BBD2_7罗必塔法则
洛必达法则公式数学
洛必达法则公式数学洛必达法则公式可是数学里一个相当神奇的工具呢！在咱们探索微积分的奇妙世界时，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说啥是洛必达法则公式。
简单来讲，就是在一定条件下，对于形如“分子分母都趋于零或者无穷大”的极限问题，可以通过对分子分母分别求导来计算极限。
这就好比你在爬山，找不到直接上去的路，但是通过巧妙地换个方向、换个方式，就有可能轻松登顶。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太抽象了，感觉没啥用啊。
”我笑了笑，给他出了一道题：求当 x 趋近于 0 时，(sin x)/x 的极限。
他一开始想用常规方法，抓耳挠腮半天也没做出来。
然后我就引导他用洛必达法则，对分子分母分别求导，一下子就得出了答案是 1。
他那惊讶的表情，我到现在都还记得，眼睛瞪得大大的，嘴里直说：“哇，这也太厉害了！”洛必达法则公式的应用场景那可多了去了。
比如说在求解函数的渐近线问题上，它就能大显身手。
还有在一些复杂的物理问题中，涉及到速度、加速度等的计算，也常常能用到它。
咱们来具体看看它的公式形式：如果当 x 趋近于某个值 a 时，函数f(x)和 g(x)都趋近于 0 或者无穷大，那么极限lim(x→a) f(x)/g(x) 就等于lim(x→a) f'(x)/g'(x) ，只要这个右边的极限存在或者为无穷大。
这里的f'(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导数。
可别小看这个公式，虽然看起来简单，但用的时候得小心。
得先判断是不是满足使用条件，要是不满足就乱用，那可就得出错误答案啦。
再比如说，有一次考试出了一道这样的题：求当x 趋近于无穷大时，(x^2 + 2x + 1)/(2x^2 - 3x + 1) 的极限。
有些同学没判断条件就直接用洛必达法则，结果算错了。
其实这道题先把分子分母同时除以 x^2 ，然后再求极限会更简单。
高等数学——详解洛必达法则
高等数学——详解洛必达法则今天和大家一起复习的是洛必达法则，这个法则非常重要，在许多问题的解法当中都有出现。
虽然时隔多年，许多知识点都已经还给老师了，但是我仍然还记得当年大一的时候，高数老师在讲台上慷慨激昂的样子。
上篇文章当中我们回顾了微分中值定理，今天要说的洛必达法则其实是微分中值定理一个经典的应用。
所以有遗忘或者是新关注的同学可以点下下方的链接回顾一下上篇文章的内容。
一文讲透高数中的微分中值定理用处我们学习的目的往往很朴素，就是学以致用，之前的时候我总觉得这种想法有些现实，后来我发现很多学了不能致用的知识都忘得差不多了。
所以尽管我们的心态要放好，但是操作的时候可以实际一些，先从用处入手，也许能更好地理解也说不定。
洛必达法则的应用场景非常简单，就是能解决一些一下子无法求解的极限问题。
不知道大家有没有发现，不管在什么领域，总有一些一下子无法解决的问题。
伴随着对这些问题的研究，我们的技术和理论在不断的进步，工作在不断地简化，效率越来越高。
无论是数学上某个领域的突破还是计算机当中某些工具的迭代和演进，莫不如此。
我们之前介绍极限的文章当中讲过一道例题：在这题当中，由于x趋向于0的时候，sinx 和x都趋向于0，我们要计算0除以0的结果，当时为了解决这个问题，我们用上了夹逼法，对它进行了缩放之后才得到了极限。
类似的极限还有很多，本质上来说问题在于当分子和分母都趋向于0时，我们很难计算得到结果。
再比如x/x^2，这个问题很简单，只要进行约分，那么就是1/x 的极限，x趋向于0时，显然 1/x 趋向于无穷大。
但如果不约分呢？它就是一个极限0除以极限0的问题，和上面的结果不同，它的比值结果是无穷大。
洛必达法则就是为了解决上述这些极限问题而出现的。
定义洛必达法则的本质是一个定理，它规定，如果一个形如的极限，如果它满足：1.x趋向于常数a时，函数f(x)和F(x)都趋向于02.在点a的去心邻域内，f(x)和F(x)的导数都存在，并且F'(x) 不等于 03.存在 lim f'(x)/F'(x)那么：也就是当变量趋向于一个常数时，如果分子分母函数的导数存在，那么我们可以用导数的极限比值来代替原函数的比值。
洛必达法则和导数应用
验证极限存在性
使用洛必达法则后，需要验证得到的极限是否 与原函数的极限相等，以避免错误结论。
注意计算的复杂性和精度
洛必达法则在计算过程中可能会涉及复杂的运算和近似，需要注意计算的精度 和准确性。
