯+kn→an。

五、向量的数量积1. 数量积定义：→a⋅→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。

2. 数量积的性质：- 结合律：(k→a)⋅→b=k(→a⋅→b)=→a⋅。

k→b- 分配律：→a⋅(→b+→c)=→a⋅→b+→a⋅→c- 对于平行向量，→a⋅→b=|→a||→b|六、向量的空间几何意义1. 向量共线：→a与→b共线，当且仅当存在实数k，使得→a=k→b。

2. 向量垂直：→a与→b垂直，当且仅当→a⋅→b=0。

向量知识点题型归纳

专题--平面向量1.向向量的相关概念、、2.向量的线性运算二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量的坐标，＝(),x y 叫做向量的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。

如（1）若(1,1),a b ==r r (1,1),(1,2)c -=-r ，则c =r ______ （答：1322a b -r r）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A. 12(0,0),(1,2)e e ==-u ru u rB. 12(1,2),(5,7)e e =-=u r u u rC. 12(3,5),(6,10)e e ==u r u u rD. 1213(2,3),(,)24e e =-=-u r u u r（答：B ）；（3）已知,AD BE u u u r u u u r 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==u u u r r u u u r r ,则BC uuu r可用向量,a b r r 表示为_____ （答：2433a b +r r）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是（答：0）四．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=r r 当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=r r，注意：λ≠0。

高一数学向量知识点以及典型例题

平面向量知识点回顾一、向量的概念（1）向量的基本要素：大小和方向.（2）向量的表示：几何表示法AB ；字母表示：a ；坐标表示法(,)x i y j x y α→→=⋅+⋅=. （3）向量的长度：即向量的大小，记作2a x y =+（4）特殊的向量：零向量a ＝O｜a ｜＝O . 单位向量a 为单位向量｜a ｜＝1.（5）相等的向量：大小相等，方向相同12112212(,)(,)x x x y x y y y =⎧=⇔⎨=⎩（6）相反向量：0a b b a a b =−⇔=−⇔+=（7）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a ∥b .平行向量也称为共线向量.二、向量的运算法则（1）加法a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AB BC AC +=注：向量的加法口诀：首尾相连，首连尾，方向指向末向量。

（2）减法()a b a b −=+− （减法可以变成加法来计算，因此加法的相关运算法则减法也适用）AB BA =− OB OA AB −=注：向量的减法口诀：首首相连，尾连尾，方向指向被减向量。

（3）数乘()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=注：1.a λ是一个向量,满足:a a λλ=；2.λ>0时, a λ与a 同向; λ<0时, a λ与a 异向; λ=0时,0a λ=.（4）数量积a b b a ⋅=⋅()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅()22a a =a b a b ⋅≤注：1.a b ⋅是一个数；2.00a b ==或时，0a b ⋅=；3. 00a b ≠≠且时，()cos ,,a b a b a b θθ⋅=是之间的夹角三、向量的直角坐标系运算法则 ()11,a x y =，()22,b x y =（1）加法()1212,a b x x y y +=++（2）减法()1212,a b x x y y −=−−（3）数乘()11,a x y λλλ=（4）数量积1212a b x x y y ⋅=+21a x y =+四、重要的定理以及公式（应用）（1）平面向量基本定理1e ，2e 是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数12,λλ，使112a e e λλ=+.注：1.我们把不是共线的1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；2.基底不是唯一的，关键是不是共线；3.由定理可以将平面内任一a 在给出基底1e ，2e 的条件下进行分解；4.基底给定时，分解形式是唯一的，12,λλ是被a 、1e ，2e 唯一确定的数量。

高一向量知识点总结及例题

高一向量知识点总结及例题一、向量的概念1. 向量的定义：有向线段叫做向量向量的定义：具有大小和方向的量称为向量2. 向量的表示：一般用小写英文字母加上上方有箭头的符号表示向量，如a→（读作“a矢”）表示一个向量3. 特殊向量：零向量，单位向量零向量：方向任意，但模长为零的向量称为零向量，用0→表示单位向量：模长为1的向量称为单位向量4. 向量的性质：平行向量，共线向量二、向量的运算1. 向量的加法：平行四边形法则平行四边形法则：以向量的起点为顶点，则向量和为以这些向量为对角线的平行四边形的对角线。

