第一章 有限元的基本理论

有限元法及其应用－－－第一章 有限元的基本理论
节点和单元(3)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
2 nodes
. . .
B
1 node
. .
A
. .
. .
A
. .
B
具有公共节点的单元 之间存在信息传递
. .
.
分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理）
中北大学车辆与动力工程系
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有限元法及其应用－－－第一章 有限元的基本理论
第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
离散化
M1 M2 M3
单元1
单元2
. . .
节点1
. .
节点2
. .
有限元法及其应用－－－第一章 有限元的基本理论
有限元法的分类
位移法：以节点位移为基本未知量； 力 法：以节点力为基本未知量； 混合法：一部分以节点位移为基本未知量， 一部分以节 点力为基本未知量。
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有限元法的基本思想
对弹性区域离散化
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3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）
根据合力矩为零的平衡条件：（作用在单元体上的力对x、y 、z轴取矩）
xy yx xz zx zy yz
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物理系统举例
几何体 载荷 物理系统
结构
热
电磁
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有限元模型
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
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有限元法及其应用－－－第一章 有限元的基本理论
单元形函数(4)
遵循原则: •当选择了某种单元类型时，也就十分确定地 选择并接受该种单元类型所假定的单元形函 数。 •在选定单元类型并随之确定了形函数的情况 下，必须确保分析时有足够数量的单元和节 点来精确描述所要求解的问题。
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2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）
应变和应力的相互换算：
1 x E x y z 1 y y x z E 1 x y z E z 1 xy xy G 1 yz yz G 1 zx zx G
L
K J 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
J
O P 三维实体结构单元 UX, UY, UZ M L N
O
三维实体热单元 TEMP
K
I
J
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单元形函数(1)
•FEA仅仅求解节点处的DOF值。 •单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单 元内所有点处DOF值的计算方法。 •因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“ 形状”。
自由度（DOFs）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
方向 结构 热 电 流体 磁
自由度 位移 温度 电位 压力 磁位
ROTZ UZ
UX ROTX
结构 DOFs
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节点和单元(1)
载荷
节点: 空间中的坐标位置，具有一 定自由度和存在相互物理作用。 单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数矩 阵)。单元有线、面或实体以及二维 或三维的单元等种类。
历史典故
早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的 ，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上， 它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解 5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。
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•单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 •单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求 解精度。
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单元形函数(2)
二次曲线的线性近 (不理想结果) DOF值二次分布 真实的二次曲线
.
1
节点 单元 线性近似 (更理想的结果)
u T v u v w w x

y z xy yz zx T
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应变分量与位移分量之间的关系：
u x x v y y w z z u v xy y x u w yz x y u u zx x z
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成， 单元之间通过节点连接，并承受一定载荷
。
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节点和单元(2) 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度 ”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000 个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。
第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
离散化 单元分析
支撑条件的引入
整体分析
非节点载荷的处理
解方程
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第二节 连续梁问题有限元数学模型的建立方法
问题
M1 M2 M3
. . .
. .
. .
连续梁铰接点作用有力矩载荷，求连续梁的内力。
第一节 有限元法的基本思想和基本步骤
有限元分法是利用数学近似的方法对真实物理系
定义
统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而 又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
历史典故 • 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究 者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 • 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽 锅炉进行手算评核的基础。
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剪应变与正应变之间的关系（平面问题）：
xy
2
u v x y 2 2 2 2 xy y x x y y x
2 2 2 2
剪应变与正应变之间的关系（三维问题）：
x yz zx xy 2 x yz x y z
平面问题的定义
1、平面应力问题 条件：等厚度薄板（厚度< 截面尺寸/15）状弹性体； 受力方向沿薄板方向。 假设：力与板平行，沿厚 度方向均匀分布，沿厚度方 向应力分量为零，薄板不失 稳。
特点： z
zx zy 0
例子：链传动中的链片、 连杆、飞轮、小齿宽的直齿 圆柱齿轮
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教 学 目 的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
了解：有限元分析软件、 有限元法在结构分析中的应用 掌握：弹性力学的基本方程 能量变分原理 重点：有限元法的基本思想 有限元法的基本步骤
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.
2
真实的二次曲线
.
节点 单元
.
二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果)
.. . . .
3
节点 单元
.
4
节点 单元
.
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单元形函数(3)
遵循: •DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实 解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。 •这些平均意义上的典型解是从单元 DOF推导出来 的（如，结构应力，热梯度）。 •如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOF，就 不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是 通过单元形函数推导出来的。
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节点和单元 (4)
节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。
J
J 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ
I L K
I
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
二维或轴对称实体单元 UX, UY
I I P M L N K J I
x x E x y z x E
G
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2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）
剪切弹性模量和弹性模量之间的关系：
E G 21
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平面问题的定义
2、平面应变问题 条件：力与平面平行，沿厚度方向均匀分布；垂直于平面方 向不产生变形。 假设：沿厚度方向的变形为零。 特点：
z zx zy 0
例子：水坝等
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有限元法及其应用－－－第一章 有限元的基本理论
弹性力学的基本方程 1. 位移和应变之间的几何关系（几何变形方程）
位移分量矩阵表达式：
y 应变分量矩阵表达式： z x xy yz zx


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3. 应力与外力之间的平衡方程（力的平衡方程）
力的分类：体积力（内力）、表面力（外力） • 体积力：重力、离心力、惯性力等 • 表面力：外载荷、流体静压力等 根据力的平衡条件：
x yx zx Fx x y z px 0 xy y zy py 0 Fy x y z xz yz z Fz x y z p z 0
将单元内任一节点 位移通过函数表达 （位移函数）
进行单元集成， 在节点上加外载荷力
建立单元方程
引入位移边界条件 进行求解
求解得到节点位移
根据弹性力学公式得到单元应变、应力
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有限元法的基本步骤
1. 结构离散； 2. 单元分析 n a. 建立位移函数 y ii i e e e b. 建立单元刚度方程 k F c. 计算等效节点力 3. 进行单元集成； K F 4. 得到节点位移； 5. 根据弹性力学公式计算单元应变、应力。
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有限元法及其应用
第一章 有限元的基本理论
主讲：张翼
中北大学 车辆与动力工程系
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有限元法及其应用－－－第一章 有限元的基本理论
教 学 内 容
有限元法的基本思想和基本步骤 连续梁问题有限元数学模型的建立方法 有限元分析软件概述 有限元法在结构分析中的应用介绍
2
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有限元法及其应用－－－第一章 有限元的基本理论
2. 应变和应力之间的弹性方程（材料的物理方程）
应力分量矩阵表达式： x y z x y z xy yz zx T xy yz zx 应变和应力的关系：