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函数在某点的极值是指该点附近函数值的最小或最大值。
导数与极值的关系
函数的极值点一定是其导数为零的点，但导数为零的点不一定是 极值点。
判断极值的方法
通过求导数并令其为零，然后判断该点附近函数值的符号变化， 确定是否为极值点。
导数在曲线的凹凸性判断中的应用
凹凸性的定义
曲线在某段区间内是凹的或凸的，取决于其切线的斜率变 化。
角速度计算
角速度是描述刚体转动快慢的物理量， 可以通过导数计算刚体在某时刻的角速 度。例如，匀角速度转动的角速度等于 角度对时间的导数。
VS
角加速度计算
角加速度是描述刚体转动角速度变化快慢 的物理量，可以通过导数计算刚体在某时 刻的角加速度。例如，匀角加速转动的角 加速度等于角速度对时间的导数。
导数在电流和电压计算中的应用
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率。
详细描述
在二维坐标系中，函数在某一点的导数等于该点处切线的斜率。导数可以用来 分析函数图像的形状和变化趋势，如单调性、极值点和拐点等。
导数与函数单调性
总结词
导数可以用于判断函数的单调性。
详细描述
如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。因此，通过 求导并分析导数的符号，可以确定函数的单调性。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛必达法则
=
m(m为正整数), 则
lim
x→+∞
xα ex
= 0.
(2)当α不是正整数,则总有正整数k使α − k < 0,于是连续求k次导数后,
xα
有 lim x→+∞
ex
=
lim
x→+∞
αxα
ex
−1
=
=
lim
x→+∞
α
(α
−1)(α −
ex
k
+ 1)
⋅
xα
−k
=
lim
x→+∞
α
(α
−1)(α
xk −α e x
x→x0 g′(x)
x→x0 g(x) x→x0 g′(x)
2018/11/22
Edited by Lin Guojian
1
用该方法求极限有许多优点 :
(1) :当f (x), g(x)的零因子无法以(x − x0 )的幂形式表现出来时, f (x)
就不能用消去公因子来求 lim . x→x0 g(x)
x→0+
1 (−1) x −1
=
lim (−x) = 0.
x→0+
错解 : lim x ln x = lim x = lim 1 = lim[−x(ln x)2 ] = lim − x
x→0+
1 x→0+ ln x
x→0+
−
1 (ln x)2
1 x
x→0+
1 x→0+ (ln x)2
= lim
−1
= lim 1 x(ln x)3 = 1 lim x = 1 lim
洛必达法则的经济学应用
洛必达法则的经济学应用洛必达法则是经济学中的一种规律，描述的是个体所受到的某种资源的递减效应。
换言之，当逐渐增加某种资源的投入时，生产或产出会先呈现递增趋势，但随着一定时期的持续投入，增加效果会逐渐变弱，甚至最终变为递减状态。
这种规律在经济学领域有着广泛的应用，在本文中，我们将重点探讨洛必达法则在经济学方面的应用。
1. 洛必达法则在生产领域的应用在生产领域，洛必达法则经常被用于分析生产过程中劳动力、原材料、资本等要素的递减效应。
以劳动力为例，初始阶段增加几名工人会使生产效率增加，但是随着工人数量的增加，相同生产所需的单位劳动力成本逐渐升高，最后甚至导致生产效率的下降，因此生产过程中的人力配置要遵循洛必达法则。
同样，在原材料使用过程中，递减效应也十分突出。
以农业为例，如果每一平方米田地增加一倍的肥料，会在一定程度上促进作物生长，但是如果增加过多肥料，甚至可能会使作物生长变得不健康，从而影响庄稼的产量及质量，因此原材料的适度使用十分关键。
2. 洛必达法则在投资领域的应用在投资领域，洛必达法则也被广泛运用。
以金融市场为例，投资者通常会根据市场条件和自身需求，在资产组合中分配资金，获取收益。
然而，在洛必达法则的支配下，根据市场的情况和历史数据进行投资的效果并不稳定。
具体而言，当市场情况较好时，利润会随着投资额的增加而增加，但是随着投资额的不断增加，利润的增加速度会逐渐变缓，最终会进入递减的阶段，这时候继续增加投资将带来更高的风险，因此洛必达法则需要在投资决策中变得越来越重要。
3. 洛必达法则在市场推广领域的应用在市场推广领域，洛必达法则同样起着重要的作用。
