第四节 单调性、凹凸性与极值_lhy

x1 < x2 , tan α1 < tan α 2 x1 < x2 , f ′( x1 ) < f ′( x2 )
x
f ′( x ) 在（a，b）上单调递增 ， ）
( f ′( x ))′ = f ′′ ( x ) >
0
x ∈ (a , b)
定理2.(凹凸性判定定理 定理 凹凸性判定定理) 凹凸性判定定理 (a, b ) 内 二阶可导 二阶可导. (1) 若在 b) 内 若在(a,
F (x) = f (x) － x
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二、曲线的凹凸性
B
连结A, 连结 B 两点的曲线弧的弯 曲方向应如何表示? 曲方向应如何表示
A
y
y
0
x
0
x
弦总在曲线弧的上方 凹弧
弦总在曲线弧的下方 凸弧
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1. 凹弧、凸弧的定义与判定 凹弧、 定义 设 f (x) 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 为凹函数，称它的图形是凹弧 凹函数，称它的图形是凹弧 凹弧; (2) 若恒有 凸函数，称它的图形是凸弧 凸弧. 为凸函数，称它的图形是凸弧 f (x ) + f (x ) y y 2
即: e 1 x > 0,
x
x <0 时 f ( x ) > f (0), 即:
e 1 x > 0,
x
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∴ x ≠ 0时，e x > 1 + x .
讨论(或确定 函数单调性的方法: 讨论 或确定) 函数单调性的方法 或确定 1. 确定 f(x) 的定义域 的定义域; 单调区间所有可能的分界点（ 2. 求出 f ( x ) 单调区间所有可能的分界点（包括
设 x1 < x2 , 则由拉格朗日中值定理得
>0
故 上单调递增. 表明 f (x)在 [a, b]上单调递增 在 上单调递增 同理可证单调递减情形. 同理可证单调递减情形 将定理中的闭区间换成其他区间, 结论不变. 注 1. 将定理中的闭区间换成其他区间 结论不变
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在开区间（ ， ） f ′( x ) ≥ 0 或 f ′( x ) ≤ 0) 且 f ′( x ) 在开区间（a，b） （ 2. 若 内仅有有限个零点，则结论仍成立. 内仅有有限个零点，则结论仍成立.
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2. 拐点 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 . 的拐点， (0, 0)点是曲线 y = arctan x 的拐点， 点是曲线 来表示,不能写成 注 曲线的拐点要用数组 ( x0 , f ( x0 )) 来表示 不能写成 x 0 . 拐点的确定: 拐点的确定 或 f ′′( x0 )不存在 设y=f (x) 使 的点是可能的拐点. 的点是可能的拐点. 如 y = x 在 x = 0 处 如 y = x 3在 x = 0 处
y = x 3 在 ( ∞ , +∞ )上单调递增 但导数 y′ = 3x2 ≥ 0 例如, 上单调递增, 例如
处发生. 且 y′ = 0 只在 x = 0 处发生 3. 若 f (x)在[a, b]上连续 在(a, b) 内除单独点外都可导 上连续,在 内除单独点外都可导, 在 上连续 (x)在[a, ]上 且在可导点满足f ′( x ) > 0 ( f ′( x) < 0), 则 f ( )在[ b]上 (严格 单调递增 (递减 . 严格)单调递增 递减 递减) 严格 如 y= x ,
故f (x)的单调增加区间为 [0 , 2]. 的单调增加区间为
[2, 单调减少区间为 (∞, 0], +∞);
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例4. 确定函数 解: f (x) 的定义域为 ( ∞ , + ∞ ),
的单调性. 的单调性
f ′( x) =
不存在. 列表讨论: 当 x = 125 时, f ′( x) = 0;当 x = 2 时, f ′( x)不存在 列表讨论
x
f ′( x)
(∞, 2)
2
不存在
+
12 (2, ) 5
12 5
0
12 ( , +∞) 5
+
f ( x)
0
12 故f (x)在区间 (∞, 2], [ , +∞)上单调增加 在区间 上单调增加; 5 12 上单调减少. 在区间 [2 , ] 上单调减少 5