2. 向量的减法：a-b=a+(-b)为a的负向量3. 向量的数乘：数c与向量a的积c倍c→4. 向量的夹角：若两向量a→和b→不共线，那么定义a→与b→的夹角α为0°≤α≤180°5. 向量的数量积：a•b=|a|•|b|•cosα6. 向量的数量积性质：（1）交换律：a•b=b•a（2）数量积的分配律：a•(b+c)=a•b+a•c（3）数量积的数乘结合律：(ca)•b=c(a•b)（4）|a•b|=|a|•|b|•cosα三、向量的坐标表示1，平面直角坐标系中的向量：（x1,y1）和（x2,y2）两点的向量为向量（x2-x1，y2-y1）2，向量的坐标与分解3，向量的坐标方向四、向量的应用1. 向量的应用：力，速度，位移2. 大小及方向的确定3. 用向量平行四边形的基本性质判定四边形的形状4. 向量的共线和共面例题：例1. 设向量a=(3,5)和向量b=(-2,4)，求向量a-b和向量b-a的坐标。

解：a-b=a+(-b)=（3,5）+(-2,-4) =(3-(-2),5-4)=(5,1)同理，b-a=b+(-a)=(-2,4)+(3,5)=(-2-3,4-5)=(-5,-1)例2：设a和b是非零向量，若|a•b|=|a|•|b|，则a、b的夹角取值为（）。

A. 45°B. 90°C. 135°D. 180°解：|a•b|=|a|•|b|cosα ，|a•b|=|a|•|b|时，cosα=1，所以α=0°。

(完整版)向量知识点归纳与常见题型总结

向量知识点概括与常有题型总结高三理科数学组全体成员一、向量知识点概括1．与向量见解有关的问题⑴向量不一样样样于数目，数目是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数目能够比较大小，而向量不可以够够比较大小，只有它的模才能比较大小 . 记号“ a ＞ b ”错了，而 | a | ＞ | b | 才存心义 .⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点没关 . 因为全部向量有其共性（大小和方向），故我们只研究与起点没关的向量（既自由向量） . 当碰到与起点有关向量时，可平移向量 .⑶平行向量（既共线向量）不用然相等，但相等向量必定是平行向量，既向量平行是向量相等的必需条件 .⑷单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（x, y ） , 此中 x 、 y 知足 x 2y 2 ＝ 1（可用（ cos,sin）（ 0≤ ≤ 2π）表示） . 特别：AB表示与 AB 同向的单位向量。

uuur uuur| AB |比方：向量 ( ABAC)(0) 所在直线过ABC 的心里 ( 是BAC 的角均分线所在uuuruuur| AB || AC |直线 ) ；uuur uuuruuur uuur( AB AC[0,).例 1、O 是平面上一个定点， A 、B 、C 不共线，P 知足OPOAuuur uuuur )| AB | | AC则点 P 的轨迹必定经过三角形的心里。

→ → → → → → → 1AB + ACAB AC = , 则△ ABC为 ( )(变式 )已知非零向量 AB 与 AC 知足 ( → → )·BC =0 且 → · → 2 |AB | |AC | |AB | |AC |A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形(06 陕西 )⑸ 0 的长度为 0，是有方向的，而且方向是随意的，实数0 可是是一个无方向的实数 .⑹有向线段是向量的一种表示方法，其实不是说向量就是有向线段.（ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

空间向量知识点总结及典型题

空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。

（一）空间向量的概念。

1. 定义。

- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

2. 表示方法。

- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。

3. 向量的模。

- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。

（二）空间向量的运算。

1. 加法。

- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。

- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。

2. 减法。

- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。

3. 数乘向量。

- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。

- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。

- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

（三）空间向量的坐标表示。

1. 坐标定义。

- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。

对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。

2. 坐标运算。

- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。

- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。

《向量》全章知识点总结及典型例题

平面向量模块一、平面向量的基本概念要点一、向量的定义与表示1、向量的概念：既有又有的量。

2、向量的表示：向量一般用a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗……来表示，或用的起点与终点的表示，如：AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ()()2211,,,y x B y x A ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗= .几何表示法AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，a ⃗；坐标表示法a ⃗注意：不能说向量就是有向线段，为什么？3、向量的模：向量的即向量的模（），记作|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|，｜a ⃗｜即向量的大小，向量比较大小，但向量的可以比较大小．要点二、特殊向量1、零向量：长度为0的向量，记为0⃗⃗，其方向是的。