市场推广的目的就是让消费者认知和接受新产品或新品牌，这一过程需要投入广告、宣传费用，以及推广人员的劳动力。
然而，根据洛必达法则的规律，推广费用的递减效应很快显现，初始阶段增加推广费用会有效地推广产品，但是费用一旦增加到一定数量，募集一个新的潜在用户的代价就会大于值得获得的推广效果，这时候递减效应将变得越来越明显，同时甚至会使消费者对广告产生反感情绪。
洛必达法则公式及条件
洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
大意为两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
扩展资料
洛必达法则公式及条件：
设函数f(x）和F(x）满足下列条件：
⑴x→a时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;
⑵在点a的某去心邻域内f(x）与F(x）都可导，且F(x）的导数不等于0;
⑶x→a时，lim(f'(x)/F'(x)）存在或为无穷大
则x→a时，lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x))
基本理解：
⑴本定理所有条件中，对x→∞的`情况，结论依然成立。
⑵本定理第一条件中，lim f(x)和lim F(x)的极限皆为∞时，结论依然成立。
⑶上述lim f(x)和lim F(x)的构型，可精练归纳为0/0、∞/∞；与此同时，下述构型也可用洛必达法则求极限，只需适当变型推导：0·∞、∞-∞、1的∞次方、∞的0次方、0的0次方。
（上述构型中0表示无穷小，∞表示无穷大。
）。
有关洛必达法则7页word
洛必达法则若0)(lim =→x f ax ，0)(lim =→x g ax ，则 )()(limx g x f ax → 称为00的待定型。
类似的待定型有：00，∞∞，∞⋅0，∞-∞，∞1，00，0∞。
xx x sin lim0→，x xx ln lim +∞→，x x x ln lim 0+→，)11(lim 22--+∞→x x x ， xx x 1)1(lim +→，x x x )(sin lim 0→，下面的洛必达(L 'hospital ，1661一1704)法则，有助于我们求解这类待定型的极限． 定理5.6 若(1) ()f x ,()g x 在(,)a a δ+可导且()g x '0≠，其中0δ>； (2) lim x a+→()f x ＝lim x a+→()g x ＝0；(3) lim x a +→()()f xg x ''＝A ，则 ()lim ()x a f x A g x +→=． 证明 补充定义()f a ＝()g a ＝0，则当x ∈(,)a a δ+时，用柯西中值定理()()f x g x ＝()()()()f x f a g x g a --＝()()f g ξξ''，a x ξ<<.当+→a x 时，a ξ+→，故 ()lim ()x af x Ag x +→= 定理5.6证完。
定理5.7 若(1) ()f x ，()g x 在(,)a +∞可导，且()g x '0≠，其中a 是某个实数； (2) lim x →+∞()f x ＝lim x →+∞()g x ＝0；(3) limx →+∞()()f xg x ''＝A ， )()(lim )()(lim x g x f x g x f a x a x ''=++→→在直观上是不难理解的：两个无穷小量的比等于它们变化速度的比．注1 极限A 可以是有限数，也可以是∞或∞±，结论仍成立。
洛必达法则
洛必达法则洛必达法则的诞生可以说是一次革命，它的出现改变了人们对实验数据评价的观念，使得科学研究更加准确、精准和可靠。
洛必达法则也叫洛必达不等式，它由统计学家约翰·洛必达于1876年提出。
这一方程式可用来确定一组形状及分布的实验观测值的可靠性。
除了实验室工作以外，洛必达不等式也可用于统计学家和经济学家们研究其他统计数据的合理性，例如选举统计以及市场价格的变动。
洛必达法则的原理源自形态学统计中的形态准则”，它即用来判断实验观测值是否与设定的模型有足够接近。
洛必达法则提出了一种检验机制，它允许统计学家们确定实验观测值的可靠性。
在观测记录完成后，科学家们只需要按照洛必达法则的规定，将观测的结果拟合到某一模型形状，就可以证明观测结果的可信度。
洛必达法则是依据实验来得出合理结论的一种有效方法，而它也为科学提供了新的方法，从而使科学研究更加有效率，更加严谨。
洛必达法则提供了一种可将观测值与预期值进行比较，从而得出正确结论的对比方法。
