华东师大版数学九年级下册27.2例析切线的判定与证明方法

例析切线的判定与证明方法
判定一条直线是圆的切线，常用的方法有：
1．根据切线的定义，若一条直线与圆有唯一公共点，则这条直线是圆的切线．
3．根据切线的判定定理，若一条直线过半径外端，且垂直于这半径，则这条直线是圆的切线．
对于切线的判定定理的题设条件有二：一是直线过半径的外端(注意：不是过半径一端)；二是这条直线垂直于这半径，两者缺一不可．图1表示直线AB 的三种情况：
(1)AB垂直于半径OM；
(2)AB过半径OM一端点O，且AB垂直于OM；
(3)AB过半径的外端点M．它们都只各满足其中一个条件，故AB不是⊙O的切线．
证明一条直线是圆的切线时，常常要添画辅助线，其基本方法是：
1．若已知直线与圆有一个公共点，则连结这点和圆心(半径)，再证明这直线与这半径垂直．
例1 如图2，A 是⊙O 的半径OC 延长线上一点，且CA=OC ，弦BC=OC ． 求证：AB 是⊙O 的切线．
的切线．
例2 如图，△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ，点O 在线段AB 上，以O 为圆心、OB 为半径作圆交BC 于点D ，过点D 作
DE ⊥AC 于E ．DE
是圆O 的切线吗？
分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直． DE 是切线． 证明：连接OD ．
∵△ABC 是等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C ． 又∵OB ＝OD ， ∴∠B ＝∠1．
E D
C
O B
A
2
1E D
C
O B
A
∴∠1＝∠C．
而DE⊥AC，
∴∠C＋∠2＝90°．
∴∠1＋∠2＝90°．
∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径．
∴DE是圆O的切线．
2．若直线与圆没有明确公共点，则过圆心作该直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径．
例3如图3，AB是⊙O的直径，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别是C、D，且AC+BD=AB．求证：l是⊙O的切线．
简证：过O作OM⊥l，垂足为M，易知OM∥BD∥AC．由OA=OB，得CM=DM，于是可知OM是梯形ACDB的中位线，。