注意：在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）2、单位向量：模为13、平行向量（共线向量）：方向的向量，称为平行向量，记作a ⃗∥b⃗⃗，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0⃗⃗)；④三点A B C 、、共线⇔AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗共线. 4、相等向量：且的向量，相等向量经过平移后总可以重合，记为a ⃗=⃗⎧=21x x ),(y x yj xi a =+=5、相反向量：长度方向的向量叫做相反向量. a ⃗的相反向量记作−a ⃗。

模块二、向量的线性运算要点三、向量的加法1、定义：2、向量加法的几何法则： “三角形法则”与“平行四边形法则”：当两个向量的时，用平行四边形法则；当两向量是时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+L +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+QR ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AR⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 3、向量加法的运算律：交换律和结合律。

向量知识点总结数列题型

向量知识点总结数列题型一、向量的基本概念1. 向量的定义向量是有向线段，可以表示物体的位移、速度、加速度等物理量，用于描述空间中的方向和大小。

2. 向量的性质（1）向量的大小：表示向量的长度或大小。

（2）向量的方向：表示向量的指向。

（3）零向量：大小为0的向量。

（4）平行向量：方向相同或相反的向量。

（5）共线向量：位于同一直线上的向量。

（6）向量的相等：两个向量的大小和方向相同。

二、向量的表示方式1. 分量表示将向量表示为坐标形式，如（3，4）表示位于x轴上3个单位，y轴上4个单位的向量。

2. 点表示用起点和终点表示向量，如AB表示向量，A为起点，B为终点。

3. 数学表示用字母表示向量，如a、b、c等。

三、向量的运算1. 向量的加法将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

2. 向量的减法将两个向量的对应分量相减得到新的向量。

3. 向量的数量积两个向量的数量积等于这两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积。

4. 向量的夹角通过向量的数量积可以求得向量的夹角，其余弦值等于向量的数量积除以向量的模的乘积。

四、向量的应用1. 直线的垂直平分线通过向量的知识可以求得直线的垂直平分线，通过计算向量的夹角来判断直线是否垂直或平行。

2. 空间几何在空间中，通过向量可以描述物体的位置、方向和速度等，可以用于解决空间几何问题。

3. 物理问题在物理学中，向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量，对于物理问题的分析和计算有很大的帮助。

五、向量数量积的应用1. 向量的投影通过向量的投影可以求得向量在某一方向上的投影长度，用于解决空间几何问题。

2. 平行四边形面积两个向量的数量积的绝对值等于这两个向量所在平行四边形的面积。

3. 已知向量的数量积求向量已知向量a和b的数量积以及一个向量a的大小和方向，求向量b的大小和方向。

六、向量叉积的应用1. 求向量的模通过向量叉积可以求得向量的模，用于解决空间几何问题。

2. 求向量的方向通过向量叉积可以求得新向量的方向，用于描述平面内的方向关系。

高中必修四向量知识点总结及高考题型总结

1 向量的知识点与高考应用及题型融合一,向量重要结论、及基础知识点公式总结(1)、向量的数量积定义:||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=, 22||a a aa ?==(2)、向量夹角公式:a 与b 的夹角为θ,则cos ||||a b a b θ?= (3)、向量共线的充要条件:b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈,使b a λ=。

(4)、两向量平行的充要条件:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -=(5)、两向量垂直的充要条件:向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y +=(6)、向量不等式:||||||a b a b +≥+,||||||a b a b ≥?(7)、向量的坐标运算:向量11(,)a x y =,22(,)b x y =,则a b ?=1212x x y y +(8)、向量的投影:︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ,称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 (9)、向量:既有大小又有方向的量。

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

相等向量:长度相等且方向相同的向量。

(10)、零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0 ?|a |=0由于0的方向是任意的,且规定0平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别)(11)、单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量?|0a |=1(12)、平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量注:解析几何与向量综合时可能出现的向量内容: (1) 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ,要会求出直线的斜率;(2)给出OB OA +与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; (3)给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点;(4)给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; (5)给出以下情形之一:①//;②存在实数,AB AC λλ=使;③若存在实数,,1,OC OA OBαβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线.(6) 给出λλ++=1OB OA ,等于已知P 是的定比分点,λ为定比,即λ= (7) 给出0=?MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m MB MA ,等于已知AMB∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角。