它也为科学家们提供了客观、完整的数据，这些数据不仅可以用来分析实验结果，还可以用来支持实践的应用。
洛必达法则的出现使实验中的大量数据获得了客观的评价，从而避免了由于盲从而导致的误判。
同时，它还可以帮助科学家们迅速的发现异常现象，并对其进行研究与分析，对于解决科学研究中的难题也有重大的帮助。
洛必达法则为实验数据的去偏、语义解释等科学研究带来重大影响，它将科学研究中的实验数据有效的运用起来，使得科学研究变得更加准确、精准和可靠。
同时，它更加便利了科学家们研究实验数据的过程，提高了实验数据分析的效率。
洛必达法则的诞生改变了人们对实验数据的认知，使得科学的研究变得更加精准、准确和可靠，它的出现增强了实验结果的可信度，让科学研究取得更多的成果。
因此，洛必达法则值得人们继续去探讨和研究，为科学研究提供更多有效的方法和帮助。
浅析洛必达法则求函数极限
用洛必达法则求未定式极限的方法一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围（一）洛必达法则定理定理1[1] 若函数)(x f 与函数)(x g 满足下列条件： （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）0)(lim 0=+→x f a x 0)(lim 0=+→x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim 0则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）定理2 若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件 （1）在a 的某去心邻域)(x v 内可导，且0)('≠x g （2）∞=+→)(lim 0x f a x ∞=+→)(lim 0x g a x（3）A x g x f a x =+→)(')('lim则A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim 00（包括A 为无穷大的情形）此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用：-∞→+∞→∞→→→→-+x x x x x x x x x ,,,,,000。
定理证明：作辅助函数⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x f x F 当当,0),,(),()(δ⎩⎨⎧=+∈=a x a a x x g x G 当当,0),,(),()(δ于是函数F(x)及G(x)在[δ+a a ,）连续，在()δ+a a ,可导，并且.0)('≠x G 今对()δ+a a ,内任意一点x ，利用柯西中值定理得).,(,)(')(')()()()()()(000x a x x G x F a G x G a F x F x G x F ∈=--= 由)()(x G x F 及的定义，上式即)(')(')()(00x g x f x g x f = 所以当0+→a x 时（这时显然有00+→a x ），对上式两端取极限，即A x g x f x g x f a x a x ==+→+→)(')('lim )()(lim0000证毕。
洛必达法则定义
洛必达法则定义洛必达法则是微积分中的一条重要定理，它被广泛应用于求解极限的问题。
其名称来源于法国数学家、物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯和约瑟夫·路易·拉格朗日，他们独立地发现了这个定理。
洛必达法则的定义如下：设函数f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内都可导，且g'(x)≠0，则lim[x->a] (f(x)/g(x)) = lim[x->a] (f'(x)/g'(x))换句话说，当一个函数的极限形式为“0/0”或“∞/∞”时，我们可以利用洛必达法则将其转化为一个等价的形式，即对函数的导数进行求解。
这条法则的关键在于对函数的导数运算。
假设f(x)和g(x)在某点a 的某个邻域内都可导，通过函数的导数我们可以得到以下推导：f'(x) = lim[h->0] (f(x+h) - f(x))/hg'(x) = lim[h->0] (g(x+h) - g(x))/h在使用洛必达法则时，我们计算这两个导数的极限，然后将结果代入到洛必达法则的等式中。