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上可导,且 例5. 设 f (x) 在[0,1]上可导 且0 <f (x) <1, f ′( x ) < 1, 证明 上可导 内有且仅有一个x 使得f 在(0,1)内有且仅有一个 ,使得 (x) = x . 内有且仅有一个 使得 证明: 存在性: 作辅助函数: 证明 存在性 作辅助函数 F (x) = f (x) － x F (0) = f (0) > 0 , F (1) = f (1)－ 1 < 0 , － 内至少有一个ξ 使得F 在(0,1)内至少有一个 ,使得 (ξ)= f (ξ)－ξ = 0. 内至少有一个 使得 － f (ξ) =ξ 即: 唯一性: 唯一性 证法一[反证 反证] 证法一 反证 内的正根不止一个, 设 F (x) = 0在(0,1)内的正根不止一个 在 内的正根不止一个 x1 ,x2 是它的两个正根 F (x1) = F (x2) =0 , 是它的两个正根: 之间存在ξ 使得 定理, 由Rolle定理 在x1 , x2之间存在 ,使得 定理
] 和 [ 1 , +∞) 上是凹的 在[ 1 , 1 ]上 上是凹的, 2 2 2 2
都是拐点. 都是拐点
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例8.利用函数图形的凹凸性证明 利用函数图形的凹凸性证明
1 n x+ y n (x + y ) > ( x > 0, y > 0, x ≠ y , n > 1). 2 2 n n 1 f ′′( t ) = n( n 1) t n 2 证明: 证明 令f (t)= t , f ′( t ) = nt ,
1 2
则称 f (x)
则称 f (x)
f( x1 + x2 ) 2
o
f( x1 + x2 ) 2
x1
x1 + x2 2
x2 x
o
f ( x1 ) + f ( x2 ) 2
x1
x1 + x2 2
x2 x
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如图： 如图：
y
y = f ( x ) 在（a，b）上是凹的 ， ）
y = f ( x)
f ′( x ) = 0 的点以及 f ′( x ) 不存在的点 x) ;
3. 用上述点 划分已知区间 在各小区间上逐一考 用上述点x 划分已知区间, 察函数的单调性. 察函数的单调性 如 y= x 为单调区间的分界点， x = 0 为单调区间的分界点， 处不可导. 函数在 x = 0 处不可导.
x1 O x2 x3
n
当 t > 0 时,
f ′′( t ) > 0,
是凹函数, 由凹函数的定义, f ( t ) = t n 是凹函数 由凹函数的定义 因此, 因此 在(0, +∞) 上, 对 x , y ∈ (0, + ∞ ), x ≠ y , 总有
1 x+ y ( f ( x ) + f ( y )) > f , 2 2
∴ x>0
定义
即: x arctan x > 0,
时, x > arctan x .
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例2. 证明 x ≠ 0时，e > 1 + x .
x
证明: 证明 设 f ( x ) = e x 1 x , 显然, 上连续, 显然 f (x)在区间 ( ∞ , +∞ ) 上连续 在区间
y
x
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例3. 确定函数
的单调区间. 的单调区间
解: f (x) 的定义域为 ( ∞ , + ∞ ),
f ′( x) =
列表讨论: 当 x = 0, x = 2 时，f ′( x) = 0. 列表讨论
x
f ′( x)
(∞, 0)
0
(0 , 2)
2 (2, +∞)
0
4 e2
0
0
+
f ( x)
上连续, 设f (x)在[a, b] 上连续 在 在
则 f (x)在[a, b]上是凹的 ; 在 上是凹的 (2) 若在 b) 内 若在(a, 则 f (x)在[a, b]上是凸的 . 在 上是凸的
+
证明思路：结合定义，运用Lagrange中值公式（略） 中值公式（ 证明思路：结合定义，运用 中值公式
f ′( x ) = e x 1
x ∈ ( ∞ , 0), f ′( x ) < 0, f (x)在 ( ∞ , 0] 上单调减少 上单调减少, 在
上单调增加, 在 x ∈ (0, +∞ ), f ′( x ) > 0, f (x)在 [0, +∞ ) 上单调增加 x >0 时
f ( x ) > f (0),
的凹凸区间与拐点. 的凹凸区间与拐点
f (x) 的定义域为 ( ∞ , + ∞ ),
y′ =
令 y′′ = 0 得 x1 = ±
1 2
1 2
1
, 列表讨论
( 1 2 , 1 2 )
x
f ′′( x)
(∞,
)
1 2