具体计算方法如下：1. 首先计算f(x)和g(x)在点a的函数值，即f(a)和g(a)。
2. 计算f'(x)和g'(x)。
3. 对f'(x)和g'(x)计算极限。
若极限存在且不为无穷大，记为L和M。
4. 若存在极限，则根据洛必达法则的等式 lim[x->a] (f(x)/g(x)) =L/M，将L和M代入。
5. 若L/M的极限存在，即lim[x->a] (f(x)/g(x))存在，则该极限即为原函数lim[x->a] (f(x)/g(x))的极限。
需要注意的是，洛必达法则只适用于形式为“0/0”或“∞/∞”的极限，且假设函数满足以上条件才能进行计算。
洛必达法则的应用范围非常广泛。
它可以用于解决各种求极限问题，特别是在处理不确定型的极限时非常有用。
数学历史上著名的“洛必达法则”，你知道是怎么产生的吗？
数学历史上著名的“洛必达法则”，你知道是怎么产生的吗？
相信很多学过微积分的朋友，都学过“洛必达法则”。
这可是个好东西，当你求极限碰到一个很复杂的公式时，往往那么上下同时求导就能算出结果。
虽然也会碰到一些不能求导的情况，但这种方法无疑给我们解题带来了极大的方便。
可是你知道吗？大名鼎鼎的“洛必达法则”，却不是洛必达发明出来的。
“洛必达法则”例题
故事发生在17世纪的欧洲，数学学科空前繁荣，整个社会表现出对数学的推崇和喜爱。
主人公洛必达出生于法国贵族家庭，家境优渥，自幼酷爱数学，并展现出了过人天赋。
后来，洛必达拜瑞士数学大师约翰.伯努利为师，成为其座下弟子。
值得一提的是洛必达为此所支付的薪酬是伯努利工资的两倍。
后来洛必达找到他：“亲爱的老师啊，你看你家里这么穷，不如把你的文章卖一份给我，你也赚点钱花，我也落得个美名，如何？”伯努利欣然接受：“好啊好啊！我这里还有好几份，你都买走吧！”
洛必达
于是洛必达在伯努利处陆陆续续买了数份文章，基于这些文章整理出版了《无限小分析》一书，书中提出了著名的算法“洛必达法则”，发表后轰动一时。
1704年，洛必达英年早逝，年仅43岁。
在他去世后，伯努利发声：“我才是‘洛必达法则’的真正创立者，只是当年洛必达给了不菲的报酬我才卖给了他，这个法则应该更名为‘伯努利法则’！”但遭到了人们的质疑：“你当初为了蝇头小利背叛了数学道德和良知，如今发声也只是为了利益而已。
”人们也不再理会他。
伯努利
如今有极少数学书称法则为“伯努利法则”，人们还是习惯称之为“洛必达法则”。
这可能是伯努利一生最后悔的一件事了。
洛必达法则例子
洛必达法则例子《洛必达法则例子：数学魔法的奇妙之旅》嘿，大家好呀！今天咱来聊聊这个让人又爱又恨的洛必达法则例子。
洛必达法则啊，就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能打开好多难题的大门。
记得有一次上课，老师就给咱出了一道看似超级复杂的极限题。
当时我一看，脑袋就嗡嗡的，这啥玩意儿啊，感觉比登天还难。
就在大家都愁眉苦脸、抓耳挠腮的时候，老师微微一笑，说：“嘿，来试试洛必达法则呀！”只见他老人家拿起粉笔，刷刷几笔，就用洛必达法则把那道难题给轻松解决了。
哇塞，当时我就觉得，这洛必达法则也太牛了吧！简直就是数学魔法啊！咱再说说一个例子哈，就像你在数学的森林里迷路了，到处都是荆棘和迷雾。
这时候洛必达法则就像一个指南针，一下子就给你指出了方向。
比如说有个极限问题，你怎么算都算不出来，感觉自己就像一只无头苍蝇到处乱撞。
但只要你想起了洛必达法则，就像是找到了救命稻草，哇，一下子就豁然开朗了。
有一回我自己在家做练习题的时候，碰到了一个特别难搞的极限。
我在那苦思冥想了半天，头发都快被我抓掉了一把。
突然，我脑子里灵光一闪，想起了洛必达法则。
我赶紧一试，嘿，还真行！那感觉，就像是你在黑暗中摸索了好久，突然一盏明灯亮起来了。
不过呢，这洛必达法则也不是万能的哈，有时候你用它可得小心，万一用错了地方，那可就闹出笑话了。
就像你拿着钥匙去开别人家的门，结果怎么也打不开，还怪钥匙不好使。
总之啊，这洛必达法则例子就像是数学世界里的一颗颗璀璨星星，给我们这些在数学海洋里漂泊的学子们带来了希望和光芒。
有时候遇到难题，别着急，想想洛必达法则，说不定就能柳暗花明又一村啦。
虽说它不是解决所有问题的灵丹妙药，但有了它，咱在数学的道路上确实能走得更顺畅一些。
哎呀，真是感谢发明这个法则的人啊，让我们能在数学的世界里尽情遨游，感受这独特的数学魔法的奇妙！哈哈，大家是不是也和我有一样的感受呢？。
洛必达法则的基本形式
洛必达法则的基本形式洛必达法则是微积分中非常重要的概念，它可以帮助人们求得在某一点附近的函数极限值。
起初，洛必达法则可能会让人感到困惑，因为它涉及到许多复杂的公式和概念。
但实际上，如果掌握了它的基本形式，就能轻松地理解和运用。
基本形式：0/0在洛必达法则中，一个重要的概念是不定式。
不定式是一个数学式子，它具有形式“函数f(x)除以函数g(x)”。
不定式的值可以是一个具体的数字，也可以是无穷大、无穷小或无极限。
在洛必达法则中，我们通常关注的是不定式的极限值。
在探究洛必达法则的基本形式之前，先来看一下不定式的一些例子。
例如：f(x) = x² - x，g(x) = x - 1，则不定式为f(x)/g(x) = (x² - x) / (x - 1)。
如果我们想求不定式在x = 1处的极限，即lim[x→1](x² - x) / (x - 1)，这个问题根本无法回答。
因为当x趋近于1时，分母趋近于0，分子也趋近于0，我们无法得出确切的答案。
这个时候，洛必达法则就派上用场了。
洛必达法则的基本形式为0/0。
当不定式的分子和分母在某一点附近同时趋近于0时，就可以使用洛必达法则来求得不定式的极限。
举个例子，如果让f(x) = sin(x)和g(x) = x，那么不定式为f(x)/g(x) = sin(x) / x。
我们可以发现，当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0。
而此时，不定式的极限值就可以通过洛必达法则求得：lim[x→0]sin(x)/x = lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0)/1 = 1在这个例子中，我们使用了洛必达法则来求解不定式的极限。
由于不定式的极限是0/0型的，所以我们对分子和分母同时求导数，并将所得的结果代入原式重新求解。
在这里，我们得到了不定式的导数为cos(x)/1，再求导一次就得到了极限值。
需要注意的是，只有当不定式满足基本形式0/0时，我们才可以采用这样的方法进行求解。
罗比达法则
解
x x x x( x x 1 1) x(e
2
( x 1) ln x
2
ln x ln
1 x 1 ~ ( x 1)2
xx x ( x 1) 2 lim 2 lim 1 2 x 1 ln x x 1 ( x 1)
f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
x a 或等, 定理也成立
注意：洛必达法则的使用条件:
充分条件
例
求
x cos x lim . x x
( )
解
1 sin x lim (1 sin x ). 原式 lim x x 1 极限不存在 洛必达法则失效。
第二节
洛必达法则
(或x , )时,
0 一、 型及 型未定式解法 0
a , a 如果当x a
两个函数 f ( x )与F ( x )都趋于零或都趋于无穷 大,
f ( x) 0 那末极限 lim 称为 或 型未定式. F ( x) 0
tan x 例如 lim , (0) x 0 x 0 ln sin ax a , b 0, ( ) lim x 0 ln sin bx
定理1 设(1) 当 x a时, 函数 f ( x ) 及 F ( x ) 都趋于零;
( 2) 在 a 点的某去心领域内, f ( x )及 F ( x ) 都存在 且 F ( x ) 0; f ( x ) ( 3) lim 存在(或为无穷大 ); x a F ( x )
f ( x) f ( x ) 那末 lim lim . x a F ( x ) x a F ( x )
高等数学《洛必达法则》课件
2. 若 lim f ( x) , lim g( x) ,
x x0
x x0
则称 lim f ( x) 为 型未定式 . xx0 g( x)
例如, lim tan x , x tan3 x
2
3. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) ,
x x0
x x0
例如, lim x ln x, x0
1 lim ( x0 x
1
e
x
), 1
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 1 型未定式.
x x0
1
6. 若 lim f ( x) 0, lim g( x) 例0,如, lim(cos x)x ,
x x0
x x0
x0
则称 lim[ f ( x)]g( x) 为 00 型未定式.
x x0
7. 若 lim f ( x) , lim g( x) 例0, 如, lim xsin x ,
x , x 该法则仍然成立.
(2) 若 lim f ( x)仍为0型未定式 ,且 f ( x) ,
xx0 g( x)
0
g( x)满足定理中f ( x), g( x)所满足的条件,则可
继续使用洛必达法则 , 即
f (x)
f ( x)
f ( x)
lim
lim
lim
.
xx0 g( x) xx0 g( x) xx0 g( x)
0
例9 求 lim xm ln x. （m>0） ( 0 ) x0+
解
原式
lim
x0
ln x xm
lim
x0
x1 m xm1
xm
lim x0
2.7 洛必达法则
( 在 x与 x0 之间)
f ( x) f ( ) f ( x ) lim lim lim . x x0 g ( x ) x0 g( ) x x0 g( x )
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§2.7
洛必达法则
0 f ( x ) lim 如果当 x x0时， x0 仍然是 型， x g ( x) 0
例9
求 lim x x .
x 0
解 原 式 lim e
x 0
x ln x
e x0
x 0
lim x ln x
x 1 x 2
ln x lim x 0 1 e x
e
lim
e 0 1.
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§2.7
洛必达法则
例10 解
tan x x 2 求 lim . x 0 x 1
洛必达法则的主要思想
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§2.7
洛必达法则
0 （ 型洛必达法则） 定理1 0 设 (1) lim f ( x ) 0, lim g( x ) 0;
x x0 x x0
( 2) f ( x ), g ( x )在点 x0的邻域内可导 , (点 x0处 可除外) ，且 g( x ) 0;
f ( x ) (3) lim 存在（或无穷大）； x g( x ) f ( x ) f ( x) 则 lim . lim x g( x ) x g ( x )
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§2.7
洛必达法则
例3
求 lim 2
x
arctan x
1 ln(1 ) x arctan x 解 原式 lim 2 x 1 x 1 1 x2 lim x 1 2 x x2 lim 2 1. x 1 x
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e
1
方法2
原式＝ lim [1 ( x 1)]
x 1
1 1 x
e
1
23
2. lim arctan x x 2
解： 原式＝
x
1 ln x
(0 0 )
lim e
1 ln( arctan x ) ln x 2
ln x 1 1 lim ＝ lim x 1 2( x 1) x 1 2 x 2
18
例4. 解: 原式
x sin x lim x 0 x sin x tan x
x sin x lim x0 x3
1 cos x lim x0 3 x 2
1 x2 lim 2 2 x0 3 x
0
解: 原式
lim (1 cos x) 2
x 0
1 lim 2 x0
3 sin x x 2 cos 1 x x
ln(1 x) ～ x
1 ( 0 0) 2
28
内容小结
00 ,1 , 0 型
罗必塔法则
令
y fg
型
f g
11 g f 11 g f
0 型 0 型
第七节 罗必塔法则
0 一、 型未定式 0
第二章
二、 型未定式
三、其他未定式
1
函数的性态 微分中值定理 导数的性态 本节研究: 函数之商的极限
转化
(
或
型)
罗必塔法则
导数之商的极限
2
若两个函数 f x , F x 当 x a 或 x 时都趋于零 f x 可能存在，也可能不存在。 lim 或趋于 . 那么， F x 0 通常此种极限称为未定式。分别简记为 , . 0 这种极限不能用“商的极限等于极限的商”的法则来 计算。此外，还有
取对数
0 型
f g f
1 g
29
作业
P131
1
30
1
( n 为正整数) ?
8
思考: 如何求 lim
2
arctan n
1 n
n
例4.
求
tan x x lim 2 . x0 x sin x
～
0 型 0
解: 注意到
tan x x 原式 lim x0 x3
sec x 1 lim 2 x 0 3x
2
sec x 1 tan x
3 1
(1 ) )3 x
1 x
2 5 x 6 3x 解：令 y （ ) 3
1 t x
1 ln y 3 ln( 2t 5t 6t ) ln 3 t
I 60
ln( 2t 5t 6t ) ln 3 lim ln y 3 lim x t 0 t
x ln x
e
ln x lim x0 1 x
x0
e
0
1 lim x x0 1 x2
0 注： 未定式只有化为 , . 才能应用罗必塔法则！ 0 25
e
lim x
e 1
例8. 求
1 x2 lim 100 e x 0 x
1
1 解: 令 t 2 , 则 x
0 一、 型未定式 0
定理 1.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导,
f ( x) 3) lim 存在 (或为 xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim xa F ( x ) xa F ( x )
)
(罗必塔法则)
4
罗必塔法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为
说明: 定理中
xa
换为
x a , x a , x , x , x
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.
10
例1. 求
tan x lim . x tan 3 x
2
型
（有时可以化简再计算） sin x cos 3x 解: 原式 lim x sin 3 x cos x
ln x x n x
n
x
0
0
(n 0) .
(n 0 , 0) .
x e x
13
说明: 2) 在满足定理条件的某些情况下罗必塔法则不能解决 计算问题 . 例如,
用罗必塔法则
而
14
3) 若
f ( x) lim 不存在 ( )时 , F ( x)
f ( x) lim F ( x) . sin x x sin x ) lim 例如, 1、 lim (1 x x x x f ( x) lim F ( x)
1 cos x xlim 1
极限不存在
1
15
三、其他未定式:
解决方法:
通分 转化
0 0
取倒数 转化
0
取对数 转化
00
1
0
0 型
1 x n 1
例1. 求 lim x n ln x (n 0).
x0
ln x xn lim ( ) 0 解: 原式 lim n lim x0 n x n x0 x x 0 xn 0 注： 原式 lim 解不出！ x0 1 0 16 ln x
17
例3
x 1 lim ( ) x 1 x 1 ln x
x ln x x 1 lim x 1 ( x 1) ln x
( )
x ln x x 1 ＝lim x 1 ( x 1) ln[ 1 ( x 1)]
x ln x x 1 lim x 1 ( x 1) 2
2 2
1 tan 2 x 1 lim 2 3 3 x0 x
9
二、
型未定式
定理 2.
2) f ( x) 与F ( x) 在 (a)内可导, f ( x) 存在 (或为∞) 3) lim xa F ( x ) f ( x) f ( x) lim lim (罗必塔法则) xa F ( x ) xa F ( x )
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.
5
例1. 求 解: 原式 lim
0 型 0
x1
3x 3 3x 2 2 x 1
2
6x 3 lim x1 6 x 2 2
e 1
0
当 x 取正整数 n , 且 n 时，即有
n
lim n n ＝ lim
n
1 nn
1
21
高等数学
第十一讲
主讲教师:
王升瑞
22
例7 求下列极限
1.
1 lim x 1 x x1
x0
(1 )
0 0
解： 方法1
ln x lim 原式 e x11 x
1 cos x ～ 1 x 2 2
1 6
19
通分
转化
0 0
取倒数 转化
0
取对数
转化
0
0
1
0
lim x x . 例5. 求
x 0
00 型
x ln x x 0
解:
x 0
lim x lim e
ln x 1 x
x
lim e
x 0
lim e
x 0eeln( arctan x ) 2 lim x ln x
1 1 ( arctan x ) x 2 1 x 2
x
lim
e 1
0
24
1 3. lim x 0 x
解：
原式＝
tan x
( )
0
x 0 tan x ~ x
x 0
lim e
t t t
2 ln 2 5 ln 5 6 ln 6 ln 2 ln 5 ln 6 lim 3 t t t t 0 2 5 6
27
思考与练习
f ( x) 是未定式极限 , 如果 f ( x) 极限 1. 设 lim g ( x) g ( x) f ( x) 不存在 , 是否 的极限也不存在 ? 举例说明 . g ( x)
1 , , 0 , , 0
0 0
共七种类型。如两个重要极限： 1 1 x e 1 sin x 0 lim lim x x x0 x 0 0 等仅是一个习惯记号， 没有运算意义。 未定式 , . 0 如：lim ( 1 1 ) arctan x 2 都不对！ lim x 0 x sin x x 3 x
注意: 不是未定式不能用罗必塔法则 !
6x lim x1 6 x 2
6 lim 1 x1 6
6
x sin x 0 例2 求 lim 3 x0 0 x ( x sin x) 1 cos x lim 解: 原式＝ lim 3 x 0 x0 3 x 2 ( x )
通分 转化
0 0
取倒数 转化
0
取对数 转化
0
0
1
0
例2. 求 lim (sec x tan x) .
x 2
型
1 sin x 1 sin x ) lim 解: 原式 lim ( x cos x cos x x cos x 2 2 cos x lim x sin x 2